Программа по «Математике

Программа по «Математике»
(базовый уровень)
РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
Тема 1. Векторы и матрицы.
N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная
зависимость векторов.
Определение линейного пространства, примеры линейных пространств.
Линейное пространство Rn. Линейная зависимость и линейная независимость
элементов линейного пространства (векторов), теоремы о линейной
зависимости. Размерность и базис линейного пространства, единственность
разложения вектора по базису, координатный столбец (строка).
Размерность и стандартный базис линейного пространства Rn. Ранг и
база конечной системы векторов. Представление конечной системы векторов
в виде матрицы. Ранг и база матрицы. Операция транспонирования матрицы.
Определитель квадратной матрицы произвольного порядка, миноры и
алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Основные
свойства определителя и следствия из них. Миноры матрицы, их
использование для нахождения линейно независимых столбцов матрицы.
Базовый минор. Теорема о ранге матрицы (без доказательства) и следствия из
нее.
Элементарные преобразования матрицы, теорема об элементарных
преобразованиях (без доказательства). Приведение матрицы к ступенчатому
виду с помощью элементарных преобразований. Линейные операции над
матрицами. Операции перемножения матриц, условие на размеры матриц,
при которых их можно перемножать. Определение обратной матрицы и
алгоритм ее вычисления. Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
Линейные отображения и линейные преобразования линейных пространств
(линейные операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы
и собственные значения линейного оператора, способ их нахождения.
Характеристическое уравнение. Собственные векторы как решения
неопределенной системы линейных уравнений.
Тема 1.2. Системы линейных уравнений.
Матричная форма записи системы линейных уравнений. Решение
линейных матричных уравнений. Решение определенной системы линейных
уравнений матричным способом. Вывод формул Крамера.
2
Однородные системы
линейных уравнений. Условия
определенности и неопределенности однородной системы. Условие
существования нетривиального решения для однородной системы, у которой
количество уравнений равно количеству неизвестных.
Метод обратной матрицы, метод Гаусса.
Тема 1.3 Комплексные числа.
Алгебраическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент
комплексного числа. Алгебраические операции с комплексными числами,
заданными в алгебраической форме. Умножение и деление комплексных
чисел. Комплексная плоскость.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление
комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Формула
Эйлера. Формула Муавра.
РАЗДЕЛ 2. Математический анализ.
Тема 2.1 Элементы теории множеств.
Множества, элементы, подмножества, операции над множествами.
Мощность множества, конечные, счетные, несчетные, множества мощности
континуум. Множества точек, выпуклые множества точек.
Тема 2.2. Функции одной переменной.
Логические символы, примеры их использования. Понятие числового
множества, примеры числовых множеств (отрезок, интервал, полуинтервал,
прямая, полупрямая, окрестность). Понятие функции одной действительной
переменной. Область определения и множество значений функции. График
функции. Линейная функция, прямая. Основные элементарные функции, их
свойства и графики
Понятия обратной функции и сложной функции. Основные
элементарные функции; линейная функция. Четные, периодические,
ограниченные, монотонные функции. Числовая последовательность.
Определение. Числовая последовательность как частный случай функции,
заданной на множестве натуральных чисел. Ограниченные, неограниченные,
монотонные и немонотонные последовательности.
Тема 2.3. Пределы и непрерывность функций.
3
Предел
функции
непрерывного
аргумента.
Односторонние пределы функции в точке. Бесконечно большие и бесконечно
малые функции (определения), связь между ними. Примеры вычисления
пределов, использующие эту связь.
Арифметические свойства пределов (предел суммы, произведения,
частного). Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Предел
последовательности. Геометрический смысл. Определение непрерывной
функции. Непрерывность элементарных функций, обратной функции,
сложной функции.
Первый и второй замечательные пределы. Классификация бесконечно
малых. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных
бесконечно малых величин. Теорема о замене бесконечно малых им
эквивалентными.
Непрерывность функции в точке. Примеры исследования функций на
непрерывность. Арифметические свойства непрерывных функций. Точки
разрыва функции. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на
отрезке.
Тема 2.4. Производная и дифференциал.
Производная. Приращение функции. Определение производной.
Геометрический смысл производной (задача о касательной). Уравнения
касательной и нормали. Основные правила дифференцирования функции.
Производная сложной функции, производная обратной функции,
производная функции, заданной параметрически (формулы, примеры их
использования). Таблица производных основных элементарных функций
Дифференциал первого порядка функции одной переменной.
Определение. Производные высших порядков (второго и третьего порядков).
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши (без доказательства). Геометрический смысл теорем.
Применение дифференциального исчисления к исследованию графика
функции. Признак постоянства функции. Признаки возрастания и убывания
функции. Локальные экстремумы функции. Критические точки первого рода.
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
Критические точки второго рода. Асимптоты графика функции
(вертикальные, горизонтальные, наклонные).
Тема 2.5. Функции многих переменных.
