  

Примеры решения экзаменационного диктанта
Численное интегрирование
1. Записать численную схему нахождения значения определенного интеграла методом
прямоугольников слева
10
1
1 x coscx dx
Решение:
В данном интеграле пределы интегрирования а=1, b=10. Возьмем число разбиений
n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования
b  a 10  1
h

 0.09 и xi  a  i  h  1 0.09i
n
100
Подынтегральная функция:
1
1
yi  y ( xi )  cosc  xi  
cosc  1  0,09i 
xi
1  0,09i
В методе прямоугольников слева искомый интеграл рассчитывается по формуле
n 1
I  h y i
i 0
Окончательно записываем численную схему для вычисления данного
интеграла методом прямоугольников слева:
10
99
1
1


cos
cx
dx

0
,
09
cosc  (1  0,09i ) 

1 x
i 0 1  0,09i
2. Записать формулу метода прямоугольников справа для интеграла
2
 x a
a
3

 x 3 dx
1
Решение:
В данном интеграле пределы интегрирования а=-1, b=2. Возьмем число разбиений
n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования
b  a 2 1
h

 0.03 и xi  a  i  h  1 0.03i
n
100
Подынтегральная функция
yi  f ( xi )  xia (a 3  x 3i )  (1  0.03i) a (a 3  (1  0.03i) 3 )
2
x
1
a
n
100
i 1
i 1
(a  x )dx   h  yi  0.03 (1  0.03i) a (a 3  (1  0.03i) 3 )
3
3
3. Записать формулу метода трапеций для интеграла
0.7
 x  a dx
0.5
Решение:
1
В данном интеграле пределы интегрирования а=0.5, b=0.7. Возмем число разбиений
n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования
b  a 0.7  0.5
h

 0.002 и xi  a  i  h  0.5  0.002i
n
100
Подынтегральная функция
yi  f ( xi )  ( xi  a)  (0.5  0.002i  a)
yi1  f ( xi1 )  ( xi1  a )  (0.5  0.002(i  1)  a)
n1
h
(
x

a
)
dx

 ( yi  yi1 ) 

0.5
i 0 2
0.7
99
 0.001 (0.5  0.002i  a)  (0.5  0.002(i  1)  a)
i 0
4. Записать численную схему нахождения значения определенного интеграла методом
прямоугольников справа
2с
1
с x cosxdx
Решение:
Шаг h=(2с-с)/n=с/n=0,01с (n-число разбиений, например, n=100).
Переменная интегрирования xi  с  0,01с  i .
Значение хi используется для вычисления значения функции:
1
1
yi  y ( xi )  cosxi  
cosc  0.01c  i 
xi
c  0.01c  i
Численная схема для вычисления данного интеграла методом прямоугольников
справа:
2c
100
1
1


cos
x
dx

0
,
01
с
cosc  0.01c  i 

c x
i 1 c  0.01c  i
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать
начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ х+yх’=y.
Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.
Решение :
Решением является функция x(y). Задача Коши, x(2)=1.
Для записи схемы Эйлера, выразим производную
yx
x 
y
Схема Эйлера
yi1  yi  h
xi1  xi  h  ( yi  xi ) / yi
y0=2, x0=1 (из задачи Коши).
Из схемы Эйлера для i=0: y1=2+h; x1=1+h(2-1)/2=1+0.5h
2
2. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать
начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ z'=-(z+y)y
Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.
Решение :
z'=(z+2)cos(z)
Так как зависимость функции z от какой-то переменной неявная (второй буквы в
ОДУ нет), в качестве независимой переменной выбираем любую букву, например,
у. Тода решением является функция z(y). Задача Коши, z(1)=4.
Схема Эйлера
yi1  yi  h
zi1  zi  h  ( zi  2)  cos zi
y0=1, z0=4 (из задачи Коши).
Из схемы Эйлера для i=0: y1=1+h; z1=4+6h*сos(4)
3. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать
начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ xy”=y’cos(y). Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.
Решение :
Решением является функция y(x).
Задача Коши: у(1)=3; y’(1)=2;
Выразим старшую производную у”=(y’-cos(y))/x.
Делаем замену y’=z, получаем систему
y'  z


 z '  ( z  cos( y )) / x
Схема Эйлера
xi 1  xi  h
yi 1  yi  h  zi
zi 1  zi  h  ( zi  cos( yi )) / xi
x0=1, y0=3, z0=2 (из задачи Коши).
Из схемы Эйлера для i=0:
x1=1+h; y1=3+2h; z1=2+h(2-cos(3))/1;
4. Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать
начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ z”+yz’=y-z
Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.
Решение:
Решением является функция z(y).
Задача Коши: z(0)=1; z’(0)=2;
Выразим старшую производную z”=y-z-yz’.
Делаем замену z’=t, получаем систему
z'  t


