Министерство науки, высшей школы и технической

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМЕ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПО ЕЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
b0
Y(p) 
a0
pm 

b1
b0
p m  1  ...

a
p  p n  1
a0


bm
1
b0
p
a
p n  1  ... n  1
a0

bm
b0
a
p  n
a0



K
p m  b1 p m  1  ... bm  1 p  bm

p p n  a1 p n  1  ... an  1 p  an
Bm (p)
  K pA (p) ,
(4)
n
где
K
Нахождение корней характеристического уравнения системы
автоматического регулирования методом Берстоу
функции звеньев системы Wi ,i  1,n , где n – число сигналов системы.
Так как Wi является функцией комплексного переменного p , то можно перейти к
представлению  ( p ) в виде отношения двух полиномов:


где Bm  p b0 pm b1 pm 1 bm
 1 pbm ;

Bm
(p)
An (p)
,
(1)
An  p a0 pn a1 pn 1 an 1 pan (обычно m  n ).
X  p   x( t )e
 pt

n
n1
p 
n1
p  a1 p
n
rp

 a2 p
n 2

n 2
qp
с1 p n  1 

0
a0
  an  2 p  an  1 p  an
an
a0
;
.

c 2 p n2 


.
p2 
rp 
q
n2
n3
p  c1 p  c 2 p n4 
 c n3 p 
c n2
c 2 p n2   a n2 p 2  a n1 p  a n
1
,а
p

a0
;an 
2
rс1 p n  2 
для входного единичного ступенчатого воздействия X ( t )  1( t ) :
p
an  1
b0
с1 p n  1  ( a 2  q ) p n  2   an  2 p 2  an  1 p  an

Y ( p )
;;an  1 


bm
Продемонстрируем деление исходного полинома An ( p ) на полином p 2  rp  q :
dt и

Bm
( p)

pAn ( p )
a1
b0
; bm 
рень p0  0 , а остальные n корней являются корнями полинома An ( p ) .Одним из методов нахождения любых (действительных или комплексно-сопряженных) корней полинома произвольной степени является численный метод Берстоу [3].
Сущность метода заключается в следующем. Из исходного полинома An ( p ) выделяется приведенный квадратный трехчлен. Если корни квадратного трехчлена p 2  rp  q являются корнями исходного полинома An ( p ) , то An ( p ) должно делиться
Y  p    y( t )e  pt dt [2], то
( p )
b0

bm
1
Для аналитического получения переходного процесса в системе сначала нужно
найти корни знаменателя (характеристического уравнения САР) pAn ( p ) . Один ко-
0
X ( p )
a0
; ; bm  1 

на p 2  rp  q без остатка.
Так как главная передаточная функция САР
Y( p )
 ( p )
,
(2)
X( p )
где X ( p ) и Y ( p ) – изображения по Лапласу соответственно входной и выходной величин

b1
; b1 

a1 
В литературе [1] был осуществлен вывод передаточной функции системы автоматического регулирования (САР) по ее структурной схеме, как зависимости от передаточной
 ( p )
b0


(3)


cn  2 p 2  ( an  1  qcn  3 ) p 
cn  2 p 
2
rcn  2 p  qcn  2
cn  1 p 
Окончательно для изображения выходной величины системы получим :
an
cn
Таким образом, исходный полином представляется как
pn a1 pn1 a2 pn 2 an 2 p2 an1 pan 
p rpq p
2
где
n 2

c1 pn 3 c2 pn 4 cn 3 pcn 2 cn1 pcn ,
c1  a 1  r ;

 c 2  a 2  r  c1  q ;
c3  a 3  r  c2  qc1 ;

.

.
c  a  r  c  q  c ;
i
i 1
i 2
 i
c n  2  a n  2  r  c n  3  q  c n  4 ;

c n  1  a n  1  r  c n  2  q  c n  3 ;
c n  a n  q  c n  2 .

