Политропные процессы

Политропные процессы
До сих пор рассматривались процессы, у которых имелись вполне определенные признаки: изохорный процесс осуществлялся при постоянном объеме; изобарный — при постоянном давлении; изотермический — при постоянной температуре; адиабатный— при отсутствии теплообмена между рабочим телом и внешней средой. Наряду с этими процессами можно представить еще бесконечное множество процессов, у которых имеются другие постоянные признаки.
Условились всякий процесс идеального газа, в котором удельная теплоемкость является
постоянной величиной, называть политропным процессом, а линию процесса — политропой.
Из определения политропного процесса следует, что основные термодинамические процессы — изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный,— если они протекают
при постоянной удельной теплоемкости, являются частными случаями политропного процесса. Итак, политропный процесс проходит при постоянной теплоемкости.
c  const
Если теплоемкость зависит от температуры, то нужно найти среднюю теплоемкость, чтобы процесс стал политропным.
Уравнение процесса
Для исследования процесса и расчета слагаемых I закона термодинамики нужно установить связь между параметрами состояния в политропном процессе. Эта функция называется уравнением политропы. Запишем уравнение I закона термодинамики, преобразуем
cdT  c p dT  vdp 

(c  c p )dT  vdp


c
dT

c
dT

pdv



V

(c  cV )dT  pdv
и поделим почленно
c  c p
c  cV

vdp
pdv
Так как c  = const в процессе, то левая часть
c  c p
c  cV
= const и называется показатель по-
литропы:
n=
c  c p
c  cV
,    n  
При этом, каждому значению n соответствует некоторый конкретный процесс.
Получили дифференциальное уравнение:
n= 
vdp
pdv
Разделяем переменные
2
2
ndv
dp
1 v  1  p
и интегрируем в пределах процесса
n  ln
v2
p
p
  ln 2  ln 1
v1
p1
p2
Потенцируем
p1  v2 
 
p2  v1 
n
или P1v1n  P2v2n
Это выражение выполняется не только для крайних точек процесса, но и для всех промежуточных. Оно называется уравнением политропы:
pv n  const
Запишем это уравнение через другие параметры P-T и V-T:
pv  RT
RT
RT n
p

 v  const
v
v
Tv n1  const
pv  RT
n
 RT 
RT
  const
v
 p  
p
 p 
p1n  T n  const
1 n
n
 p T
p
1 n
n
n
n 1
 const
 T  const
Теплоемкость политропных процессов
Теплоемкость политропного процесса c можно определить из выражения
c  c p
c  cV
=n
c  c p  n  c  n  cv
c  1  n   c p  n  cv
 cp

  n 
c  n  cV
c

c  p
 cV  V
1  n 
1  n 
k  n 
c  cV
1  n 
где k - показатель адиабаты.
Найдем значение c  и n для изопроцессов определения сведем результаты в таблицу
процесс
c
n
T=const

1
p=const
cp
0
v=const
cV

q=const
0
k
Изобразим зависимость c (n) графически
Cφ
CP
CV
1
0
К
n
Теплоемкость отрицательная
В деапазоне 1<n<k теплоемкость процессов отрицательная, т.е. с подводом теплоты температура системы уменьшается, а с отводом теплоты - увеличивается.
Смысл отрицательной теплоемкости заключается в том, что вся подведенная теплота расходуется на работу и, кроме этого, на работу затрачивается еще и часть внутренней энергии системы
dq=du+dl
dq=du+dl
подвод тепла
отвод тепла
Энергетические характеристики политропных процессов
Изменение энтропии
По аналогии с интегралом работы было получено выражение для подсчета количества
теплоты в ТДП. Для этого был введен параметр состояния системы – энтропия.
Энтропия является функцией состояния. Ее изменение в пределах процесса определяется
как разность конечного и начального значений. Также как внутренняя энергия она определяется с точностью до произвольной постоянной. В ТДП нужно знать только ее изменение. Энтропия, и ее изменение не поддается физическому определению и измерению, а
является расчетной величиной.
ds 
dq
n  k dT
 cv
T
n 1 T
2
2
c dT
T 
dq
dT
s12  

