Формула корней квадратного уравнения

МОУ Нижнеспасская сош
Открытый урок по алгебре
Формула корней квадратного уравнения
8 класс
Учитель математики
Комисарова И.Н.
2009 г
Имя урока: Уравнения, как растения, могут иметь корни, а
могут и не иметь.
Посредством уравнений, теорем
Я уйму разрешил проблем.
Чосер
Тема урока: Формула корней квадратного уравнения.
Цели урока:
образовательная: знакомство с формулой корней квадратного
уравнения и формирование первичных умений применения ее
при решении квадратных уравнений;
развивающая: развитие математической речи, критического и
объективного мышления;
воспитательная: формирование познавательного интереса, умения
планировать свою работу, формирование объективной
самооценки и взаимооценки.
Оборудование: 1. компьютер,
2. медиапроектор,
3. экран,
4. презентация к уроку,
5. листы контроля,
6. раздаточный материал.
План урока:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Оргмомент.
Проверка домашнего задания.
Повторение.
Постановка целей и задач урока.
Объяснение нового материала.
Закрепление.
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Ход урока:
1. Оргмомент.
Наш урок сегодня я хотела бы начать с таких слов:
В класс вошел – не хмурь лица,
Но будь разумным до конца.
Ты не зритель и не гость –
Ты программы нашей гвоздь.
Не ломайся, не смущайся,
Всем законам подчиняйся.
А законы у нас сегодня на уроке такие:
Первый закон: каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по
результатам работы на различных этапах. Для этого на столах у вас листы
контроля, в которых вы будете фиксировать свои успехи.
Второй закон: для ответа на вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае
не перебиваете друг друга.
Третий закон, известный всем: Доверяй, но проверяй.
Сейчас мы проверим выполнение домашнего задания. Поменяйтесь
тетрадями с соседом по парте и проверьте домашнюю работу по слайду на
экране. За верное выполнение задания поставьте 1 балл в лист контроля
соседа по парте. После проверки передайте тетради на первый стол.
Четвертый закон. Повторение – мать учения.
Вы уже достаточно много знаете о квадратных уравнениях. И сейчас мы это
проверим. Я предлагаю вам ответить на несколько вопросов:
Вопрос 1. Какие уравнения называются квадратными?
(Уравнения вида ax²+bx + c = 0 , где a,b, c – некоторые числа
называется квадратным.)
Вопрос 2 . Что значит решить уравнение?
(Решить уравнение – это значит найти все его корни или
доказать, что их нет.)
Вопрос 3. Какие из них называются полными, а какие неполными
квадратными уравнениями?
(Если коэффициенты b, c отличны от нуля, то уравнение
называется полным квадратным уравнением. Если хотя бы один
из коэффициентов b, c равен нулю, то уравнение называется
неполным.)
Вопрос 4. Перечислите виды неполных квадратных уравнений и расскажите
о способах их решения и числе возможных корней уравнений.
(Виды неполных квадратных уравнений
ax² = 0
ax²+bx = 0
ax²+ c = 0
Способы решения
Уравнение всегда имеет Уравнение решается
один корень, х = 0.
разложением на
множители,
вынесением общего
множителя за скобки.
Всегда имеет два корня,
один из которых равен
нулю.
Уравнение решается
разложением на
множители по формуле
разность квадратов,
если c < 0 и имеет два
противоположных
корня. Если c > 0, то
уравнение не имеет
корней.)
Вопрос 5. Практический. Установите соответствие между уравнением и
ответом, не решая уравнения.
Уравнение
Ответ
1. х² - 4 = 0
А. нет корней
2. х² + 5х = 0
Б. 0
3. х² + 25 = 0
В. ± 2
4.2х² - 6х = 0
Г. – 5; 0
5. 5х² = 0
Д. ± 3
6. 9 – х² = 0
Е. 0; 3
Те, кто на практический вопрос ответили без ошибок, поставьте себе 2 балла,
допустили 1-2 ошибки – 1 балл.
Пятый закон. Усердие все превозмогает.
Мы повторили пройденный материал о неполных квадратных уравнениях,
перейдем к полным. Какие способы решения полных квадратных уравнений
вы знаете на данный момент? (Графический способ и способ выделения
полного квадрата.)
Какие недостатки этих способов были нами отмечены ранее? (Графический
способ не всегда дает точный результат, а способ выделения полного
квадрата достаточно сложный и трудоемкий)
А теперь скажите, могли ли математики спать спокойно, если бы для таких
нужных и важных уравнений не было бы более простого и универсального
способа решения?
Таким образом, цель нашего урока (рассмотреть универсальную формулу
для решения квадратных уравнений и научиться ее применять)
Итак, приступим. Квадратное уравнение имеет вид ax²+bx + c = 0.
Преобразуем квадратный трехчлен, выделяя полный квадрат:


