Для многих учащихся представляет большую трудность

РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА СПЛАВЫ И СМЕСИ ПРИ
ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНАМ
Мария Эдуардовна Щербакова,
учитель математики,
ГБОУ СОШ № 669
Для многих учащихся представляет большую трудность научиться решать
текстовые задачи. Современные школьные учебники 8-11 классов так составлены, что
большую их часть занимают выражения, функции, уравнения и неравенства. Текстовым
задачам внимание уделяется по минимуму. Текстовые задачи никак не классифицируются
и не рассматриваются отдельно. Слабому ученику далеко не всегда удаётся уловить
основные отличия одних задач от других.
В экзаменационные материалы к ГИА и ЕГЭ текстовые задачи обязательно
включены. Если до 9 класса ученик еще что-то решал по программе, то в 10-11 классе
текстовые задачи вообще не предлагаются, хотя, В12 обязательной части ЕГЭ – это
решение текстовых задач. Учащийся выпускного класса должен обладать прочными
знаниями о процентах, которые получил в 5-6 классе, в противном случае задачи на
растворы и сплавы будут вызывать большие трудности.
Предлагаю вашему вниманию одну из методик работы с текстовыми задачами на
примере задач на смеси, сплавы, растворы и сушку (сушку грибов, ягод). Нужно помочь
выпускнику выработать системный подход к решению задач, научить максимально
быстро и удобно находить правильный путь к решению и закрепить этот навык на
практике. Данный метод помогает лучше понять и запомнить механизмы расчета
параметров смесей и быстрее решать сложные задачи.
Рассмотрим его работу на примере самого распространенного типа задач —
смешивание двух веществ. Для трех и более работают те же законы. Разница в большем
количестве взаимосвязей между параметрами.
Суть методики – максимально компактно представить информацию не только об
условии задачи, но и обо всех промежуточных результатах вычислений. Цель учителя –
научить школьника создавать модель реальной ситуации, максимально удобной для
поиска, хранения и обработки информации. Ничего лучше табличного способа хранения
данных нет. Только здесь, как и в других текстовых задачах, составление таблицы имеет
свою специфику. Для каждого вещества в ней отводятся две колонки: одна для его
измерений в общепринятых единицах (граммах, килограммах, литрах), а другая - в
процентах.
граммы
%
Соль
Вода
Общая
100
масса
Каждой смеси (сплаву) отводится своя таблица. Если имеется информация о
добавлении в смесь или удалении из нее какого-то одного вещества, то необходимо
сделать отдельную таблицу для нового состояния, а все изменения отметить
соответствующими стрелками между строчками, и подписать рядом сними величину этих
изменений.
Например, если в раствор доливают 60 граммов воды, то напротив строки вода
следует подписывать +60 г.
граммы
%
граммы
Соль
%
Соль
Вода
Вода
+60г
Общая
масса
Общая
масса
100
100
Сначала необходимо прочитать задачу до конца и выявить количество
участвующих в ней растворов (смесей), составить для каждого из них свою таблицу, а уже
потом переносить в них данные условия.
Необходимо научить школьника распознавать 3 основных типа задач:
1) Задачи на добавление какого-то одного компонента сплава или смеси.
Схема для такой задачи выглядит так:
НЕИЗМЕННО
граммы
Соль
граммы
%
Соль
x
Вода
+60г
Общая
масса
%
x
Вода
Общая
масса
100
100
Необходимо обязательно указать ребенку на специфику данного типа задач —
количество одного вещества меняется, а другое сохраняется. Эта взаимосвязь
используется для переноса выражения (или числа) из одной ячейки таблицы в другую.
2) Задача на смешивание двух растворов (сплавов).
Схема состоит из двух таблиц:
граммы
граммы
%
Соль
a
Соль
b
Вода
m
Вода
n
Общая
масса
p
Общая
масса
k
100
граммы
Соль
a+b
Вода
m+n
Общая
масса
p+k
%
100
%
100
Специфика данного типа задач состоит в сохранности суммы веществ. Лучше
записать с учеником в тетрадь следующую схему:
кол-во соли в 1-ом растворе + кол-во соли во 2-ом растворе = кол-ву соли в
новом растворе.
Эту взаимосвязь лучше всего использовать для составления системы уравнений в
таких задачах. Переменными x и y лучше обозначить общий объем (или массу) каждого
раствора, а уравнения составить так: одно по массе всего раствора, а другое по какомунибудь одному веществу (например, по соли).