 c 
 c ln  2 
T
 T1 
1 T
1
1 T
2
s2  s1  cv
n  k T2
ln
n  1 T1
дж / кг  град
Работа расширения /сжатия в политропном процессе.
Работа расширения /сжатия в политропном процессе.
2
dl  pdv ; l12   pdv
1
Используя связь параметров, можно найти значение интеграла работы.
pv n  const
p
P1v1n  P2v2n  pv n
p1v1n
vn
Параметры состояния в граничных точках известны, известен показатель политропы n
Подставляем полученную функцию p(v) в уравнение для работы и интегрируем
2
l12  
1
2
p1v1n
p1v1n 1n
n
1n
dv

p
v

v
dv

v
1 1 
vn
1 n
1
2
1



p1v1n v12n  v11n

1 n
1 n
2 2
 p1v1n v11n p2v2  p1v1

1 n
1 n
pv
Можно получить и другие формулы для расчета работы.
Применяя уравнение состояния идеального газа pv  RT , получаем
l12 
RT2  RT1
R
T2  T1 

1 n
1 n
1n
n1










RT1
T2
RT1
v1
RT1 
p1 n 
1     
l12 
 1   
 1  
n  1  T1  n  1   v2   n  1   p2  




Располагаемая работа
Располагаемая работа: dl   vdp
n
vdp dl 

pdv dl

l12  n  l12
Количество теплоты
Теплота является формой обмена энергией между системой и ОС. При этом обмен энергией происходит на микроуровне.
Q = mc  T
q =
Q
= c  T,
m
q12  cv
nk
T2  T1 
n 1
q – удельное количество теплоты.
Изменение внутренней энергии
Внутренняя энергия ТДС зависит от температуры рабочего тела. В ТДС абсолютное значение внутренней энергии не определяют. Имеет смысл только ее изменение в термодинамическом процессе. Для идеального газа:
2
1
∆u12 = uкин
.  u кин . ;
uпот.  0
u  u2  u1  cv T2  T1 
Изменение энтальпии
Одной из энергетических характеристик ТДС является тепловая функция или энтальпия.
Если термомеханическую систему рассматривать как состоящую из макротела (газа) и
поршня с грузом P = pf , уравновешивающего давление газа p внутри сосуда, то такая
система называется расширенной. Энтальпия или энергия такой системы E равна внутренней энергии газа U плюс потенциальная энергия поршня с грузом U пот.  pfx  pV
I = E = U + pV
Энтальпия в данном состоянии представляет собой сумму внутренней энергии тела и работы, которую необходимо затратить, чтобы тело объемом V ввести в окружающую среду, имеющую давление p и находящуюся c телом в равновесном состоянии. Энтальпия
системы I аналогично внутренней энергии имеет вполне определенное значение для каждого состояния, т.е. является функцией состояния. В процессе изменения состояния
i  i2  i1  c p T2  T1 
I закон термодинамики
Для политропного процесса уравнение I закона термодинамики можно записать в виде:
R
 T
1 n
R
c  dT  cV  dT 
 dT
1 n
c T  cV  T 
c  = cV +
R
уравнение Майера.
1 n
При p=const  n=0
c  cv  R
Частные случаи политропных процессов
изобарный Р=const
Р
Т
V=const
Р=const
2’
1
2
n=0
1
S
V
Уравнение процесса
Теплоемкость
Изменение энтропии
Работа расширения
Количество теплоты
Изменение внутренней энергии
Изменение энтальпии
I закон термодинамики
n0
P 0  const  P  const
, или
0k
 C k  CP
0 1
2
2
2
c p dT
T 
dq
dT
s12  

 cp 
 c p ln  2 
T
 T1 
1 T
1
1 T
T
 const
v
C  C
2
2
1
1
l12   pdv  p  dv  pv2  v1 
q12  c T2  T1   c p T2  T1   i
u  cv T2  T1 
i  c p T2  T1 
dq  du  dl
изотермический T=const
Р
Т
2
1
n=1
Т↓
2’
Т↑
Изменение энтропии
n 1
2
2’
V
Уравнение процесса
Теплоемкость
1
Pv1  const  RT  T  const
1 k
C  C
 
