Вопросы к государственному экзамену специальность 230401.65

Вопросы к государственному экзамену
Специальность 230401.65 «Прикладная математика»
Дискретная математика
1. Основные операции над множествами. Диаграммы Венна. Разбиения множества.
Задание множества порождающим процессом.
2. Общее понятие соответствия. Образ и прообраз. Функциональное соответствие.
Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества.
3. Рефлексивные, симметричные, транзитивные бинарные отношения. Отношения
эквивалентности. Отношения строгого и нестрогого порядка. Упорядоченное и
частично упорядоченное множества.
4. Число ( п , k -размещений и сочетаний с повторениями и без повторений.
Биномиальные и полиномиальные коэффициенты.
5.Деревья. Остов графа. Линейное пространство циклов графа. Цикломатическое
число.
6. Поток в двухполюсной сети. Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке и
ее комбинаторные приложения. Задача о назначениях.
7. Основные теоремы о выигрышной и беспроигрышной стратегии в дискретной
детерминированной игре двух лиц с открытой информацией.
8. Истинные и ложные высказывания. Основные логические связки. Булевы функции
как алгебраическое представление логических операций. Представление булевых
функций таблицами и формулами. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
Многочлены Жегалкина.
9. Замкнутые классы булевых функций. Критерий полноты системы булевых функций
(теорема Поста).
10. Предметная область и область истинности предиката. Логические операции над
предикатами. Кванторы всеобщности и существования. Предикатные формулы.
Численные методы
1. Система линейных уравнений, общая формулировка, методы решения (метод
Гаусса, метод Зейделя).
2. Собственные числа и векторы. Их вычисление (степенной метод для вычисления
максимальных и минимальных собственных чисел и соответствующих им векторов).
Обобщенная проблема собственных значений.
3. Методы численного интегрирования (метод прямоугольников, трапеций,
Симпсона).
4. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения и ее решение
методом конечных разностей.
5. Собственные значения и собственные функции краевой задачи на примере задачи
об устойчивости стержня.
6. Краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона и ее решение методами конечных
разностей.
7. Задача Коши и ее решение методом Эйлера.
Математическое моделирование
1. Наименьшее действие. Принцип Лагранжа. Принцип Гамильтона-Остроградского.
2. Задачи анализа и синтеза. Примеры постановок прикладных задач анализа и
синтеза в строительстве.
3. Вариационные модели. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение
Эйлера.
4. Математические модели на основе законов сохранения.
дифференциальными уравнениями в частных производных.
Моделирование
5. Экономические задачи в строительстве. Математическое программирование.
Моделирование функцией цели и неравенствами ограничений.
6. Дискретные и непрерывные математические модели. Линейные и нелинейные
математические модели.
Уравнения математической физики
1. Классификация (параболического, гиперболического, эллиптического типа)
дифференциальных уравнений с частными производными. Канонический вид
основных уравнений математической физики.
2. Уравнение колебаний. Основные задачи, приводящие к уравнению колебаний.
Постановка начальных и граничных условий, их физический смысл. Решение задачи о
колебании струны методом Фурье.
3. Задачи Коши для уравнения колебаний. Решение методом Даламбера.
4. Уравнение теплопроводности. Основные задачи, приводящие к уравнению
теплопроводности. Постановка начальных и граничных условий и их физический
смысл.
5. Решение задачи теплопроводности для стержня методом Фурье.
6. Оператор Лапласа (в прямоугольных координатах, в полярных и сферических
координатах). Уравнение Лапласа. Фундаментальные решения, их физический смысл.
Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
Математический анализ
1. Определение производной функции. Геометрический и механический смысл
производной.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Реллея, Лагранжа).
3. Применение производной при исследовании функции.
4. Неопределенный интеграл и первообразная. Их свойства.
5. Определенные интегралы: определение, геометрический смысл, механические
приложения. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Определение суммы рядов. Необходимый признак сходимости ряда.
Гармонический ряд.
7. Признаки сходимости знакоположительных рядов: признак сравнения Даламбера,
интегральный признак Коши.
8. Знакочередующиеся ряды: теорема Лейбница.
9. Степенные ряды. Область сходимости. Свойства степенных рядов.
10. Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
11. Тригонометрические ряды: Ортогональные системы функций, условие Дирихле и
теорема Дирихле.
12. Ряды Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье по sin и cos.
Линейная алгебра
1. Операции над матрицами и векторами.
2. Обратная матрица и ее нахождение. Определители и их свойства.
3. Кривые и поверхности II-го порядка.
Основы вариационного исчисления
1. Основные понятия вариационного исчисления. Вариация функционала.
2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера и граничные
условия.
3. Вариационная задача для функционала, содержащего вторую производную.
4. Изопериметрическая задача и ее решение. Задача Дидоны.
ТФКП
1. Функции комплексного переменного. Простейшие примеры. Условия Коши,
Римана. Формула Эйлера. Связь аналитической функции с гармонической.
2. Теорема Коши, интегральная формула Коши.
3. Вычет функции. Основная теорема о вычетах Формулы для вычисления вычетов.
4. Вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов.
Механика деформируемого твердого тела
1. Понятие о напряжениях и деформациях. Нормальные и касательные напряжения.
Виды деформаций.
2. Полная система уравнений механики деформируемого твердого тела (уравнения
равновесия, геометрические и физические соотношения).
3. Основные понятия, гипотезы, и принципы теории упругости (гипотеза сплошности,
принцип независимости действия сил, принцип Сен-Венана)
4. Плоское напряженное состояние и плоская деформация.
5. Дифференциальное уравнение изгиба пластин. Граничные условия.
6. Тензор напряжений (шаровой, Девиатор).
Сопротивление материалов
1. Внутренние усилия в балках при изгибе. Дифференциальные зависимости.
Построение эпюр внутренних усилий (на примерах).
2. Условия прочности при расчете растянутых и изгибаемых элементов конструкций.
3. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Граничные условия.
Непосредственное интегрирование и метод начальных параметров.
4. Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации при изгибе стержней.
Теоремы Клапейрона, Бетти. Определение прогибов и углов поворота методом Мора.
5. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, лежащей на упругом
основании Винклера. Функции А.Н.Крылова.
6. Напряжения при внецентренном растяжении и сжатии стержней. Ядро сечения.
7. Понятие об устойчивости сжатых стержней. Формула Эйлера для определения
величины критической силы. Условие прочности для сжатого гибкого стержня.
Строительная механика
1. Кинематический анализ стержневых систем: статически определимые и статически
неопределимые системы. Мгновенно изменяемые системы.
2. Расчет составных конструкций с применением поэтажных схем.
3. Статически неопределимые системы: их свойства и расчет методом сил.
Теоретическая механика
1. Момент силы относительно точки и оси. Пара сил и ее свойства.
2. Главный вектор и главный момент системы сил. Уравнения равновесия системы
сил в векторном виде.
3. Определение усилий в стержнях статически определимых плоских ферм методом
вырезания узлов и методом сквозных сечений.
4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно
инерциальной системы координат в векторной форме, а также в проекциях на оси
декартовой системы координат.
Аналитическая механика
1. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Уравнения
кинетостатики.
2. Дать определение возможного перемещения механической системы и определение
идеальной связи. Сформулировать принцип возможных перемещений.
3. Общее уравнение динамики механической системы.
4. Дифференциальные уравнения Лагранжа II рода.