

(11 класс, модуль III, урок 2)
Урок 2. Непрерывность
План урока
 2.1. Определение непрерывности функции
 2.2. Об определении непрерывности функции в изолированной точке
области определения
 2.3. Теоремы об арифметических операциях
функциями
 2.4. Теорема о непрерывности сложной функции
 Тесты
 Домашнее задание
над
непрерывными
Цели урока:
На этом уроке дается определение непрерывности функции в точке,
формулируются и доказываются утверждения об арифметических
операциях над непрерывными функциями, доказывается очень полезная в
дальнейшем теорема о непрерывности сложной функции.
2.1 Определение непрерывности функции
Многие примеры из предыдущего урока приводили к тому, что когда
f ( x ) , то
число a принадлежит области определения функции
lim f ( x)  f (a) . Например, lim x  0 . Однако, так бывает не всегда.
x a
x 0
Привести соответствующий пример удается не сразу, потому что в
школьном курсе математики в основном изучаются простейшие функции.
На многих компьютерах в список стандартных функций входит
функция sgnx «сигнум x », которая определяется следующим образом:
 1, если x  0;

sgn x   0, если x  0;
1, если x  0.

Заметим, что иногда функцию sgn x называют «знак x ».
Имея функцию sgn x , рассмотрим функцию g ( x)  sgn 2 x :
1, если x  0;

g ( x)  sgn 2 x  0, если x  0;
1, если x  0.