(6)
фициентов трехчлена r, q и коэффициентов исходного полинома Аn ( p )( a1 ,a2 ,..., an ) :
cn  1  f ( r ,q ,a1 ,a2 ,..., an  1 ,an );
cn  f ( r ,q ,a1 ,a2 ,..., an  1 ,an ).
An ( p ) в общем случае неизвестны, то
необходимо исследовать зависимость cn 1 ( r ,q ), cn ( r ,q ).
Для нахождения корней методом Берстоу необходимо выбрать начальное приближение для коэффициентов трехчлена r и q . Затем значения коэффициентов r и q уточняем с помощью коррекции
(7)
r  r  Δr ; q  q  Δq.
Требуется, чтобы остаточные члены cn - 1 (r,q) и c n (r, q) обращались в нуль в процессе вычисления. Если эти функции разложить в ряд Тейлора в окрестности точки ( r , q ), то
получим:
c n
c n

cn (r  Δr,q  Δq)  cn (r,q) r Δr  q Δq  члены более высоких порядков;


c (r  Δr,q  Δq)  c (r,q) cn  1 Δr  cn  1 Δq  члены более высоких порядков.
n1
 n  1
r
q
(9)
c n  1 и c n являются функциями ci , i  1, n  2 , которые в свою очередь зависят от r и
Деление без остатка означает, что коэффициенты cn  1 и cn должны быть равны
нулю. Как видно из формулы (5) коэффициенты cn  1 и cn являются функциями коэф-
Так как коэффициенты исходного полинома
c
c

cn  n  1  cn  1  n

q
q
 Δr 
;

c

c

c


n1
n
n cn  1




 r  q  r q

c
c

cn  1  n  cn  n  1

r
r
.
 Δq  c
c n  c n  c n  1
n

1





 r  q  r q
(8)
Если предположить, что при уточнении r и q остаточные члены близки к нулю, то
левые части этих уравнений обратятся в нуль. Тогда, решая (8) относительно Δr и Δq и
пренебрегая членами более высоких порядков, получим:
q . Поэтому необходимо получить последовательность частных производных ci , i  1, n ,
продифференцировав коэффициенты в формуле (6) по r и q . Получим:
c 1

d 1  r  1;

d  c 2  c  r c1  c  r d  c  r ;
1
1
1
1
 2 r
r

d  c 3   q c1  c  r c 2  c  r d  qd ;
2
2
2
1
 3 r
r
r

.

.
.

c n  2

d n  2  r  cn  3  r d n  3  qd n  4 ;

c n  1

d n  1  r  cn  2  r d n  2  qd n  3 ;

d  cn  qd ;
n 2
 n r
(10)

c 1
 0;
e 1 
q


c
c
e2  2   r 1  1   r e1  1  1;
q
q


c 2
c
c
e 3 
 c1  q 1  r  2  c1  qe1  r e2  c1  r ;
q
q
q

.

.
.

c n  2
c n  3
c n  4

en  2  q   r q  cn  4  q q  cn  4  r en  3  qen  4 ;


c
en  1  n  1  cn  3  r en - 2 - qen  3 ;
q


c
en  n  cn  2  qen  2 .
q

Если порядок полинома Аn 2 (p) меньше или равен двум, то вычисление корней заканчивается, а оставшиеся корень или два корня находят из решения линейного или квадратного уравнения. В результате получим все корни полинома Аn (p) p i , i  1, n .
Продемонстрируем пример нахождения корней полинома методом Берстоу. Задан
полином p 5  9 p 4  31 p 3  53 p 2  48 p  18 . Пусть один из корней равен p0  1 , тогда
исключим этот корень из исходного полинома.

(11)
p 5  9 p 4  31 p 3  53 p 2  48 p  18
p
p5 
p  8 p 3  23 p 2  30 p 18
p4
8 p 4  31 p 3  53 p 2  48 p  18

8 p4 
8 p3
23 p 3  53 p 2  48 p  18

23 p 3 
23 p 2
30 p 2  48 p  18
c n1
c
c
c
; d n  n ; e n1  n1 ; e n  n используются для коррекr
r
q
q
ции коэффициентов по формулам (7), (9). Вычисления коэффициентов r и q по выраже-

Производные d n1 
30 p 2 
30 p
18 p  18

18 p  18
0
ниям (7), (9), (10), (11) ведутся до тех пор, пока полученные значения коэффициентов с n  1
и c n не будут равны нулю с некоторой точностью ε :
Это означает, что корни трехчлена
 сn  1  ε;


 cn  ε.
p2  r  p  q

 r  r 2  4q
(13)
2
трехчлен исключается из An (p) , и процедура повторяется для полинома степени (n 2) ,
являющегося результатом деления в формуле (5):
 с1  p
p4  8 p3 
являются с некоторой точностью ε
p1,2 
Аn 2 (p)  p
Найдем корни оставшегося полинома An ( p )  p 4  8 p 3  23 p 2  30 p  18 .
(12)
корнями исходного полинома An (p) .
После нахождения пары корней
n 2
n 3
 с2  p
n 4
 ...  сn 3  p  сn 2 .
1
4
(14)
p4 
rp 3 
( 8r ) p3 

23 p 2 
18 p 2 
rp 
q
2
p  ( 8  r ) p  23q 8 r  r 2
30 p 
18
qp2
( 23 q ) p 2 
( 8r ) p3  ( 8r r 2 ) p2 
( 23 q  8 r  r 2 ) p 2 

30 p 
( 8q  rq ) p
( 30  8q  rq ) p 
18
( 23 q  8 r  r ) p  ( 23r  qr  8 r  r ) p  23q  q  8 rq  r 2 q
2
2
2
3
cn  1 p
2
cn
,
где cn1  308q 2rq  23r 8r 2 r 3 ; cn  18 23qq 2 8rq r 2q .
Найдем частные производные коэффициентов cn  1 , cn по r и q:
 c n  1
2
 r  2 q  23 16 r  3 r ;

 c n  1  8  2 r ;
 q

 cn  8 q  2 rq ;
 r
 c
 n  23 2 q  8 r  r 2 .
 q
Далее осуществляется последовательность шагов поиска, причем на 1-ом шаге берутся
нулевые значения коэффициентов трехчлена r и q.
1. r  0 ; q  0 :
18( 8 ) 30( 23 )  144 690 546
r 


 1 ,03 ;
( 23 )( 23 )
529
529
300  18( 23 ) 414
q 

 0 ,78.
( 23 )( 23 ) 529
2. r  r  r  0  1 ,03  1 ,03 ; q  q  q  0  0 ,78  0 ,78 :
6 ,27 ( 5 ,94 ) 9 ,08( 14 ,26 )
 37 ,24  129 ,48 92 ,24
r 


 0 ,64 ;
( 8 ,14 )( 14 ,26 ) 4 ,63( 5 ,94 ) 116 ,08 27 ,50 143,58
q 
9 ,084 ,636 ,27 ( 8 ,14 )
42 ,04  51,04
93 ,08


 0 ,65.
( 8 ,14 )( 14 ,26 ) 4 ,63( 5 ,94 ) 116 ,08 27 ,50 143,58
Осуществляя дальнейшие шаги, приходим к значениям r  2 ; q  2 . Таким образом,
квадратный трехчлен p 2  rp  q есть p 2  2 p  2 .
 r  r 2  4q
2 48

 1  j , а оставшийся полином
2
2
An 2 ( p )  p2 ( 8r ) p 23q8r  r 2  p2 6 p9 имеет корень кратности 2:
Тогда пара корней p 1.2 
p3 ,4 
6  36  36
 3 , r  2.
2
Нахождение переходного процесса в САР
с использованием теоремы разложения
Напомним, что в соответствии с (4) изображение по Лапласу выходной величины сиB ( p)
B( p )
K
стемы Y ( p )  K m
,где корни An ( p )- pi ,i  1 ,n найдены методом БерpAn ( p )
D( p )
стоу;
D( p )  pAn ( p ) .
Осуществим обратное преобразование Лапласа изображения по теореме разложения [4]:
1) Для простых корней:
 B( p )  n B( pi ) pi t
L 1 
e ;
 
 D( p )  i  1 D( pi )
2) Для кратных корней, где s – кратность корня:
 d s  1  B( p )( p  p )S pt  
 B( p ) 
1
i
L 1 

e  ;

lim  s  1 
D
(
p
)
(
s

1
)!
D
(
p
)
dp
 
p  pi 




(15)
(16)
3. r  1 ,03 0 ,64  1 ,67 ; q  0 ,78  0 ,65  1 ,43 :
r 
2 ,26( 4 ,66 ) 2 ,58( 9 ,57 )
 10 ,53 24 ,69 14 ,16


 0 ,29 ;
( 1 ,79 )( 9 ,57 )6 ,66( 4 ,66 ) 17 ,13 31,04 48 ,17
q 
2 ,586 ,66  2 ,26( 1 ,79 ) 17 ,18  4 ,05

