Задания и методические рекомендации по выполнению

Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики
среднего профессионального образования
«Чебоксарский экономико-технологический колледж»
Министерства образования и молодежной политики
Чувашской Республики
Задания и методические рекомендации по
выполнению контрольных работ
студентами заочного отделения.
Специальность 080110
Банковское дело
Разработал: Григорьева М.Г. преподаватель математики
БОУ СПО Чебоксарский экономико-технологический колледж
Чебоксары 2014
1
Рецензия на методическую разработку преподавателя БОУ СПО Чебоксарский
экономико-технологический колледж Григорьевой Марины Геннадьевны.
«Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами
заочного отделения. Специальность 080110 Банковское дело».
Представленная на рецензию методическая разработка «Задания и методические
рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного
отделения.Специальность 080110 Банковское дело» содержит систематизированное
изложение курса «Математика» для обучения студентов заочного отделения. Данное
пособие ставит своей целью оказание помощи студентам заочного отделения в
организации их самостоятельных работ по овладению системой знаний, умений и навыков
в объёме действующей программы.
Методическая разработка включает в себя: предисловие, главы с кратким
изложением теоретических вопросов и основных математических понятий, подробно
разобрано решение некоторых задач, контрольные задания, список использованной
литературы.
В предисловии отмечено, что математика должна преподаваться не как изолированная
дисциплина, она должна быть достаточно содержательна с точки зрения прикладной
значимости и профессиональной направленности.
В главах приведены краткие основные теоретические сведения, необходимые студенту
для самостоятельной работы. При подготовке методического пособия автор стремился, с
одной стороны, тесно увязать предлагаемые для рассмотрения примеры с
соответствующими программами курса и, с другой стороны, составить упражнения,
наполненные экономическим содержанием, чтобы показать возможность и
целесообразность использования математического аппарата в экономических и
технологических исследованиях.
Задания контрольной работы студентов даны в конце пособия. Контрольная работа имеет
10 вариантов.
Рецензент:
Иванова А.П. преподаватель математики
БОУ СПО Чебоксарский экономико-технологический колледж
2
Содержание.
Предисловие…………………………………………………………………………….2
Глава 1.Элементы матричной алгебры
1.1. Понятие о матрицах………………………………………………………………..4
1.2. Основные понятия теории матриц………………………………………………..5
1.3. Операции над матрицами……………………………………….............................6
1.4. Свойства операций над матрицами…………………………………………….....7
1.5. Определители квадратных матриц…………………………………………....…..8
Глава 2. Системы линейных уравнений.
2.1. Основные понятия и определения………………………………………...............13
2.2. Метод Крамера для решения систем линейных
алгебраических уравнений………………………………………………….............….14
2.3. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы……………................….15
2.4. Решение систем линейных алгебраических (СЛАУ) методом Гаусса…………18
Глава 3.Системы линейных неравенств.
3.1. Уравнение прямой на плоскости…………………………………………….....….22
3.2. Линейные неравенства. ………………………………………………………....…24
3.3. Система неравенств……………………………………………………………...…26
Глава 4.Линейное программирование.
4.1.Содержание математического программирования. Общие понятия линейного
программирования…………………………………………………………………….....28
4.2. Графический метод решения задач линейного программирования…………......32
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.1 Производная…………………………………………………………………………39
5.2.Дифференциал функции……………………………………………………………40
5.3.Основные правила дифференцирования………………………………………….40
5.4.Таблица производных………………………………………………………………40
Глава 6. Интегральное исчисление
6.1. Первообразная, неопределенный интеграл……………………………………….44
6.2.Свойства неопределенного интеграла……………………………………………..44
6.3.Таблица неопределенных интегралов………………………………………………44
6.4. Два основных метода интегрирования…………………………………………….45
6.5. Свойства определенного интеграла………………………………………………..47
Список рекомендуемой литературы…………………………………………………….48
Контрольная работа………………………………………………………………………49
3
Предисловие.
Социально-экономические реформы в России предъявляют новые требования к
системе образования.
Взаимосвязь с практическим опытом - это возможность обеспечивать связь
математики с другими областями деятельности на самых различных уровнях:
внутрипредметном: связь между различными разделами внутри самой математики;
межпредметном: связь с другими дисциплинами образовательной программы;
практическом: связь с реальными жизненными ситуациями и проблемами;
профессиональном: связь со специальными проблемами, возникающими на рабочем
месте, на производстве.
Иными словами, математика должна преподаваться не как изолированная дисциплина,
она должна быть достаточно содержательна с точки зрения прикладной значимости и
профессиональной направленности.
При изучении основ рыночной экономики и предпринимательства большое
внимание уделяется выявлению и анализу количественных взаимосвязей, соотношений
между явлениями и процессами. Преподавание математических дисциплин должно
включать в себя использование конкретных примеров, имитирующих те или иные
хозяйственные ситуации, закономерности.
Данное пособие содержит систематизированное изложение курса «Математика» и
соответствует требованиям государственного образовательного стандарта.
4
Глава 1.
Элементы матричной алгебры.
1.1. Понятие о матрицах.
Понятие матрицы и основанный на нём раздел математики – матричная алгебра – имеют
важное значение для специалистов различного профиля – бухгалтера, товароведов,
менеджера и особенно экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть
математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно
простой и компактной матричной форме.
Матричные модели представляют собой модели, построенные в виде таблиц
(матриц). Эти модели находят широкое применение при решении плановых и
экономических задач и при обработке больших массивов информации.
Например: На складах фирмы:
Склад 1
Склад 2
Склад 3
Сахар
200
100
150
Соль
350
200
180
Мука
400
250
260
Эти данные можно записать в форме матрицы (массива) чисел:
 200 100 150 


 350 200 180 
 400 250 260 


С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например,
таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)
Ресурсы
Отрасли экономики
промышленность
сельское хозяйство
Электроэнергия
5,3
4,1
Трудовые ресурсы
2,8
2,1
Водные ресурсы
4,8
5,1
Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по
отраслям:
 5,3 4,1


 2,8 2,1
 4,8 5,1


Коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений
3x  5 y  z  14

 x  3 y  7 z  22
2 x  y  3z  6

также могут быть выделены в отдельную матрицу коэффициентов:
3  5 1 


1 3  7
 2 1  3


Матрицы коэффициентов – инструмент решения задач линейного программирования.
Этим инструментом мы овладеем, когда поближе познакомимся с самой матрицей и
действиями над ними.
1.2. Основные понятия теории матриц.
Матрица – это прямоугольная таблица чисел или других величин.
5
Любое число такого массива называется элементом матрицы.
Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально, называется строкой матрицы, а
вертикально – столбцом.
Количество строк в матрице обычно обозначается m, количество столбцов – n.
Количество элементов в матрице называется размерностью матрицы и обозначается
m x n.
Матрицу обычно обозначают большой буквой: А.
Её элементы обозначаются той же, но маленькой буквой с индексами:
a ij
, где i – номер строки, j – номер столбца, где стоит элемент a, причём i=1…m, j=1…n.
Общий вид матрицы:
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
 ...
... ... ... 


a

a
...
a
m2
mn 
А=  m1
.
Определение 1. Когда в матрице число строк равно числу столбцов, т.е. m=n, то она
называется квадратной.
Например:
a12 
a

A2 x 2   11
 a 21 a 22  .
Определение 2. Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая её от a11 до
a mm , называется главной диагональю, а наоборот, от a m1 до a1m
- побочной диагональю.
Определение 3. Если все элементы матрицы равны 0, то она называется нулевой.
Например:
 0 0 0


 0 0 0
 0 0 0
.
О= 
Определение 4. Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на
главной диагонали, равны 0, называется диагональной:
 4 0 0


 0 6 0
 0 0 2
.
А= 
Определение 5. Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные на
главной диагонали, - единицы, а остальные – нули, называется единичной.
Единичную матрицу обозначают Е.
Например:
1 0 0 0


 0 1 0 0
 0 0 1 0


0 0 0 1

.
Е=
a
Матрица называется положительной, если все её элементы ij >0.
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор – строкой (или матрицей строкой).
6
Х= x1 , x2 ,...xn  . Размерность: 1 х n.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом ( или матрицей столбцом).
Например:
 b1 
 
b2 
 ... 
 
b 
В=  m  . Размерность: m х 1.
1.3. Операции над матрицами.
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причём
некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые отличны от них.
1.Умножение матрицы на число:
Произведением прямоугольной матрицы А на число  называется матрица В=  А,
(b  aij )
a
элементы которой ij
получены из элементов ij умножением на число  :
 a11................a1n 


B  A   .............................. 
 a ................a 
mn 
 m1
.
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Пример:
18 45 27   6 15 9 

  3

 21 9 15   7 3 5  .
В частности, произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица, т.е.
0*А=О.
2. Сложение и вычитание матриц.
Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих одинаковую размерность m х n
c  aij  bij cij  aij  bij 
называется матрица С = А + В (C=А-В), элементы которой ij
, где
i  1,2......, m, j  1,2,....., n (т.е. матрицы складываются (вычитаются) поэлементно).
Разность двух матриц одинакового размера следует из равенства С= А – В = А + (-1)В.
Например:
 1 4 9   5 8  4   6 12 5 

 
 

 2 7 8    6  1 3    8 6 11
 3 6 5  7 5
0  10 11 5 
 
С =
.
В частности, А+О=А.
Итак, складывать и вычитать можно только матрицы с одинаковой размерностью.
3. Умножение матриц.
Замечание: Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов
A B
первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц mk k n
C
c
называется такая матрица m n , каждый элемент которой ij равен сумме произведений
элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В,
т.е. каждый элемент матрицы С вычисляется по формуле:
n
cij   a ik  bkj
k 1
, где i  1,2,....., m, j  1,2,......., n.
7
Пример 1:
 1 3 0


3 2 1
, B   1 1 3 
A  
23
 4 0 2  33  4 0 0 


3

1

2

1

1

4
3

3

2

1

1
 0 3  0  2  3  1  0   9 11 6 

  

C  A  B  
 4  1  0  1  2  4 4  3  0  1  2  0 4  0  0  3  2  0  12 12 0  .
Пример 2: Найти произведения матриц АВ и ВА, если
 0 3


 2 1 1
 1 5




0
3
2

 , В=   1 1  .
А=
 0 12 

A  B  C  
23 32
22
1
17

;
Решение.
 0 9 6


B  A  D   2 16 11
32 23
33
 2 2 1 

.
Частный случай: АЕ=ЕА=А.
1.4. Свойства операций над матрицами.
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над
матрицами (что следует из определений этих операций):
А + В = В + А.
(А + В) + С =А + (В + С).
  (А + В)=   А +   В
А(В + С)=АВ + АС
А(ВС)=(АВ)С
 (АВ)=(  А)В
An  
A 
A  ...



