определение модуля сдвига методом крутильных колебаний.

Лабораторная работа № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ.
Цель работы: определить модуль сдвига материала проволоки
методом крутильных колебаний.
Описание установки
Рис. 1. Схема измерительной установки
Установка представляет собой металлическую проволоку 1, модуль
сдвига которой измеряется, с жестко закрепленным верхним концом. К
нижнему концу проволоки прикреплен диск 2. Диск поворачивают на
небольшой угол и тем самым приводят систему в крутильные
колебательные движения. Дополнительно в опыте используется кольцо
3.
Краткая теория
Деформация кручения
При воздействии на тело закручивающих усилий в нём возникают
деформации кручения. Предположим, что верхнее основание
однородного сплошного цилиндра радиуса R и длины L закреплено
неподвижно, а к нижнему основанию приложены распределённые по
основанию закручивающие усилия, которые можно условно показать
парой сил (рис. 2).
В результате этого сечение закручивается на угол  относительно
верхнего. По закону Гука
PS  Q .
где E – относительная деформация. PS – деформирующее усилие, Q –
модуль данного типа деформации.
Для деформации кручения закон Гука принимает вид
M 
где C – коэффициент кручения.
1
,
CL
(1)
Рис. 2.
Величина f 
1
называется модулем кручения. Наряду с кручением
C
возникает деформация сдвига. Поверхностный слой основания,
находящийся на расстоянии  от оси симметрии, сдвигается
относительно верхнего основания на угол  по закону Гука:
  nPS 
PS
;
N
(2)
где PS – касательное сдвигающее усилие, N – модуль сдвига,  – угол
сдвига.
С другой стороны, угол сдвига может быть определён из
геометрических соображений:


,
L
(3)
N
.
L
(4)
откуда
PS 
Таким образом, нижнее основание закручивается на угол  , если к
нему приложено распределённое касательное усилие (4).
Момент закручивающих сил, приложенных ко всему основанию,
можно получить следующим образом.
В нижнем основании выделим тонкое кольцо радиуса  и ширины
d . Рассмотрим элемент кольца, видный из центра основания под углом
d (рис. 3). Сила dF , приложенная к этому элементу равна:
2N
dF  PS  dS 
dd .
L
(5)
Рис. 2.
А момент силы относительно оси цилиндра (центр основания):
3N
dM  dF   
dd
L
(6)
Полный момент сил, приложенных ко всему основанию, получим,
интегрируя (6):
R 2
N 4
M    dM 

L
4
0 0
R
2
0 
0
R 4 N 

2
L
(7)
Сравнивая (7) с (1), получим связь между модулями кручения и
сдвига:
f 
NR 4
.
2
(8)
Крутильные колебания
Пусть верхний конец проволоки радиуса R и длины L закреплен
неподвижно, а к нижнему концу крепится тело с моментом инерции
относительно оси проволоки I (рис. 4).
Рис. 4.
Если тело повернуть на малый угол  , закручивая проволоку, в ней
возникают упругие силы, момент которых при них по величине равен
M 
NR 4
.
2L
(9)
Учитывая направление момента сил и угла поворота, получим:
M 
NR 4
.
2L
(10)
Если вывести систему из положения равновесия, закрутив на малый
угол, она начнёт совершать колебания. Пусть в произвольный момент
времени угол отклонения от положения равновесия равен  , тогда, по
уравнению моментов:
I
d 2
dt 2

NR 4
,
2L
(11)
или
d 2
NR 4
I 2 
  0.
2L
dt
(12)
Уравнение
(12)
является
дифференциальным
уравнением
гармонических колебаний, решением которого будет гармоническая
функция
  0 sin  t  0  .
Из уравнения колебаний следует, что круговая частота колебаний
равна:
NR 4
,
2 IL

(13)
а период, соответственно
T
2
2 IL
.
 2

NR 4
(14)
Краткая теория метода определения модуля сдвига
Если в системе, описанной выше, определить период колебаний, T ,
то по (14):
8IL
N
(15)
R 4T 2
Для исключения неизвестного момента инерции системы поступают
следующим образом: на диск помещают тело с известным моментом
инерции I 0 (кольцо).
Период колебаний системы без кольца равен
T  2
2 IL
NR 4
,
(16)
а с кольцом
2  I  I0  L
T '  2
(17)
NR 4
где I – момент инерции системы без кольца, I 0 – момент инерции
кольца, L – длина проволоки, R – её радиус, N – модуль сдвига.
Сравнивая (16) и (17), получим:
I  I0
T2
T '2  T 2
.
(18)
Момент инерции кольца легко рассчитывается по формуле
I0 


m 2
R1  R22 ,
2
(19)
где m – масса кольца, R1 и R2 – внутренний и внешний его радиусы.
Следовательно, для определения модуля сдвига материала проволоки
надо измерить периоды колебаний системы с кольцом и без кольца.
Тогда
N
8IL
R 4T 2