Так как при x  0 функция g ( x ) принимает значения 1 , то
lim g ( x)  1 . Это значение не равно g (0) , так как g (0)  0 (рисунок 1).
x 0
Таким образом, функция g ( x ) имеет предел при x  0 , но этот
предел отличается от значения функции g ( x ) в точке 0.
Вопрос. В
чем
разница
между
g ( x)  sgn x ?
функциями
f ( x) 
x2
x
и
Перейдем к определению одной из самых важных характеристик
функций — непрерывности.
Определение 3. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a из
области определения, если lim f ( x)  f (a) .
x a
f ( x)  x 2 непрерывна в точке 2 , так как
lim f ( x)  lim x2  (lim x)2  22  f (2) .
Пример 1. Функция
x 2
x 2
x 2
Вопрос. Как доказать, что функция f ( x)  ( x  3)2 непрерывна в
точке 1?
Вспоминая определение предела функции в точке a из предыдущего
урока, можно дать более развернутое определение непрерывности функции
в точке a : функция f ( x) непрерывна в точке a , если для всякой
последовательности ( xn ) такой, что xn  D , xn  a и xn  a ,
последовательность ( f ( xn )) сходится к f (a ) (при n   ).
Если последовательность ( xn ) сходится к числу a , то xn  a  hn , где
последовательность (hn ) сходится к нулю, нигде не обращаясь в 0. Поэтому
функция f ( x) непрерывна в точке a , если lim f (a  h)  f (a) .
ha
Рассматривая непрерывность функции в разных точках, вводят
понятие непрерывности функции на множестве.
Определение 4. Функция f ( x) называется непрерывной на
множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке множества
M.
Пример 2. Функция f ( x)  1 непрерывна на промежутке (0) , так
x
как при каждом a  0 имеем
lim f ( x)  lim 1  1  1  f (a) .
x a
x a x
lim x a
x a
Непрерывность функции можно рассматривать на отрезке, на
интервале, на множестве, которое устроено сложнее, чем промежуток. В
частности, можно говорить о непрерывности функции в ее естественной
области определения.
Вопрос. Как доказать, что функция f ( x)  1 непрерывна в своей
x
естественной области определения?
2.2. Об определении непрерывности функции в изолированной точке
области определения
Определение непрерывности функции в точке, сформулированное в
предыдущем пункте, неявно предполагает, что непрерывность функции
f ( x ) рассматривается в такой точке a из области определения, что каждая
 -окрестность точки a содержит отличные от a точки из области
определения функции f ( x) . Кроме этого определения непрерывности
иногда рассматривают также следующее определение.
Определение 5. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a из
области определения D , если для каждого положительного числа 
найдется такое   0 , что при всех x , удовлетворяющих условиям
x  D и  x  a   , выполняется неравенство  f ( x)  f (a)   .
Между определениями 3 и 5 есть небольшая разница, которую
поясним на примере.
x 2 . Естественная область определения этой
x 1
функции есть множество D  (1)  0  (1) . Так как существуют
окрестности числа 0, которые содержат только число 0 из области
определения D , то говорить о пределе функции f ( x) в точке O не
приходится. Однако, используя при a  0 определение непрерывности из
данного пункта, имеем следующее. Для каждого положительного числа 
можно взять   1 . Тогда множество всех x из D , удовлетворяющих
2
условию  x  0   , состоит из единственного числа x  0 . Для этого x
неравенство  f ( x)  f (0)   очевидно.
Таким образом, если применить определение 5 , то функцию
Пусть
f ( x) 
2
x 2 следует считать непрерывной в изолированной точке a  0
x2 1
своей области определения.
В том случае, когда определен lim f ( x ) и равен f (a ) , определения 3
f ( x) 
xa
и 5 эквивалентны.
Вопрос. Как можно определить изолированную точку числового
множества?
2.3. Теоремы
функциями
об
арифметических
операциях
над
непрерывными
Теоремы о пределах функции, сформулированные в первом
параграфе, позволяют сформулировать и доказать несколько аналогичных
теорем о непрерывных функциях.
Теорема 6. Пусть функции f ( x) и g ( x ) непрерывны в точке a .
Тогда функции f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) также непрерывны в точке
a.
Теорема 7. Пусть функции f ( x) и g ( x ) непрерывны в точке a и
f ( x)
g ( a )  0 . Тогда функция
также непрерывна в точке a .
g ( x)
Теорема 8. Пусть функции f ( x) , g ( x ) непрерывны на промежутке
D . Тогда функции f ( x)  g ( x) и f ( x)  g ( x) также непрерывны на
промежутке D .
Теорема 9. Пусть функции f ( x) , g ( x ) непрерывны на промежутке
f ( x)
D и g ( x)  0 при всех x  D . Тогда
непрерывна на
g ( x)
промежутке D .
Пример 3. Установив, что lim x  a при любом a , мы приходим к
xa
тому, что функция f ( x)  x непрерывна на всей числовой прямой.
Используя этот результат и применяя теорему 8, для каждого многочлена
можно доказать непрерывность на всей числовой прямой. Например,
