Сумма углов невыпуклых многоугольников

РЕСПУБЛИКАНСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ-ФЕСТИВАЛЬ ТВОРЧЕСТВА ОБУЧАЮЩИХСЯ
«EXCELSIOR-2009»
Секция МАТЕМАТИКА
СУММА УГЛОВ НЕВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Ермеева Анастасия
МОУ «Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 имени М. В. Силантьева»
Цивильского района Чувашской Республики, 9 класс
Научный руководитель:
Ермеев Валерий
Александрович, учитель
математики МОУ
«Цивильская средняя
общеобразовательная школа
№1 имени М. В. Силантьева»
Цивильского района
Чувашской Республики
г. Чебоксары, 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ









Введение в теорию многоугольников………………………………………….. 2
Звездчатые многоугольники…………………………………………………..... 2
Суммы углов произвольного многоугольника………………………………… 4
Частные случаи………………………………………………………………….. 6
Заключение и выводы…………………………………………………………… 7
Библиографический список …………………………………………………….. 8
Приложение1. Мои «Звездчатые развлечения и звездчатые исследования».... 9
Приложение2. Словарь…………………………………………………………… 12
Приложение3. Красота спасет мир. Правильные звездчатые многоугольники. 13
1
Введение
Одной из наиболее важных теорем школьного курса геометрии является теорема о том,
что сумма углов выпуклого n-угольника равна (n – 2)*180 о . В школьном курсе геометрии мы
изучали доказательство теоремы о сумме углов выпуклых многоугольников.
Гипотеза: формула суммы углов многоугольника верна для произвольного
многоугольника. Не существует ли универсальный способ доказательства теоремы для всех
многоугольников, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа
доказательства? Любой новый способ доказательства теоремы представляет особый интерес.
В данной работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательства теоремы.
Работа состоит из параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения,
которые нам понадобятся для работы. В следующих параграфах находится основная работа с
примерами и упражнениями.
Цели:

Изучить основную теорему геометрии о сумме углов n-угольника
Задача:

Вывести формулу суммы углов произвольного многоугольника, образованного
замкнутой ломаной.
Введение в теорию многоугольников
В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам
понадобятся для дальнейшей работы.
Выражение (n – 2) показывает количество треугольников, на которое разбивается
выпуклый многоугольник диагоналями, проведенными из одной вершины. А как же обстоит
дело в случае невыпуклости многоугольников? Оказалось:
Теорема. В каждом многоугольнике с числом сторон большим трех можно провести
диагональ, целиком в нем содержащуюся.
Доказательство.
Для данного многоугольника М зафиксируем какую-нибудь прямую а и найдем
вершину А многоугольника, расстояние от которой до этой прямой наибольшее. Пусть А, А соседние с ней вершины. Если отрезок АА целиком содержится в многоугольнике М, то он
является искомой диагональю. Если АА не содержится целиком в М, то существуют
вершины многоугольника М, содержащиеся в треугольнике ААА . Выберем из них вершину В,
наиболее удаленную от прямой а. Тогда отрезок АВ будет целиком содержаться в
многоугольнике и, следовательно, он является искомой диагональю.
Следствие

Любой многоугольник можно разбить на треугольники.
Доказательство.
Действительно, многоугольник можно разбить на два многоугольника проведением
диагонали. Продолжаю процесс проведения диагоналей, мы, в конце концов, дойдем до
треугольников, на которые будет разбит этот многоугольник.
Для n-угольника число таких треугольников будет равно n-2, и эти углы треугольников
составляют углы исходного многоугольника. Следовательно, сумма углов n-угольника равна
о
(n – 2)*180 .
2
Следствие

Сумма углов многоугольника зависит только от числа углов и не зависит от его
формы и размеров.

Сумма углов многоугольника является топологическим инвариантом.
ВЫВОД
Можем изменять форму многоугольника, увеличивать или уменьшать его размеры,
сумма его углов останется неизменной.
Звездчатые многоугольники
Пусть задана замкнутая ломаная А1 А2 ... Аn А1 , точки самопересечения, которой не
совпадают с ее вершинами. Такие ломанные также будем называть многоугольниками.
Частным случаем этих многоугольников является звездчатые
многоугольники.
Одно из определений

Звезда — плоская геометрическая фигура, составленная
из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в
точке схождения.
По
количеству
лучей
выделяют
трёхконечные,
четырёхконечные и т. д. звёзды.
Углы многоугольника будем считать в направлении против часовой стрелки от
предыдущего ребра к последующему.
ПРАВИЛО:

Углы многоугольника зависят от направления обхода
ломаной. Если направление обхода ломаной меняется на
противоположное, то углами многоугольника будут углы,
дополняющие углы исходного многоугольника до 360 о .

Если М – многоугольник, образованный
простой замкнутой ломаной, проходимой в направлении по
часовой стрелке, то сумма углов этого многоугольника равна
(n – 2)*180 о .