11
dq
ds= ;
q=l
(согласно I закона ТД)
T
S
2
v 
p 
dl 1
  dl  R ln  2   R ln  1 
T1
 v1 
 p2 
1 T
2
2
v 
p 
RT
l12   pdv  
ln v  RT ln  2   RT ln  1 
 v1 
 p2 
1
1 v
v 
p 
q12  l12  RT ln  2   RT ln  1 
 v1 
 p2 
2
s12  
Работа расширения
Количество теплоты
Изменение внутренней энергии
Изменение энтальпии
I закон термодинамики
u  cv T2  T1   0
i  c p T2  T1   0
dq  dl
Вся подведенная теплота идет на совершение работы.
адиабатный dq=0
Р
2
1
n=k
k
Т
Т=соnst
cp
1
2’
cV
2
V
2’
S
Уравнение процесса
Теплоемкость
Изменение энтропии
Работа расширения
Количество теплоты
Изменение внутренней энергии
Изменение энтальпии
I закон термодинамики
nk
C  Cv
Pv k  const ( уравнение Пуассона).
k k
0
k 1
dq
= 0, т. е. s = const (изоэнтропийный процесс)
T
2
2
p vk
p v  p1v1
l12   1 k 1 dv  p1v1k   v1k dv  2 2
v
1 k
1
1
ds=
q12  0
u  cv T2  T1 
i  c p T2  T1 
0
dq 

 du  dl
 du  dl
 cdT  pdv
Работа совершается за счет внутренней энергии
изохронный V=const
Р
Т
2
V=const
Р=const
1
n=±∞
1
2’
S
V
Уравнение процесса
Теплоемкость
Изменение энтропии
Работа расширения
Pv  const    const
k
C  Cv
 Cv
 1
2
2
2
T 
dq
cv dT
dT
s12  

 cv 
 cv ln  2 
 T1 
1 T
1 T
1 T
n  
2
l12   pdv 0
1
Количество теплоты
Изменение внутренней энергии
Изменение энтальпии
I закон термодинамики
q12  u  cv T2  T1 
u  cv T2  T1 
i  c p T2  T1 
dq  du  dl
dq  du
c dT  cv dT
Вся подведенная теплота идет на изменение внутренней энергии
Обобщенная диаграмма политропных процессов.
Для анализа политропных процессов удобно пользоваться обобщенной диаграммой. На
ней изображаются все изопроцессы и выделяются области, в пределах которых знаки сл
агаемых I закона одинаковы.
7
Р
8
n=+∞
ΔV<0 ΔV>0
1
6
Δp>0
1
Δp<0
N
2
ΔT>
0
5
<0
Δq
0
Δq>
ΔT
<0
n=- ∞
4
3
N=k
V
Рабочая диаграмма
Т
N=+∞
8
7
ΔV<
0
ΔV
>0
N=k
N=0
1
2
ΔT<0
6
0
Δp>
0
Δp<
ΔT>0
5
4
N=1
3
Δq<0 Δq>0
N=- ∞
S
Тепловая диаграмма
Диаграмма позволяет проанализировать любой политропный процесс и определить условия, при которых этот процесс может быть реализован, то есть, как распределяется теплота между внутренней энергией и работой, что будет с температурой системы и т.д.
1. Любой процесс, лежащий выше изобары проведённой через точку 1 сопровождается ростом давления.
2. Любой процесс, лежащий выше изотермы сопровождается ростом температуры,
внутренней энергии и энтальпии.
3. Любой процесс, лежащий правее адиабаты сопровождается ростом энтрапии и
подводом теплоты.
4. Любой процесс, лежащий правее изохоры идёт с ростом объёма и работа в процессе положительна.
Пример №1:
Изобразить на рабочей диаграмме процесс расширения с отрицательным показателем палитры. Провести анализ этого процесса; найти диапазоны показателей политропы и теплоемкости для таких процессов.
Р
N=- ∞
2
1
N=0
V
dp  0
dV  0
dT  0
du  0
di  0
dl  0
подводится
dq  0
подводится
  n  0
cV  c  c p
Пример №2:
Изобразить на рабочей диаграмме процесс расширения с отводом теплоты и провести его
анализ.
Р
1
N=+ ∞
2
N=k
V
dp  0
dV  0
dT  0
du  0
di  0
dl  0
(т.к.dV  0)
dq  0
K  n  
0  c  cV