Численные методы и математическое
advertisement
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Физический факультет Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Теоретической и вычислительной физики» Протокол №______ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета _________________________ «____» _______________2009 г. ____________________ Зав. кафедрой _______________ «_____» ____________ 2009 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ» цикла ДС по специальности 010700 Физика Составитель кандидат физ.-мат. наук, ЧЕЧИН Г.М. Ростов-на-Дону 2009 1. Пояснительная записка к курсу 1.1. Цели изучения дисциплины В современной физике исключительно важную роль играет математическое моделирование явлений природы. Основным аппаратом при этом является вычислительный (компьютерный) эксперимент. Настоящий учебный курс является неотъемлемой частью единого комплекса обучения студентов применению современных компьютеров для решения физических задач. Ему предшествует освоение на пользовательском уровне персональных компьютеров (1-й семестр) и основ программирования на языке Паскаль (2-й семестр). Курс “Численные методы” сопровождается лабораторными занятиями и вычислительной практикой, предполагающей решение конкретных физических задач (3-й семестр и 4-й семестр “Компьютерные методы современного естествознания”). При этом студенты пользуются численными методами как при написании своих собственных программ, так и готовыми процедурами при работе с системой аналитических вычислений “MAPLE”. 1.2. Задачи изучения дисциплины - изучение наиболее распространенных численных методов, используемых при решении физических задач. - освоение студентов методики постановки и проведения вычислительного эксперимента с помощью современных компьютеров особенно в рамках курса “Компьютерные методы современного естествознания”, следующего в 4-м семестре непосредственно за курсом численных методов. В результате изучения курса студент должен знать основные идеи и характерные отличительные особенности наиболее часто встречающихся на практике численных методов. Он должен уметь реализовать алгоритмы этих методов в форме соответствующих компьютерных программ. 1.3. Место дисциплины в образовательной программе специальности Для усвоения данного курса необходимо предварительное изучение следующих дисциплин: - математического анализа и линейной алгебры - теории дифференциальных уравнений - численных методов - уравнений математической физики - элементов статистической и квантовой физики 2. Учебно-тематический план дисциплины Наименование модулей и тем 1 Модуль 1. Математическое моделирование Модуль 2. Численные методы математического анализа 2 Тема 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в физике Тема 2. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями Тема 3. Понятие о численных методах решения ОДУ Тема 4. Математические модели, связанные с нахождением собственных векторов и собственных значений матриц Тема 5. Общее понятие о теории приближения функций Тема 6. Полиномиальная интерполяция Тема 7. Метод наименьших квадратов. Тема 8. Понятие о численном интегрировании Тема 9. Общие методы вывода квадратурных формул и оценки их точности Тема 10. Примеры использования методов вывода квадратурных формул Тема 11. Понятие о вычислении многомерных интегралов методом Монте-Карло Виды учебных занятий Всего Аудиторные зачасов нятия Сам. по Прак. рабоучеб. Лекта заняплану ции тия 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 3 1 1 Тема 12. Методы прогноза и коррекции решения ОДУ Тема 13. Решение систем ОДУ и уравнений высших степеней Тема 14. Понятие о специальных методах решениях ОДУ Тема 15. Численное решение краевой задачи для ОДУ второго порядка Тема 16. Понятие о сеточных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных Тема 17. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Тема 18. Методы решения Модуль 3. нелинейных уравнений с Вычислиодним неизвестным. тельные меТема 19. Решение систем тоды алгебры нелинейных уравнений Тема 20. Понятие о задачах математического программирования. ИТОГО: 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 36 36 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА Модуль 1. Математическое моделирование Комплексная цель. После изучения данного модуля студент должен: иметь представление о математических моделях классической динамики, основанных на использовании дифференциальных уравнений, о роли вычислительного эксперимента при исследовании математических моделей современного естествознания; знать основные идеи методов Эйлера и РунгеКутты для решения дифференциальных уравнений, постановку задачи о нахождении собственных значений и собственных векторов матриц, основ- ные идеи метода Якоби для решения этой задачи; уметь решать с помощью математического пакета MAPLE системы дифференциальных уравнений и находить собственные значения и собственные векторы матриц. Содержание модуля 1 Тема 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в физике Понятие математической модели и предъявляемые к ней требования. Сущность вычислительного эксперимента и его роль. в частности, эвристическая в современном естествознании. Общее понятие о вычислительной физике и решаемых ею задачах. Тема 2. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ) и их основных свойствах. Линейные и нелинейные ОДУ. Уравнения гармонического осциллятора и математического маятника. Уравнения. описывающие движение планеты в гравитационном поле Солнца. Движение тела в гравитационном поле с отличной от ньютоновской зависимостью силы от расстояния. Проблема трех тел. Тема 3. Понятие о численных методах решения ОДУ Задача Коши для ОДУ первого порядка. Метод Эйлера. Четырехточечный метод Рунге-Кутты. Точность и устойчивость численных методов решения ОДУ. Тема 4. Математические модели, связанные с нахождением собственных векторов и собственных значений матриц Задача о малых колебаниях механических систем. Понятие о матричном методе решения уравнения Шредингера. Итерационный метод Якоби нахождения собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы. Сходимость метода Якоби. Проектное задание 1. Проанализировать зависимость периода колебаний математического маятника от его амплитуды. 2. Проверить выполнение законов Кеплера с помощью численного решения на MAPLE ОДУ, описывающих движение планеты под действием притяжения Солнца. Тест рубежного контроля 1. Первый запуск американской ракеты на Венеру был неудачным из-за а) неучета в соответствующей математической модели давления света б) ошибки в программе расчета траектории движения в) задания неправильных начальных условий г) ошибки во времени запуска. 2. При уменьшении вдвое шага интегрирования точность решения ОДУ четырехточечным методом Рунге-Кутты увеличивается в а) 4 раза б) 8 раз в) 32 раза г) 10 раз. 3. Четырехточечный метод Рунге-Кутты пригоден для решения ОДУ а) только первого порядка б) только второго порядка в) только четвертого порядка г) любого порядка. 4. Дана 4х4 матрица, у которой отличны от нуля только элементы A[1,2]=1, A[2,1]=-1, A[3,4]=1, A[4,4]=1. Какой из нижеперечисленных векторов является ее собственным вектором? а) [0,1,0,1] б) [1,1,1,1] в) [0,0,1,1] г) [0,0,1,-1]. 5. Для приведения симметричной 4х4 матрицы к диагональному виду методом Якоби необходимо сделать а) 4 шага б) 6 шагов в) 16 шагов г) количество шагов заранее предсказать нельзя. 6. В методе Якоби собственные векторы исходной матрицы находятся как а) столбцы матрицы, приведенной к диагональному виду б) столбцы матрицы плоского вращения в) столбцы матрицы ортогонального преобразования, которая приводит исходную матрицу к диагональному виду г) в готовом виде собственные векторы метод Якоби не дает. 7. Метод Якоби применяется для нахождения собственных значений а) симметричных матриц б) ортогональных матриц в) унитарных матриц г) любых квадратных матриц. 8. При приведении исходной матрицы к диагональному виду с помощью метода Якоби сумма всех диагональных элементов на каждом шаге метода Якоби а) уменьшается б) увеличивается в) не изменяется г) может как уменьшаться, так и увеличиваться. Бланк ответов 1 2 3 4 5 6 7 8 а б в г Список рекомендуемой литературы 1. Ю.П. Попов, А.А. Самарский. "Вычислительный эксперимент". В сб. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент".Наука-1988. 2. Н.Н. Моисеев. "Математика ставит эксперимент". Москва-1980. 3. Х. Гулд, Я. Тобочник. "Компьютерное моделирование в физике".Т.1 и т.2. Мир-1990. 4. Ю.Ю. Тарасевич. "Математическое и компьютерное моделирование". УРСС. Москва-2001. 5. Н.Н. Калиткин. "Численные методы". - 1978. 6. Л.И. Турчак. "Основы численных методов". - 1987. 7. Г.М.Чечин. "Компьютерные методы в современном естествознании". Вып.1. "Дифференциальные уравнения в физике" (Часть 1). УПЛ РГУ 1998. 8. Г.М. Чечин, М.Ю. Зехцер. Собственные значения и собственные векторы матриц. Часть 1. Теоретические аспекты. УПЛ РГУ, 2006. 9. Г.М. Чечин, М.Ю. Зехцер. Собственные значения и собственные векторы матриц. Часть 2. Некоторые физические приложения, 2007 (электронный вариант). 10. Г. М. Чечин. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в курсе «компьютерные методы в современном естествознании». 11. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: «Факториал» -- 1997. Модуль 2. Численные методы математического анализа Комплексная цель. После изучения данного модуля студент должен: иметь представление об ошибках интерполяционных формул и явлении Рунге, о трудностях минимизации функций многих переменных, возникающих при использовании метода наименьших квадратов, о методе Филона интегрирования быстро осциллирующих функций, о методе интегрирования Гаусса с плавающими узлами, о методах вычисления несобственных интегралов, о применении метода Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов, о преимуществах и недостатков методов прогноза и коррекции и методов Рунге-Кутты, о методе Нумерова решения ОДУ второго порядка без первой производной, об использовании метода Рунге-Кутты в качестве стартового метода для дальнейшего применения методов прогноза и коррекции, о сеточных методах решения уравнений в частных производных; знать различные критерии качества аппроксимации функций (при интерполяции, при использовании аппроксимации сплайнами и метода наименьших квадратов, минимаксный критерий Чебышева). Общие методы вывода квадратурных формул (метод аналитической замены, метод моментов и метод рядов Тейлора), метод прогноза и коррекции Милна для решения ОДУ, метод стрельбы и метод сеток для решения одномерных краевых задач для ОДУ второго порядка; уметь строить интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона, строить аппроксимирующий полином методом наименьших квадратов, вычислять определенные интегралы методом трапеций и методом Сипсона, использовать методы моментов и рядов Тейлора для вывода различных квадратурных формул, строить формулы для решения систем ОДУ первого порядка и уравнений высших степеней для различных численных методов (Эйлера, Рунге-Кутты, прогноза и коррекции), решать одномерные краевые задачи для ОДУ второго порядка. Содержание модуля 2 Тема 5. Общее понятие о теории приближения функций Критерии качества приближения функций (критерий, используемый в методе рядов Тейлора, критерий метода интерполяции, критерий метода наименьших квадратов, минимаксный критерий Чебышева, критерий приближения сплайнами). Тема 6. Полиномиальная интерполяция Интерполяционный полином Лагранжа. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов. Ошибки интерполяционных формул. Явление Рунге. Тема 7. Метод наименьших квадратов Недостатки полиномиальной интерполяции. Полиномиальное приближение с помощью метода наименьших квадратов. Нормальная система уравнений. Трудности метода наименьших квадратов при стремлении к бесконечности числа наблюдений. Использование разложений по ортогональным полиномам Чебышева. Метод наименьших квадратов в случае нелинейной зависимости аппроксимирующей функции от искомых неопределенных параметров. Многоэкстремальные задачи. Минимизация R-фактора в рент- геноструктурном анализе. Тема 8. Понятие о численном интегрировании Простейшие формулы интегрирования (методы прямоугольников и трапеций). Метод Симпсона. Формулы Ньютона-Котеса. Составные и единые формулы интегрирования. Тема 9. Общие методы вывода квадратурных формул и оценки их точности Метод аналитической замены. Метод моментов. Метод рядов Тейлора. Тема 10.Примеры использования методов вывода квадратурных формул Метод Филона интегрирования быстро осциллирующих функций. Метод интегрирования Гаусса с плавающими узлами. Вычисление несобственных интегралов. Тема 11. Понятие о вычислении многомерных интегралов методом Монте-Карло. Тема 12. Методы прогноза и коррекции решения ОДУ Простейший метод прогноза и коррекции. Формулы прогноза. Переход от задачи Коши для ОДУ первого порядка к интегральному уравнению для вывода семейства формул коррекции. Метод Милна. Стартовые методы. Тема 13. Решение систем ОДУ и уравнений высших степеней Каноническая форма систем ОДУ первого порядка. Метод Эйлера, методы прогноза и коррекции и метод Рунге-Кутты для решения систем ОДУ первого порядка в канонической форме. Переход от ОДУ высших степеней к канонической форме уравнений первого порядка. Формулы численного дифференцирования и их вывод методом неопределенных коэффициентов. Тема 14.Понятие о специальных методах решениях ОДУ Дифференциальные уравнения второго порядка без первой производной и их роль в классической и квантовой физике. Метод Нумерова. Тема 15. Численное решение краевой задачи для ОДУ второго порядка. Метод стрельбы. Простейший сеточный метод для решения линейной краевой задачи. Повышение точности сеточного метода за счет перехода к более точной аппроксимации второй производной. Регулярные и нерегулярные узлы сетки. Тема 16. Понятие о сеточных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных Простейшее уравнение теплопроводности. Выбор сетки и шаблона. Вывод разностной схемы и соответствующего ей порядка аппроксимации. Явные и неявные схемы. Понятие об априорном исследовании устойчивости и сходимости разностных схем. Проектное задание. 1. По набору значений функции, заданной в известных узлах, построить а) интерполяционный полином Лагранжа б) интерполяционный полином Ньютона в) аппроксимирующий полином заданной степени методом наименьших квадратов. 2. Вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций и методом Симпсона. 