Программная система для моделирования и

XIII Всероссийская научная конференция молодых исследователей
с международным участием «Шаг в будущее»
Компьютерное исследование детерминированного хаоса
Россия, г. Самара
Харитонов Павел Владимирович, СамГАСУ, 1 курс
Научный руководитель:
Пиявский Семен Авраамович, д.т.н., профессор, декан факультета информационных систем и технологий Самарского государственного архитектурностроительного университета
Козлов Вячеслав Васильевич,
старший преподаватель кафедры прикладной математики и вычислительной
техники Самарского государственного архитектурно-строительного университета
г. Москва, 2006
2
Компьютерное исследование детерминированного хаоса
Харитонов Павел
Россия, Самарская область, г. Самара
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Самарский государственный архитектурно-строительный университет»
1 курс
В век информационных технологий многие стали задаваться вопросом о связях между хаосом и порядком. И лучшие умы человечества стали задумываться над тем, что же конкретно означают эти понятия. Появилась новая наука – синергетика, изучающая эти интересные явления. В
это время было совершено много важных открытий, одним из них был странный аттрактор. Для
установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971
году предложили название – странный аттрактор. Самый известный странный аттрактор на сегодняшний день – это странный аттрактор Эдварда Лоренца.
Он взбудоражил всё общество и заострил на себе такое внимание, что даже спустя 50 лет люди
помнят его и проводят свои исследования на основе данных полученных Лоренцом.
История исследования странных аттракторов началось с 1963 г. Появившееся высокопроизводительное компьютерное оборудование способствовало этому, и тогда ещё не известный метеоролог Эдвард Лоренц выдвинул такую гипотезу, что погодные условия можно определять на довольно длительный срок. Но прогноз погоды, как известно, дело неблагодарное. Для того, чтобы
попытаться предсказать погоду Э.Лоренц проинтегрировал систему из трёх дифференциальных
уравнений первого порядка, которая получилась у него при упрощении уравнения Навье-Стокса.
Лоренц понял, что если земная атмосфера устроена так, как мы себе это представляем, то взмах
крыльев бабочки в нужном месте и в нужное время может изменить погоду, скажем через две-три
недели, в громадном регионе. Отклонения от исходной траектории, вызванные взмахом крыльев
бабочки, постепенно приведут к смене погодных условий на большой территории, т.е. малые причины вызывают большие последствия. Для того, чтобы лучше понять, что нужно для прогнозирования погодных условий вообразим гипотетическую ситуацию, когда для предсказания эволюции
3
системы на один день вперед, требуется знание начальных условий с точностью 10 , на два дня
3
— с точностью 10 6 , на три — с точностью 10 9 и т.д. В этой ситуации время предсказания увеличивается в арифметической пpогpессии, а точность задания начальных условий — в геометрической и, следовательно, чтобы предсказать на 100 дней вперед, требуется уже немыслимая точность
(на сегодняшний день) — 10 300 ! Даже если бы наши пpибоpы и позволяли проводить такие измерения, напpимеp, темпеpатуpы и давления, необходимые для прогноза погоды, то возмущение,
вносимое взмахом крыльев обыкновенной бабочки, намного превысило бы эффект, связанный с
неточностью этих измерений (или, другими словами, в этой ситуации для долговременного прогноза погоды надо было бы учесть всех бабочек, живущих на Земле в настоящее время). Впрочем,
создание эффективной системы прогнозирования актуально практически для всего мира. Ведь
рисками нужно управлять. Тем более сегодня, когда налицо не только угроза катастроф и стихийных бедствий, но, к счастью, и достаточно высокий уровень развития точных наук, который позволяет содержательно анализировать эту область.
Когда речь идет о землетрясении или, например, об аварии на АЭС, цена точности прогноза очевидно велика. Поэтому современные методы прогнозирования и непосредственно конечный продукт - упреждающая информация о месте, времени и параметрах бедствия - не имеют ничего общего, скажем, с мистическими намеками Нострадамуса. Нынешняя "наука о будущем" опирается
на мощнейшие компьютеры и научные теории.
Современная теория прогнозирования берет начало в 1960-х годах, когда рядом ученых была
высказана мысль о том, что существует так называемый горизонт прогноза - момент, после которого что-либо достоверно прогнозировать невозможно и речь может идти только о вероятностях.
Но в отличии от условий в которых Лоренц проводил свои исследования в XX веке, мы сейчас
живём в XXI и развитие вычислительной техники сделало большой скачок в своём развитии, но
всё же по заключению российских и американских ученых, даже если знать положение каждой
капли воды и каждой молекулы воздуха, даже если использовать сверхмощный суперкомпьютер,
точно предсказать погоду можно только на срок до трех недель. А горизонтом прогноза для состо-
4
яния океана является месяц. Соответственно, то, что через три недели и через месяц произойдет в
указанных системах, для нас является хаосом.
У всех систем, включая простейшие, есть свой горизонт прогноза - везде чувствительность к
начальным данным приводит к хаосу. Таким образом, тотальное прогнозирование невозможно в
принципе. Это запрет природы.
Тем не менее некоторые закономерности поддаются вычислению, следовательно, прогнозированию. Например, с точки зрения теории прогнозирования линий поведения сложноорганизованных
систем, допустим фондового рынка или тектонического разлома, не отличаются. Перед катастрофой - обвалом на рынке или землетрясением - они ведут себя примерно одинаково: у них ускоренными темпами растут некоторые коэффициенты, на которые накладываются ускоряющиеся колебания. Таким образом, существует единая формула, весьма сложная, но все-таки способная описать любое катастрофическое изменение.
Итак, передо мной стояли следующие задачи:
- разобраться в понятии странного аттрактора
- визуально показать движения слоёв в различных веществах
-
на основе разработанной программы найти зоны перехода из хаотических траекторий к
упорядоченным
-
выявить связь безразмерных коэффициентов системы уравнений Лоренца с конкретными физическими параметрами
Математическая модель странного аттрактора при конвективном теплообмене, описываемом системой ДУ первого порядка (система уравнений Эдварда Лоренца):
   X  Y
X
Y  rX  Y  XZ
  XY  bZ
Z
Система Лоренца описывает все процессы, проходящие в слое жидкости, подогреваемом
 