t '  y  z  yt
Схема Эйлера
yi1  yi  h
zi1  zi  h  ti
ti1  ti  h  ( yi  zi  yi ti )
y0=0, z0=1, t0=2 (из задачи Коши).
Из схемы Эйлера для i=0:
y1=h; z1=1+2h; t1=2+h(0-1-0*2)=2-h;
3
Интерполяция полиномом Лагранжа
1. Даны узлы интерполяции (-1,2),(2,3),(3,6),(4,7),(5,6).
Записать формулу
интерполяционного полинома Лагранжа, проходящий через 5 точек. Чему равно значение
полинома при х=4?
Решение:
( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)
( x  1)( x  3)( x  4)( x  5)
( x  1)( x  2)( x  4)( x  5)
3
6

(1  2)( 1  3)( 1  4)( 1  5)
(2  1)( 2  3)( 2  4)( 2  5)
(3  1)(3  2)(3  4)(3  5)
( x  1)( x  2)( x  3)( x  5)
( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)
7
6
(4  1)( 4  2)( 4  3)( 4  5)
(5  1)(5  2)(5  3)(5  4)
L5 ( x)  2
при x=х3=4:
0
0
0
(4  2)( 4  3)( 4  4)( 4  5)
(4  1)( 4  3)( 4  4)( 4  5)
(4  1)( 4  2)( 4  4)( 4  5)
L5 (4)  2
3
6

(1  2)( 1  3)( 1  4)( 1  5)
(2  1)( 2  3)( 2  4)( 2  5)
(3  1)(3  2)(3  4)(3  5)
(4  1)( 4  2)( 4  3)( 4  5)
(4  1)( 4  2)( 4  3)( 4  4)
7
6
 7  y3
(4  1)( 4  2)( 4  3)( 4  5)
(5  1)(5  2)(5  3)(5  4)
0
2. Даны узлы интерполяции (-2,4),(3,6),(4,7),(5,8). Записать интерполяционную формулу
полнома Лагранжа, являющегося параболой. Указать, через какие точки проходит этот
полином.
Решение:
Параболой (полиномом второго порядка ~х2 )является полином, проходящий через 3
точки, например:
L3 ( x)  4
( x  3)( x  4)
( x  2)( x  4)
( x  2)( x  3)
6
7
(2  3)( 2  4)
(3  2)(3  4)
(4  2)( 4  3)
Он проходит через точки (-2,4),(3,6),(4,7). Например, для x=x1=3:
L3 (3)  4
(3  3)(3  4)
(3  2)(3  4)
(3  2)(3  3)
6
7
 6  y1
(2  3)( 2  4)
(3  2)(3  4)
(4  2)( 4  3)
3. Даны узлы интерполяции (-1,2),(2,3),(3,6).
Записать формулы интерполяционных
полиномов Лагранжа, проходящих через 2 первые и через 3 точки. Какова степень этих
полиномов?
Решение:
Полином, проходящий через 2 точки, является полиномом 1-й степени (прямой):
L2 ( x)  2
( x  2)
( x  1)
3
(1  2)
(2  1)
Полином, проходящий через 3 точки, является полиномом 2-й степени (параболой):
L3 ( x)  2
( x  2)( x  3)
( x  1)( x  3)
( x  1)( x  2)
3
6
(1  2)( 1  3)
(2  1)( 2  3)
(3  1)(3  2)
4. Даны узлы интерполяции (-1,2),(0,1),(2,3),(4,4),(5,7). Записать интерполяционную формулу
полиномов Лагранжа, проходящих через 3 и 4 первые точки. Будут ли оба полинома
проходить через точку (4,4)?
Решение:
Полином, проходящий через 3 точки:
L3 ( x)  2
( x  0)( x  2)
( x  1)( x  2)
( x  1)( x  0)
1
3
(1  0)( 1  2)
(0  1)(0  2)
(2  1)( 2  0)
Полином, проходящий через 4 точки:
L4 ( x)  2
( x  0)( x  2)( x  4)
( x  1)( x  2)( x  4)
( x  1)( x  0)( x  4)
( x  1)( x  0)( x  2) при
1
3
4
(1  0)( 1  2)( 1  4)
(0  1)(0  2)(0  4)
(2  1)( 2  0)( 2  4)
(4  1)( 4  0)( 4  2)
x=х3=4:
L3 (4)  2
(4  0)( 4  2)
(4  1)( 4  2)
(4  1)( 4  0) 31
1
3