3. Найти численное решение задачи Коши для заданного уравнения первого или второго порядка методом Эйлера или простейшим методом прогноза и коррекции. Указание. В заданиях 2 и3 требуется написать соответствующие программы на каком-либо алгоритмическом языке. Тест рубежного контроля. 1. По следующим данным y(0)=2, y(1)=-2, y(-1)=2, y(2)=-4 был построен интерполяционный полином. Какой из перечисленных ниже полиномов является таковым? а) x^3-x^2+x-2 б) -x^3+2*x^2-5*x+2 в) x^3-2*x^2-3*x+2 г) 5*x^3-7*x+2. 2. По следующим данным y(0)=2, y(1)=-2, y(-1)=2, y(2)=-4 методом наименьших квадратов был построен полином первой степени. Какой из перечисленных ниже полиномов наиболее близок (в смысле метода наименьших квадратов) к правильному ответу? а) x+1 б) 2*x в) -2*x+1 г) –x+2. 3. Методы Рунге-Кутты по сравнению с методами прогноза и коррекции являются а) более быстрыми б) более точными в) более удобными при изменении шага интегрирования г) более устойчивыми. 4. Какой из перечисленных ниже методов является методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений. а) метод Зейделя б) метод Нумерова в) метод Симпсона г) метод Жордана. 5. Какой из перечисленных ниже методов является методом вычисления определённых интегралов? а) метод Рунге-Кутты б) метод Жордана в) метод Милна г) метод Симпсона. 6. При уменьшении вдвое шага интегрирования точность решения дифференциального уравнения четырёхточечным методом Рунге-Кутты увеличивается в а) 4 раза б) 8 раз в) 32 раза г) 10 раз. 7. В методах прогноза-коррекции формула для коррекции применяется для а) уточнения решения дифференциального уравнения в данной точке, которое получается по формуле прогноза б) для обеспечения устойчивости вычислительного процесса в) для изменения шага интегрирования г) для проверки правильности полученного решения 8. Некоторый определённый интеграл был вычислен дважды по методу Симпсона: один раз с шагом h, а второй – с шагом h/2. Во сколько ращ ожидается получить более точное значение этого интеграла во втором случае по сравнению с первым случаем? а) в 2 раза б) в 8 раз в) в 32 раза г) в 1024 раза. Бланк ответов 1 2 3 4 5 6 7 8 а б в г Список рекомендуемой литературы. 1. Ю.П. Попов, А.А. Самарский. "Вычислительный эксперимент". В сб. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент".Наука-1988. 2. Н.Н. Моисеев. "Математика ставит эксперимент". Москва-1980. 3. Х. Гулд, Я. Тобочник. "Компьютерное моделирование в физике".Т.1 и т.2. Мир-1990. 4. Ю.Ю. Тарасевич. "Математическое и компьютерное моделирова- ние". УРСС. Москва-2001. 5. Н.Н. Калиткин. "Численные методы". - 1978. 6. Р.В.Хемминг."Численные методы". - 1968. 7. И.С. Березин, Н.П. Жидков. "Методы вычислений". - Т.1-1962, т.21966. 8. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. "Машинные методы математических вычислений".-1980. 9. М.Э. Абрамян, А.В. Олифер. "Численные методы". - УПЛ РГУ 1991. 10. С.С. Михалкович, О.А.Обрезанова, А.В.Олифер. "Численные методы". Вып.2. - УПЛ РГУ - 1995. 11. С.С. Михалкович, А.В. Олифер, АМ Столяр. "Численные методы". Вып. 3,4,5. - 2001. Модуль 3. Вычислительные методы алгебры Комплексная цель. В результате изучения данного модуля студент должен иметь представление о трудностях нахождения глобального минимума функций многих переменных, о методе случайного спуска, о задачах математического программирования, о постановке задачи линейного программирования и симплекс методе их решения; знать методы Гаусса и Жордана, метод простой итерации и метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), алгоритм метода Холецкого; методы решения нелинейных уравнениях с однит неизвестным (методы бисекции, хорд, Ньютона, простой итерации); метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений, методы покоординатного и градиентного спуска; уметь решать системы линейных алгебраических уравнений методами Гаусса и Жордана, методом простой итерации и методом Зейделя. Содержание модуля 3 Тема 17. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы последовательного исключения неизвестных Гаусса и Жордана. Применение метода Жордана к нахождению обратных матриц. Метод Холецкого. Метод простой итерации и метод Зейделя. Тема 18. Методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным. Методы бисекции, хорд, Ньютона. Метод простой итерации. Понятие о сложных итерациях. Тема 19. Решение систем нелинейных уравнений Метод Ньютона. Методы координатного и градиентного спуска. Овражные ситуации. Трудности нахождения глобального минимума функции многих переменных. Метод случайного спуска. Тема 20. Понятие о задачах математического программирования Задача линейного программирования. Роль ограничений в форме неравенств. Понятие о симплекс методе решения задачи линейного программирования. Общее понятие о других задачах и методах математического программирования (выпуклое программирование, параметрическое программирование, целочисленное программирование, динамическое программирование и др.). Проектное задание 1. Решить методом Гаусса или Жордана заданную СЛАУ 4-го порядка. 