 0 ,44.
48 ,17
48 ,17
4. r  1 ,67  0 ,29  1 ,96 ; q  1 ,43 0 ,44  1 ,87 :
r 
0 ,63( 4 ,08 )0 ,49( 7 ,42 )  2 ,57  3 ,64 1 ,07


 0 ,03 ;
0 ,58( 7 ,42 ) 11,04( 4 ,08 )  4 ,30  45.04 40 ,74
q 
0 ,4911,04 0 ,630 ,58 5 ,410 ,37 5 ,04


 0 ,12.
40 ,74
40 ,74
40 ,74
5. r  1,960 ,03  1,99; q  1,87 0 ,12  1,99.
3) Для комплексно-сопряженных корней p 1 , 2    j ( j   1 - мнимая единица)
выведем формулу по теореме разложения (15) для простых корней.
Так как полиномы от комплексно-сопряженных чисел являются комплексно-сопряженными числами, то
 B( pi )  a  jb , i  1,2 ;

 D( pi )  c  jd , i  1,2 .
Тогда
y( t )  y0 ( t ) y1 ( t ) y2 ,3 ( t ) y4 ,5 ( t )
 B( p )  a  jb (   j )t a  jb (   j )t a  jb t
L 1 
e

e

e cos t  j sin t 

c  jd
c  jd
 D( p )  c  jd

 a  jb a  jb 
 a  jb a  jb  
a  jb t
  j sin t 
  

e cos t  j sin t   et cos t 


c  jd
 c  jd c  jd 
 c  jd c  jd  

B( p )  6 p  3
D( p )  6 p 5  45 p 4  124 p 3  159 p 2  96 p  18
y0 ( t ) 
a  jb a  jb ac  jad  jbc bd  ac  jbc jad  bd 2 ac  bd 


 2 2
c  jd c  jd
c 2 d 2
c d


a  jb a  jb ac  jad  jbc bd  ac  jbc jad  bd
2 ad  bc 


 j 2 2
c  jd c  jd
c 2 d 2
c d
2ac bd 
2ad bc  2et

 et cos t 2 2  sin t 2 2   2 2 ac bd cos t  ad bc sin   .
c d
c d  c d




 B( p )D1 ( p ) B( p )D1 ( p ) pt B( p ) pt 

 lim 
e 
te   lim  ( p )e pt  ( p )te pt ,
2
D1 ( p )

D1 ( p )
p  

 p 
( p  )
2
;
(18)
Тогда
6 p 3


6 p 3
,
( p  1 )( p  3 ) ( p  1 )  1 ( p  1 )( p  6 p  9 )( p  2 p  2 )
а изображение выходного сигнала для единичного ступенчатого входного воздействия
Y ( p )
 (p)
p

2
2
2
B( p )
B( p )
6 p 3

 6
, p0  0.
5
4
pAn ( p ) D( p ) p  9 p  31 p  53 p 3  48 p 2  18 p


6p 3
p  3 p3  4 p2  2 p
4
2
18  3
15

 0 ,5 ;
81  81  36  6
30
6 ( 15 )( 108 81 24  2 ) 37
 ( 3 )  

 0 ,6167 .
30
900
60
где  ( 3 ) 
Тогда y2 ,3 ( t )  0 ,6167e 3 t 0 ,5 te 3 t
где найденные методом Берстоу корни знаменателя: p1  1; p2 ,3  3 , r  2 ; p4 ,5  1 j .

B( p )
6p 3

D1 ( p ) p( p  1 ) p 2  2 p  2
2
B( p )
6 p 3
 5
,
4
An ( p ) p  9 p  31 p 3  53 p 2  48 p  18
2
( p ) 
y2 , 3 ( t )   ( p2 )e p t   ( p2 )te p t   ( 3 )e 3 t   ( 3 )te 3 t ,
Рассмотрим нахождение переходного процесса для передаточной функции
 ( p )
B( p1 ) p1 t
6 ( 1 ) 3
e 
e  t  0 ,75e  t .
D( p1 )
6 ( 1 )5  45( 1 )4  124( 1 )3  159( 1 )2  96( 1 ) 18
6( p 4  3 p 3  4 p 2  2 p )  ( 6 p  3 )( 4 p 3  9 p 2  8 p  2 )