снизу. Жидкость описывается полем скорости  ( x , t ) и полем температуры T ( x , t ) .
Обозначим:  - плотность жидкости,  - вязкость, p - давление, k - теплопроводность,




F  gex - внешняя сила тяготения в направлении e x ,   - кинематическая вязкость.

Уравнения, описывающие систему:



d
 F  p   2
уравнение Навье-Стокса: 
dt
уравнение теплопроводности:
уравнение неразрывности:
5
dT
 k 2T
dt

dp
 div (  )  0
dt
Чтобы упростить уравнения. Лоренц использовал свободные граничные условия, т.е. условия, при которых исследуемый слой жидкости ничем не ограничен.
 (0,0, t )   (0, h, t )  0 - сколько жидкости втекает, столько и вытекает – условие неразрывности (сохраняет объём)  2 (0,0, t )   2 (0, h, t )  0 и, сохраняя младшие члены в Фурьепредставлении  , предложил следующую подстановку:
a 1
a

  2 X (t ) sin
x sin z
2
h
h
1 a k
R
Rc T
R
  2Y (t ) cos
a
h
x sin

h
z  Z (t ) sin
2
z , где
h
gah 3 T
- число Рэлея, которое пропорционально архимедовой силе и обратно пропорциоk
нально вязкости и теплопроводности.
Rc   4 a 2 (1  a 2 ) 3 - критическое значение R
а – отношение геометрических размеров
b  4(1  a 2 ) 1
R
- внешний управляющий параметр
r
 T
Rc
 