Если М – многоугольник, образованный простой замкнутой ломаной, проходимой
в направлении против часовой стрелки, то сумма углов этого многоугольника равна
(n + 2)*180

Общая формула суммы углов многоугольника,
образованного простой замкнутой ломаной, имеет вид
  (n  2) * 180 о ,

где  - сумма углов, n число углов
многоугольника, знак «+» или «-» берется в зависимости от
направления обхода ломанной.
3
Суммы углов произвольного многоугольника
Задача
Вывести формулу суммы углов произвольного многоугольника, образованного
замкнутой (возможно, самопересекающейся) ломаной.
Определение
Степенью многоугольника называется число оборотов, совершаемое точкой при полном
последовательном обходе сторон многоугольника. Причем обороты, совершаемые в
направлении против часовой стрелки, считаются со знаком «+», а обороты по часовой стрелке –
со знаком «-»
Ясно, что у многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, степень равна
+1 или -1 в зависимости от направления обхода.
m=3
m=3
m=2
Аналогичным способом понятие степени определяется и для замкнутых кривых на
плоскости.
ПРАВИЛО нахождения степени многоугольника или кривой.
Предположим, что, двигаясь по кривой, мы, начиная с какой-то точки А 1 , совершили
полный оборот и попали в ту же точку А 1 . Удалим из кривой соответствующий участок и
продолжим движение по оставшейся кривой. Если, начиная с какой-то точки А 2 , мы снова
совершили полный оборот и попали в ту же точку, то удаляем соответствующий участок
кривой и продолжаем движение. Считая количество удаленных участков со знаками «+» или «» в зависимости от их направления обхода, получаем искомую степень кривой.
Теорема. Для произвольного многоугольника имеет место формула
  (n  2m) * 180 о ,
где  - сумма углов, n - число углов многоугольника, m – степень многоугольника.
4
Доказательство. Пусть многоугольник М имеет степень m. М 1 ,..., М к - простые
замкнутые ломанные, проходя по которым, точка совершает полные обороты: А1 ,..., Ак соответствующие точки самопересечения ломанной, не являющиеся ее вершинами.
Обозначим число вершин многоугольника М, входящих в многоугольники А1 ,..., М к
через n1 ,..., nк соответственно.
Поскольку, помимо вершин многоугольника М, к этим многоугольникам добавляются
еще вершины А1 ,..., Ак , число вершин многоугольников М 1 ,..., М к равно соответственно
n1  1,..., nk  1 . Тогда суммы этих углов равны ( n1  1  2) * 180 о ,..., (n k  1  2) * 180 о . Плюс или
минус берется в зависимости от направления обхода многоугольников.
Сумма углов многоугольника М о , оставшегося от многоугольника М после удаления
многоугольников М 1 ,..., М к , равна (n  n1 ...  n k  k  2) * 180 о .
Сумму углов многоугольников М о , М 1 ,..., М к дают сумму (  ) углов многоугольника
М,
и
в
каждой
вершине
дополнительно
получим
360 о .
А1 ,..., Ак
( n1  1  2) * 180 о ,..., (n k  1  2) * 180 о + (n  n1 ...  n k  k  2) * 180 о =  +
k*360 о .
Приводя
подобные члены получаем
 = (n  2  ...  2) * 180 о  (n  2m) * 180 о , где m – степень многоугольника М.
5
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
 = (7-2*3)*180 = 180, n = 7, m = 3
 = (8-2*3)*180 = 180*2=360, n = 8, m = 3
 = (7-2*2)*180 = 180*3 = 720, n =7, m = 2
Сумма углов произвольного звездчатого пятиугольника равна 180 градусам.
6
Заключение
Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства теоремы о сумме
углов многоугольников, вспомнила уже изученный способы доказательства теоремы.
Все упражнения для конкретных многоугольников придуманы мною и решены с
помощью доказанной теоремы.
Выводы, которые превзошли ожидания:

любой многоугольник можно разбить на треугольники;

сумма углов многоугольника зависит только от числа углов и не зависит от
его формы и размеров;

можем изменять форму многоугольника, увеличивать или уменьшать его
размеры, однако сумма его углов останется неизменной;

в случае звездчатых многоугольников углы многоугольника зависят от
направления обхода ломаной;

общая формула суммы углов многоугольника, образованного простой замкнутой
ломаной, имеет вид   (n  2) * 180 о , где  - сумма углов, n - число углов многоугольника,
знак «+» или «-» берется в зависимости от направления обхода ломанной.

Для произвольного многоугольника имеет место формула   (n  2m) * 180 о ,где
 - сумма углов, n - число углов многоугольника, m – степень многоугольника.

Если число вершин
- чётное, то существует
звёздчатых многоугольников с вершинами.

Если число вершин
звёздчатых многоугольников с вершинами.
различных правильных
- нечётное, то существует
различных
7
Библиографический список:

Азлецкий С. Десять решений одной задачи. – Математика, №15 / 2001, с.6.