A
n  раз
АЕ=А
АО=О.
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, к примеру, операция умножения
матриц, имеет некоторые отличия от умножения чисел:
АВ  ВА. В этом мы убедились на примере 2.
Если произведение АВ существует, то произведение ВА может и не существовать. Если
даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
1.5. Определители квадратных матриц.
Необходимость введения определителя-числа, характеризующего квадратную матрицу
А - тесно связано с решением линейных уравнений. Определитель матрицы А
A
обозначается
, или  , или detA. Определитель(детерминант) (от латинского слова
8
determinantis-определяющий) особого рода математическое выражение, встречающееся в
различных областях математики.
Определение 6. Определителем матрицы первого порядка A  (a11 ) , или
определителем первого порядка, называется число, равное элементу a11 :
1  A  a11
  A  a11  3
Пример: А=(3), то 1
Пусть данная квадратная матрица второго порядка:
Определение 7. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим
данной матрице А, называют число a11  a22  a12  a21 .
Определитель второго порядка записывается так:
Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений
элементов главной и побочной диагоналей.
 2 3
,  2  2  5  3  1  7
A  
1
5


Пример:
Пусть данная квадратная матрица третьего порядка:
Определение 8. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим
данной матрице, называется число
a11a22 a33  a21a32 a13  a12 a23 a31  a31a22 a13  a11a23 a32  a33a12 a21
Определитель третьего порядка записывается так:
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом
треугольников (правилом Сарруса). Это правило проиллюстрируем на схеме.
9
Три положительных члена определителя представляют собой произведение элементов
главной диагонали ( a11  a 22  a33 ) и элементов, находящихся в вершинах двух
равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали
( a 21  a32  a13 и a12  a 23  a31 ).
Три отрицательных его члена есть произведения элементов, побочной диагонали
( a13  a 22  a31 ) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников,
основания которых параллельны побочной диагонали ( a12  a 21  a33 и a11  a 23  a32 ).
Пример1: Вычислить определитель третьего порядка:
1 1 1
A2
1
1
1
1 ,  3  1  1  2  (1)  1  1  1  1  2  1  1  1  2  (1)  2  1  1  1  5
2
Примеры решения заданий по темам .
Примеры:
1. Сложить две матрицы А и В, если
a)
Решение
Матрицы А и В квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие
элементы, получаем:
b)
Решение
Матрицы А и В прямоугольные матрицы размера 2x3. Складывая их соответствующие
элементы, получаем:
2. Умножить матрицу А на число k
10
Решение
Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим
3. Найти линейную комбинацию 3А-2В матриц:
Решение
Сначала находим произведение А на на 3, затем В на 2
Теперь найдем разность полученных матриц
4. Найти произведения матриц
Решение
Найдем каждый элемент матрицы произведения
11
5. Вычислить
Решение
6. Вычислить определитель второго порядка
Решение
7. Вычислить определители третьего порядка.
12
Решение
Правило Сарруса:
Задания для самоконтроля.
 5 8 4


А   3 2 5
7 6 0

 . Какую матрицу В нужно прибавить к матрице А, чтобы
Дана матрица
получить единичную матрицу?
  4  8  4


B    3 1  5
 7  6 1 


Ответ:
2 1 1


A  1 2 1
 1 1 2

 . Найти сумму матриц A2  A  E .
Дана матрица
9 6 6


 6 9 6
6 6 9

Ответ: 
 2 0


3 4 2
1 3
; B   1 3 ; C  

A  
1
0
5
0
4






2
 0 5
Вычислить матрицу D  ( AB)  C , где
.
9 7


2
9

.
Ответ:
 4 3
  28 93 
 7 3
; B  
; С  

A  
7
5
38

126
2
1





.
4. Найти произведение матриц АВС, где
 2 0


0
3

.
Ответ:
13
 1 2  3
1


 
А   1 0 2 ; B   2 ; C  2 0 5
4 5 3 
1


 
Вычислить матрицу D=ABC-3E, где
, Е- единичная
матрица.
0 10 
1


 6  3 15 
 34 0 82 
.
Ответ: 
 1 1  1
7 0 0




A  3 1 2 
 0 7 0
2 1 0 


3

 . Ответ:  0 0 7  .
Вычислить A , если
Глава 2. Системы линейных уравнений.
Задача: Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог,
кроссовок и ботинок; при этом используется сырьё трёх типов. Нормы расхода каждого из
них на одну пару обуви и объём расхода сырья на один день заданы таблицей:
Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви.
Виды
сырья
Нормы расхода сырья на одну пару расхода
сырья на
один день,
Сапоги
Кроссовки Ботинки
усл. ед.
1
5
3
4
2700
2
2
1
1
900
3
3
2
2
1600
По условию этой задачи можно составить следующую систему уравнений:
5 x  3 y  4 z  2700

2 x  y  z  900
3x  2 y  2 z  1600

К системам линейных уравнений приводит множество прикладных и экономических
задач.
2.1. Основные понятия и определения.
Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..........
..........
..........
..........
......

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
,
aij , bi
Где
- произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при
переменных и свободными членами уравнений.
14
Определение 1. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Определение 2. Совместная система уравнений называется определённой, если она имеет
единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.
Решить систему уравнений можно по формулам Крамера.
2.2. Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Теорема Крамера: Пусть  - определитель матрицы системы А, а j - определитель
матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Тогда, если   0 , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
j
xj 
, ( j  1,2,3...., n)

Эти формулы получили название формул Крамера.
1. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
a11 x1  a12 x2  b1

a 21 x1  a 22 x 2  b2
Составим из коэффициентов и свободных членов три определителя:
a
a12
b a12
a
b
  11
 x1  1
 x2  11 1
a 21 a 22
b2 a22
a 21 b2
Второй и третий определители получаются из первого определителя заменой
соответствующего столбца столбцом свободных членов. Тогда по формулам Крамера:
x
x
x2  2
x1  1
 .

x j
Замечание. Если  =0, а хотя бы один из определителей
не равен 0, то система
несовместна и не имеет решений. Если все определители системы =0, то система
неопределенна и имеет бесконечно много решений.
Пример 1.
3x  2 y  4

4 x  5 y  13

3 2
 15  8  23
4 5
x 
4 2
 20  26  46
13  5
y 
3 4
 39  16  23
4 13
y
 x  46
23

 2, y 

 1

 23

 23
Ответ: (2;-1)-решение системы.
2. Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
x
15
a11
a12
a13
  a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
x1 
 x1
, x2 
 x2
b1
 x1  b2
a12
a 22
a13
a11 b1
a 23  x2  a 21 b2
a13
a11
a 23  x3  a 21
a12
a 22
b1
b2
b3
a32
a33
a33
a32
b3
,
, x3 
 x3
a31 b3
,
,
a31



Пример (решим исходную задачу):
5 x  3 y  4 z  2700

2 x  y  z  900
3x  2 y  2 z  1600

5 3 4
  2 1 1 1
3 2 2
2700 3 4
 x  900 1 1  200
1600 2 2
5 2700 4
 y  2 900 1  300
3 1600 2
5 3 2700
 z  2 1 900  200
3 2 1600
Итак, x=200,y=300,z=200, т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300-кроссовок, 200 пар
ботинок.
Задачи для самоконтроля:
3 x  2 y  z  3
1  43 8

1.5 x  2 y  2 z  3 Ответ : ( ;
; )
25 25 25
 x  y  z  2

 x1  x 2  x3  3

2.2 x1  x 2  x3  11Ответ : (4;2;1)
x  x  2x  8
2
3
 1
Существует ещё много методов для решения систем линейных уравнений.
2.3. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.
Дана прямоугольная матрица:
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
 ...
... ... ... 


a

a
...
a
m2
mn 
А=  m1
Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов ( k  m, k  n ).
Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют
квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы является минором k-го
16
порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров может быть несколько.
При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n. Из всех
возможных миноров матрицы А выделим те, которые отличны от нуля. В свою очередь,
среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.
Определение 5. Наибольший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля,
называется рангом этой матрицы.
Обозначают ранг так: r(A).
Пример 1.
 4 0  8 0


 2 0  4 0
A
3 0  6 0


1 0  2 0


Вычислить ранг матрицы
Решение: Сама матрица А имеет четвёртый порядок, поэтому r(A)  4 . Однако легко
A 0
проверить, что
, так как матрица содержит нулевой столбец, поэтому r(A)  3 . Все
подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевой
определитель, значит r(A)  2 . Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой
столбец (второй или четвёртый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и
третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом r(A)  1 . Поскольку
матрица содержит ненулевые элементы, то r(A)  1 .
1 3 0 4 


A  3 2 0 1 
 2  1 0  3


Пример 2. Вычислить ранг матрицы
Решение: Для матрицы A34 r(A)  min( 3;4)  3 . Проверим, равен ли ранг трём, для этого
вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего
порядка (их всего 4, они получаются при вычёркивании одного из столбцов матрицы):
3 0 4
1 0 4
1 3
4
1 3 0
2 0 1  0; 3 0 1  0; 3 2
1  0; 3 2 0  0
1 0 3
2 0 3
2 1  3
2 1 0
.