k
- число Прандля, которое зависит от свойств жидкости: от вязкости и теплопроводности.
Чем больше теплопроводность, тем меньше число Прандтля.
В итоге получаем систему Лоренца:
   X  Y
X
Y  rX  Y  XZ
  XY  bZ
Z
6
Для исследования и моделирования странного аттрактора при конвективном теплообмене
была разработана программа на современном алгоритмическом языке. Начальные разработки проводились в среде Microsoft Excel.
Для решения системы дифференциальных уравнений (система Лоренца) и для применения
этого решения в разработанной программе был применен метод прямоугольников. Идея метода
заключается в замене гладкой кривой ступенчатой ломаной линией – множеством прямоугольников и замене интеграла от функции, задающей кривую (площади под кривой) суммой площадей
прямоугольников. При равномерном разбиении аргумента с шагом dt имеет место формула:
t
n
0
k 1
X   Xdt   Xt
Здесь: n – число интервалов на которые разбивается отрезок от 0 до t, t=t/n.
Или X t  t  X t  X t t .
Мотивация при выборе метода решения: выбранный мной метод прост в освоении и дает небольшие погрешности при вычислениях.
Алгоритм расчета траектории в полярных координатах
Будем считать, что частица движется по эллиптической траектории в пределах замкнутого
пространства, которое имеет размеры 2А и 2В. Рассмотрим движение точки в полярной системе
координат.
Координаты X изменяются от -а до а, координаты Y изменяются от -b до b.
Напишем уравнения эллипса:
Qx=A * cos
Qy=В * sin
В точке Q частица имеет скорость X, направленную по касательной к траектории перпендикулярной к p.
tg d = dt/
Теперь выразим  через координаты частицы в декартовой системе: ²=Qx² +Qy²
 =  + d
7
Особенности:
Трудностью при вычислении угла  является то, что стандартные функции определяют
значение угла в пределах от –PI/2 до PI/2, а нам необходимо знать значение угла в пределах от 0
до 2PI, то есть необходимо определять в какой координатной четверти находится моделируемая
частица. Данная проблема была решена путем создания в программе отдельной функции, которая
в отличии от стандартной, определяет координатный угол и возвращает значение угла в пределах
от 0 до 2PI.
Для нахождения новых позиций точек в полярный системе координат был применён следующий алгоритм:
1) По значениям Qx и Qy определяем угол  для частицы Q
2) После этого, через величину скорости частицы X находим путь, пройденный частицей по дуге
эллипса – Xdt за промежуток dt.
3) Ввиду малости dt заменяем траекторию по дуге эллипса на траекторию по прямой, перпендикулярной радиусу, то есть касательной к эллипсу в точке Q. Дальше, мы находим tgd
4) Теперь мы высчитываем новый угол :  =  + d
5) И находим новые позиции точек: Qx и Qy через  и A, и B.
Описание переменных и модулей
Программа имеет оконный интерфейс
При запуске программы появляется стартовая форма, на которой расположены информация
об авторе работы и две кнопки. Кнопка “старт” предназначена для перехода на основную форму
программы, а кнопка “выход” – для завершения работы программы. На основной форме расположены два окна picturebox, и несколько окошек(frame), где расположены текстовые окошки для
ввода информации и слева от них обозначение того, что вводим.
После ввода всех параметров нажимаем кнопку “Моделировать”, после этого активизируется правое окно picturebox и на нем нужно мышкой расставить шарики(частицы в данной систе-
8
ме), кликая курсором по свободному пространству. После всех этих операций появится кнопка
“Пуск”. После нажатия этой кнопки в левом окне picturebox строится график(вид графика зависит
от введённых начальных данных), а в правом визуально показывается движение частиц в веществе
характерное для данной системы при введённых параметрах. Программу можно приостановить
нажав на кнопку “Пауза” или выключить совсем, нажав на кнопку “Остановить!”.
Для того, чтобы было быстро и удобно проверить мои исследования на форму были вынесены три дополнительные кнопки: Параметры Лоренца (конвективный теплообмен для воды), параметры для просмотра графика характерного для многоатомных газов и, для машинного масла.
Также на форму вынесен секундомер в виде циферблата и в виде обычного счётчика. На циферблате красная стрелка обозначает секунды, а синяя минуты.
Было проведено компьютерное исследование и моделирование особенностей поведения
странного аттрактора при различных физических условиях
В работе я проанализировал три случая: конвективный теплообмен в воде и аналогичное движения
для машинного масла и многоатомных газов. Для каждого из вариантов мы получаем интересные
результаты:
1) Для воды (при параметрах Э.Лоренца) мы наблюдаем что траектория хаотическим образом
блуждает из одного полупространства в другое, формируя две почти плоских, перепутанных сложным образом спирали. При таких параметрах эта система описывает конвективный теплообмен.
2) Данные полученные при анализе многоатомных газов также были очень интересны. При моделировании системы с такими параметрами я наблюдал полностью упорядоченное движение, из этого можно сделать вывод о том, что газы имеют очень малую вязкость и движение
частиц в газах практически не затормаживается.
3) В отличии от многоатомных газов, в машинном масле колебания частиц системы будет очень
мало и они не будут делать полный оборот, а будут только подниматься и опускаться почти
по одной и той же траектории. Такое движение обусловлено тем, что вязкость машинного
масла намного превышает вязкость воды или газов.
9
Далее приведём дополнительную информацию по теории аттракторов
Аттрактор (attractor) в переводе с английского означает «притягиватель»; в данном случае это точка или множество в фазовом пространстве, к которым притягиваются все траектории из некоторой
окрестности аттрактора, называемой также областью, или бассейном, притяжения.
Странный аттрактор – математический образ детерминированных непериодических процессов,
