Математическая модель процесса обвалки реберного мяса

УДК 637.5
Математическая модель процесса обвалки
реберного мяса
Д.т.н. Пеленко В.В., асп. Азаев Р.А.,
магистрант Иванов Р.А., студентка Фукс Е.В.
Санкт-Петербургский государственный университет
низкотемпературных и пищевых технологий
В статье рассматривается модель работы установки для обвалки
реберного мяса. Определены величин перемещения и усилий тяговых штанг,
кривизны поверхности толкателя установки, мощности привода установки,
напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье.
Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным
рассчитать геометрические и другие параметры установки для обвалки
реберного мяса.
Рассматривая физическую модель работы установки для обвалки
реберного мяса, можно составить схему действия сил и нагружения
реберной кости.
Определение величин перемещения и усилий тяговых штанг ( P ),
кривизну поверхности толкателя установки и его усилия ( N ), мощности
привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и
мясном сырье, связано с решением дифференциального уравнения упругой
линии балки.
В связи с тем что интенсивность “q” нагрузки на реберную кость со
стороны мясного сырья пропорциональна вертикальному перемещению “y” и
направлена в сторону, противоположную оси “y” можно записать:
q  ny ,
(1)
где n – коэффициент пропорциональности, представляющий собой текущее
значение напряжения, отрывающего соединительную ткань от кости.
Дифференциальное уравнение упругой линии имеет следующий
известный вид [1]:
d2y
EI
 M изг .
dx 2
(2)
Дифференцируя уравнение (2) дважды, получим:
d 4 y d 2 M изг
EI 4 
.
dx
dx 2
(3)
Учитывая дифференциальную зависимость:
d 2 M изг
q
dx 2
(4)
и уравнение (1), запишем (2) в следующей форме:
d4y
EI 4  ny  0 .
dx
(5)
n
 4k 4 y , получим известное уравнение изогнутой оси
EI
балки на упругом основании
Обозначим
d4y
4

4
k
y  0.
dx 4
(6)
Как известно [2] решениями уравнения (6) являются произведения
тригонометрических и гиперболических функций Sinkx * shkx, Coskx*chkx,
Shkx*Coskx, chkx*Sinkx, а так же любые их линейные комбинации.
Наиболее удобными для решения следует выбрать функции Крылова –
комбинации, предложенные А.Н. Крыловым. Они удобны тем, что
производная от каждой из этих функций дает какую – либо другую из этих
же функций.
Таблица функций Крылова имеет [2] нижеследующий вид.
Таблица 1.
n
1
2
3
4
Yn (kx)
YnI (kx)
YnII (kx)
YnIII (kx)
YnIV (kx)
Chkx*Coskx
½(chkx*Sinkx+shkx*Coskx)
1/2shkx*Sinkx
¼(chkxSinkx-shkxCoskx)
 4kY4
 4k 2Y3
 4k 3Y2
 4k 4Y4
kY1
 4k 2Y4
 4k 3Y3
 4k 4Y2
kY2
k 2Y1
 4k 3Y4
 4k 4Y3
kY3
k 2Y2
k 3Y1
 4 k 4 Y4
В таком случае в результате дифференцирования уравнения (6),
выражение для вертикального перемещения “y” запишется:
M 1
Q 1
1
(7)
y  y0Y1 (kx)  y0 Y2 (kx)  0 2 Y3 (kx)  0 3 Y4 (kx) ,
k
EI k
EI k
где y0 , y 0 , M 0 , Q0 — соответственно перемещения, угол поворота,
изгибающий момент и поперечная сила при х=0.
Если принять за начало отсчета левый край бруса, то, с учетом малой
кривизны, очевидно,
Q0  0 ; M 0  0 .
Величины
y0
и
y 0 определим из граничных условий:
l
N
x

при
, y0  0 , Q  .
2
2
С учетом соотношений таблицы 1 получаем:
1
1
y  4 y0Y4 (kx)  y0 Y1 (kx) ;
k
k
1
4



y


4
y
Y
(
kx
)

y
Y4 (kx) ;
0 3
0
k2
k
1
4




y


4
y
Y
(
kx
)

y
Y3 (kx) .
0
2
0
k3
k
(8)
(9)
(10)
Граничные условия примут следующий вид:
kl
1
kl
 4 y 0Y4 ( )  y 0 Y1 ( )  0 ;
2
k
2
kl
4 kl
N
 4 y0Y2 ( )  y0 Y3 ( ) 
2
k
2
2 EIk 3 .
(11)
(12)
Из уравнений (11) и (12) найдем перемещение y 0 угол поворота y 0 балки
при x=0.
kl
 Y1 ( )
N
2
y0 
(13)
3
8EIk Y ( kl )Y ( kl )  4Y ( kl )Y ( kl ) ;
2
1
3
4
2
2
2
2
kl
 Y4 ( )

