О значениях константы корна для параллелепипедов со

О ЗНАЧЕНИЯХ КОНСТАНТЫ КОРНА ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ
СО СВОБОДНОЙ ГРАНЬЮ ИЛИ ПАРОЙ ГРАНЕЙ
Е. И. Рыжак
Институт физики Земли РАН, Москва, Россия
Рассматривается неравенство Корна для векторных полей («перемещений») в
прямоугольном параллелепипеде при некоторых специфических граничных условиях.
Последние принимаются взамен интегрального дополнительного условия (равенства нулю
среднего «поворота») классической задачи Корна. Граничные условия ставятся либо на
двух парах граней, либо на двух парах и еще одной грани. Остальные грани (две или одна)
«свободны» в том смысле, что перемещения на них произвольны. Граничные условия для
перемещений (там, где они ставятся) относятся к одному из следующих трех типов: (1)
равенство нулю, (2) тангенциальность и (3) нормальность по отношению к
соответствующей грани. Относительные размеры параллелепипеда произвольны.
Именно принятие специфических граничных условий позволило решить
соответствующую вариационную задачу до конца и найти значения константы Корна. В
одних из рассматриваемых случаев находятся точные значения такой неклассической
константы Корна k, а в других для нее находятся строгие оценки сверху. В частности,
установлено, что k = 4, когда перемещения равны нулю на всех гранях, кроме одной. По
сути, это означает, что k = 4 для любого векторного поля, обращающегося в нуль вне
некоторой подобласти полупространства, выходящей на границу последнего. Данный
результат справедлив и для некоторых других рассматриваемых задач с одной свободной
гранью (например, в случае тангенциальности перемещений на всех гранях, кроме одной).
В тех случаях, когда свободна пара граней, а на остальных поставлены граничные условия
тангенциальности или нормальности в любых сочетаниях, для константы Корна k получены
явные несложные формулы в элементарных функциях, выражающие зависимость k от
относительной «толщины» (под толщиной понимается расстояние между свободными
гранями); в частности из данных формул следует, что при увеличении толщины величина k
экспоненциально стремится сверху к значению, равному четырем.
Упомянутые явные формулы для k содержат параметр формы  (различные
выражения для  при разных граничных условиях приведены ниже) и имеют вид
4
k   

1
sh 
Если l3 – толщина параллелепипеда, а l1 , l2 (по предположению, l1  l2 ) – два других его
размера, то:
(1)    l3 / l2 для тангенциальности на гранях первой и второй пар, а также для
нормальности на гранях второй пары в сочетании с тангенциальностью на гранях
первой пары;
(2)    l3 / l1 для нормальности на гранях первой пары в сочетании с тангенциальностью
на гранях второй пары;
(3)    l3 1 l12  1 l22 для нормальности на гранях первой и второй пар;
(4) и т.д. (любые сочетания условий нормальности и тангенциальности на гранях первой и
второй пар).
Результаты имеют естественное приложение в задаче определения (с помощью
модифицированного метода Холдена) достаточных условий устойчивости («безопасных»
нагрузок) для сжатых упругих тел соответствующей формы при подходящих граничных
условиях (например, для плит произвольной толщины и формы в плане, жестко
заделанных по боковой поверхности). Заметим, что до появления данных результатов
получение конкретных значений безопасных нагрузок было невозможно (за
единственным исключением тела шарообразной формы, что не слишком интересно в
смысле устойчивости). Результаты пригодны также для получения оценок снизу для
«основной» (низшей) частоты собственных колебаний.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований.