Эконометрические модели оценивания и прогнозирования

Силаева В.А., Силаев А.М.
KPMG, НФ ГУ-ВШЭ, Нижний Новгород
ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
ВОЛАТИЛЬНОСТИ ИНДЕКСА РТС
1. Введение.
Задачи оценивания и прогнозирования волатильности представляют
значительный интерес в различных приложениях экономики и финансов. Исследования
моделей определения волатильности актуальны в связи с нестабильной ситуацией на
мировых финансовых рынках. Показатели волатильности доходности финансовых
активов могут использоваться для измерения риска и своевременной идентификации
кризисов на финансовых рынках.
Волатильность – это статистический показатель, характеризующий тенденцию
рыночной цены или дохода изменяться во времени. На цены активов влияет большое
количество факторов: новости, макроэкономические данные, отчеты компаний об итогах
их деятельности, оценки стоимости компаний от ведущих инвестиционных фирм. Частота
появления таких факторов различна. Это приводит к изменчивости доходностей активов и
характеристик изменчивости доходности – волатильности. Поскольку этот показатель
непосредственно не наблюдается, требуется провести оценку волатильности по
наблюдаемым данным.
Исследования и работы многих ученых выявили, что финансовые временные ряды
обладают специфическими особенностями, учесть которые способны лишь
определенные эконометрические модели. В последние десятилетия стандартным
инструментом оценивания изменяющейся волатильности стали эконометрические модели
условной гетероскедастичности (ARCH, autoregressive conditional heteroscedasticity) [1],
обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH, generalized
autoregressive conditional heteroscedasticity) [2] и различные их модификации. Процедура
оценки параметров моделей GARCH использует метод максимального правдоподобия и
реализована во многих прикладных пакетах статистической обработки данных [3 – 5].
В работе исследованы статистические характеристики дневной доходности индекса
РТС и построены эконометрические модели дневной доходности индекса РТС для
моделей семейства GARCH.
2. Наблюдаемые данные.
На рис. 1 представлены графики индексов Nikkei 225, FTSE 100 Index, S&P 500 и
индекса РТС с 1 сентября 1995 г. по 20 ноября 2009 г., построенные по суточным ценам
закрытия. На рис. 2 приведены графики тех же индексов в логарифмическом масштабе.
Можно констатировать, что имеется статистические зависимости между значениями
отдельных индексов, а также нестационарное поведение индексов во времени.
Более регулярное движение демонстрируют показатели суточной доходности
rt  ln St St 1  . На рис. 3 и 4 представлены график суточной доходности и гистограмма
доходности индекса РТС. Как видно, ряд доходности индекса РТС обладают всеми
характерными особенностями финансовых временных рядов – кластеризацией
волатильности, негауссовостью, т.е. островершинными плотностями вероятности
доходностей [4, 6, 7]. Видно также, что в периоды спада волатильность увеличивается, а в
периоды роста уменьшается (леверидж-эффект).
На рис. 5 и 6 приведены автокорреляционные функции доходности и квадратов
доходности индекса РТС, полученные по всем историческим данным по 20 ноября 2009 г.
2.5
x 10
4
Логарифм индексов NIKKEI 225, FTSE 100, S&P 500 и РТС
Индексы NIKKEI 225, FTSE 100, S&P 500 и РТС
4.5
NIKKEI 225
FTSE 100
S&P 500
РТС
2
4
3.5
1.5
3
1
2.5
0.5
NIKKEI 225
FTSE 100
S&P 500
РТС
2
0
Сентябрь 1995
1999
2002
2005
Ноябрь 2009
1.5
Сентябрь 1995
1999
Рис. 1.
2002
Ноябрь 2009
2005
Рис. 2.
Дневная доходность индекса РТС
0.25
25
0.2
20
15
0.15
10
0.1
5
0.05
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.3
0
Empirical CDF
1
-0.05
0.8
F(x)
-0.1
-0.15
-0.2
0.6
0.4
0.2
-0.25
Сентябрь 1995
1999
2002
2005
0
-0.4
Ноябрь 2009
-0.3
-0.2
-0.1
0
x
Рис. 3.
Рис. 4.
Автокорреляционная функция доходности индекса РТС
Автокорреляционная функция квадратов доходности индекса РТС
0.8
Sample Autocorrelation
Sample Autocorrelation
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
Lag
Рис. 5.
40
50
60
-0.2
0
50
100
150
200
Lag
250
300
350
400
Рис. 6.
2
Значимо отличается от нуля оценка автокорреляции доходности индекса в
соседние периоды  1  01398 , но при лагах больших 1 значения доходности rt имеют
коэффициенты корреляции близкие к нулю. В то же время корреляционная зависимость
квадратов доходности rt2 значительна даже при задержках равных 350, т.е. сохраняется
статистические связи на интервалах даже больших 1 года (за год на бирже примерно 250
торговых дней).
3. Эконометрические модели для ряда доходностей индекса РТС.
Эконометрический анализ финансовых временных рядов проводился с помощью
программной среды МАТLAB с использованием пакета прикладных программ
Econometrics Toolbox. Спецификация моделей в пакете Econometrics Toolbox имеет вид [5]
R
M
N
i 1
j 1
k 1
rt  C   i rt  i   t   j t  j    k X t , k  ,
(1)
где rt – исследуемый наблюдаемый временной ряд доходностей,  t – ненормированные
инновации, X t, k  , k  1, N – ряды возможных регрессоров; C ,  k ,  j , i , R, M –
оцениваемые параметры и порядок моделей.
В моделях GARCH(P,Q) уравнение для условной дисперсии  t2  Et 1  t2 имеет
вид
 
P
Q
i 1
j 1
 t2  K   Gi t2 i   A j t2 j ,
P
Q
i 1
j 1
(2)
с ограничениями  Gi   A j  1 , K  0 , Gi  0 , A j  0 . Здесь параметрами являются
коэффициенты K , Gi , A j , P, Q .
В семействе моделей GJR(P,Q), названном по имени Глостена, Джаганатана и
Рюнкле [8], уравнение для условной дисперсии имеет вид
 t2  K   Gi t2 i   A j t2 j   L j I  t  j  0 t2 j ,


P
Q
Q
i 1
j 1
j 1


(3)
где I  t  j  0  1 , если  t  j  0 , и I  t  j  0  0 в противоположном случае, с
ограничениями
Q
P
1 Q
G

A

 i  j
 L j  1 , K  0 , Gi  0 , A j  0 , A j  L j  0 .
2 j 1
i 1
j 1
Данная модель также часто называется TARCH(P,Q) моделью (threshold ARCH) [9].
Параметрами являются коэффициенты K , Gi , A j , L j , P, Q .
В моделях EGARCH (P,Q) уравнение для условной дисперсии имеет вид
P
Q
i 1
j 1



Q
ln  t2  K   Gi ln  t2 i   A j zt  j  E zt  j   L j zt  j ,
j 1
(4)
где введены стандартизованные (с единичной дисперсией) инновации zt  j   t  j  t  j ,