b 

ax 2  bx  c  ax 2  bx  c  a x 2  x   c 
a 

2
 2
 b2
b 
b
b
 2


 a x  2
x   c  a x  2
x  
c

 4a
2a 
2
a
2
a





b  4ac  b 2
b  b 2  4ac


 a x   
 a x   
2
a
4
a
2a 
4a



2
2
b
b 2  4ac
И вспомним, что означает
и
- числа при построении графика
2a
4a
квадратичной функции.
b 2  4ac
a  0 и b  4ac  0,
 0 , то вершина параболы
Если
4a
будет расположена ниже оси Ох.
2
y
y
y
0
0
а
b
x
а
b
x
а
b
0x
Как бы не располагалась вершина параболы относительно оси Оу, мы видим
наличие двух корней квадратного уравнения.
b 2  4ac
2
 0 , то вершина параболы будет
Если a  0 и b  4ac  0,
4a
расположена на оси Ох.
y
0
y
y
а
x
0
x
b
0
x
Как бы не располагалась вершина параболы относительно оси Оу, мы видим
наличие одного корня квадратного уравнения.
b 2  4ac
2
 0 , то вершина параболы будет
Если a  0 и b  4ac  0,
4a
расположена выше оси Ох.
y
0
y
y
x
0
x
0
x
Как бы не располагалась вершина параболы относительно оси Оу, мы видим
квадратное уравнение не имеет корней.
Аналогично, все происходит и для случая, когда a < 0.
Т.е. число корней квадратного уравнения зависит от знака выражения
b 2  4ac . Это выражение назвали дискриминантом квадратного уравнения и
обозначили D.
D = b 2  4ac .
А это значит, мы можем воспользоваться теоремами, доказанными в § 25
вашего учебника и составить следующий алгоритм решения квадратных
уравнений.
1. Выписать значения коэффициентов a, b, c.
2. Найти дискриминант D по формуле D = b 2  4ac .
3. Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
b
.
2a
b D
b D
, x2 
.
5. D > 0, то уравнение имеет два корня: x1 
2a
2a
4. D = 0, то уравнение имеет один корень: x 
Итак, формулу мы получили, и я предлагаю ее испытать, так ли она
хороша.
Шестой закон. Книга – книгой, но и мозгами двигай.
Решим три уравнения.
Пример 1.
.
5 x 2  x  6  0.
a  5, b  1, c  6.
D  b 2  4ac   1  4  5  6  1  120  119, D  0
Ответ : нет корней.
2
Пример 2.
4 x 2  12 x  9  0.
a  4, b  12, c  9.
D  b 2  4ac   12  4  4  9  144  144  0, D  0
 b   12 12 3
x


  1,5
2a
24
8 2
Ответ :1,5.
2
Пример 3.
5 x 2  x  6  0.
a  5, b  1, c  6.
D  b 2  4ac   1  4  5  6  1  120  119, D  0
Ответ : нет корней.
2
А теперь мы перейдем к самостоятельной работе по задачнику. Два
ученика будут решать у доски, остальные самостоятельно, с последующей
проверкой ответов. Продолжаем набирать баллы.
№ 25.2 (а,б)
№ 25.3 (а,б)
№ 25.5
Давайте подведем итоги нашего урока.
Что же мы сегодня на уроке узнали? (Мы узнали новую формулу для
корней квадратного уравнения)
Чему научились? (Мы научились вычислять дискриминант квадратного
уравнения и решать его с помощью дискриминанта)
Таким образом, цель нашего урока достигнута. Мы узнали универсальную
формулу решения квадратных уравнений, в ее универсальности мы еще не
раз убедимся.
А теперь седьмой закон. Любой труд должен быть вознагражден.
Подсчитайте баллы, набранные за урок, и оцените свою работу на уроке
по таблице.
Баллы
Оценка
18 и более
Отлично
14 – 17
Хорошо
10 – 14
Удовлетворительно
Наш урок подходит к концу и пора домашнего задания приходит.
§ 25. № 25.2 (в,г), 25.3 (в,г), 25.6.
А еще в конце урока хочу вам басню прочитать.
Мартышка – апельсинов продавщица,
Приехав как-то раз к себе на дачу,
Нашла там интересную задачу.
Но сосчитать не в силах стройный ряд,
Разбрасывать вдруг стала все подряд
И молвила: «Что толку в той задаче,
Коль из нее не слепишь новой дачи».
Я верю все же, что мартышки мненье –
Не истинно для тех, кто знает толк в ученье.
И я прошу девчонки и мальчишки,
Решить «задачу на хвосте мартышки».
Чтобы «решить эту задачу» вы можете обратиться в школьную библиотеку, а
можете воспользоваться ресурсами Интернета. Вы найдете как старинные
способы решения квадратных уравнений, так и современные. Результаты
вашей работы мы сможем представить на школьной научно-практической
конференции «Первые шаги в науку».