 y3
(1  0)( 1  2)
(0  1)(0  2)
(2  1)( 2  0) 3
4
Значит, этот полином не проходит через точку (4,4).
L4 (4)  2
(4  0)( 4  2)( 4  4)
(4  1)( 4  2)( 4  4)
(4  1)( 4  0)( 4  4)
(4  1)( 4  0)( 4  2)
1
3
4
4
(1  0)( 1  2)( 1  4)
(0  1)(0  2)(0  4)
(2  1)( 2  0)( 2  4)
(4  1)( 4  0)( 4  2)
Значит, этот полином проходит через точку (4,4).
Аппроксимация
Пример задания:
Постановка задачи аппроксимации. Даны точки (1,3), (3,6), (4,4). Найти коэффициенты линейной
аппроксимации
Решение:
Данные точки обозначим (х1,у1), (х2,у2), (х3,у3), аппроксимирующую прямую
F(x)=a0+a1x. Нужно найти коэффициенты прямой а0,а1 такие что сумма квадратов отклонений
n
R=  (yi -( a0+a1xi ))2 была минимальной .
i 1
Сумма квадратов отклонений будет минимальна, если
R
R

0
a 0 a1
R
 2 ( y i  (a1 xi  a 0 ))  2 ( y i  a1 xi  a 0 )  0
a 0
R
2
 2 ( y i  (a1 xi  a 0 )) xi  2 ( y i xi  a1 xi  a 0 xi )  0
a1
 y x a  x  a  x
 y a  x  a n  0
2
i
i
i
1
1
i
i
0
i
0
0
Обозначим
M x   xi , M y   y i ,M xy   xi y i , M xx   xi
2
Везде суммирование ведется по всем точкам i=1..n. Тогда для определения a0 и a1 получается
a1 M xx  a0 M x  M xy
a1 M x  a0 n  M y
система уравнений :
Выражения для параметров имеют вид (приводим вывод)
a1 
M xy n  M x M y
M xx n  M x M x
, a0 
M xx M y  M x M xy
M xx n  M x M x
Найдем значения параметров для данных точек.
Mx=1+3+4=8; Mxx=12+33+42=26;
My=3+6+4=13; Mxy=1*3+3*6+4*4=37; n=3
5
a1 
37  3  8  13
 0.5
26  3  8  8
a0 
26  13  8  37
3
26  3  8  8
Решение СЛАУ методом Гаусса
1. Записать решение СЛАУ методом Гаусса:
 2 x1  3x 2  x3  9

 x1  x 2  2 x3  5
4 x  2 x  4 x  12
2
3
 1
Решение:
Прямой ход метода Гаусса
Преобразуем 2 и 3 уравнения так, чтобы коэффициенты при х 1 стали равны 0. Для
этого будем использовать 1 уравнение.
1 уравнение разделим на а11, умножим на а21 и вычтем из второго уравнения. Т.е.
(2)-(1)* а21/ а11 :
x1  x 2  2 x3  5

3
1
9
x 2  x3 
2
2
2
__________________
1
3
1
 x 2  x3 
2
2
2
1 уравнение разделим на а11, умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения. Т.е.
(3)-(1)* а31/ а11 :
4 x1  2 x 2  4 x3  12
x1 

4 x1  6 x 2  2 x3  18
__________________
 4 x 2  2 x 3  6
Перепишем систему в преобразованном виде:
2 x1  3x 2  x3  9
 1
3
1
  x 2  x3 
2
2
 2

4
x

2
x


6
2
3

Преобразуем 3 уравнение так, чтобы коэффициент при х2 стал равен 0. Для этого
будем использовать 2 уравнение.
2 уравнение разделим на а22, умножим на а32 и вычтем из третьего уравнения. Т.е.
(3)-(2)* а32/ а22 :
 4 x 2  2 x 3  6

 4 x 2  12 x3  4
__________________
 10 x3  10
Перепишем систему в преобразованном виде:
6
2 x1  3x 2  x3  9
 1
3
1
  x 2  x3 
2
2
 2

10
x


10
3

Матрица коэффициентов приведена к треугольному виду. Прямой ход метода Гаусса
закончен.
Обратный ход метода Гаусса.
Найдем значения неизвестных:
x3  10 / 10  1
1 3 
x 2     1 /  1 / 2  2
2 2 
x1  (9  3  2  1) / 2  1
2. Записать решение СЛАУ методом Гаусса:
2 x1  3x 2  x3  6

 x1  x 2  2 x3  4
x  2x  2x  5
2
3
 1
3. Записать решение СЛАУ методом Гаусса:
 2 x1  3x 2  x3  3

 x1  x 2  2 x3  3
4 x  2 x  4 x  8
2
3
 1
4. Записать решение СЛАУ методом Гаусса:
2 x1  2 x 2  x3  5

2 x1  x 2  3x3  7
4 x  3x  x  9
2
3
 1
7