2
Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(A)
. Так как существует ненулевой
1 3
 7  0
3
2
минор второго порядка, например
, то r(A)  2 .
В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно
трудоёмко. Для облегчения этой задачи используются преобразования матриц,
сохраняющие её ранг.
Назовём элементарными преобразованиями матриц следующие:
Отбрасывание нулевой строки (столбца).
Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов
другой строки (столбца), умноженных на любое число.
Транспонирование матрицы.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так
называемому ступенчатому виду, когда вычисление её ранга не представляет труда.
Напомним: Определение . Матрица А называется ступенчатой («треугольной»),
если она имеет вид:
17
 a11

 0
 ...

 0
А= 
... a1k 

... a 2 k 
... ... ... ... ... 

0 ... a rr ... a rk 
Замечание. Условие r  k всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r , так как имеется минор r-го
порядка, не равный нулю:
a11 a12 ... a1r
a12 ... a1r
a 22 ... a 2 r
0
...
0
a 22 ... a 2 r
 a11  a 22  ...  a rr  0
... ... ...
0 ... a1r
Покажем на примере вычисление ранга матрицы с помощью элементарных
преобразований.
Пример. Найти ранг матрицы
5 2 1 3


3 1 1 2
1 2 4 8


3 1 1 2


Решение. Превратим данную матрицу в трапециидальную с помощью элементарных
преобразований:
2 1 3  1 2
5
3  1 2
5
3 
5 2 1 3  5

 
 
 

3 1 1 2   2  3 0 1  0  3  2 1  0  3  2 1
 1 2 4 8     19  6 0  4    0  6  19  4    0 0  15  2 

 
 
 

3 1 1 2   2  3 0 1  0  3  2 1  0 0
0
0 

 
 
 
Таким образом, ранг матрицы равен 3.
Вывод.
Алгоритм отыскания ранга матрицы методом элементарных преобразований:
элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапециидальную (привести к
треугольному виду);
подсчитать число ненулевых строк в полученной матрице.
Решение задач по теме.
Найти ранги матриц:
5 1 1 5
0


6
2 5
2
3
0 1 6



 1  3 1 3 0
4 1 5 


 2  6  1
 3 1 0 4 6




1)
6)
3 4  5 1 7 


 1 2  3  5
 8 7  2  1 15 


 2 1 8  3 1 
14
28

42
70



2)
7) 
18
2 5
1 3 7


 1 0 4 8 3
 3 6 10  4 7 

3) 
 1 2 1 4


 0 5 1 4
 1 3 4 6

4) 
 2 1 1 2


 1 2 0 3
 2 3 1 5


1 1  2 1


5)
1

11
5


8)  4
3 1 4 1

3 5 5 2
5 3 17 12 

2 2 3 1 
9)
5
2
1 
 5 1


 6  2  10  4 1 
 7
1
5
2  8 

10)
10 24 20  44  10 


6
12
17 
2 3
 5 10  10 10
25 

2.4. Решение систем линейных алгебраических (СЛАУ) методом Гаусса.
Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с помощью
обратной матрицы и методом Крамера является их большая трудоёмкость, связанная с
нахождением определителей и обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют
скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения
реальных производственных задач с большим количеством неизвестных.
В таких случаях наиболее эффективным является метод Гаусса.
Метод Гаусса-метод последовательного исключения переменных -заключается в том, что
с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной
системе ступенчатого(или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с
последних переменных находятся все остальные переменные.
При работе с уравнениями системы можно использовать следующие элементарные
преобразования:
Умножение и деление коэффициентов на одно и то же число.
Перестановка уравнений системы.
Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и
свободные члены равны нулю.
Сложение (вычитание) уравнений системы.
Рассмотрим применение метода Гаусса на примере:
3x  2 y  z  4

2 x  y  3z  9
x  2 y  2z  3
Пример. Решить систему уравнений: 
.
Приведём данную систему к ступенчатому виду: переставим местами первое и третье
уравнения:
x  2 y  2z  3

2 x  y  3z  9
3x  2 y  z  4

Умножим первое уравнение на -2 и прибавим его ко второму:
x  2 y  2z  3

0  3 y  z  3
3x  2 y  z  4

Умножим первое уравнение на -3 и прибавим его к третьему уравнению:
19
x  2 y  2z  3

0  3 y  z  3
0  8 y  7 z  5

Второе уравнение умножим на 8, а третье на -3 и прибавим полученное второе к
полученному третьему:
x  2 y  2z  3

0  3 y  z  3
0  0  13z  39

Мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду (говорят «выполнили
прямой ход»), теперь найдём значения неизвестных (выполним «обратный ход»):
 13z  39  z  3
3y  3  3  y  2
x  4 6  3  x 1
Ответ: (1;2;3)
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с
самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу
 a11 a12 ... a1n b1 


 a 21 a 22 ... a 2 n b2 
A1  
...
... ... ...... ... 


a

a
...
a
b
m2
mn
m
 m1
,
Называемую расширенной матрицей системы, ибо в неё, кроме матрицы системы А,
дополнительно включён столбец свободных членов.
Пример 1.
 x1  2 x 2  3x3  2 x 4  6
2 x  4 x  2 x  3x  18
 1
2
3
4

3x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
2 x1  3x 2  2 x3  x 4  8.
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:
1 2
3 2 6 


 2 4  2  3 18 
3 2 1 2 4 


2  3 2

1

8


Шаг 1. Так как a11  0 , то умножая вторую, третью и четвёртую строки матрицы на числа
(-2),(-3),(-2) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей, четвёртой
строкам, исключим переменную x1 из всех строк, начиная со второй. Заметив, что в новой
матрице
1 2

0 0
0  4

0  7

a22  0 , поменяем местами вторую и третью строки:
3  2 6  1 2
3 2 6 
 

 8 1 6   0  4  10 8  14 

.
 10 8  14   0 0
8 1 6 
 

 4 5 20   0  7  4 5  20 
20
 7
 
Шаг 2. Так как теперь a22  4  0 , то умножая вторую строку на  4  и прибавляя
полученную строку к четвёртой, исключим переменную x 2 из всех строк, начиная с
третьей:
3
2 6 
1 2
3
 2 6   1 2



0

4

10
8

14


0

4

10
8

14




0 0
8
1
6 .
8
1 6  0 0


117 117 

 0 0 13,5 9 4,5   0 0
0


 
16 8 
Шаг 3. Учитывая, что a33  8  0 , то умножаем третью строку на (13,5/8=27/16) и
прибавляя полученную строку к четвёртой, исключим переменную x3 . Получим (см.
последнюю матрицу) систему уравнений:
 x1  2 x 2  3 x3  2 x 4  6
 4 x  10 x  8 x  14
2
3
4

 8 x 3  x 4  6

 117 x 4  117
 16
8
Откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдём из четвёртого уравнения x4  2 ,
6  x4 6  2

 1
8
8
из третьего
; из второго
 14  8x4  10 x3  14  8(2)  10(1)
x2 

2
4
4
и из первого уравнения
x1  6  2 x4  3x3  2 x2  6  2(2)  3(1)  2  2  1
, т.е. решение системы (1;2;-1;-2).
x3 
Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:
 x1  2 x 2  x3  7

2 x1  3x 2  x3  3
4 x  x  x  16
2
3
 1
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы
 1 2 1 7   1 2 1 7   1 2 1 7 

 
 

 2  3 1 3    0  7 3  11    0  7 3  11.
 4 1  1 16   0  7 3  12   0 0
0  1 

 
 
Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречивооно привелось неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система несовместна.
Т.е. система уравнений в примере 2 не имеет решений.
При преобразовании расширенных матриц мы можем столкнуться с разными
исходами. Вопрос о разрешимости системы уравнений в общем виде рассматривается в
следующей теореме.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только
тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу расширенной матрицы
этой системы.
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система
имеет единственное решение.
21
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система
неопределённая и имеет бесконечное множество решений.
 x1  3x 2  2 x3  3x 4  1
2 x  x  x  4 x  0
 1
2
3
4

2 x1  x 2  x3  2 x 4  2
3x1  2 x 2  x3  5 x 4  3.
Решение. Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним
соответствующие шаги прямого хода метода Гаусса. Имеем
1  3 2
1  3 2
3 1  (2) (2) (3)
3 1 




 2 1 1  4 0
 0 5  3  10  2  (7 / 5) (7 / 5)

 2 1 1 2 2
0 7 5 4 0 




3  2 1

0 7  5  4 0 
5
3




1  3 2
3 1 


1  3 2
3 1 
 0 5  3  10  2 


14 
4

0
5

3

10

2


 0 0 

10

14 .
4

5 
5

 0 0  5 10 5 
14 
4
10
0 0 

0 0
0
0 0 
5 
5


Последняя, нулевая строка в расширенной матрице, полученной после третьего шага,
появилась из-за того, что в исходной системе четвёртое уравнение является суммой 1-го и
3-го уравнений. Система совместная, и после удаления нулевой строки заключительный
вид расширенной матрицы соответствует системе трёх уравнений с четырьмя
неизвестными (ранг системы меньше числа неизвестных). Полагая x 4 свободной
переменной, получаем:

 x1  3 x 2  2 x3  1  3 x 4

5 x 2  3 x3  2  10 x 4
 4
14
 x 3 
 10 x 4
5
 5
Из этой системы получаем обратным ходом метода Гаусса
7 25
5 19
1 1
x3   
x 4 , x 2    x 4 , x1   x 4 .
2 2
2 2
2 2
Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, поскольку x 4 может
принимать любые значения. Придавая x 4 какое-нибудь значение, мы получим частное
решение.
Решение задач по теме.
 x1  2 x2  3x3  6

1.2 x1  3x2  x3  4
3x  x  4 x  0
3
 1 2
2 x1  3x 2  x3  x 4  3
3x  x  2 x  4 x  8
 1
2
3
4

 x1  x 2  3x3  2 x 4  6
 x  2 x 2  3x3  5 x 4  3.
2.  1
22
3.
 x1  2 x 2  3x3  6
2 x  3 x  x  0
 1
2
3

3x1  2 x 2  4 x3  5
 x1  x 2  3x3  3
4.
2 x1  3x 2  x3  x 4  5
3x  x  2 x  x  1
 1
2
3
4

 x1  2 x 2  3x3  4 x 4  6
6 x1  4 x 2  4 x3  6 x 4  1.
3x1  2 x2  3x3  3x4  0

3x1  2 x2  x3  x 4  0
x  x  2 x  5x  0
2
3
4
5.  1
2 x1  x 2  x3  x 4  1

 x 2  x3  2 x 4  2
2 x  2 x  3x  3
2
4
6.  1
Глава 3.
Системы линейных неравенств.
3.1. Уравнение прямой на плоскости.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
y
M(x;y)
B(0;b)
N(x;b)

x
.
Пусть прямая отсекает ось ОУ в точке В(0;b) и образует с осью ОХ угол 

(0<  < 2 ). Возьмём на прямой произвольную точку М(х;у). Тогда тангенс угла 
наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN:
MN y  b
tg 

NB
x
Введём угловой коэффициент k=tg  ; получим
y b
k  tg 
x ; получим y=kx+b .
(*)
23
Итак, координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению (*). А
координаты любой точки, не лежащие на прямой, не удовлетворяют уравнению.
Уравнение вида y=kx+b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Где
k  tg ,  - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох,
свободный член b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу. Способ
построения прямой по уравнению прямой с угловым коэффициентом хорош, если
k  tg -табличное значение, а если нет, то нахождение угла затрудняется.
2. Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой можно записать в виде:
ax+by+c=0- общее уравнение прямой.
Но построение прямой по данному уравнению в общем виде ещё неудобнее.
Данное уравнение можно привести к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
ax c
a
c
y 


b b , где b - угловой коэффициент, а b - ордината точки пересечения прямой с
осью Оу.
3. Уравнение прямой в отрезках.
Построить прямую легко, если привести общий вид уравнения прямой к уравнению в
отрезках, т.е.
ax  by  c  0
ax  by  c / : (c)
ax by

1
c c
x
y

1
c
c


a
b
c
c
и
b является длинами отрезков, которые прямая
Абсолютная величина чисел a
отсекает на осях координат соответственно.
Но иногда уравнение прямой ax+by+c=0 является неполным, т.е. какой-то из
коэффициентов равен 0. Рассмотрим возможные случаи:
с=0, уравнение имеет вид ax+by=0 и определяет прямую, проходящую через начало
координат.
b=0 ( a  0 ), уравнение имеет вид ax+c=0 и определяет прямую, параллельную оси Оу
c
c
x

a , пересекает ось Ох в точке с абсциссой a .
:
а=0 ( b  0 ), уравнение имеет вид by+c=0 и определяет прямую, параллельную оси Ох
c
c
y

b (пересекает ось Оу в точке с ординатой b ).
Уравнение х=0-ось Оу.
Уравнение у=0-ось Ох.
Пример: Построить прямую 3х-5у+15=0.
x y
  1
Запишем данную прямую в отрезках: 5 3
. Построим:

24
Задачи для самоконтроля.
Построить прямые:
а) 3х+4у-12=0
б) 3х-у-3=0
в) -2х+3у-6=0
г) 2х-у-8=0
д) 4х+3=0
е) 5-2у=0
ж) х+у=0
з) 2х+3у=0
и) 25х=0
к) -2/3у=0
Условие параллельности двух прямых.
Пусть прямые заданы уравнениями:
a1 x  b1 y  c1  0

a 2 x  b2 y  c2  0
Если a1b2  a2 b1  0 , т.е.   0 , то прямые не параллельны и пересекаются в одной точке.
Если   0 , то
  0,  y  0
а) x
, то уравнения определяют одну и ту же прямую.
 x  0(или y  0)
б) если
, то система не имеет решений, а значит прямые параллельны.
Условие перпендикулярности двух прямых:
a1a2  b1b2  c1c2  0
3.2. Линейные неравенства.
Линейное неравенство с двумя переменными x1 и x 2 может быть записано
ax1  bx2  c  0 или ax1  bx2  c  0 (*)
(неравенства могут быть строгими, т.е. содержать знак > или <). Если переменные x1 и
x 2 рассматривать как координаты точки плоскости, то совокупность точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют неравенству(*) называется областью решений
данного неравенства. Если неравенство строгое, то область решения неравенства является
полуплоскость, лежащая по одну сторону от прямой ax1  bx2  c  0 , не включая точек на
самой этой прямой. Чтобы узнать, какая из полуплоскостей соответствует неравенству,
надо:
1 способ: надо взять любую точку из двух полуплоскостей и подставить её координаты в
неравенство: если получится верное числовое неравенство, то все точки этой
полуплоскости являются областью решений данного неравенства. Если же получим
25
неверное неравенство, то областью решений будет вторая полуплоскость, т.е.
полуплоскость, лежащая по другую сторону от прямой.
2 способ: для того, чтобы установить какая из двух полуплоскостей соответствует
неравенству (*), достаточно привести это неравенство к виду x2  kx1  l или к виду
x2  kx1  l . В первом случае искомая полуплоскость лежит выше прямой
ax1  bx2  c  0 , а во втором случае - ниже её. Если же a2  0 , то неравенство приводят к
виду x1  h( x1  h) , тогда полуплоскость лежит справа (слева) от прямой x1  h
Пример. Найти область решений неравенств:
a) x1  2 x2  6  0; б) x1  3  0 ;
в) x2  2  0.
Решение: а) построим прямую x1  2x2  6  0 . Запишем данное уравнение в виде
x1 x2

1
3
уравнения прямой в отрезках: 6
. Таким образом, данная прямая пересекает
координатные прямые в точках с координатами: (0;3) и (6;0). Эта прямая разделила
координатную плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит точка О(0;0).
Подставим x1  0 и x2  0 в данное неравенство, получим верное числовое неравенство
 6  0 , следовательно, все точки, лежащие ниже прямой x1  2x2  6  0 , являются
областью решения данного неравенства.
Рисунок 1:
x2
x1
б) уравнение x1  3  0 определяет прямую, параллельную вертикальной оси OX 2 и
отстоящую от неё на три единицы слева. Координаты точки О(0;0) обращают данное
неравенство в верное числовое неравенство 3>0. Следовательно, все точки полуплоскости,
лежащие справа от прямой x1  3  0 , исключая точки на самой прямой, ( поэтому прямая
изображена пунктиром) образуют область решения данного неравенства. Рисунок 2:
26
в) область решения неравенства x2  2  0 является полуплоскость, лежащая снизу от
прямой x2  2  0 . Точки самой этой прямой не принадлежат области решений
неравенства. Рисунок 3.
x2
x2  2  0
x1
3.3. Система неравенств.
В общем виде любую систему линейных неравенств с двумя неизвестными можно
записать так:
a11 x1  a12 x 2  b1  0
a x  a x  b  0
 21 1
22 2
2

...............................
a m1 x1  a m 2 x 2  bm  0
Где m-любое натуральное число.
Решением такой системы будет пересечение конечного числа полуплоскостей,
являющихся областями решений каждого из m неравенств.
Эта область может быть неограниченной, пустой, ограниченной. Она обладает важным
свойством : вместе с любыми своими двумя точками содержит и весь соединяющий их
отрезок, т.е. область эта является выпуклой. Примеры областей решения системы
неравенств изображены на рисунках :
27
Пунктиром изображены неограниченные области.
Система неравенств с тремя неизвестными может быть записана так:
a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1  0
a x  a x  a x  b  0
 21 1
22 2
23 3
2

...............................
a m1 x1  a m 2 x 2  a m3 x3  bm  0
Каждое из данных неравенств определяет некоторое полупространство. Следовательно,
решением такой системы является пересечение (общая часть) m полупространств в
трёхмерном пространстве.
Графическое решение системы неравенств с тремя переменными представляет некоторые
трудности, поэтому ограничимся решением системы линейных неравенств с двумя
переменными.
Пример1. Найти область решений системы неравенств:
 x1  1  0
x  1  0
 2

 x1  x 2  3  0
 6 x1  7 x 2  42  0
Решение: Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим
уравнения: x1  1  0; x2  1  0; x1  x2  3  0;6x1  7 x2  42  0 . Изобразим прямые на
 x1  1
x  1
 2
 x 2   x1  3

 x 2   6 x1  6

7
плоскости. Приведём данные неравенства к виду: 
. Штриховка показывает
те из полуплоскостей, которые служат областями решений соответствующих неравенств.
Областью решений данной системы является выпуклый четырёхугольник (см. рис.4 )
Рис 4.
28
рис. 4
Пример 2. Найти область решений системы неравенств:
 x1  0
x  x  2  0
 1
2

 x1  x 2  1  0
 x1  2
.
Решение: Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим
уравнения: x1  0; x1  x2  2  0; x1  x2  1  0; x1  2 . Изобразим данные прямые на
плоскости. Приведём неравенства к виду:
 x1  0
x   x  2
 2
1

 x 2  x1  1
 x1  2
. Областью решений системы неравенств является неограниченная выпуклая
фигура (см. рис.5)
x2
x1
Задачи для самостоятельного решения.
3 x1  2 x 2  9  0
2 x  3 x  8  0

2
а) 1
3 x1  2 x 2  6  0
 x 2  5  0
Ответ: Областью решений данной системы является выпуклый
четырёхугольник.
29
 x1  2 x 2  10

б ) x1  x 2  5
2 x  x  4
2
 1
Ответ: Не существует ни одной точки, общей для трёх полуплоскостей.
Это означает, что данная система не имеет решений.
2 x1  x 2  2
 x  x  2