функции f ( x)  x 2  3x  1 , g ( x)  x3  5 x всюду непрерывны.
3
Вопрос. Как доказать непрерывность функции f ( x)  2x
в своей
x 1
области определения?
2.4. Теорема о непрерывности сложной функции
Имея две функции f ( z ) и g ( x ) , можно образовать сложную
функцию h( x)  f ( g ( x)) , определенную по правилу: если число a входит в
область определения функции g ( x ) , а число b  g (a ) входит в область
определения функции f ( z ) , то h(a )  f (b)  f ( g (a)) .
Например,
пусть
f ( z)  z
и
g ( x)  sin x .
Тогда
функция
h( x)  f ( g ( x))  sin x определена при таких значениях x , при которых
sin x  0 .
Непрерывность сложной функции можно доказывать на основе
следующей теоремы.
Теорема 10. Пусть функция g ( x ) непрерывна в точке a , а функция
f ( z ) непрерывна в точке b  g (a ) . Тогда сложная функция
h( x)  f ( g ( x)) непрерывна в точке a .
Пример 4. Доказав непрерывность функций f ( z )  z 3 и g ( x)  x 2  1
на всей числовой прямой, на основании теоремы 10 можно сделать вывод о
непрерывности функции h( x)  ( x 2  1)3 на всей числовой прямой.
Вопрос. Как доказать, что функция f ( x) 
1 непрерывна в своей
x2 1
области определения?
Рассмотрим доказательство теоремы 10 о непрерывности сложной
функции.
Пусть функция g ( x ) определена на множестве D1 и непрерывна в
точке a , функция f ( z ) определена на множестве D2 и непрерывна в точке
b  g (a ) . Возьмем произвольное положительное число  . Для функции
f ( z ) по определению 5 найдется такое 1  0 , что при всех z ,
удовлетворяющих условиям z  D и  z  b  1 , выполняется неравенство
 f ( z )  f (b)   . В свою очередь, для функции g ( x ) по определению 5
найдется такое  2  0 , что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D1 и
 x  a   2 , выполняется неравенство  g ( x)  g (a)  1 .
Рассмотрим теперь произвольное x из области определения функции
h( x)  f ( g ( x)) , удовлетворяющее условию  x  a   2 , и обозначим
z  g ( x ) . Тогда  x  a   2 , а поэтому  g ( x)  g (a)  1 , откуда  z  b  1 .
Но тогда  h( x)  h(a)  f ( g ( x))  f ( g (a))  f ( z )  f (b)   .
В итоге для функции h( x)  f ( g ( x)) для каждого натурального числа
K удается найти такое число  2  0 , что при всех x из области определения
функции h( x) и удовлетворяющих условию  x  a   2 , выполняется
неравенство  h( x)  h(a )   . Отсюда по определению 5 получаем
непрерывность функции h( x)  f ( g ( x)) в точке a .
Вопрос. Почему с использованием определения 3 невозможно
доказать непрерывность функции f ( g ( x)) , в точке O , если взять
f ( z )  sin z и g ( x)   , при любом x ?
Мини-исследование.
Для того, чтобы хорошо представлять себе понятие непрерывности
функции в точке, полезно разобраться в том, что означают слова «функция
f ( x ) не является непрерывной в точке a ». Если функция f ( x ) не является
непрерывной в точке a , то ее принято называть разрывной в точке a , а
саму точку a – точкой разрыва функции f ( x) .
В примере с функцией sgn 2 x , рассмотренном в самом начале уроке,
точка 0 является точкой разрыва, однако кажется немного «ненастоящей»,
так как если переопределить исходную функцию, положив ее значение в
нуле равным 1, то получим непрерывную в 0 функцию, тождественно
равную 1 на всей числовой прямой. Такой разрыв естественно назвать
устранимым.
Функцию sgn x можно представлять себе как бы «склеенной» из
нескольких функций: для x  0 – это функция, тождественно равная 1 ,
предел которой в точке 0 существует и равен 1 ; для x  0 – это функция,
тождественно равная 1 , предел которой в точке 0 существует и равен 1 ; и,
наконец, при x  0 – это нуль.
Такую точку разрыва, как в данных примерах, называют точкой
разрыва первого рода.
Легко указать принципиально отличные от предыдущих примеры
точек разрыва. Рассмотрим хорошо знакомую нам функцию f ( x)  1 ,
x
разрывную в нуле хотя бы потому, что она в нуле не определена. Ее тоже
можно представить себе как бы «склеенной» из двух функций: для x  0 –
это функция, равная 1 , предел которой в точке 0 не существует; для x  0 –
x
это функция, равная 1 , предел которой в точке 0 не существует; таким
x
образом, 0 является такой точкой разрыва, что ни при стремлении x к нулю
«слева», ни при стремлении x к нулю «справа», предела не существует.
f ( x) ,
Рассмотрим
теперь
функцию
определенную
формулой
x | x |
f ( x)  1
, которая при x  0 тождественно равна 0, а при при x  0
2 x2
равна 1 . Ее предел слева в точке 0 равен 0, а предела справа в нуле не
x
существует. Такую точку разрыва, как в последних примерах, называют
точкой разрыва второго рода.
1) Дайте определение точек разрыва первого и второго рода, и
приведите несколько новых примеров.
0, если x  0;
2) Докажите, что функция f ( x)   1
разрывна в нуле.
sin
,
если
x

