Построение параболы по методу наименьших квадратов Чтобы понять, как одна величина

Построение параболы по методу наименьших квадратов
Чтобы понять, как одна величина y зависит от другой величины x , например

длина стержня y от температуры x

показатель преломления y данного материала от длины световой волны x

высота свободно падающего тела y от времени x ,
мы проводим ряд экспериментов и получаем следующую таблицу.
X1
X2
…
Xi
…
Xn
Y1
Y2
…
Yi
…
Yn
Для наглядного представления этих данных их следует изобразить на координатной
плоскости, нанеся на нее n точек с координатами ( X i , Yi ) .
Может оказаться, что полученные точки расположены вдоль некоторой параболы, и мы
можем предположить, что зависимость между величинами x и y квадратичная. И только
ошибки измерений вызывают некоторые небольшие отклонения полученных экспериментальных точек от некоторой параболы. Возникает задача нахождения параболы, которая
лучше всего описывает эти экспериментальные данные.
Запишем уравнение параболы в виде
(1)
y ( x )  a0  a1 x  a2 x 2 .
И тогда задача нахождения наилучшей параболы сводится к задаче нахождения ее коэффициентов a0 , a1 , a3 . Какую же параболу следует считать наилучшей? Чтобы ответить на
этот вопрос, для каждой точки ( X i , Yi ) вычислим отклонение по вертикали от параболы,
заданной уравнением (1), до этой точки
 i  Yi  y ( X i ) .
Эти расстояния, измеренные по вертикали, называются невязками. Для параболы,
наилучшим образом описывающей наши данные, каждая из этих невязок должна быть мала – они должны быть малы в совокупности. В качестве критерия малости невязок выбирается сумма их квадратов
S (a0 , a1 , a2 )   i   (Yi  y( X i )) 2   (Yi  (a0  a1 X i  a2 X i )) 2 .
2
2
Чем меньше эта сумма, тем лучше парабола y ( x )  a0  a1 x  a2 x 2 описывает наши данные. Таким образом, наилучшая парабола – это та, для которой сумма S (a1 , a2 , a3 ) минимальна.
Минимум суммы S (a1 , a2 , a3 ) ищем, приравнивая ее частные производные нулю
 S
2
 a  2 (Yi  ( a0  a1 X i  a2 X i ))  0
 0
 S
2
 2 (Yi  ( a0  a1 X i  a2 X i )) X i  0 .

 a1
 S
2
2
 2 (Yi  ( a0  a1 X i  a2 X i )) X i  0

 a2
Или
na0  a1  X i  a2  X i 2  Yi

2
3
a0  X i  a1  X i  a2  X i   X iYi .

2
3
4
2
a0  X i  a1  X i  a2  X i   X i Yi
Это система из трех уравнений с тремя неизвестными a0 , a1 , a3 , после решения которой
получаем параболу y ( x )  a0  a1 x  a2 x 2 , наилучшим образом описывающую наши данные по методу наименьших квадратов.
Аналогичным
образом
может
быть
построен
кубический
многочлен
y ( x )  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3 , наилучшим образом описывающую наши данные по методу
наименьших квадратов. Его коэффициенты являются решением следующей системы из
четырех уравнений с четырьмя неизвестными
na0  a1  X i  a2  X i 2 a3  X i 3  Yi

2
3
4
a0  X i  a1  X i  a2  X i  a3  X i   X iYi
.

2
3
4
5
2
a
X

a
X

a
X

a
X

X
Y
 0 i
 i i
1
i
2
i
3
i

3
4
5
6
3
a0  X i  a1  X i  a2  X i  a3  X i   X i Yi
В Mathcad имеются собственные средства, реализующие метод наименьших квадратов – это функции regress и interp.