2. Решить ту же самую систему методом Холецкого. 3. Решить заданное уравнение нелинейное уравнение с одним неизвестным одним из следующих методов: бисекцией, методом хорд, методом Ньютона. Тест рубежного контроля 1. При решении систем линейных алгебраических уравнений сходимость метода Зейделя по сравнению с методом простой итерации а) всегда более быстрая б) всегда более медленная в) одного и того же порядка г) иногда более быстрая, а иногда более медленная. 2. В результате прямого хода метода Гаусса матрица системы линейных алгебраических уравнений приводится к а) трехдиагональному виду б) такому же виду, как и в методе Жордана в) треугольному виду г) диагональному виду. 3. В методе Холецкого матрица исходной системы линейных алгебраических уравнений представляется а) в виде суммы двух треугольных матриц б) в виде произведения двух треугольных матриц в) в виде блочно-диагональной формы Жордана в) в виде матрицы Стравинского. 4. Метод бисекции (деления отрезка пополам) дает а) монотонное приближение к правильному корню уравнения сверху б) монотонное приближение к правильному корню уравнения снизу в) одновременно нижнюю и верхнюю оценки интервала, на котором нахо- дится корень уравнения г) может породить расходящийся вычислительный процесс. 5. Итерационный метод нахождения корня уравнения с одним неизвестным а) всегда сходится б) в случае сходимости всегда обеспечивает монотонное приближение к правильному корню в)дает нижнюю и верхнюю границу интервала, на котором находится корень г) может расходиться. 6. Метод Ньютона заведомо дает правильное значение локализованного на данном интервале корня уравненя f(x)=0 при выборе в качестве начального приближениятого конца уравнения на котором а) f(x)>0 б) f(x)*f '(x)>0 в) f(x)*f ''(x)>0 г) f ''(x)>0. 7. Метод хорд при решении уравнения f(x)=0 дает монотонное приближение к корню а) всегда слева б) всегда справа в) с противоположной стороны по сравнению с процессом порождаемым при том же начальном приближении методом Ньютона г) представляет собой немонотонный вычислительный процесс. 8. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений обеспечивает сходимость к правильному решению а) при любом начальном приближении б) лишь при специально выбранном начальном приближении в) только при наличии овражной ситуации г) только в случае, если определитель Вандермонда больше нуля. Бланк ответов 1 2 3 4 5 6 7 8 а б в г Рекомендуемая литература 1. Н.Н. Моисеев. "Математика ставит эксперимент". Москва-1980 2. Н.Н. Калиткин. "Численные методы". - 1978. 3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. "Методы вычислений". - Т.1-1962, т.21966. 4. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. "Машинные методы математических вычислений".-1980. 5. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. "Численные методы".1987. 6. А.А. Самарский, А.В. Гулин. "Численные методы". - 1989. 7. Е.В. Волков. "Численные методы". - 1987. 8. Л.И. Турчак. "Основы численных методов". - 1987. 4. Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов 4.1. Рекомендации к изучению отдельных тем курса Тема 1. Особое внимание стоит обратить на требования, которые предъявляются к математической модели, именно, она, с одной стороны, должна учитывать, все существенные для моделируемого явления факторы, а с другой стороны, должна быть достаточно простой для исследования. Проанализируйте примеры, приведённые в методических указаниях [1], а также книгах [2, 3, 4]. Особо следует осознать тот факт, что вычислительный эксперимент может быть не только источником соответствующей информации о количественных характеристиках изучаемой системы, но и играть сугубо эвристическую роль, наводя исследователя на новые физические идеи. Тема 2. Необходимо подробно разобрать основные понятия, касающиеся обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): определение этих математических объектов, частные и общие решения ОДУ, принципиальное различие между линейными и нелинейными ОДУ. Обратите внимание на справочник Зайцева и Полянина [5] по нелинейным ОДУ. Выведете самостоятельно уравнение движение математического маятника, уравнение движения планеты вокруг Солнца и уравнения движения в задаче трёх тел. Тема 3. Необходимо добиться ясного понимания процедуры построения численного решения ОДУ методами Эйлера, а далее и четырёхточечным методом Рунге-Кутты. Обратите внимание на зависимость локальной точности численного решения в этих методах от величины шага интегрирования, а также на различие между локальной и глобальной погрешностями (устойчивостью численного метода). Тема 4. Обратите особое внимание на физические проблемы, которые приводят к задаче на собственные значения и собственные векторы матриц. Найдите собственные значения каких-либо двумерных и трёхмерных матриц с помощью их характеристических