Смирнова И., Смирнов В. О сумме углов звездчатых многоугольников. –
Математика, №1 / 2002, с. 31-32.

http://ru.wikipedia.org/wiki

http://netnotes.narod.ru/math/star1.html

http://ezhe.ru/ib/issue.html?543

http://dorigami.narod.ru/dorigami_samolet.html

http://nkozlov.ru/library/other/d1334/print/?resultpage=13
8
Приложение1
Мои «Звездчатые развлечения и звездчатые исследования»
Сколько видов звездных многоугольников для каждого n-угольника существует? Может,
вам знакома эта последовательность? В пяти- и шестиугольнике по одному звездному варианту,
у семиугольника — два, у восьмиугольника, как мы убедились — три. Можно ли найти общую
формулу?
Задача №1
Нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) не отрывая
ручки от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии.
Продолжения сторон пятиугольника пересекаются во внешней
по отношению к пятиугольнику части плоскости, добавляя к
пятиугольнику новые части. В результате получается хорошо
известная нам пятиконечная звезда, иначе называемая пентаграммой.
Задача №2
Нарисовать звездчатый семиугольник, не отрывая ручки от бумаги и не проводя дважды
по одной и той же линии.
Принцип рисования: нанести предварительно семь точек приблизительно на одной
окружности и соединять их. Звездных семиугольников может быть два вида. Первый — если
соединять вершины через одну. Второй — если соединять вершины, пропуская две, с третьей.
Можно пропускать и три, но этот вариант совпадет по конечной картинке со вторым видом.
Задача №3
Нарисовать звездчатый шестиугольник не отрывая ручки от бумаги и не проводя дважды
по одной и той же линии.
Принцип рисования: два пересекающихся треугольника определяют звездчатый
шестиугольник(известны как «Звезда Давида», начертанных на флаге Израиля).
Задача №4
Нарисовать звездчатый восьмиугольник не отрывая ручки от бумаги и не проводя
дважды по одной и той же линии.
Заметим, структура рисунка первой звезды содержится в
структуре рисунка второй.
Принцип рисования: если соединять от первой вершины через одну, то нарисуем
квадрат, для второго квадрата, пересекающего первый нам придется оторвать перо от бумаги.
Принято считать такие звездчатые многоугольники распадающимися. В восьмиугольнике если
обходить пропуская две вершины, то получим красивейшую фигуру, лежащую в основе почти
всех мусульманских орнаментов. Пропускать три вершины не имеет смысла — многоугольник
9
вырождается в отдельные линии, связывающие противоположные вершины. Можно построить
две восьмиконечные звезды. Первая звезда состоит из двух пересекающихся квадратов. А
другая представляет собой одну самопересекащуюся линию,которая рисуется без отрыва
карандаша.
Задача №5
Нарисовать звездчатый девятиугольник не отрывая ручки от бумаги и не проводя
дважды по одной и той же линии.
Девятиконечных звёзд существует три.
Задача №6
Нарисовать звездчатый десятиугольник не отрывая ручки от бумаги и не проводя
дважды по одной и той же линии.
Принцип
рисования:
десятиугольник
можно
представить в виде двух самостоятельных пересекающихся
пентаграмм.
10
Задача №7
Нарисовать звездчатый двенадцатиугольник не отрывая ручки от бумаги и не проводя
дважды по одной и той же линии.
Принцип рисования: двенадцатиугольник может распадаться тремя способами —
на три квадрата, четыре треугольника или два шестиугольника. Это можно применить при
построении.
Вывод:
Если число вершин
- чётное, то существует
звёздчатых многоугольников с вершинами.
Если число вершин
- нечётное, то существует
многоугольников с вершинами.
различных правильных
различных звёздчатых
Чтобы получить звездчатый многоугольник {p/q}, разделим окружность на p равных
частей, поставив точки. Эти точки нужно соединить следующим образом. От каждой точки по
часовой стрелке и против часовой стрелки отсчитываем q точек и соединяем данную точку с qой точкой слева и с q-ой точкой справа. На рисунке - пример: звездчатый многоугольник {8/3}.
Если p и q не взаимно простые, т.е. дробь p/q можно сократить, то таким образом
соединяются не все p вершин, и звездчатый многоугольник распадается на отдельные
многоугольники (их количество равно наибольшему общему делителю чисел p и q). Например,
при попытке изобразить многоугольник {8/2} мы получаем два квадрата, один из которых
повернут относительно другого на 45 градусов.
Соединяя на одном рисунке несколько звездчатых многоугольников {p/q} с одинаковым
числителем p, можно получить довольно красивые картинки.
http://netnotes.narod.ru/math/star1.html
http://ezhe.ru/ib/issue.html?543
http://dorigami.narod.ru/dorigami_samolet.html
http://nkozlov.ru/library/other/d1334/print/?resultpage=13
11
Приложение 2
Словарь
ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или
пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как
растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при
которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е.
отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с
формой или величиной фигуры. www.bigpi.biysk.ru/encicl/articles/15/1001554/1001554A.htm
Инвариа́нт — термин, используемый в математике и физике, а также в
программировании, обозначает нечто неизменяемое. Кроме того, инварианты используются в
олимпиадных задачах по математике для школьников. http://ru.wikipedia.org/wiki
12
Приложение3
Красота спасет мир. Правильные звездчатые многоугольники.
13