0

x
Разрыв какого рода представляет точка x  0 ?
3) Докажите, что функция f ( x)  x  sin 1 имеет в нуле устранимый
x
разрыв первого рода.
Проверь себя. Непрерывность
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
 x  a при x  1,
При каких a и b функция f ( x)  
непрерывна на всей
 x  b при x  1
числовой прямой:
 1. a  0, b  0 ;  2. a  1, b  1 ;  3. a  4, b  1 ;  4. a  1, b  4 ?
(Правильный вариант: 2)
 x 2  2 x  a при x  2,
При каком условии на a и b функция f ( x)   2
 x  4 x  b при x  2
непрерывна на всей числовой прямой:
 1. a  b  4 ;  2. a  b  2 ;  3. a  b  2 ;  4. a  b  4 ?
(Правильный вариант: 1)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Функция f ( x) называется непрерывной в точке a , если a является
предельной точкой области определения, и :
 1. для всякой последовательности ( xn ) такой, что xn  D , a  D и xn  a ,
последовательность ( f ( xn )) сходится к f (a ) ;
 2. для любого положительного числа  и всякой последовательности ( xn )
такой, что xn  D , a  D и xn  a , найдется такое положительное N , что
при всех n  N выполняется неравенство;  f ( xn )  f (a)   ;
 3. для
любого
положительного
числа
найдется
такая

