СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ § 1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной
случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие
случайной величины.
Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее неизвестно).
Примеры случайных величин:
1) число родившихся детей в течении суток в г. Москве;
2) количество бракованных изделий в данной партии;
3) число произведенных выстрелов до первого попадания;
4) дальность полета артиллерийского снаряда;
5) расход электроэнергии на предприятии за месяц.
Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.
Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину,
бесконечное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.
Так, в приведенных выше примерах 1-3 имеем дискретные случайные
величины (в примерах 1,2 –с конечным множеством значений; в примере 3 –
с бесконечным, но счетным множеством значений); а в примерах 4,5 – непрерывные случайные величины.
Теоретико-множественная трактовка основных понятий теории вероятностей позволяет дать следующее определение случайной величины.
Определение. Случайной величиной Х называется функция, заданная на
множестве элементарных исходов (или в пространстве элементарных событий), т.е.
X  f ( )
где  - элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее
пространству  , т.е.  ).
Для дискретной случайной величины множество возможных значений
случайной величины, т.е. функции f ( ) , конечно или счетно, для непрерывной – бесконечно и несчетно.
Убедимся, например, в том, что случайная величина Х - число дней во
взятом на удачу месяце года (невисокосного) есть функция элементарных исход (событий) , т.е. X  f ( ) . В результате испытания – розыгрыша (выбора наудачу) месяца года – все множество элементарных исходов (пространство элементарных событий)  может быть представлено в виде
  1 ,  2 , 3 ,...,12

где 1 ,  2 , 3 ,...,12 - соответственно 1-й, 2-й, 3-й, …, 12-й месяц года.
Так как X (1 )  31, X (2 )  28, X (3 )  31, X (4 )  30,..., X (12 )  31, то
число дней во взятом наудачу месяце года (случайная величина Х) есть
функция элементарных исходов (событий) .
§ 2. Математические операции над случайными величинами.
Пусть X и Y две независимые случайные величины, заданные законом
распределения.
X
х1
х2
…
хn
Y
у1
у1
…
уn
Р
р1
р2
…
рn
Р
р1
р1
…
рn
Над случайными величинами можно произвести следующие операции:
1. Сложить;
2. Перемножить;
3. Возвести в квадрат;
4. Умножить на постоянное число.
Определение. Произведением случайных величин на постоянное число
К называется новая случайная величина, которая с теми же вероятностями
что и X принимает значения, равные произведениям случайной величины на
постоянное число. К  Х.
КX
kх1
kх2
…
kх n
Р
р1
р2
…
рn
Определение. Квадратом случайной величины X2 называется новая
случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и X принимает
значения, равные квадратам значений случайной величины X.
X2
x12
x22
…
xn2
Р
р1
р2
…
рn
Определение. Суммой 2-х случайных величин Х и Y называется новая
случайная величина, которая принимает все значения вида xi  yi , где i = 1, 2,
..., n с вероятностью pi  pj.
Определение. Произведением 2-х случайных величин называется новая случайная величина, которая принимает все значения вида X и Y с вероятностями pi  pj.
§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
1. Математическое ожидание СВ.
Определение. Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений значений СВ на соответствующие им вероятности.
M x    xi  pi  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn .
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине. М(с) = с.
2. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий. М(х±у) =
М(х) ± М(у).
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания. М(сх) = сМ(х).
4. Математическое ожидание произведения случайной величины равно
произведению их математических ожиданий. М(ху) = = М(х)М(у).
5. Математическое ожидание числа наступления событий в серии n независимых испытаний равно произведению числа испытаний на постоянную
вероятность наступления событий в каждом испытании. М( m ) = n р.
Пример: Кормовая смесь (100 кг) состоит из 4-х компонентов, каждый
из которых содержит заданный процент протеина:
сена 50 кг.- 3%
соломы 10 кг. - 1%
жмых 20 кг. - 33%
отруби 20 кг.- 11%
Определить содержание протеина в смеси.
Пусть СВ х - содержание протеина в каждом компоненте смеси. Тогда
содержание протеина в смеси найдем как математическое ожидание СВ.
M x    xi  pi  x1 p1  x2 p2  ...  x4 p4 = 3·0.5 + 1·0.1 + 33·0.2 + 11·0.2
= 10,4% - среднее содержание протеина в смеси
2. Дисперсия.
Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
D x   M  x  M  x 2
(1)
M x    xi pi ,
Dx    xi  M x 2  pi .
Формулу (1) преобразим следующим образом:


  
x   M x   M x .