2
в) 1
 x1  1
2 x1  x 2  3
Ответ: Не существует ни одной точки, общей для четырёх
полуплоскостей. Это означает, что данная система не имеет решений.
3 x1  x 2  0
3 x  x  0
2
 1
3 x1  x 2  6
2 x  x  4
2
 1
 x 2  3  0
Ответ: Областью решений данной системы является отрезок.
Глава 4.
Линейное программирование.
4.1.Содержание математического программирования. Общие понятия линейного
программирования.
Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить
наибольший эффект, обладая ограниченными средствами? Наши средства и ресурсы
всегда ограничены.
В классической математике методы поиска оптимальных решений рассматривают в
разделах классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в
математическом программировании.
Математическое программирование является одним из разделов исследования операций –
прикладного направления кибернетики, используемого для решения практических
организационных задач. Задачи математического программирования находят применение
в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из
возможных образов действий (программ действий).
Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями,
т. е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том
ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития
общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании
интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, – с
помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных
планов работы промышленных предприятий.
Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с
многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной
информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения
невозможна без применения современных электронных вычислительных машин. Еще
большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения.
Линейное программирование –это область математического программирования,
являющегося разделом математики, в котором изучаются методы исследования и
отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений некоторой линейной
функции, на аргументы которой наложены ограничения.
30
Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной
математике, а не к экономике. Однако экономисту полезно знать о свойствах
интеллектуального инструмента, которым он пользуется.
При рассмотрении многих экономических задач мы сталкиваемся с необходимостью
выбора наилучшего, или оптимального, решения из множества решений, которые
допускаются условием задачи. Выбор такого частного решения, как наилучшего, зависит
от цели, которую ставят при формулировке самой задачи. Примерами такого рода целей
являются: установка наилучшей программы производства, обеспечивающей выпуск
наибольшего количества изделий; наилучшее использование сырья или оборудования;
получение максимальной прибыли или минимальных издержек производства. Таким
образом, при постановке задачи выбирают какой-либо показатель производства и доводят
его до максимума или минимума. До максимума стремятся довести выпуск продукции,
производительность труда, выпуск продукции, прибыль, урожай и т. п. До минимума –
затраты рабочего времени, транспортные издержки, расходы сырья и пр.
Если при постановке задачи на неизвестные, которые нужно определить,
накладываются ограничения, удовлетворяющие линейным неравенствам или линейным
уравнениям, и если целевая установка выражается в виде линейной функции, то задача
отыскания неизвестных, удовлетворяющих заданным ограничениям, при которых целевая
функция достигает экстремального значения, относится к разделу математики, который
называется линейным программированием.
Определение 1.Функция, наибольшее или наименьшее значение которой надо найти,
называется целевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых
достигается наибольшее или наименьшее значение определяет так называемый
оптимальный план. Всякая же другая совокупность значений, удовлетворяющая
ограничениям, определяет допустимый план.
Определение 2.Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и
ограничения на её аргумент, называется математической моделью экономической задачи
оптимизации.
В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП)
записывается как
L  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn  c0  max(min)
при ограничениях
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
x j  0, j  1, n
Наиболее распространённая интерпретация сформулированной задачи состоит в
следующем: имеется n ресурсов при некоторых m ограничениях; нужно определить
x
объёмы этих ресурсов j , при которых целевая функция будет достигать максимума
(минимума), т.е. найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов. При этом
x  0, j  1, n
возникают также и ограничения, которые называются естественными: j
.
Для составления математической модели ЗЛП необходимо выполнить следующие
этапы:
Обозначить переменные;
Составить целевую функцию в соответствии с целью задачи;
Записать систему ограничений с учётом имеющихся в условии задачи показателей.
Построение моделей для простейших экономических задач.
31
Задача1. Фирма выпускает 2 вида мороженного: сливочное и шоколадное. Для
изготовления мороженного используют два исходных продукта: молоко и наполнители,
расходы которых на 1кг мороженного и суточные запасы исходных продуктов даны в
таблице.
Исходный
Расход исходных продуктов
Запас,
продукт
кг
сливочное
шоколадное
молоко
0,8
0,5
400
наполнители
0,4
0,8
365
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженное
превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, удалось установить,
что спрос на шоколадное мороженное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1кг
сливочного мороженного 16 ден. ед., а шоколадного 14 ед.
Определить количество мороженного каждого вида, которое должна производить фирма,
чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Решение.
Обозначим: x1 - суточный объём выпуска сливочного мороженного, кг, x 2 - суточный
объём выпуска шоколадного мороженного, кг. Составим математическую модель задачи.
Целевая функция будет иметь вид
L  16x1  14x2  max
При ограничениях
0,8 x1  0,5 x 2  400
0,4 x  0,8 x  365

1
2

x

x

100
2
 1
 x 2  350
Задача 2. при составлении суточного рациона кормления скота можно использовать
свежее сено (не более 50кг) и силоса (не более 85кг). Рацион должен обладать
определённой питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать
питательные вещества: белок (не менее 1кг), кальций (не менее 100г) и фосфор (не менее
80 г).
В следующей таблице приведены данные о содержании указанных компонентов в 1кг
каждого продукта питания и себестоимость (коп/кг) этих продуктов.
Продукты
Количество
Белок
Кальций
Фосфор
Себестоимость
кормовых
г/кг
г/кг
г/кг
Коп/кг
единиц
Свежее сено 0,5
40
1,25
2
1,2
силос
0,5
10
2,5
1
0,8
Определить оптимальный рацион из условия минимума себестоимости.
Решение. Пусть х кг - количество сена, у кг- силоса.
L  1,2 x  0,8 y  min
0,5 x  0,5 y  30
 x  50

 y  85

40 x  10 y  1000
1,25 x  2,5 y  100

2 x  y  80
Задача 3. Для изготовления двух видов изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья
сталь и цветные металлы, имеющиеся в наличии в ограниченном количестве. На
32
изготовление указанных двух видов изделий заняты токарные и фрезерные станки. В
следующей таблице приведены исходные данные задачи.
Виды ресурсов
Объём ресурсов
Нормы расхода на
Нормы расхода на
изделие типа А
изделие типа В
Сталь(кг)
570
10
70
Цвет мет (кг)
420
20
50
Токарные станки
5600
300
400
(станко-часы)
Фрезерные станки
3400
200
100
(стонко-часы)
Прибыль (тыс. руб)
3
8
Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная
прибыль.
Решение. Пусть х – изделий типа А, у – изделий типа В.
L  3x  8 y  max
10 x  70 y  570
20 x  50 y  420


300 x  400 y  5600
200 x  100 y  3400
Задача 4. Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана,
расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется
соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при
разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1т
сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства
цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное
оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке
сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны
соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100
т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется
никаких ограничений.
Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно
изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить
математическую модель задачи.
Решение. Предположим, что молочный завод будет ежедневно производить x1 тонн
молока, x 2 тонн кефира и x3 тонн сметаны. Тогда ему для изготовления этой продукции
1010 x1  1010 x2  9450 x3
необходимо
кг молока.
Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно
1010 x1  1010 x2  9450 x3  136000
выполняться неравенство
.
Аналогичные рассуждения, проведенные относительно возможного использования линий
разлива цельномолочной продукции и автоматов по расфасовке сметаны, позволяют
записать следующие неравенства:
0,18 x1  0,19 x 2  21,4
3,25 x 2  16,25
Так как ежедневно должно вырабатываться не менее 100 т молока, то x1  100 . Далее, по
своему экономическому смыслу переменные могут принимать только лишь
x  0, x3  0
неотрицательные значения: 2
.Общая прибыль от реализации x1 тонн молока,
33
x 2 тонн кефира и x3 тонн сметаны равна
следующей математической задаче. Дана система
1010 x1  1010 x 2  9450 x3  136000
0,18 x  0,19 x  21,4

1
2

3,25 x 2  16,25
 x1  100
руб. Таким образом, приходим к
четырех линейных неравенств с тремя неизвестными x1 , x2 , x3 и линейная функция
относительно этих же переменных F  30 x1  22 x2  136 x3 .
Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при
котором функция принимает максимальное значение. Так как система представляет
собой совокупность линейных неравенств и функция ( линейная, то исходная задача
является задачей линейного программирования.
4.2. Графический метод решения задач линейного программирования.
Наиболее наглядным и простым методом решения ЗЛП является графический метод.
Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует
выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный
план. В одной из вершин многогранника решений (т. е. для одного из опорных планов)
значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция
ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция
принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке,
являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.
Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное
значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме стандартной,
содержит не более двух переменных или задача, записанная в форме основной, содержит
не более двух свободных переменных, т. е. n  r  2 , где n – число переменных, r – ранг
матрицы, составленной из коэффициентов в системе ограничений задачи.
Найдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции
F  c1 x1  c2 x2 (19)
при условиях
ai1 x1  ai 2 x2  bi (i  1, k ) (20)
x j  0( j  1,2)
(21)
Каждое из неравенств (20), (21) системы ограничений задачи геометрически определяет
полуплоскость соответственно с граничащими прямыми ai1 x1  ai 2 x2  bi (i  1, k ) , x1  0 и
x2  0 . В том случае, если система неравенств (20), (21) совместна, область ее решений
есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как
множество точек пересечения данных полуплоскостей – выпуклое, то областью
допустимых решений задачи (19) – (21) является выпуклое множество, которое
называется многоугольником решений (введенный ранее термин “многогранник решений”
обычно употребляется, если n  3 ). Стороны этого многоугольника лежат на прямых,
уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков
неравенств на знаки точных равенств.
Таким образом, исходная задача линейного программирования состоит в нахождении
такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает
максимальное значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не
пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из
34
вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение.
Для определения данной вершины построим линию уровня c1 x1  c2 x2  h (где h –
некоторая постоянная), проходящую через многоугольник решений, и будем передвигать

ее в направлении вектора c  (c1 ; c2 ) до тех пор, пока она не пройдет через ее последнюю
общую точку с многоугольником решений. Координаты указанной точки и определяют
оптимальный план данной задачи.
Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации задачи (19) – (21), отметим, что
при нахождении ее решения могут встретиться случаи, изображенные на рис. 1 - 4.
Рис. 1 характеризует такой случай, когда целевая функция принимает максимальное
значение в единственной точке А.
Из рис. 2 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точке
отрезка АВ.
На рис. 3 изображен случай, когда целевая функция не ограничена сверху на множестве
допустимых решений, а на рис. 4 – случай, когда система ограничений задачи
несовместна.
Отметим, что нахождение минимального значения линейной функции при данной системе
ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же
ограничениях лишь тем, что линия уровня c1 x1  c2 x2  h передвигается не в направлении

вектора c  (c1 ; c2 ) ,а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные выше
случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения целевой функции,
имеют место и при определении ее минимального значения.
Итак, нахождение решения задачи линейного программирования (19) – (21) на основе ее
геометрической интерпретации включает следующие этапы:
35
1. Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях
(20) и (21) знаков неравенств на знаки точных равенств.
2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
3. Находят многоугольник решений.

c
4. Строят вектор  (c1 ; c2 ) .
5. Строят прямую c1 x1  c2 x2  h , проходящую через многоугольник решений.