причем E zt  j  2  для нормального распределения стандартизованных инноваций.
Параметрами модели являются коэффициенты K , Gi , A j , L j , P, Q . Ограничения на
параметры модели связано с тем, чтобы все корни характеристического уравнения
3
P  G1P 1  G2P 2    GP  0
были внутри окружности единичного радиуса.
4. Результаты моделирования без учета регрессоров.
Подбор параметров для эконометрических моделей доходности индекса РТС
проводился методом максимального правдоподобия отдельно для классов моделей
GARCH, GJR и EGARCH в предположении, что процесс инноваций  t распределен
нормально. Критериями для выбора порядков моделей являлись значения логарифма
функции правдоподобия (LL), значения информационных критериев Акаике (AIC) и
Шварца (BIC) – чем меньше значения информационных критериев, тем лучше модель.
При этом наилучшие результаты демонстрируют модели c параметрами R  P  Q  1 ,
M  0 . Результаты оценок параметров сведены в таблицу 1, в скобках даны значения
среднеквадратичных ошибок оцениваемых коэффициентов.
Табл. 1
Параметры
AR(1) – GARCH(1,1)
AR(1) – GJR(1,1)
AR(1) – EGARCH(1,1)
0.0016161
(0.00032836)
0.12832
(0.018143)
1.6128  10–5
(1.5808  10–6)
0.82209
(0.008774)
0.16694
(0.0089024)
0.0013909
(0.00034136)
0.13174
(0.018202)
1.6547  10–5
(1.5844  10–6)
0.82327
(0.0092413)
0.14026
(0.013006)
0.045777
(0.013785)
0.0014861
(0.00031623)
0.12533
(0.017107)
–0.30442
(0.026595)
0.9575
(0.0034543)
0.31958
(0.014607)
–0.031805
(0.0082224)
LL
8329.903
8333.119
8317.800
AIC
–16649.8068
–16654.2388
–16623.5999
BIC
–16618.937
–16617.196
–16586.557
C
1
K
G1
A1
L1
Графики автокорреляционных функций стандартизованных инноваций zt   t  t и
их квадратов zt2 для всех моделей примерно одинаковы и представлены на рис. 7, 8.
Другие графики для всех моделей также однотипны. Например, на рис. 9 приведена
гистограмма процесса zt . Графики оценок волатильности доходности индекса РТС для
модели AR(1)–EGARCH(1,1) показаны на рис. 10, 11. Прогнозные значения однодневной
волатильности на 50 следующих периодов приведены на рис. 12. Можно отметить, что
показатель волатильности дает количественную оценку неопределенности будущих
значений индекса. Как видно из рис. 11, волатильность однодневной доходности индекса
РТС увеличилась в связи с финансовым кризисом осенью 2008 г. максимально до 9%,
затем медленно в течение года снижалась, и в ноябре 2009 г. оценивается на уровне 2,5%,
причем прогнозируется небольшое увеличение волатильности в ближайшие месяцы.
4
Автокорреляционная функция стандартизованных инноваций
Автокорреляционная функция квадратов стандартизованных инноваций
0.8
Sample Autocorrelation
Sample Autocorrelation
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
Lag
40
50
60
-0.2
0
10
20
Рис. 7.
30
Lag
40
50
60
Рис. 8.
Оценка волатильности доходности индекса РТС
0.8
0.1
0.6
0.09
0.4
0.08
0.2
0.07
0
-6
0.06
-4
-2
0
2
4
6
0.05
Empirical CDF
1
0.04
F(x)
0.8
0.03
0.6
0.4
0.02
0.2
0.01
0
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
0
сентябрь 1995
1999
Рис. 9.
2002
ноябрь 2009
2005
Рис. 10.
Оценка волатильности доходности индекса РТС
Прогноз однодневной волатильности доходности индекса РТС
0.09
0.0275
0.08
0.027
0.07
0.0265
0.06
0.026
0.05
0.0255
0.04
0.03
0.025
0.02
0.0245
0.01
май 2008
сентябрь 2008 февраль 2009
Рис. 11.
июль 2009
ноябрь 2009
0.024
0
10
20
30
40
50
Периоды
Рис. 12.
5
5. Результаты моделирования с учетом регрессоров.
Индекс РТС отражает макроэкономическую ситуацию в России и связан с
мировыми фондовыми индексами. Эта связь прослеживается на рис. 1, 2, на которых
показаны графики индекса РТС, а также индексов Nikkei 225 биржи в Токио, FTSE 100
биржи в Лондоне и S&P 500 Нью-Йоркской фондовой биржи. Для проверки линейной
зависимости была вычислена нормированная взаимные корреляционные функции
доходностей индексов. Результаты приведены на рис. 13-15.
Можно отметить, что доходность индекса РТС коррелирована с коэффициентом
корреляции 1 0  0,2366 с доходностью индекса S&P 500 для одного и того же
торгового дня, а также с коэффициентом корреляции 1  1  0,1832 с доходностью
индекса S&P 500 для предыдущего дня. Это можно объяснить, учитывая, что часовые
пояса Москвы и Нью-Йорка отстоят на 8 часов. В один календарный день сначала в
Москве закрывается биржа, при этом игроки ориентируются на цены закрытия
предыдущего дня Нью-Йоркской фондовой биржи, а затем через несколько часов
закрывается биржа в Нью-Йорке. В результате новости одного торгового дня создают
соответствующие корреляции доходностей индексов. Аналогично доходность индекса
РТС коррелированна с коэффициентом корреляции 2 0  0,2655 с доходностью индекса
Nikkei 225 того же торгового дня, а также с коэффициентом корреляции  2 1  0,1222 с
доходностью индекса Nikkei 225 следующего дня, т.к. биржа в Токио закрывается раньше,
чем в Москве. Наконец, с индексом FTSE 100 Лондонской биржи для одного
календарного дня индекс РТС коррелирован с коэффициентом корреляции  3 0  0,3858 .
Включим в эконометрическую модель доходности индекса РТС отдельными
регрессорами ряды доходности индекса S&P 500 предыдущего дня и индексов Nikkei 225
и FTSE 100 того же торгового дня. Результаты оценок параметров методом
максимального правдоподобия для различных моделей в предположении, что процесс
инноваций  t распределен нормально, приведены ниже.
1). Модель ARMAX(0,1,3)-GARCH(1,1):
P
Nikkei
rtРТС  0,0018636  0,14566rtS&
 0,56955rtFTSE   t  0,088212 t 1 ;
1  0,17879rt
(0,00036014) (0,030442)
(0,022297)
(0,027211)
(0,019768)
 t2  1,1784  10-5  0,84372 t21  0,15521 t21 ;
(1,4237  10- 6 )
(0,0077324)
(0,0083356)
LL = 7340,414 ; AIC = –14664,8279 ; BIC = –14616,420.
2). Модель ARMAX(0,1,3)-GARCH(1,1):
P
Nikkei
rtРТС  0,0017318  0,14425rtS&
 0,56642rtFTSE   t  0,088569 t 1 ;
1  0,18044rt
(0,00037575) (0,030719)
(0,022863)
(0,02713)
(0,019717)
 t2  1,2039  10-5  0,8429 t21  0,14243 t21  0,025215 I  t 1  0 t21 ;
(1,4108  10- 6 )
(0,0077013)
(0,0097215)
(0,011438)
LL = 7341,434 ; AIC = –14664,8682 ; BIC = –14610,409.
6
Взаимная автокорреляционная функция доходностей индексов РТС и S&P 500
0.3
Взаимная автокорреляционная функция доходностей индексов РТС и NIKKEI 225
0.3
0.25
Sample Cross Correlation
Sample Cross Correlation
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-20
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-15
-10
-5
0
Lag
5
10
15
20
-0.05
-20
-15
-10
Рис. 13.
0
Lag
5
10
15
20
Рис. 14.
Взаимная автокорреляционная функция доходностей индексов РТС и FTSE100
0.4
Sample Cross Correlation
-5
Оценка волатильности доходности индекса РТС
0.1
0.35
0.09
0.3
0.08
0.07
0.25
0.06
0.2
0.05
0.15
0.04
0.1
0.03
0.05
0.02
0
0.01
-0.05
-20
-15
-10
-5
0
Lag
5
10
15
20
0
сентябрь 1995
1999
Рис. 15.
2002
2005
ноябрь 2009
Рис. 16.
Оценка волатильности доходности индекса РТС
Прогноз однодневной волатильности доходности индекса РТС
0.08
0.029
0.07
0.028
0.06
0.027
0.05
0.026
0.04
0.03
0.025
0.02
0.024
0.01
май 2008
сентябрь 2008
февраль 2009
Рис. 17.
июль 2009
ноябрь 2009
0.023
0
10
20
30
Количество дней
40
50
Рис. 18.
7
3). Модель ARMAX(0,0,3)-GARCH(2,2):
P
Nikkei
rtРТС  0,001437  0,10728rtS&
 0,55556rtFTSE   t ;
1  0,20718rt
(0,00032369) (0,029954)
(0,022234)
(0,028009)
ln  t2  0,0064741  1,8141 ln  t21  0,81508 ln  t21  0,38573zt 1  0,38573zt  2 
(0,0023238)