3) Задача выливание смеси.
Для нее схема следующая:
граммы
граммы
%
%
Соль
30
Соль
30
Вода
70
Вода
70
Общая
масса
100
Общая
масса
100
Спецификой данного типа задач является сохранение процентного соотношения
между компонентами. Для того чтобы убедить ученика в истинности этого факта, можно
привести пример с концентрацией фруктовой массы сока или с крепостью алкогольного
напитка. Если из бутылки вылить в стакан однородную смесь, от этого ни доля фруктовой
массы, ни крепость алкогольного напитка не изменится, так как сохраняется пропорция
веществ.
После определения типа задачи и составления табличных заготовок ученик
приступает к их заполнению. Сначала нужно поставить в ячейки таблиц числовые
значения величин, а уже потом вводить переменные. Это позволит снизить количество
пустых полей и ускорит процесс принятия решения о том, что именно обозначить буквой
X. Пустые ячейки помогут ученику сообразить, какие именно величины выражать после
введения переменной. Для этого нужно просто заполнять пропуски. При таком подходе
легче определить, нужна ли вторая переменная или нет: если в предложенной задаче
ученику не удается заполнить буквенными выражениями какие-то поля таблиц, то
желательно ее ввести.
Есть золотое правило введения переменной: обозначайте буквой ту величину, с
помощью которой можно быстрее и проще выразить остальные. Если в условии задачи
даются равные значения величин, то именно в их ячейки лучше всего поставить по букве
X.
В процессе решения задачи заполняются ячейки таблицы до тех пор, пока не
появятся заполненные поля тех ячеек, взаимосвязь между которыми еще не
использовалась. Обычно это пропорциональное свойство 4 чисел. Тогда оно берется для
уравнения.
Все выкладки производятся вне таблицы, а в нее заносятся только результаты
преобразований. Ручкой вносятся условия задачи, а все остальное — карандашом. Вопервых, его всегда можно стереть и исправить результаты, а во-вторых, условия задачи
будут выделяться.
Необходимо отдельно остановиться на разборе метода нахождения четвертого
пропорционального
числа
(компонента
таблицы).
В
каждой
колонке две
ячейки принимают независимые значения, а третья — зависимое (оно находится или
сложением или вычитанием). Это относится и к процентам и к весу (объему). Учитывая,
что значение одной из ячеек всегда 100%, необходимо знать еще две. Причем такие,
которые не связанны со 100% законами сложения. Проще говоря (языком ученика), если в
какой-нибудь таблице для смеси стали известны любые три числа, кроме процентной
колонки, то в этой таблице можно найти все остальное. На рисунке показан фрагмент
модели к задаче, с общим весом участвующего в ней вещества в 200 грамм и 6-ти
процентным содержанием соли.
граммы
%
?
Соль
6
Вода
Общая
масса
200
100
Необходимо приучить ученика выявлять такие взаимосвязи до введения буквы X в
задачу. В процессе обучения нахождению четвертого пропорционального числа по трем
другим, желательно обратить внимание ученика на соответствие расположения
пропорциональных ячеек таблицы по углам воображаемого прямоугольника. В них
располагаются члены пропорции. Надо регулярно проговаривать с учеником план
составления порядка действий: числа, которые стоят по диагонали прямоугольника
(наискосок), мы умножаем, а на последнее число, взятое с другой диагонали, делим.
Ученик лучше его запомнит, если продемонстрировать ход выполнения операций
соответствующей стрелкой на рисунке.
Если таблицы сужаются до двух строк, почти всегда задачу можно решить «в две
линии», так как третья компонента — зависимая от них, то такой подход годиться только
для сильных учеников, которые способны держать в уме информацию о третье
компоненте.
Слабый ученик в этом случае не получит полного представления о том, что влияет
на ответ. Он может не догадаться использовать какой-нибудь параметр третьей
компоненты, может забыть, например, что в его распоряжении есть постоянное значение
одной из ячеек (100%), что числа в колонках таблицы связаны законами сложения. На мой
взгляд, лучше оставить какие-то поля не использованными (пустыми), чем потерять
взаимосвязи и, как следствие, само уравнение.
Слабому ученику важно иметь единую стратегию решения задач, а все задачи
разные. Где-то дается общий вес раствора, где-то только отдельные его части. Если
работать с правилом «минимум ячеек», то, приступая к задаче, ученик будет путаться в
выборе той или иной схемы решения (системы таблиц).