уравнений. Разберите причину того, что диагонализация матрицы с помощью соответсвующего преобразования подобия полностью решает задачу о нахождении собственных векторов и собственных значений исходной матрицы. При разборе алгоритма метода Яко- би обратите внимание на то, что сумма квадратов элементов всей матрицы не изменяется, а сумма квадратов недиагональных элементов уменьшается на каждом шаге на конечную величину (удвоенного квадрата зануляемого элемента), что и является причиной сходимости этого метода. Тема 5. Обратите внимание на то, что в зависимости от физической постановки задачи необходимо использовать разные критерии качества приближения функций. Разберите, в каких случаях более целесообразно использовать интерполяцию, в каких – сплайн-приближение, а в каких – метод наименьших квадратов. Тема 6. Возьмите произвольный набор числовых данных, соответствующих заданию некоторой функции в пяти равноотстоящих узлах. Постройте по этим данным интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Убедитесь в эквивалентности этих полиномов. Обратите внимание на явление Рунге, которое подчёркивает возможность неограниченного роста ошибки интерполяции. Тема 7. Для тех же данных постройте аппроксимационный полином первой и второй степени методом наименьших квадратов. При этом не пользуйтесь готовыми формулами для нормальной системы уравнений, а выполните на этом примере самостоятельный вывод метода наименьших квадратов. Напишите систему уравнений методом наименьших квадратов для аппроксимации исходных числовых данных с помощью функции типа y(x)=a*sin(b*x^2+c). Тема 8. С помощью метода трапеций вычислите интеграл на отрезке [0,5] от функции f(x)=x*sin(x) и сравните полученное приближённое значение с точным, которое можно найти с помощью интегрирования по частям. Найдите значение этого же интеграла с помощью метода Симпсона. Из каких соображений нужно выбирать шаг интегрирования? Проанализируйте аргументы в пользу выбора составных и единых формул интегрирования. Тема 9. Эта тема является принципиально важной для освоения методики вывода формул численного интегрирования. Сравните вывод формул Симпсона, выполненного на основе всех трёх рассматриваемых методов – метода аналитической замены, метода моментов и метода рядов Тейлора. Осознайте простоту и изящество метода моментов по сравнению с методом аналитической замены. Убедитесь, что метод моментов и метод рядов Тейлора дают идентичные результаты. Подумайте, как доказать в общем случае эквивалентность этих двух общих методов вывода формул численного интегрирования. Тема 10. Выведете самостоятельно формулу Филона для интегрирования быстро осциллирующих функций, который имеет ту же самую точность, что и формула Симпсона. Выведите формулу интегрирования Гаусса с двумя плавающими узлами. Сравните точность полученной формулы с точностью аналогичной формулы для фиксированных узлов (метод трапеций). Подумайте, почему формулы интегрирования Гаусса имеют существенно большую точность по сравнению с аналогичными (по числу узлов) формулами с фиксированными узлами. С помощью метода моментов выведите формулу численного интегрирования для несобственных интегралов на отрезке [0,1] функции вида f(x)*ln(x), которая по точности совпадает с формулой Симпсона. Тема 11. Познакомьтесь с техникой вычисления многомерных интегралов методом Монте-Карло на примере вычисления двумерных интегралов. При изучении этой темы рекомендуется использовать книги [4, 6]. Тема 12. при изучении методов прогноза и коррекции решения ОДУ первого порядка особое внимание необходимо обратить на то, что переход от задачи Коши к интегральному уравнению позволяет систематическим методом строить различные формулы коррекции. Это достигается за счёт применения для вычисления соответствующего интеграла по микроинтервалу различных, ранее изученных методов численного интегрирования – метода прямоугольника, метода трапеции, метода Симпсона и т.д. Выведите формулы метода Милна, применяя метод Симпсона для вычисления интеграла, входящего в интегральное уравнение. Тема 13. При изучении этой темы обратите внимание на то, что любой численный метод решения ОДУ первого порядка можно достаточно легко распространить на решение систем уравнений первого порядка в канонической форме. С другой стороны, любое ОДУ старшего порядка можно свести к некоторой системе ОДУ первого порядка в вышеуказанной форме. Обязательно распишите формулы метода Эйлера, простейшего метода прогноза и коррекции и четырёхточечного метода Рунге-Кутты для решения системы двух ОДУ вида y’=f(x,y,z), z’=f(x,y,z). Тема 14. Необходимо осознать, что применение общих (универсальных) методов решения ОДУ (например, метода Рунге-Кутты) не является наилучшей стратегией для решения дифференциальных уравнений специального вида. Обратите внимание на достаточно широкий класс ОДУ второго порядка без первой производной. Разберите