6. Передвигают прямую c1 x1  c2 x2  h в направлении вектора c  (c1 ; c2 ) , в результате
чего-либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное
значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов.
7. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой
функции в этой точке.
Рассмотрим на конкретном примере метод графического решения задачи линейного
программирования.
Пример 1.
Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья.
Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида
приведены в табл.. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида
и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.
Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт
обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль
предприятия от реализации всех изделий является максимальной.
Решение. Предположим, что предприятие изготовит x1 изделий вида А и x 2 изделий вида
В. Поскольку производство продукции ограничено имеющимся в распоряжении
предприятия сырьем каждого вида и количество изготовляемых изделий не может быть
отрицательным, должны выполняться неравенства
12 x1  4 x 2  300

4 x1  4 x 2  120
3x  12 x  252
2
 1
x1 , x 2  0
36
Общая прибыль от реализации изделий x1 вида А и изделий x 2 вида В составит
F  30 x1  40 x2 .
Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех
неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое,
при котором функция F принимает максимальное значение.
Найдем решение сформулированной задачи, используя ее геометрическую
интерпретацию. Сначала определим многоугольник решений. Для этого в неравенствах
системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств
заменим на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые:
12 x1  4 x 2  300
4 x  4 x  120
2
 1
3x1  12 x 2  252
x  0
 1
 x 2  0
Эти прямые изображены на рис. 5.
Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты
точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы
определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую
одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному
неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то
искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае
– другая полуплоскость.
Пересечение полученных полуплоскостей и определяет многоугольник решений данной
задачи.
Как видно из рис. 5, многоугольником решений является пятиугольник OABCD.
Координаты любой точки, принадлежащей этому пятиугольнику, удовлетворяют данной
системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому
сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую
пятиугольнику OABCD, в которой функция F принимает максимальное значение. Чтобы

найти указанную точку, построим вектор c  (30,40) и прямую 30 x1  40 x2  h где h –
некоторая постоянная такая, что прямая 30 x1  40 x2  h имеет общие точки с
многоугольником решений. Положим, например, h = 480 и построим прямую
30 x1  40 x2  480 (рис. 5).
37
Если теперь взять какую-нибудь точку, принадлежащую построенной прямой и
многоугольнику решений, то ее координаты определяют такой план производства изделий
А и В, при котором прибыль от их реализации равна 480 руб. Далее, полагая h равным
некоторому числу, большему чем 480, мы будем получать различные параллельные
прямые. Если они имеют общие точки с многоугольником решений, то эти точки
определяют планы производства изделий А и В, при которых прибыль от их реализации
превзойдет 480 руб.

Перемещая построенную прямую 30 x1  40 x2  h в направлении вектора c  (30,40)
видим, что последней общей точкой ее с многоугольником решений задачи служит точка
В. Координаты этой точки и определяют план выпуска изделий А и В, при котором
прибыль от их реализации является максимальной.
Найдем координаты точки В как точки пересечения прямых II и III. Следовательно, ее
координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых
4 x1  4 x2  120

3x1  12 x2  252
Решив эту систему уравнений, получим x1  12, x2  18 . Следовательно, если предприятие
изготовит 12 изделий вида А и 18 изделий вида В, то оно получит максимальную
прибыль, равную
Fmax  30  12  40  18  1080
руб.
Пример 2.Найти максимум и минимум функции F  x1  x2 при условиях
2 x1  4 x 2  16

 4 x1  2 x 2  8
 x  3x  9
2
 1
x1 , x 2  0
Решение. Построим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы
ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на
знаки точных равенств:
2 x1  4 x 2  16
 4 x  2 x  8
1
2

x

3
x

9
 1
2
x  0
 1
 x 2  0
Построив полученные прямые, найдем соответствующие полуплоскости и их пересечение
(рис. 6).
38
Как видно из рис. 6, многоугольником решений задачи является треугольник АВС.
Координаты точек этого треугольника удовлетворяют условию неотрицательности и
неравенствам системы ограничений задачи. Следовательно, задача будет решена, если
среди точек треугольника АВС найти такие, в которых функция F  x1  x2 принимает
максимальное и минимальное значения. Для нахождения этих точек построим прямую

x1  x2  4 (число 4 взято произвольно) и вектор c  (1;1) .

Передвигая данную прямую параллельно самой себе в направлении вектора c  (1;1)
видим, что ее последней общей точкой с многоугольником решений задачи является точка
С. Следовательно, в этой точке функция F принимает максимальное значение. Так как С –
точка пересечения прямых I и II, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих
прямых:
2 x1  4 x2  16

 x1  3x2  9
Решив эту систему уравнений, получим x1  6, x2  1 . Таким образом, максимальное
F 7
значение функции max
.
Для нахождения минимального значения целевой функции задачи передвигаем прямую

x1  x2  4 в направлении, противоположном направлению вектора c  (1;1) . В этом
случае, как видно из рис. 6, последней общей точкой прямой с многоугольником решений
задачи является точка А. Следовательно, в этой точке функция F принимает минимальное
значение. Для определения координат точки А решаем систему уравнений.
 x1  3x2  9

 x1  0
Откуда x1  0, x2  3 . Подставляя найденные значения переменных в целевую функцию,
получим Fmin  3 .
Задачи для самостоятельного решения .
1.Решить задачу линейного программирования.
39
1) L  3x1  2 x 2  max,
2) L  4 x1  2 x 2  min,
 x1  x 2  2  0
3x  2 x  6  0
 1
2

2 x1  x 2  2  0
 x 2  3
x1  0, x 2  0
4) L  4 x1  5 x 2  max,
4 x1  x 2  0
2 x  x  6
2
 1
x

2
x
 1
2  16
x  4
 1
 x1  x 2  0
5) L  x1  3x 2  min,
5 x1  x 2  0
x  x  5
 1
2

2 x1  3x 2  0
 x 2  3
6) L  4 x1  3x 2  max,
3x1  x 2  0
2 x  x  16
 1
2

 x1  2 x 2  2
 x1  x 2  3
 x1  x 2  6
 2 x  x  6

1
2

 x1  3x 2  3
 x1  2 x 2  2
 x1  x 2  5
5 x  2 x  20
 1
2

8 x1  3x 2  0
5 x1  6 x 2  0
7) L   x1  4 x 2  min,
2 x1  3x 2  24
 8 x  3x  24

1
2

2 x1  3x 2  12
4 x1  3x 2  12
10) L  x1  4 x 2  max,
 4 x1  x 2  4
 x  x  5
 1
2

 x1  2 x 2  2
3 x1  4 x 2  12
3) L  3x1  7 x 2  max,
8) L  x1  2 x 2  max,
9) L  x1  3 x 2  max,
 x1  x 2  0
 3x  x  12
1
2

x

x

0
 1
2
x  6
 2
 x1  2 x 2  12
 2 x1  x 2  2
 x  2 x  7
 1
2

x

3
x

18
2
 1
4 x1  3 x 2  12
x1  0, x 2  0
11) L  3x1  2 x 2  max,
 3x1  2 x 2  12

3x1  2 x 2  6
3x  x  3
2
 1
x1  0, x 2  0
x1  0, x 2  0
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.1 Производная
1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие
дифференцируемости.
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Терминология
x=x - x0 – приращение аргумента.
y= f =f(x) - f(x0) – приращение функции.
Определение. Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к
приращению аргумента при стремлении последнего к нулю
f lim f ( x)  f ( x0 )
lim
x  x0
x  x0
f(x0)= x  0 x =
.
Обозначения для производной
df ( x0 )

dx Лейбниц, f(x0) Лагранж, f (x) Ньютон, Df(x0) Коши.
Теорема. Для существования f (x0) необходимо и достаточно, чтобы f была
дифференцируема в точке x0.
40
Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.
Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки (x0 ,
f(x0 )), (x , f(x )) графика, при x x0 называется касательной к графику функции f(x ) в
точке x0
f ( x)  f ( x0 )
lim
x  x0
= x x0 arctg
=arctg f(x0).
y  y0
 f ' ( x0 )
x

x
0
Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено равенство
,
y  f ' ( x0 )x . Сравнить с определением дифференцируемости в точке
f  f ' ( x0 )x  o(x) .
Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x0 равен f ' ( x0 ) .
Уравнение касательной к графику функции в точке x0 : y - y0= f (x0)(x - x0).
1
y  y0  
( x  x0 )
f ' ( x0 )
Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна:
. Уравнение
нормали в общем случае: x - x0 + f(x0)(y - y0)=0.
Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема
в точке, то она непрерывна в этой точке.
Следует непосредственно из определения дифференцируемости.
5.2.Дифференциал функции
Главная линейная часть приращения функции Ax в определении дифференцируемости
функции
f=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), xx0
называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается
df(x0)=f(x0)x= Ax.
Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения x. В каждой точке дифференциал
представляет собой линейную функцию от приращения x.
Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=x, dy=Adx. Это согласуется
dy
f '
dx .
с обозначением Лейбница
Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.
5.3.Основные правила дифференцирования
41
Для краткости будем обозначать u=u(x), v=v(x), тогда
C  0 , где С=const
u  v   u   v 
uv   u v  uv