Можно рассматривать следующие типовые задачи при отработке навыков решения.
Задачи на добавление (удаление) одного вещества.
1) Имеется 4 литра 20%-го раствора спирта. Сколько воды нужно добавить в него,
чтобы получился 10%-й раствор спирта?
2) К 40%-му раствору соляной кислоты добавили 50г чистой соляной кислоты, в
силу чего концентрация такого раствора стала равной 60%. Найти первоначальный вес
раствора.
3) Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был
на 25% выше, чем во втором. Когда их сплавили вместе, то получили сплав, содержащий
30% серебра. Найдите вес сплавов, если в первом сплаве было 4кг, а во - втором 8 кг.
4) В первом сосуде растворили 0,36 л, а во втором 0,42 л чистого спирта.
Процентное содержание спирта в первом сосуде оказалось на 6% больше, чем во втором.
Каково
процентное
содержание
спирта
во
втором
и
первом
сосудах, если известно, что раствора в первом сосуде на 4 литра меньше?
5) К 5 килограмм сплава олова и цинка добавили 4 кг олова. Найдите
первоначальное процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, если в новом
сплаве цинка стало в 2 раза меньше олова.
6) Собрали 100 кг грибов, оказалось, что их влажность равна 99%. Когда их
подсушили, то влажность снизилась до 95 % вода. Какова масса этих грибов после того,
как их подсушили.
Всегда решайте задачи на смеси и сплавы с помощью таблиц. Каждая такая
таблица составляется отдельно для каждого сплава или смеси. Каждому веществу в ней
отводится своя строка, в которой записываются данные о нем в классических единицах
измерения (в литрах, граммах, килограммах) и в относительных (в процентах).
Задачи на смешивание
1) Имеется два раствора некоторого вещества. Один 15%-ный, а второй 65%-ный.
Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200 л раствора,
содержание вещества в котором равно 30%?
2) Имеется два сплава никеля со сталью, в которых содержание никеля составляет
5% и 40%. Сколько тонн каждого сплава нужно сплавить, чтобы получилось 140 тонн
нового сплава с 30%-ным содержанием никеля?
3) Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным. В итоге получилось
600г раствора с 15%-ным содержанием соляной кислоты. Найдите, сколько взято было
каждого раствора.
4) В какой пропорции нужно смешать 10%-ный и 15%-ный растворы аммиачной
селитры, чтобы приготовить из них 15%-ный раствор селитры.
В задачах на смешивание важно помнить, что вес или объем одного и того же
вещества накапливается суммированием его веса по всем смешивающимся смесям.
Обычно такие задачи решаются с введением двух переменных, каждая для своего
начального сплава (смеси).
Задачи на выливание
1) Из бака, полностью заполненного кислотой, вылили несколько литров кислоты и
долили доверху водой, затем снова вылили такое же количество литров смеси, после
чего в баке осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость бака составляет 54 литра. Сколько
кислоты вылили в первый раз?
2) Из бутылки, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 литр и долили 1
литр воды. В бутылке оказался 3%-нывй раствор соли. Найти вместимость бутылки.
При решении задач на отливание не забудьте использовать главную
отличительную особенность, о которой в тексты задач умалчивают: при выливании не
меняется процентное содержание веществ. Значение концентрации, полученные в
таблице для одного раствора нужно перенести в другую для другого раствора.
Комбинированные задачи на многократное смешивание
1) Если к сплаву меди и цинка добавить 20г меди, то содержание меди в сплаве
станет равным 70%. Если же к первоначальному сплав добавить 70 г сплава содержащего
40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.
2) Если к раствору спирта добавить 10 г спирта, то его концентрация станет равной
37,5%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г раствора с 30%-ным
содержанием спирта, то его концентрация станет равной 32,5%. Найти первоначальное
количество спирта в растворе.
3) Если к раствору кислоты добавить 50 г воды, то его концентрация станет равной
15%. Если же к первоначальному раствору добавить 50 г кислоты, то его концентрация
станет равной 40%. Найдите первоначальную концентрацию раствора.
4) Когда к раствору серной кислоты добавить 100 г воды, то его концентрация
уменьшилась на 40%. Если бы к начальному раствору добавили 100 г серной кислоты, то
его концентрация увеличилась бы на 10%. Какова у раствора концентрация кислоты?