последовательность ( xn ) что xn  D , a  D , lim xn  a , для которой
n 
выполняется неравенство  f ( xn )  f (a)   ;
 4. для
любого
положительного
числа
найдется
такая

последовательность ( xn ) , что xn  D , lim xn  a и выполняется равенство
n 
lim f ( xn )  f (a) .
n 
(Правильные варианты: 1, 2)
Функция f ( x) называется непрерывной в точке a , если a является
предельной точкой области определения, и :
 1. для каждого положительного числа  найдется такое   0 , что при
всех x , удовлетворяющих условиям x  D и  x  a   , выполняется
неравенство  f ( x)  f (a)   ;
 2. для любого положительного числа  найдется такое положительное  ,
что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D , и   x  a   ,
выполняются неравенства   f ( x)  f (a)   ;
 3. для любого положительного числа  найдется такое положительное  ,
что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D , x  a и   x  a   ,
выполняются неравенства   f ( x)  f (a)   ;
 4. для любого положительного числа  и любого положительного числа
 при всех x , удовлетворяющих условиям x  D , и 0  x  a   ,
выполняется неравенство  f ( x)  f (a)   .
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
Если функции f ( x) и g ( x ) непрерывны на всей числовой прямой, то
следующая функция всегда непрерывна на всей числовой прямой:
f ( x)
 1. f ( x)  g ( x) ;  2. f ( x)  g 2 ( x) ;  3. 2 ;  4. f 2 ( x)  g 2 ( x) .
g ( x)
(Правильные варианты: 1, 2, 4)
Домашнее задание
1. Докажите непрерывность функции в каждой точке области определения:
а) f ( x)  3x  2 ; б) f ( x)  x5  2 x3  x ; в) f ( x)  ( x  1)3 ; г) f ( x)  2 x  1 ;
3x  1
3
x
д) f ( x)  2
; е) f ( x)  1  1 .
x x 1
x 1
f ( x)  x sin 1 при x  0 и а (0)  0 . Докажите, что
x
непрерывна в нуле.
2.** Пусть
f ( x)
p
3.** Пусть f ( x)  0 , если x иррационально, и f ( x)  1 , если x  , где p
q
q
и q взаимно простые целые числа и q  0 . Докажите, что f ( x) непрерывна
в нуле.
4.* Пусть f ( x)  x при x  1 и f ( x)  x 2 при x  1 . Докажите, что f ( x)
непрерывна на всей числовой прямой.
5.** Пусть f ( x)  x2  1 при x  1 и f (1)  1 , f (1)  1 . Докажите, что:
2
x 1
а) f ( x) непрерывна в точке 1 ;
б) f ( x) не является непрерывной в точке 1 ;
в) f ( x) непрерывна в каждой точке a , отличной от 1 и 1 .
6. Какой вид имеет функция f ( g ( x)) , если:
а) f ( x)  sin x и g ( x)  x2  1 ;
б) f ( x)  x 2  2 x  1 и g ( x)  cos x ;
2
в) f ( x)  log 2 x и g ( x)  2x ;
x 1
г) f ( x)  lg x  sin x и g ( x)  cos x ;
д) f ( x)  x2  1 и g ( x)  tg x ;
x 1
е) f ( x)  tg x и g ( x)  log2 x  logx 2 ;
2
ж) f ( x)  x и g ( x)  x  5 .
x
7.** Какой вид имеет функция f ( g (h( x))) , если:
а) f ( x)  x 2  x , g ( x)  2 x , h( x)  sin x ;
б) f ( x)  ( x  1)2 , g ( x)  x , h( x)  1  sin 2 x ;
в) f ( x)  arcsin x , g ( x)  2 x 2  1 , h( x)  lg x ;
г) f ( x)  x 2  x  1 , g ( x)  x 2  x  1, h( x)  x 2  x  1 .
8.* Представьте заданную функцию в виде сложной функции f ( g ( x)) :
а) sin 3 x  3sin x ; б) x  2 x  1;
в) log3sin x  sin x ; г) log3 (sin x  x) ;
д) 1  sin 2 x  sin 2 x ; е) arcsin x
 0, если x рационально,
9.** Пусть f ( x)  
 1, если x иррационально,
g ( x)   x – целая часть x , h( x)  x – дробная часть x . Найдите, по
какому правилу действуют функции:
а) f ( g ( x)) ; б) g ( f ( x)) ; в) f ( h( x )) ; г) h( f ( x )) ; д) f ( g (h( x))) ; е) h( g ( f ( x))) ;
ж) g (h( f ( x))) .
Словарь терминов
Предел функции. Число M называется пределом функции f ( x) в точке a ,
если для всякой последовательности ( xn ) такой, что xn  D , xn  a и
xn  a , последовательность ( f ( xn )) сходится к M (при n   ). Предел
функции f ( x) в точке a обозначают lim f ( x ) . Равенство lim f ( x)  M
xa
xa
означает, что функция f ( x) имеет в точке a предел, равный M . В этом
случае иногда говорят, что значения функции f ( x) стремятся к числу M
при x , стремящихся к числу a .
Другое, эквивалентное приведенному, определение предела функции в
точке – число M называется пределом функции f ( x) в точке a , если для
каждого положительного числа  найдется такое   0 , что при всех x ,
удовлетворяющих условиям x  D , x  a и  x  a   , выполняется
неравенство  f ( x)  M   .
Предельная точка. Точкой a множества M называется предельной точкой
множества, если каждая ее окрестность содержит точки из M , отличные от
точки a . Предельная точка множества M не обязательно принадлежит
этому множеству, например, точка 0 является предельной точкой
промежутка (0;1] , но не принадлежит ему. Понятие предела функции f ( x)
вводят в таких точках a числовой прямой, что каждая  -окрестность числа
a содержит числа из области определения функции f ( x) , отличные от a ,
то есть в предельных точках области определения D f функции f ( x) .
Изолированная
точка.
Точка
a,
принадлежащая
множеству
M,
называется изолированной точкой множества M , если найдется такая
окрестность точки a , в которой кроме самой точки a нет других точек
множества M .
Окрестность точки.  -окрестностью числа a называется множество всех
таких чисел x , что  x  a   . Эту   окрестность можно записать в виде
интервала (a    a   ) или в виде неравенств a    x  a   .
Непрерывность функции в точке. Функция f ( x) называется непрерывной
в предельной точке a области определения, если lim f ( x)  f (a) . Часто
x a
дают немного отличное от приведенного определение непрерывности
функции в точке – функция f ( x) называется непрерывной в точке a из
области определения D , если для каждого положительного числа 
найдется   0 такое, что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D и
 x  a   , выполняется неравенство  f ( x)  f (a)   . Это определение
позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке
своей области определения.
Непрерывность функции на множестве. Функция f ( x) называется
непрерывной на множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке
множества M .
Разрывность функции в точке. Функция f ( x) называется разрывной в
предельной точке a области определения, если
1) либо функция f ( x) не определена в точке a ,
2) либо не существует lim f ( x ) ,
xa
3) либо lim f ( x)  f (a ) .
xa
Для того, чтобы установить разрывность функции f ( x) в точке a области
определения D достаточно найти такую последовательность ( xn ) , что
xn  D , xn  a , xn  a , но последовательность ( f ( xn )) расходится (при
n   ), либо последовательность ( f ( xn )) имеет предел, но он не равен
f (a) .
Точка разрыва первого рода – это такая предельная точка a области
определения D функции f ( x) , что для всякой последовательность ( xn ) , для
которой xn  D , xn  a , xn  a , существует предел последовательности
( f ( xn )) , равный числу L ; для всякой последовательность ( xn ) , для которой
xn  D , xn  a , xn  a , существует предел последовательности ( f ( xn )) ,
равный числу L  , но по крайней мере одно из этих чисел не равно f (a ) .
Если L  L разрыв называется устранимым.
Точка разрыва второго рода – это такая предельная точка a области
определения D функции f ( x) , что не существует предела lim f ( xn ) либо
x 
для всякой последовательности ( xn ) , сходящейся к a , оставаясь меньше a ;
либо для всякой последовательности ( xn ) , сходящейся к a , оставаясь
больше a ; либо в обоих случаях.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. –
11-3-04.cdr