для которых невозможен долгосрочный прогноз.
Аттракторы – понятие, обозначающее активные устойчивые центры потенциальных путей
эволюции системы, способные притягивать и организовывать окружающую среду. Математически
аттракторы определяются как предельные значения решений дифференциальных уравнений. Соответствующий аппарат был разработан Анри Пуанкаре. С позиции термодинамики, аттрактор характеризует состояние динамического равновесия, то есть стационарный, установившийся режим
развития системы, когда энтропия ее в течение времени значительно не меняется при непрекращающемся поступлении и диссипации энергии и вещества. Система, находящаяся в состоянии динамического равновесия (аттрактора), является типично диссипативной самоорганизующейся
структурой. Аттракторы являются базисными фактами теории самоорганизации.
Состояние аттрактора описывается намного проще, чем хаотический, запутанный путь к
нему. Самый простой тип аттрактора — неподвижная точка (точечный аттрактор). Посложнее аттрактор типа предельный цикл (его движению соответствует периодическая траектория, или
цикл). Знакомой всем системой с предельным циклом является сердце. В области политического
анализа такие периодические аттракторы можно применить к описанию стабильных двухпартийных систем.
В 1963 году Рэй Брэдбери опубликовал фантастический рассказ «И грянул гром», в котором
он также сформулировал идею динамического хаоса. В этом рассказе один из организаторов предвыборной кампании после победы своего кандидата отправляется в путешествие по времени.
Фирма, организующая такую поездку, устраивает с помощью машины времени для своих клиентов сафари – охоту на динозавров, которым в ближайшее время суждено умереть. Компания тщательно выбирает животных для отстрела и специальные маршруты передвижения охотников, чтобы происшедшее практически не имело последствий. Чтобы не нарушить сложную ткань причин-
10
но-следственных связей и не изменить будущее, следует двигаться по специальным тропам. Однако, по случайности, герой рассказа во время неудачной охоты сошел с маршрута и нечаянно
раздавил золотистую бабочку. Возвратившись назад, он видит, что изменились состав атмосферы,
правила правописания и итог предвыборной кампании. Едва заметное движение повалило маленькие костяшки домино, те повалили костяшки побольше, и, наконец, падение гигантских костяшек
привело к катастрофе. Отклонения от исходной траектории, вызванные раздавленной бабочкой,
стремительно нарастали. Малые причины имели большие следствия. Математики называют это
свойство чувствительностью к начальным данным или «эффектом бабочки». Оно было обнаружено в 1903 году основоположником теории хаоса французским математиком Анри Пуанкаре. При
попытке заранее рассчитать орбиты планет с учетом их взаимодействий, оказалось, что минимальное изменение используемых в расчетах входных величин приводило в конечном итоге к совершенно различным результатам.
К настоящему времени странные аттракторы обнаружены в самых разных фрагментах мира
природы и человека, начиная с метеорологии и кончая нейрофизиологией. Выяснилось, что множество систем нашего организма работают в хаотическом или близком к нему режиме. Причем
часто хаос выступает как признак здоровья, а излишняя упорядоченность – как симптом болезни.
В психоанализе неосознанные желания, установки могут моделироваться как странные аттракторы. Исследуя процессы взаимопереходов порядка и хаоса в обществе через призму синергетики.
C помощью данной программы было проведено исследование областей порядка и хаоса на
примере странного аттрактора при конвективном теплообмене. Были построены графики в зависимости числа Прандтля и внешнего управляющего параметра пропорционального числу Рэлея.
С помощью перебора параметров для каждого из трёх случаев я получил графики зависимости
хаоса и порядка от начальных данных. При этом я получил интересные выводы: странный аттрактор Э.Лоренца получается только для воды (рис.1). Для многоатомных газов характерно только
упорядоченное движение (рис.3). Результаты получившиеся при анализе машинного масла (рис.2)
показывают такое движение – при большинстве заданных параметров я наблюдал движение при
котором частицы поднимаются, но потом по похожей траектории возвращаются на своё местоположение, но в этом случае, в отличии от газов также наблюдались хаотические траектории.
11
Красными полосами показана область с хаотическими траекториями, зелёными – область перехода из порядка в хаос и наоборот и синими – область упорядоченных траекторий.
В результате проделанной работы я получил такие данные:
 Изучил проблему странных аттракторов и разобрался в этом понятии.
 Научился решать дифференциальные уравнения.
 Построил в реальном времени график странного аттрактора Э.Лоренца и показал
наглядное движение частиц, в зависимости от него.
 Построил графики определяющие области упорядоченных и хаотических траекторий в
зависимости от начальных данных.
 выявил связь безразмерных коэффициентов системы уравнений Лоренца с конкретными
физическими параметрами
В дальнейшем я продолжу исследования в этой сфере и надеюсь обнаружить какую-либо новую информацию. Также мне хотелось рассмотреть смежные темы или проанализировать другие
странные аттракторы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аносов Д.В. Динамическая система Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия,
1979.
2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
3. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.
4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.
5. Мухачев Г.Н.,Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. М. : Высш. шк., 1991. - 480 с.
6. Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. М., Мир, 1987.
7. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М. : Наука, 1961.
8. Рэй Брэдбери “И грянул гром”