Следствие. Cu   Cu 

 u  u v  uv 
  
v2
4)  v 
5) Производная сложной функции.
Теорема. Если существуют f(x0), g(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0
определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и
df ( g (t0 ))
 f ' ( x0 ) g ' (t0 )
dt
t0
5.4.Таблица производных.
x  1.

x   x  1
(ax) = ax ln a.

ex  ex
1
(ln | x |)' 
x, x0
1
(log a x)' 
x ln a , x  0
(sin x)=cos x,
(cos x)=-sin x,
(tg x)=1/cos2x
(ctg x)=-1/sin2x
1
(arcsin x)' 
1 x2
1
(arccos x)'  
1 x2
 
 
(arctg x)' 
1
1 x2
1
1 x2
15)
Примеры вычисления производных.
Пример 1.
(arcctg x)'  
Пример 2.
Пример 3.
42
Пример 4. Найти производную функции
.
Дифференцируем сначала как сумму функций:
Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных
функций, получаем
Пример 5. Найти производную функции
.
Преобразуем каждое слагаемое данной функции в степенную форму:
Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования степенной
функции, получаем:
Пример 6. Вычислить производную функции
.
По правилу дифференцирования степенной функции находим:
43
Пример 7.Найти производную функции
Так как производная суммы равна сумме производных, то
Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной
тригонометрической функций:
Пример 8. Найти производную функции
По правилу дифференцирования сложной функции:
В свою очередь производная
сложной функции:
также берется по правилу дифференцирования
Ответ.
Пример 9. Найти производную второго порядка от функции
Находим первую производную как производную сложной функции:
Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам
дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что
первый множитель - есть сложной функцией:
Ответ.
Глава 6. Интегральное исчисление
6.1. Первообразная, неопределенный интеграл
1.Определения
Интегрирование – обратная задача к дифференцированию.
Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми своими точками
содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на
связном множестве X, если F(x) = f(x).
44
Примеры:
1)
f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-,)
f(x)=a (Const), F(x)=ax+C, X=(-,)
f(x)=cos x, F(x)=sin x+C, X=(-,)
f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,)
Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они
существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается
 f ( x)dx
Таким образом, если F – первообразная для f, то
 f ( x)dx =F(x)+C на X
6.2.Свойства неопределенного интеграла
d
 f ( x)dx  f ( x) , в частности, d  f ( x)dx  f ( x)dx
1) dx




 f ' ( x)dx  f ( x)  C ,  df  f  C 
cf ( x)dx  c  f ( x)dx
3) 
,
 f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
4) 
2)
6.3.Таблица неопределенных интегралов
x a 1
a
x
dx


a  1 + С, a  - 1.
1)
dx

2) x = ln|x| + С, X={x>0} или X={x<0}
3)
4)
5)
x
 a dx 


sin x dx = - cos x + C,  cos x dx = sin x + C
 arcsin x  C
dx


1  x 2  arccos x  C
dx

6) 1  x
dx

7) cos
8)

ax
x
ln a + C, a1,  e dx =ex+C
2
2
 arctg
x a
2
dx
1
x
 arctg
2
x
a
a +C
dx
x =tg x + C,  sin
dx
2

x + C, a
2
2
x =-ctg x + C
 ln | x  x 2  a 2 |
+C
dx
1
ax

ln
2
x
2a a  x + C
9)
sh
ch
10)  x dx = ch x + C,  x dx = sh x + C
dx
dx
2
2


11) ch x = th x + C, sh x = -cth x + C
6.4. Два основных метода интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование. Применяя формулы интегрирования, находим
неопределённый интеграл.
Примеры вычисления неопределённого интеграла.
a
2
45
Пример 1. Вычислить неопределенный интеграл
Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства
неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:
В нашем случае
, тогда искомый интеграл равен:
Ответ.
Пример 2. Вычислить неопределенный интеграл
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из
знаменателя
за знак интеграла
далее, используя таблицу интегралов (Формула №11), получим
Ответ.
2. Замена переменного
f ( x)dx
Если F(x)– первообразная для f(x) на X т.е. 
=F(x)+C , x=(t) дифференцируема
f ( (t )) d (t )
на T и определена суперпозиция 
= F((t))+C, тогда функция (t)=f((t))(t)
имеет первообразную, равную F((t)). Таким образом,
 f ( (t ))d (t ) =  f ( (t )) ' (t )dt .
Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться,
что получится одна и та же функция.
Примеры:
Пример 2. Найти неопределенный интеграл
Решение. Введем замену
и полученный интеграл находим как интеграл от
степенной функции:
Сделаем обратную замену
46
Ответ.
6.5. Свойства определенного интеграла
1.Простейшие свойства
1) Если f и g интегрируемы на [a,b], то f + g также интегрируема на [a,b] и
b
b

b


(f(x) + g(x))dx = a f(x)dx + a g(x)dx.
2) Если f интегрируема на [a,b] , то cf(x) также интегрируема и
a
b
b


c f(x)dx =c a f(x)dx.
3) Если f интегрируема на [a,b] , то
a
b

a

f(x)dx =- b f(x)dx.
Теорема 3. Если f(x) – интегрируема на [a,b] и c [a,b], то f(x) – интегрируема на [a,c] и
[c,b] и
a
b

c

b

f(x) dx = a f(x) dx + c f(x) dx .
Примеры вычисления определённого интеграла.
a
Пример 1. Вычислить определённый интеграл
Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:
Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной
(при С = 0), получим
Пример 2. Вычислить определённый интеграл
Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и
(6), получим
47
Пример 5. Вычислить определённый интеграл
Решение. Произведём замену переменной, полагая
Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:
Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение
даёт
а
Используя теперь формулу (50), получим
После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили
формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.
Список рекомендуемой литературы.
М.С. Красс, Б.П. Чупрынов Математика для экономистов.-СПб.: Питер,2007
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пос./ Под ред.
В.И.Ермакова. Москва ИНФРА-М 2007.
Алфимов В.И.,Дахневич Т.Ф. Линейная алгебра и линейное программирование: Учебное
пособие.-Волгоград: Изд-во ВКПК, 1999.-89с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
В 2-х ч..Учеб. пособие для втузов.-5-е изд., испр.-М.: Высш.шк.
48
Контрольные работы.
Номер варианта выбирается по последней цифре номера Вашей зачётной книжки.
49
Вариант 0.
№1. Выполнить действия над матрицами:
3  1
 3 2  1
 0




2 А  АВВ  А  В,
где
А  0 1 2 ,
В   2  1 2 .
5 7 1 
 3 1 4 




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2 х1  х 2  2 х3  1;

3x1  2 х 2  х3  1;
2 x  3х  3х  0.
2
3
 1
№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
2 х1  х 2  2 х3  2 х 4  3;
3x  2 х  х  х  3;
 1
2
3
4

 x1  3х 2  х3  3х 4  0;
4 х1  2 х 2  2 х3  5 х 4  15.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  2 x1  x 2  max,
 x1  x 2  2
2 x  3x  16
 1
2

 x1  x 2  10
2 x1  x 2  8
f ( x)  xеx и вычислите f (0) .
№ 5. Найдите вторую производную функции
№ 6. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого
2
96  см , чтобы его объём был наибольшим?
tg 2 x
№ 7. Найдите дифференциал функции у  2
2
№ 8. Найдите интегралы:
1


a)   2 
 x 5 dx
2
2 sin x


3 x
б )  4 dx
x
№ 9. Найдите интегралы:
cos xdx
 4  3 sin x
.
№10. Вычислите определённые интегралы:
2
2x 2  1
а)
dx
x
1
1
б )
0
x 2 dx
3
8  7x3
50
Вариант 1
№1. Выполнить действия над матрицами:
2
3
 1
 2 3  1




 А  2В 3 А  В ,
где
А   4  2 1 ,
В    2 0  1 .
  0 1  1
 1 0 1




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
5 х  8 у  z  7;

 x  2 y  3z  1;
2 x  3 y  2 z  9.

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
2 х1  х 2  2 х3  х 4  1;
3x  4 х  х  3х  7;
 1
2
3
4

4 x1  2 х 2  3х3  4 х 4  3;
2 х1  2 х 2  3х3  х 4  11.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  2 x1  3x 2  max,
 6 x1  x 2  3

 5 x1  9 x 2  45
 x  3x  24
2
 1
 
1
v  
v  tg 3  tg  
3
№ 5. Найдите производную функции
и вычислите  4  .
№ 6. Резервуар ёмкостью 108 куб м с квадратным основанием, открытый сверху, нужно
покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для
этого минимальное количество эмали?
sin 4 x
№ 7. Вычислите значение дифференциала функции y  е
при
№ 8. Найдите интегралы:
1


a)   7 
 x 2 dx
2
2 cos x


б )
x

3
1
3
1
x2
dx
cos xdx

№ 9. Найдите интегралы: 4  3 sin x .
№ 10. Вычислите определённые интегралы:
1 x
dx
x4
2
3
а) 
e
б )
1
5
ln xdx
x
51
x

4
, x  0,05
.
Вариант 2
№1. Выполнить действия над матрицами:
1  2  2 
 0 3 5




А А  В   2 В А  В ,
где
А  1 1  2  ,
В   4 1 0.
1  1  1 
 1 1 2




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2 х  3 у  z  1;

 x  z  0;
 x  y  z  2.