4
Скалярная функция двух
(многих) переменных.
Геометрическое изображение функции двух переменных. Понятие предела
функции двух переменных.
Приращения функции двух переменных (полное и частные). Понятие
непрерывной функции двух переменных. Частные производные
(определение, обозначения). Вычисление частных производных. Формула
для вычисления градиента скалярной функции. Производная по
направлению.
Дифференциал первого порядка функции двух переменных,
дифференциалы независимых переменных (формула для вычисления полного
дифференциала и примеры ее использования). Частные производные второго
порядка (определение и примеры вычисления).
Экстремумы функции двух переменных (определения, графическая
иллюстрация). Правило нахождения локального экстремума функции двух
переменных (формулировка, практическое применение на примере
конкретных задач).
Тема 2.6. Неопределенный интеграл.
Первообразная.
Теорема
о
разности
двух
первообразных.
Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Интегрирование
методом
тождественных
преобразований
подынтегрального выражения. Интегрирование методом подстановки.
Основные подстановки. Интегрирование методом подведения под знак
дифференциала. Формула интегрирования по частям для неопределенного
интеграла. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование
некоторых иррациональностей
Тема 2.7. Определенный интеграл
Определенный интеграл (определение). Формула НьютонаЛейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от
неограниченных функций. Обобщенные формулы НьютонаЛейбница для
несобственных интегралов.
Тема 2.8. Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). ОДУ первого
порядка. Общее и частные решения. Задача Коши. ОДУ с разделяющимися
5
переменными. Однородные ОДУ
первого порядка. Линейные ОДУ
первого порядка.
ОДУ второго порядка. Общее и частные решения. Задача Коши для
ОДУ второго порядка. ОДУ второго порядка, допускающие понижение
порядка.
Линейные однородные ОДУ второго порядка. Структура общего
решения линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка. Линейные неоднородные ОДУ второго порядка. Структура общего
решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка.
Линейные однородные ОДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами. Линейные неоднородные ОДУ второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Тема 2.9. Ряды.
Числовые ряды: основные понятия и определения. Необходимый
признак сходимости числовых рядов. Свойства сходящихся рядов.
Достаточные
признаки
сходимости
знакопостоянных
рядов.
Интегральный признак сходимости; обобщенный гармонический ряд
(исследование на сходимость). Признаки сравнения; признак Даламбера;
радикальный признак Коши.
Знакопеременные
ряды.
Достаточный
признак
сходимости
знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимость. Признак
Лейбница. Функциональные ряды. Степенные ряды, исследование на
сходимость. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных
функций в ряд Маклорена.
Раздел 3. Теория вероятности и математическая статистика
Тема 3.1 Вероятности событий.
Случайные, достоверные, невозможные события. Равновозможные,
несовместимые события. Теорема сложения вероятностей. Теорема
умножения вероятностей. Условная вероятность. Число размещений,
перестановок, сочетаний. Формулы Байеса, Бернулли, Пуассона.
Тема 3.2 Случайная величина.
Случайные
величины:
определения
и
примеры.
Функция
распределения случайной величины и ее свойства. Классификация
6
случайных величин. Дискретная
случайная
величина.
Ряд
распределения. Особенности функции распределения дискретной случайной
величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их
свойства.
Непрерывная случайная величина: плотность распределения, функция
распределения, их свойства. Математическое ожидание и его свойства.
Дисперсия и ее свойства. Мода, медиана, другие моменты распределения.
Основные законы распределения случайных величин: биномиальный,
пуассоновский, равномерный, нормальный, показательный.
Операции над случайными величинами. Закон больших чисел.
Тема 3.3 Основы математической статистики.
Предмет и задачи математической статистики: выборка, вариационный
ряд, выборочное среднее, выборочная дисперсия. Эмпирические функции
распределения, гистограмма частот, полигон частот.
Точечные оценки параметров распределения и их характеристики:
несмещенность, состоятельность, эффективность. Интервальные оценки
параметров распределения: доверительный интервал, уровень значимости,
надежность оценки.
Основные распределения математической статистики: распределение
хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера.
Доверительные интервалы для математического ожидания и среднего
квадратичного отклонения нормального распределения.
Понятие о проверке гипотез: простая и сложная гипотеза, ошибки 1-го
и 2-го рода, критическая область, область принятия гипотезы, уровень
значимости гипотезы, мощность критерия. Примеры проверки гипотез о
параметрах законов распределения. Понятие о критерии согласия Пирсона.
Рекомендуемая литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.:Физматлит, 2002.
2. Грес П.В. Математика для гуманитариев. М.:Логос, 2007.
3. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов
гуманитарных факультетов. Ростов на Дону: Феникс, 2002.
4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для
втузов. М.:АСТ, 2003.
1. Щипачев В.С. Высшая математика. М.:ИНФРА-М, 2002.
2. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев.
М.:Гардарики, 2002.
3. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. М.:Приор,
2000.