( p 4  3 p 3  4 p 2  2 p )2
( 6 p  3 )( 4 p 3  5 p 2  8 p  2 )
6
 4

p  3 p3  4 p2  2 p
( p 4  3 p 3  4 p 2  2 p )2
B( p )
 ( p ) .
D1 ( p )
 ( p )
p  p0
3 1
  0 ,1667 ;
18 6
 ( p ) 
 d  B( p ) p  2
 
 d  B( p ) pt  
 B( p ) 
1
L 1 
e pt    lim  
e  

lim  
D( p )
 D( p )  ( 2  1 )! p   dp 
  p   dp  D1 ( p )  
D( p )

y1 ( t ) 
(17)
4) В частности, для двух действительных кратных корней p1 ,2   , s  2 :
где D1 ( p ) 
B( p0 ) p0 t
6 p 3
e  5
e pt
4
3
2

D ( p0 )
6 p  45 p  121 p  159 p  96 p  18
.
2( ac  bd ) t
2( ad  bc ) t
e cos t 
e sin t ,
2
2
c d
c2  d 2
где   1;   1; B( p4 )  a  jb; D( p4 )  c  jd .
B( p4 )  6( 1 j ) 3  36 j , следовательно, a  3 ; b  6.
y 4 ,5 
D( p4 )  6 ( 1 j )5  45( 1 j )4  124( 1 j )3  159( 1 j )2  96( 1 j ) 18
2
3

( 1 j )  1 1 2 j  2 j ; ( 1 j )  2 j ( 1 j )  2 j  2 ;


4
2 2
5
4

( 1 j )  ( 1 j )  ( 2 j )( 2 j )  4 ; ( 1 j )  ( 1 j ) ( 1 j )  4( 1 j )  4  4 j
D( p4 )  6 ( 4  4 j ) 45( 4 ) 124( 2 j  2 ) 159( 2 j ) 96  96 j  18 
 2424 j 180 248 j  248318 j 9696 j 18  14 2 j , следовательно, с  14 ; d  2.


Тогда y 4 ,5  2  ( 3 214 26  2 ) e  t cos t  2  ( 3 22  62  14 ) e t sin t  e  t  0 ,3 cos t  0 ,9 sin t  .
14  2
14  2
t
Окончательно y( t )  0 ,16670 ,75e 0 ,6167e 3t 0 ,5te3t 0 ,3e t cost 0 ,9e t sint .
ЛИТЕРАТУРА
1. Марголис Б.И. Расчет передаточных функций системы автоматического регулирования по ее структурной схеме: Методические указания .к курсовому проекту и кон-
трольной работе по дисциплине “Системы автоматизации и управления” для студентов
специальности “Автоматизация технологических процессов”. – Тверь: Тверской государственный технический университет, 2000. – 20 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и
учащихся втузов.– М.: Наука, 1986.– 544 с.
3. Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике: Пер. с англ.– М.:
Высшая школа, 1990.– 254 с.
4. Лыков А.В. Теория теплопроводности : Учебное пособие.– М.: Высшая школа,
1967.– 599 с.
Варианты контрольных работ
Вариант
m
b1
b2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
2
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
0
2/3
0,4
0,5
0,6
2
2/3
0,5
0,5
0,6
0,4
0,5
0,5
8/3
0,25
0,5
0,5
2/3
0,5
n
a1
a2
a3
a4
4
4
4
5
5
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
6
12
7
10
7
6
9
5
9
9
9
6,75
16
7,5
10
5
8
6
14
51
18
63
17
18
25
33
35
31
10
14
90
26
168
17
30
27
14
61
79
53
5
5
50
32
182
6
25
10
3,25
56
104
48
33,19
64,14
45,31
106
364
645
20
60
18
7,81
468
30,75
61,63
53,25
14,63
39
9,5
26
76
8,75
44
78
3,81
40
36
0,63
16
17,25
a5
24
68
K
3
5
2
5
2
3
2
2
5
5
2
6
3
4
2
2
3
8
p1
-3
-2
-1
-3
-1
-0,25
-4
-0,5
-2
-2
-2
СОДЕРЖАНИЕ
Нахождение корней характеристического уравнения системы автоматического
регулирования методом Берстоу……………..……….…………….………………………….3
Нахождение переходного процесса в САР с использованием теоремы разложения………9
Литература…….……………………………………………………………………………….12
Варианты контрольных работ………………………………………………………………...12