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
 х1  5 х 2  2;
2 x  х  3х  2 х  4;
 1
2
3
4

3x1  х 2  х3  2 х 4  6;
3х1  х 2  3х3  х 4  6.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  x1  4 x 2  3 x3  max,
 x1  3 x 2  2 x3  3

2 x1  4 x 2  x3  18
 x  x  3 x  10
2
3
 1
x j  0, j  1,2,3
t
e t и вычислите S (0) .
№ 5. Найдите производную функции
№ 6. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, даёт
наименьшую сумму?
№ 7. Шар радиуса 15 см был нагрет, вследствие чего объём его увеличился на 22,5  куб
см. Найдите приближённо радиус удлинения шара.
a )  2 cos x  5 x 4  3 dx
S

№ 8. Найдите интегралы:
б )

4 x
x
dx
tgxdx
№ 9. Найдите интегралы: 
.
№10. Вычислите определённые интегралы:
8

1 
dx
а)   3 
2 
3
x 
1
4
б )  x 2 e x 1 dx
3
2
52
Вариант 3
№1. Выполнить действия над матрицами:
4 5 6
0 1 2 




2
А   А  В  А  3В ,
где
А   1 0 3 ,
В   1 0  2.
  1 2  1
3 1
2 



№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
11х  3 у  z  2;

2 x  5 y  5 z  0;
 x  y  z  2.

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
4 х1  х 2  х 4  9;
 x  3х  4 х  7;
 1
2
3

3х 2  2 х3  4 х 4  12;
 х1  2 х 2  х3  3х 4  0.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  3x1  x 2  max,
 3x1  2 x 2  6
2 x  3 x  6
 1
2

 x1  6
 x 2  6
1

v ( )
2
2
sin

4 .
№ 5. Найдите производную функции
и вычислите
№ 6. Путь S в метрах, пройденный телом за t секунд при прямолинейном движении,
1
S  t 3  t 2  2t  1
3
определяется уравнением
. Найдите скорость и ускорение в конце
третьей секунды.
tg 2 x
y

2
№ 7. Найти дифференциал функции
.
v  ln tg 


1
a)   x 
 2 dx
3 1 x2


№ 8. Найдите интегралы:
б )
x

4
1
4
2
x3
dx
xdх
2
1 .
№10. Вычислите определённые интегралы:.

№ 9. Найдите интегралы: x

2
а )  2 sin хdx
0
4
xdx
3
2 ( x  1)
б )
2
53
Вариант 4
№1. Выполнить действия над матрицами:
 3 2  5
 1 2 4




 А  В А  3В,
где
А  4 2 0 ,
В 0
3 2.
1 1 2 
 1  3 4




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
 х1  2 х 2  х3  15;

2 x1  х 2  3х3  9;
2 x  3х  2 х  2.
2
3
 1
№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
5 х1  х 2  х3  3х 4  4;
 x  2 х  3х  2 х  6;
 1
2
3
4

2 x1  х 2  2 х3  3х 4  8;
3х1  2 х 2  х3  2 х 4  4.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  15 x1  10 x 2  max,
6 x1  x 2  3
 x  2 x  8
2
 1
3 x1  2 x 2  24
x  x  3
2
 1
 x1  2 x 2  2
№ 5. Найдите вторую производную функции
у
3х
2  х и вычислите у 3 .
№ 6. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую
площадь имеет квадрат.
№ 7. Найдите дифференциал функции s  t ln t .
1


a)   x 4 
 4 dx
2x


3 x
б ) 3
dx
x
№ 8. Найдите интегралы:
3
 x
хdx

4
5 .
№ 9. Найдите интегралы:
№10. Вычислите определённые интегралы:
3
1  x5
а )  4 dx
x
2
2
e
ln x
dx
x
1
б )
54
Вариант 5
№1. Выполнить действия над матрицами:
 7  3 0
  4 2 1




В А  2 В   3 АВ,
где
А   1 1 0 ,
В   1 0 1 .
 2 0 3
 3 2 1




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
3х1  х 2  5 х3  7;

2 x1  3х 2  4 х3  1;
5 x  х  3х  0.
2
3
 1
№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
 х1  2 х 2  х3  х 4  8;
2 x  х  х  х  5;
 1
2
3
4

 x1  х 2  2 х3  х 4  1;
 х1  х 2  х3  3х 4  10.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  2 x1  3x 2  max,
 2 x1  x 2  2

 x1  3x 2  9
4 x  3x  24
2
 1
2
3
№ 5. Найдите производную функции f (t )  2t  t и вычислите f (4) .
3
2
№ 6. Постройте график функции y  2 x  3x .
1
1
S  t3  t2  t  2
3
2
№ 7. Вычислите дифференциал пути, выраженного уравнением
при
t  3, t  0,02
№ 8. Найдите интегралы:


1
a )  
 x  4 dx
2
 2 1 x

б )
3 4 x
dx
x
№ 9. Найдите интегралы:
x 4 dx

2x 5  4 .
№10. Вычислите определённые интегралы:
2
1 x6
а )  5 dx
x
1
4
2
xdx
2 3
1 (3  x )
б) 
55
Вариант 6
№1. Выполнить действия над матрицами:
 1 2 3
4 2 1




3 А  В    А  В А,
где
А   0  2 3 ,
В    1 2 0 .
 1 1 1
 2 3  1




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2 х1  х 2  4 х3  20;

2 x1  х 2  3х3  3;
3x  4 х  5 х  8.
2
3
 1
№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
2 х1  х 2  х3  х 4  1;
2 x  х  3х  2;
 1
2
4

3x1  х3  х 4  3;
2 х1  2 х 2  2 х3  5 х 4  6.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  3x1  2 x 2  max,
3x1  x 2  0
 x  x  2
 1
2

4 x1  x 2  16
2 x1  x 2  6
1 t
2t и вычислите y0,5 .
№ 5. Найдите вторую производную функции
№ 6. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и
площадь полной поверхности равна 600 кв см, найдите параллелепипед наибольшего
объёма и определите его размеры.
7
4
3
№ 7. Вычислите приближённое значение приращения функции y  x  3x  4 x  2 при
y
х=1,002.
№ 8. Найдите интегралы:
a )  5 x  3 sin x  4 dx
x xx
dx
x2
№ 9. Найдите интегралы:
б )
 2 x
5
3

3
 4 x 2 dx
.
№10. Вычислите определённые интегралы:
4


а )  1  x dx
2
0

2
sin xdx
23
0 ( 2  cos x )
б)
56
Вариант 7
№1. Выполнить действия над матрицами:
1 1 2 
 1 0  2




2 А  В В  0,5 А,
где
А   3 0  2 ,
В   2 1 1 .
 2 1 1 
 2 0 1 




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2 х1  х 2  3х3  4;

 x1  3х 2  х3  2;
5 x  2 х  х  5.
2
3
 1
№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
4 х1  2 х 2  х3  4 х 4  3;
2 x  х  х  х  1;
 1
2
3
4

3x1  х3  х 4  3;
2 х1  2 х 2  2 х3  5 х 4  6.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  5 x1  5 x 2  max,
 2 x1  x 2  2

 x1  3x 2  9
x  x  3
2
 1
х
1  x 2 и вычислите f (2) .
№ 5. Найдите вторую производную функции
4
2
№ 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  x  2 x  5 на отрезке
f ( x) 
 2  x  2.
№ 7. Вычислите приближённое значение функции y  1  x при х=0,2.
№ 8. Найдите интегралы:
1


a)   3 
 2 dx
2
3 sin x


б )
x

2
3
3
1
x
dx

cos tdt
1  2 sin t
№ 9. Найдите интегралы:
.
№10. Вычислите определённые интегралы:
1


а )  x 2  2 dх
1
2
xdx
2
4
1 ( 2 x  4)
б )
57
Вариант 8
№1. Выполнить действия над матрицами:
 4 5  2
 2 1  1




3 А  ( А  2 В) В,
где
А   3 1 0 ,
В   0 1 3 .
4 2
5 7 3 
7 



№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2 х1  х 2  3х3  7;

 x1  3х2  2 х3  0;
 2 х  х  2.
2
3

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
2 х1  х3  2 х 4  1;
 х  2 х  х  2;
 2
3
4

 x1  х 2  х 4  1;
 х1  3х 2  2 х3  0.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )
L( x)  x1  3 x 2  min,
 x1  2 x 2  12
2 x  x  6
 1
2

 x1  x 2  3
2 x1  x 2  6
1 t
1  t и вычислите S 3 .
№ 5. Найдите производную функции
3
2
№ 6.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y  x  3x  3x  2 на
отрезке 2  x  5 .
2
y
x при x  9, x  0,01 .
№ 7. Вычислите значение дифференциала функции
S  ln
№ 8. Найдите интегралы:
a)  5e x  x 3  4 dx

б )
x


3
4
5
dx
x
№ 9. Найдите интегралы:
cos xdx
 3 sin x  13
.
№10. Вычислите определённые интегралы:
2
1 x6
а )  5 dx
x
1
4
2
xdx
2 3
1 (3  x )
б) 
58
Вариант 9
№1. Выполнить действия над матрицами:
1 4 2 
 4 6  2




2
2 А  А  В В,
где
А   2 1  2 ,
В   4 10 1  .
0 1 1
 2 4  5




№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
 х1  х 2  х3  2;

2 x1  х 2  6 х3  1;
3x  2 х  8.
2
 1
№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
5 х1  х 2  х 4  9;
3x  3х  х  4 х  7;
 1
2
3
4

3x1  2 х3  х 4  16;
 х1  4 х 2  х 4  0.
№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя
переменными ( x1  0, x2  0 )


L( x)  x1  2 x 2  min,
2 x1  x 2  2
 x  2 x  7
 1
2

 4 x1  3x 2  12
 x1  3x 2  18
уе
№ 5. Найдите производную функции
№ 6. Постройте график функции
y
sin2 2 x

y ( )
8 .
и вычислите
1 3
x  x2 1
6
.
3
№ 7. Вычислите приближённое значение приращения функции y  x  x  5 при
изменении аргумента от 2 до 2,01.
№ 8. Найдите интегралы:
3


a)   5 
 2 x 3 dx
2
cos x


x5
б )  2 dx
x
 3x
3
2

 1 xdx
№ 9. Найдите интегралы:
.
№10. Вычислите определённые интегралы:
4


а)  2 x  x 2 dx
0

2
cos xdx
2
0 (3  sin x )
б)
59