y0
N
2

(14)
3
kl
kl
kl
kl .
k
8EIk
Y2 ( )Y1 ( )  4Y3 ( )Y4 ( )
2
2
2
2
Величины y , y  и y  принимают в таком случае вид:
kl
kl
y   N 0 [Y1 ( )Y1 (kx)  Y4 ( )Y2 (kx)] ;
2
2
kl
kl
y   4 N 0 k[Y1 ( )Y4 (kx)  Y4 ( )Y2 (kx)] ;
2
2
kl
kl
y   4 N 0 k 2 [Y1 ( )Y3 (kx)  Y4 ( )Y4 (kx)] ,
2
2
(15)
(16)
(17)
где
N0 
N
8 EIk 3
1
kl
kl
kl
kl .
Y1 ( )Y2 ( )  4Y3 ( )Y4 ( )
2
2
2
2
(18)
Неопределенной величиной в полученной модели является коэффициент
пропорциональности “n” в уравнении (5), входящий в выражение для “k”.
Найти значение “n” позволяет граничное условие, записанное для уравнения
(1) в арифметческой форме при x=0, q  ny0   c , где  c - адгезионная
прочность связи соединительной ткани мясного сырья с поверхностью
реберной кости.
Таким образом, имеем следующее соотношение для определения
коэффициента “n”:
n
c
c
y0
(19)
;
c
(20)
.
4EIk 4
4 EI
Подставляя уравнение (20) в (13) и приводя к арифметическому виду,
получаем:
k4 
; y0 
kl
Y1 ( )
c
N
2

4
3
4 EIk
8EIk Y ( kl )Y ( kl )  4Y ( kl )Y ( kl ) .
2
1
3
4
2
2
2
2
Откуда находим выражение для “k”
kl
kl
kl
kl
2 c [Y2 ( )Y1 ( )  4Y3 ( )Y4 ( )]
2
2
2
2
k
(21)
.
kl
NY1 ( )
2
Уравнение (21) является трансцендентным относительно “k”. Решая его
методом итераций, определяем величину “k”.
Далее, в соответствии с принятым обозначением для уравнения (5),
находим искомое значение “n”:
n  4EIk 4 .
Проведем численную оценку полученных результатов.
Для реальных значений N  50 Н ,  с  100Н / М , из уравнения (21)
находим величину k  4,7 м 1 для материала кости E  10 Па .
Для поперечного сечения кости эллиптической формы имеем:
ab3
I
,
64
где a, b – большая и малая полуоси эллипса.
Статистические исследования размерных характеристик определенного
вида реберных костей дают величины:
а = 0,0146 м , b = 0,0035 м.
В этом случае получаем:
I  30,7  10 12
10
n  600
q  600 y
Величина N 0 запишется:
10
N0 
kl
kl
kl
kl .
(23)
51[Y1 ( )Y2 ( )  4Y3 ( )Y4 ( )]
2
2
2
2
Пользуясь значениями тригонометрических и гиперболических
функций, в соответствии с выражениями Yn (kx) таблицы 1, найдем при
l  0,4 м :
kl
kl
Y1 ( )  0,870 ; Y2 ( )  0,916 ;
2
2
kl
kl
Y3 ( )  0,438 ; Y4 ( )  0,138 .
2
2
Уравнения 15-19 примут следующий вид:
N 0  3,78  10 3 N
(24)
Для N = 50 Н имеем N 0  0,189 :
y  0,189[0,870Y1 (kx)  0,552Y2 (kx)] .
(25)
  y  3,553[0,870Y4 (kx)  0,138Y1 (kx)] ;
(26)
Угол поворота сечения :
M  EIy  5,1[0,870Y3 (kx)  0,552Y4 (kx)] .
(27)
Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным
рассчитать кривизну y  опорной цилиндрической поверхности установки
для обвалки реберного мяса, а так же величину “y” хода элементов привода
для перемещения краевых сечений установочной пластины.
В частности:
y max  y0  y (0)  0.167 м
l
M max  M ( )  2.343 H  м
2
R  0.128 м

1
 7.813 м 1
R
Список литературы
1. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука,
1979.744 с.
2. В.И. Феодосьев. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению
материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.