(0,025567)

(0,025345)

(0,018108)

(0,017199)
 0,033057 zt 1  2   0,031961 zt  2  2  ;
(0,010188)
(0,010303)
LL = 7347,389 ; AIC = –14672,7778 ; BIC = –14606,217.
Графики оценок волатильности доходности индекса РТС для модели
ARMAX(0,0,3)-GARCH(2,2) показаны на рис. 16, 17. Прогнозные значения однодневной
волатильности на 50 следующих периодов приведены на рис. 18. Сравнивая данные
результаты с рис. 10-12, можно отметить, что учет в качестве регрессоров доходностей
мировых финансовых индексов несколько снижает оценку волатильности доходности
индекса РТС. Но в целом прогноз на некоторое увеличение волатильности в конце 2009 г.
сохраняется.
6. Заключение.
В работе построены эконометрические модели дневной доходности индекса РТС
для моделей семейства GARCH. Получены оценки изменяющейся условной
волатильности на интервале наблюдения и найдены прогнозные значения волатильности.
Построены эконометрические модели зависимости дневной доходности индекса РТС от
доходности индексов S&P 500, Nikkei 225, FTSE 100. В качестве регрессоров в уравнении
для доходности индекса РТС могут использоваться доходности и других мировых
индексов, курсы валют, а также доходности различных финансовых активов.
Список литературы
1. Engle R. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of variance of United
Kingdom inflation // Econometrica. 1982. V. 50. Pp. 987 – 1008.
2. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of
Econometrics. 1986. V. 31. No. 3. Pp. 307 – 327.
3. Tsay R. S. Analysis of Financial Time Series. – Cambridge University Press, 2nd ed., 2005.
4. Brooks C. Introductory Econometrics for Finance. – Cambridge University Press, 2nd ed.,
2008.
5. Econometrics Toolbox User's Guide. 2009. The MathWorks, Inc. (www.mathworks.com).
6. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. –
М.: «ФАЗИС», 1998.
7. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового
анализа. – М.: «Анкил», 2006.
8. Glonsten L., Jagannathan R., Runkle D. Relationship between the expected value and the
volatility of the nominal excess return on stocks // J. Finance. 1993. V. 48. Pp. 1779 – 1802.
9. Zakoian J. Threshold heteroscedastic models // Unpublished paper: CREST, INSEE, 1990.
8