D x   M x 2  2 x  M  x   M 2  x   M x 2  M 2 x  M  x   M M 2  x  
 
 M x 2  2M x   M  x   M 2
 
D  x   M x 2  M 2  x .
2
2
(3)
Если СВ задана частотами, то дисперсия находится так:

2
Dx    xi  M x   Wi .
x  M x
D x    i
2
 Mi
n
(4)
.
(5)
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянного числа равна нулю. D(c) = 0.
2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. D(cx) = c2D(x).
3. Дисперсия
алгебраической
суммы
равна
сумме
дисперсий.
D(x±y) = D(x)±D(y).
4. Дисперсия числа наступления событий в серии n независимых испытаний с постоянной вероятностью наступлений р, равна произведения npq.
Dm   npq .
Для вычисления дисперсии удобно пользоваться расширенным законом
распределения (вспомогательной таблицей), куда добавляем строки xi pi , xi2
и xi2 pi .
Рассмотрим пример о кормовой смеси.
xi
3
33
11
Σ
pi
0,5 0,1 0,2
0,2
1
xi pi
1,5 0,1 6,6
2,2
10,4
9
121
-
xi2
1
1
1089
xi2 pi 4,5 0,1 217,8 24,2 246,6
В последнем столбце – сумма по строке, т.е. в 3-й строке - M (x) , а в 5-
 
й - M ( x 2 ) . Используем формулу (3) Dx   M x 2  M 2 x .
Получим: Dx  246 .6  (10.4) 2  138 .4
3. Среднее квадратическое отклонение
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии (так же это отклонение
еще называется стандартом рассеяния).
  x   D x  . (6)
Для предыдущего примера  ( x)  138.4  11.8
4. Коэффициент вариации
Определение. Коэффициентом вариации называется отношение среднего квадратического отклонения случайной величины к математическому
ожиданию и выраженное в %.
V x  
 x 
M x 
Для предыдущего примера V ( x) 
100% . (7)
11.8
100 %  113 .5%
10.4
Замечание: Интерпретация числовых характеристик СВ в финансовой
математике.
Пусть известно распределение доходности X
некоторого актива
(например, акции), т.е. известны значения доходности xi и соответствующие
им вероятности pi за рассматриваемый промежуток времени. Тогда, очевидно, математическое ожидание M(x) выражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия D(x) или среднее квадратическое отклонение
  x  - меру отклонения, колеблемости доходности от ождаемого среднего
значения, т.е. риск данного актива.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
§ 4. Числовые характеристики непрерывных СВ
1. Математическое ожидание НСВ

M x  
 x  f x dx ,
(8)

где ƒ(x) – плотность распределения случайной величины.
ƒ(x) = F (x)
(9)
2. Дисперсия НСВ
Дисперсия непрерывной случайной величины, заданной плотностью,
определяется по формуле:

D x  
 x  M x 
2
 f  x dx
(10)

D x  

 x
2

 2 x  M  x   M x   f x dx 
2

x


  M 2 x   f  x dx 

 M 2 x  


x

2

2
 f x dx  2  x  M x   f  x dx 







2
2
2
 x  f x   2M x   x  f x dx  M x   f x dx  2M x  
 f x dx  M 2 x .
D x  

x
2
 f  x dx  M 2  x  .
(11)

3.,4. – среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для
НСВ определяются так же, как и для ДСВ.