4mL R12  R22

R 4 T '2  T 2

.
(20)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Измерения
Определить взвешиванием массу кольца m .
Измерить штангенциркулем внешний R1 и внутренний R2 радиусы
кольца.
Измерить длину проволоки L .
Измерить микрометром диаметр проволоки. Рассчитать радиус R .
Измерить периоды колебаний системы с кольцом и без кольца не
менее 5 раз.
Результаты измерений занести в таблицу.
Рассчитать по (20) модуль сдвига материала проволоки.
Рассчитать погрешность определения модуля сдвига.
Результаты измерений, расчетов внести в таблицу.
Контрольные вопросы
Назовите виды деформации.
Сформулируйте закон Гука для изучаемых деформаций.
Как определяется момент сил упругости для стержня во время
деформации кручения?
Выведите формулу для модуля сдвига в зависимости от периода
крутильных колебаний?
Сформулируйте физический смысл модуля сдвига.
Литература
Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. -М.: Высшая
школа, 1986. -320 с.
Петровский И.И. Механика. -Минск: Изд-во БГУ, 1973. -352 с.
Савельев И.В. Курс общей физики. -М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика.
Молекулярная физика. -432 с.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989 Т. 1. Механика.
576 с.
Стрелков С.П. Механика. -М.: Наука, 1975. -560 с.
Физический практикум. Под ред. Кембровского Г.С. -Минск: Изд-во
"Университетское", 1986. - 352 с.
Приложение
Указания по расчету погрешности
Определить инструментальную погрешность измерения длины L
деревянной линейкой, массы m с помощью гиревых весов, внутреннего
и внешнего радиусов кольца R1 и R2 штангенциркулем, радиуса
проволоки R микрометром, периодов T и T ' секундомером.
Определить погрешность округления для каждого измерения.
Определить среднее значение периодов T и T ' , используя формулу
T 
1 n
 Ti
n i 1
(П.1)
где Ti – значение измеряемой величины в i -том наблюдении, n – число
повторных наблюдений. Разность Ti  T  Ti называется случайным
отклонением результата i -того наблюдения от среднего.
Для расчета случайной погрешности используется формула:
Tñë  tn, P
n
1
2
 Ti ,
n(n  1) i 1
(П.2)
где tn, P – коэффициент Стьюдента, величина которого зависит от
количества измерений и доверительной вероятности результата, его
значения приведены в табл. П.1. Как правило в лабораторном
практикуме используется доверительная вероятность 0,95.
Для каждой величины найти полную погрешность, сложив
квадратично все виды погрешности. Например, для периода T :
T 
n
 Tñë 2   Tu 2   To 2 .
(П.3)
Таблица П.1
Значения коэффициентов Стьюдента для различных
количеств измерений и доверительной вероятности 0,95
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20

tn,0.95 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,14 2,09 1,96
Затем полную погрешность N рассчитать, используя метод среднего
квадратичного.
Данный метод используется при проведении косвенных измерений. В
таком случае искомая величина N является функцией нескольких
параметров:
N  N  R, R1, R2 , m, L, T , T '
Затем погрешность величины N находится по формуле:
12
2
2
2
 N

  N
  N

T   
T '   
R  


  T '
  R

 T

N  
2
2
2
2





N

N

N

N






  R R1    R R2    m m    L L  
  2

  1

.
(П.4)
Для формулы (20) найдем все частные производные, входящие в
(П.4):

2
2
N 4mL R1  R2

T
R4


2T
T '  T 
2
2 2
4mL R12  R22
N
,

T
R4


2T '
T '  T 
2
2 2
,

4mL R12  R22 4
N
,

5
2
2
R
R
T ' T


N
8mLR1
N
8mLR2
,
,


R1 R 4 T '2  T 2
R2 R 4 T '2  T 2


2
2
N 4L  R1  R2 
,

m R 4 T '2  T 2 


2
2
N 4m  R1  R2 
.

L
R 4 T '2  T 2 
Подставив полученные формулы в (П.4) и используя средние
значения для всех входящих величин, получим полную погрешность для
модуля сдвига.