в связи с этим метод Нумерова решения линейных уравнений такого типа. Сравните его точность и трудоёмкость со случаем применения четырёхточечного метода Рунге-Кутты. Тема 15. При изучении этой темы необходимо обратить внимание на сеточный метод решения линейной краевой задачи для уравнения второго порядка, поскольку этот метод допускает обобщение на случай решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Тема 16. При изучении сеточных методов решения уравнения теплопроводности обратите особое внимание на возможность различного выбора шаблона для построения разностных схем. Осознайте различие между явными и неявными разностными схемами. Познакомьтесь с исследованием порядка аппроксимации разностных схем с помощью разложения искомой функции, определённой в разных узлах сетки в соответствующие ряды Тейлора. Познакомьтесь с методами разделения переменных для исследования устойчивости линейных разностных схем и теоремой Филиппова для исследования сходимости разностных схем. При изучении этой темы рекомендуется использовать книгу [6] Тема 17. С методами Гаусса и Жордана студенты обычно знакомятся в курсе линейной алгебры. Особое внимание при изучении данной темы следует обратить на различие областей сходимости метода простой итерации и метода Зейделя. Необходимо учесть, что в случае систем линейных алгебраических уравнений большого порядка эти методы нередко применяются для уточнения решения, полученного с помощью конечных методов типа Гаусса и Жордана. Тема 18. материал этой темы частично обсуждается в курсе матанализа. Необходимо обратить внимание на то, что до применения всех указанных в этой теме методов нужно решить задачу о локализации корней уравнения f(x)=0 на отдельных микроинтевралах. Тема 19. Обратите внимание на то, что для того, чтобы метод Ньютона для систем нелинейных уравнений сходился, необходимо иметь достаточно хорошее начальное приближение, которое далеко не всегда легко найти. Поэтому наиболее часто для нахождения минимальных значений функций многих переменных используется не метод Ньютона, а различные варианты методов спуска. Наиболее часто при этом применяется метод градиентного спуска. При этом систему решаемых нелинейных уравнений необходимо свести к минимизации одной функции, равной сумме невязок всех уравнений этой системы. Осознайте, что и метод Ньютона, и метод спуска приводят лишь в некоторый локальный минимум минимизируемой функции. Глобальный минимум при этом чаще всего пытаются найти методом случайного спуска. Тема 20. Все задачи математического программирования, в отличие от Классической задачи минимизации функций многих переменных, содержат определённые ограничения на область изменения аргументов целевой функции. Существенно, что среди этих ограничений могут быть (и обычно бывают!) неравенства. В качестве примера типичного подхода постановки и решения таких задач рассмотрите общую задачу линейного программирования и идею симплекс методов для её решения. Обратите внимание, что математическое программирование играет особо важную роль при решении ряда инженерных и экономических проблем. 4.2. Вопросы, выносимые на зачёт 1. Некоторые динамические модели: уравнения гармонического осциллятора и математического маятника; уравнения, описывающие движение планеты в гравитационном поле Солнца. Проблема трех тел. 2. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. Метод Эйлера. 3. Четырехточечный метод Рунге-Кутты. Точность и устойчивость численных методов решения ОДУ. 4. Задача о малых колебаниях механических систем. Итерационный метод Якоби нахождения собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы. Сходимость метода Якоби. 5. Критерии качества приближения функций (критерий, используемый в методе рядов Тейлора, критерий метода интерполяции, критерий метода наименьших квадратов, минимаксный критерий Чебышева, критерий приближения сплайнами). 6. Интерполяционный полином Лагранжа. 7. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов. 8. Ошибки интерполяционных формул. Явление Рунге. 9. Полиномиальное приближение с помощью метода наименьших квадратов. Нормальная система уравнений. Трудности метода наименьших квадратов при стремлении к бесконечности числа наблюдений. 10. Метод наименьших квадратов в случае нелинейной зависимости аппроксимирующей функции от искомых неопределенных параметров. Многоэкстремальные задачи. 11. Простейшие формулы интегрирования (методы прямоугольников и трапеций). Метод Симпсона. Формулы Ньютона-Котеса. Составные и единые формулы интегрирования. 12. Метод аналитической замены для вывода квадратурных формул. 13. Метод моментов для вывода квадратурных формул. 14. Метод рядов Тейлора для вывода квадратурных формул. 15. Метод Филона интегрирования быстро осциллирующих функций. 16. Метод интегрирования Гаусса с плавающими узлами. 17. Вычисление несобственных интегралов. 