УДК 517x

УДК 517.23
Производные дробных порядков и их применение в решение уравнений
теплопроводности во фрактальных средах
Рылов С.М.,
научный руководитель канд. физ.-мат. наук Степаненко В.И.
МБОУ СОШ №149
Благодаря физическому смыслу первой и второй производных (перваяскорость, вторая-ускорение) дифференциальное и интегральное исчисления стали
основой для описания процессов в механике, химии, электродинамике, теории
относительности и т.д. В частности, были получено уравнение теплопроводности:
(1)
Начиная с 1982 года в научный обиход вошло понятие ФРАКТАЛЫ,
благодаря математику Бенуа Мандельброту (это множества, демонстрирующие на
разных масштабах свойства подобия своей геометрической структуры). Фракталы
имеют дробную размерность, например, ковер Серпинского (полученный из
квадрата выбрасыванием его средней части и повторение этой процедуры
бесконечно много раз во всё меньших размерах) или салфетка Серпинского
(полученную аналогичным выбрасыванием из правильного треугольника).
Аналогичное построение в трехмерном пространстве, получающееся из куба,
приводит к губке Серпинского и тд.
Мандельброт заметил, что фракталы - это не только "математические
монстры", но и модели геометрических свойств, вполне реальных образований в
природе (береговая линия, облака, кластеры из частиц во взвесях, сплошная среда
с отверстиями различных размеров - "сыры", разнокалиберный песок, а
стеклянной трубке и т.д.)
Оказалось, что фундаментальное уравнение математической физики (1) не
работает во фрактальных средах, не работают даже нелинейные поправки этого
уравнения. Понадобилось привлечение дробных производных, причем, степень
дробности определяется дробной размерностью фрактальной среды. Например,
уравнение (1) перепишется так.
а производная по времени t – обычная.
, где n-1<α<n, n принадлежит N,
Существует несколько вариантов определения производной дробного
порядка: Римана-Лиувилля, Капуто, Маршо, Г.Вейла, Рисса. Дробная производная
по Капуто определяется так:
(2)
где 0≤t≤x, а Г(n-α) – это Г-функция Эйлера, обобщающая понятие факториала n!
на дробные числа[1]. Её значение можно узнать из таблиц Спецфункций.
Напоминаем, что n-1<α<n. Так как для школьника выражение (2) очень сложное,
мы его упрощаем, многократным интегрированием по частям.
В итоге получим, новую формулу для производной дробного порядка от
функции f(x):
(3)
Где что n-1<α<n, и все производные (обычные, целые)
существуют.
Сравним с формулой Тейлора для функции f(x) в нуле:
(Здесь мы воспользовались тем, что k!=Г(k+1) ).
Можно по формуле Тейлора представить и n-ю производную:
(4)
Для большей схожести формул (3) и (4) вынесем в формуле (3) общий
множитель
за знак суммирования, окончательно получим следующую
теорему: если функций f(x) имеет в нуле (x=0) производную всех порядков и
вещественное число α лежит в интервале n-1<α<n, где n-целое неотрицательное
число, то справедлива формула
Но при α=n ( точнее, при αn) полученная формула (5) превращается в
классическую формулу для обычной n-ой производной, представленной
степенным рядом Тейлора в нуле:
(5)
Но формула (5) накладывает слишком жёсткое ограничение:f(α)(0)=0, хотя
обычные производные могут и не равняться нулю. Поэтому мы модифицируем
формулу(4), отбросив множитель xn-α. И будем считать по определению:
И это также является естественным обобщением при α=n(αn).
Воспользуемся формулой, которую мы вывели, для определения производной
дробного порядка степенной функции, и получим.
(6)
Из школьного курса известно, что
,
.Используя это,
решим уравнение теплопроводности во фрактальной среде типа «ковер
Серпинского», размерность которого 1<α<2.
(7)
Решение ищем в виде произведения eat на степенной ряд по x с
неопределёнными коэффициентами, которые следует найти.
(8)
Обозначим AC0=b0,AC1=b1. Решением уравнения теплопроводности (7)
является выражение
(9)
Заметим, что если α=2, то первое чётное выражение в скобках равно
,а второе (нечетное) выражение в
скобках равно.
Кстати, полученные новые спецфункции в формуле (9) назовём дробным
гиперкосинусом порядка α (α≤2):
и дробным гиперсинусом
порядка α (α≤2):
В математической физики в решении вида (8) показатель амплитудного
множителя eat обычно отрицателен(для физического смысла).Поэтому нужно
искать решение в виде:
(10)
Окончательно получаем: решением теплопроводности(7), имеющее
физический смысл, является выражение:
(11)
Заметим, что если α=2, то первое выражение в скобках равно:
, а второе выражение в скобках
равно:
. А полученные новые
спецфункции в формуле (11) назовём дробным круговым косинусом порядка α
(α≤2):
и дробным круговым
синусом порядка α (α≤2):
Список литературы
1.Математическая энциклопедия: 2 том/под ред. И.В.Виноградов.: Советская
энциклопедия, 1979-1103с.
Интегралы и производные дробного порядка/С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И.
Маричев – Минск: Наука и Техника,1987- 687 с.