18. Простейший метод прогноза и коррекции. Формулы прогноза. Переход от задачи Коши для ОДУ первого порядка к интегральному уравнению для вывода семейства формул коррекции. 19. Метод Милна. Стартовые методы. 20. Каноническая форма систем ОДУ первого порядка. Метод Эйлера, методы прогноза и коррекции и метод Рунге-Кутты для решения систем ОДУ первого порядка в канонической форме. Переход от ОДУ высших степеней к канонической форме уравнений первого порядка. 21. Формулы численного дифференцирования и их вывод методом неопределенных коэффициентов. 22. Дифференциальные уравнения второго порядка без первой производной и их роль в классической и квантовой физике. Метод Нумерова. 23. Метод стрельбы и простейший сеточный метод для решения линейной краевой задачи. Повышение точности сеточного метода за счет перехода к более точной аппроксимации второй производной. Регулярные и нерегулярные узлы сетки. 24. Простейшее уравнение теплопроводности. Выбор сетки и шаблона. Вывод разностной схемы и соответствующего ей порядка аппроксимации. 25. Явные и неявные схемы. 26. Понятие об априорном исследовании устойчивости и сходимости разностных схем. 27. Методы последовательного исключения неизвестных Гаусса и Жордана. 28. Применение метода Жордана к нахождению обратных матриц. 29. Метод Холецкого. 30. Метод простой итерации и метод Зейделя. 31. Методы бисекции, хорд, Ньютона. Метод простой итерации. Понятие о сложных итерациях. 32. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 33. Методы координатного и градиентного спуска. Овражные ситуации. Метод случайного спуска. 34. Общее понятие о задачах и методах математического программирования (линейное, выпуклое, параметрическое, целочисленное, динамическое программирование). 4.3. Общий список рекомендуемой литературы 1. Г. М. Чечин. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в курсе «компьютерные методы в современном естествознании». 2. Ю.П. Попов, А.А. Самарский. "Вычислительный эксперимент". В сб. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент".Наука-1988. 3. Н.Н. Моисеев. "Математика ставит эксперимент". Москва-1980. 4. Х. Гулд, Я. Тобочник. "Компьютерное моделирование в физике".Т.1 и т.2. Мир-1990. 4. Ю.Ю. Тарасевич. "Математическое и компьютерное моделирование". УРСС. Москва-2001. 5. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: «Факториал» -- 1997. 6. Н.Н. Калиткин. "Численные методы". - 1978. 7. Л.И. Турчак. "Основы численных методов". - 1987. 8. Г.М.Чечин. "Компьютерные методы в современном естествознании". Вып.1. "Дифференциальные уравнения в физике" (Часть 1). УПЛ РГУ 1998. 9. Г.М. Чечин, М.Ю. Зехцер. Собственные значения и собственные векторы матриц. Часть 1. Теоретические аспекты. УПЛ РГУ, 2006. 10. Г.М. Чечин, М.Ю. Зехцер. Собственные значения и собственные векторы матриц. Часть 2. Некоторые физические приложения, 2007 (электронный вариант). 11. Ю.П. Попов, А.А. Самарский. "Вычислительный эксперимент". В сб. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент".Наука-1988. 12. Р.В.Хемминг. "Численные методы". - 1968. 13. И.С. Березин, Н.П. Жидков. "Методы вычислений". - Т.1-1962, т.21966. 14. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. "Машинные методы математических вычислений".-1980. 15. М.Э. Абрамян, А.В. Олифер. "Численные методы". - УПЛ РГУ 1991. 16. С.С. Михалкович, О.А.Обрезанова, А.В.Олифер. "Численные мето- ды". Вып.2. - УПЛ РГУ - 1995. 17. С.С. Михалкович, А.В. Олифер, АМ Столяр. "Численные методы". Вып. 3,4,5. - 2001. 18. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. "Численные методы".-1987. 19. А.А. Самарский, А.В. Гулин. "Численные методы". - 1989. 20. Е.В. Волков. "Численные методы". - 1987. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЙТИНГ-БАЛЛОВ ПО УЧЕБНЫМ МОДУЛЯМ И ВИДАМ ЗАНЯТИЙ Модуль 1. Математическое моделирование Промежуточный рейтинг-контроль. 1. Контрольная работа (тесты): 2. Проектные задания 3. Коллоквиум Сумма баллов за модуль: мин. 5, макс. 10. мин. 25, макс. 40. мин. 30, макс. 50. мин. 60 макс. 100. Модуль 2. Численные методы математического анализа Промежуточный рейтинг-контроль. 1. Контрольная работа (тесты): 2. Проектные задания 3. Коллоквиум Сумма баллов за модуль: мин. 5, макс. 10. мин. 25, макс. 40. мин. 30, макс. 50. мин. 60, макс. 100. Модуль 3. Вычислительные методы алгебры Промежуточный рейтинг-контроль. 1. Контрольная работа (тесты): 2. Проектные задания 3. Коллоквиум Сумма баллов за модуль: мин. 5, макс. 10. мин. 25, макс. 40. мин. 30, макс. 50 мин. 60, макс. 100. Таблица 1 Соответствие баллов итогового рейтинга оценке в 1-м семестре ________________________________________________________________ Оценка Отлично Хорошо УдовлетвоНеудовлетворительно рительно ________________________________________________________________ Баллы 250-300 200-249 150-199 0-149 ________________________________________________________________
