Атургашева К.Ю. - Сибирский федеральный университет

УДК
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ
БЕСКОНЕЧНОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА В НАПРЯЖЕНИЯХ.
Атургашева К.Ю.
научный руководитель – доцент Анферов П.И.
Сибирский федеральный университет.
Рассмотрим квазистатическую задачу термоупругости для цилиндра (1  r  R ,
   z  ) , свободного от внешних усилий, который на части внешней поверхности
нагревается тепловым потоком qz  , не зависящим от угла  . Начальная температура
цилиндра T принята равной нулю.
Напряженное состояние цилиндра описывается уравнениями Бельтрами-Мичела
и равновесия [1]. В этих уравнениях вместо напряжений  rr ,   ,  zz и температуры T
введем в качестве новых неизвестных их линейные комбинации:
g   1  rr      zz  2T .
 1   rr     T ;
 1   rr     T ;
Тогда
 rr  0,5 1   2 ;
   0,5 1   2  T ;
 rr      2  T .
(1)
(2)
Величины  и  равны:   E 1    ,   21   , где  – коэффициент
линейного расширения, E – модуль Юнга,  – коэффициент Пуассона. Перечисленные
параметры полагаются независящими от температуры.
1
Из условий совместимости деформаций в напряжениях и формул (1) для
функций  1 ,  2 ,  rz , g получены дифференциальные уравнения:
 2 1  2 g , zz  T, zz ;


(3)
  2  4r  2  4r g ,r  2 g , zz   2r T,r  T, zz  4r T ;
2
2
1
1
  rz  r  rz  2 g  T ,rz ;
2
2
2
(4)
(5)
(6)
 g  0;
2
2

1 

2  2 
 2.
r r z
r
Запятые на уровне индексов означают частное дифференцирование по координатам,
указанным после них.
2
Граничные условия для (3) – (5) таковы:
 1 R, z    2 R, z   0;
 1 1, z    2 1, z   0;
 rz R, z   0.
 rz 1, z   0.
(7)
(8)
Функции  1 ,  2 ,  rz , g , найденные из (3) – (6) должны тождественно
удовлетворять равенствам:
 1   2 ,r  2r 1 2  2 rz, z  2r 1T ;
(9)
 rz, z  r  rz g , z   1, z  T, z ;
(10)
1
которые следуют из уравнений равновесия при осесимметричном деформировании.
Температура определяется из начально-краевой задачи:
T
T
T
R, z, t   1 qz ;
1, z, t   0; (11)
 a 2 T ;
T r, z,0  0;
r

r
t
где  – коэффициент теплопроводности, a - коэффициент температуропроводности.
От уравнений (3) – (6), (8), (9) перейдем к соответствующим равенствам для
Фурье-образов и введем новую независимую переменную   r :
''
'
 1   1 1  1  2 g   T ;

(12)

   1  1  4 2  2  4 1 g  2 g  2  1 T  1  2 2  T ;
''
2
'
2
'
'
 rz   1 rz  1   2  rz  2i g  i T ;
''
'
''
(14)
'
g   1 g  g  0;
'
1
(15)
'
2
    2 2  2i rz  2 T ;
'
1
i g  i  i T  
'
rz
(13)
(16)
  rz  0;
(17)
 zz   g   1   T ;
T  2 T 1 T


 T;
  2  
(18)
(19)
где   ta 2 ,  - параметр преобразования Фурье. Здесь и далее штрихи означают
дифференцирование по  , черта над символами означает преобразование Фурье.
Граничные условия для (12) – (14) таковы:
 1 R    2 R   0.
 rz R   0;
 rz    0;
 1     2    0.
(20)
(21)
Начальные и граничные условия для (19):
T R 
 1 1 q .

T  ,0  0;
T  
 0.

(22)
Решение уравнения (15) g    AI 0    BK 0  , подставим в уравнения (12) –
(14) и, применив метод вариации произвольных постоянных, запишем их общие
решения:
 1  A1 I 0    B1 K 0    AI1    BK 0    s1  ;
 2  A2 I 2    B2 K 2    AI 1    BK1    s 2  ;
 rz  A3 I1    B3 K1    AiI 0    Bi K 0    s3  .


s1      T    I  R1    K 0  R2   ;
(23)
(24)
(25)
(26)


s1     I 2  R1    K 2  R2    T   ;
s3    i I1  R1    K1  R2  ;
(27)
(28)
где I n  , K n  , n  0,1,2. - модифицированные функции Бесселя.
Величины R1  , R2   в формулах (26) – (28) равны:
R1     K1  T  d ;
R2     I 1  T  d .
'
'
(29)
Функции  1 ,  2 ,  rz , g будут тождественно удовлетворять уравнениям (15), (16),
если константы A, B, A k , Bk , k  1,2,3 связаны равенствами:
A2  A1  2 A3  .
A3  iA2     iA1 ;
B2  B1  2B3  .
B3  iA2     iB1 ;
(30)
(31)
С учетом (31) и рекурентных соотношений [2], перепишем 𝜎̅𝑟𝑧 в виде
 rz  iA1 I1    B1 K1    Af1    Bf 2    s3  .
где
f1    I 2   I1  ,
(32)
f 2    K 2   K1  .
Константы из (30) подставим в (23), (24) и с учетом (2), запишем для  rr  
1
 rr  A1 g1    B1 g 2    Ag 3    Bg 4    s1    s 2  .
(33)
2
Здесь обозначено
g1     1 I 1    I 2  ;
g 2     K1    K 2  ;
1
g 3    I1    3   I 2  ;
g 4    K1    3  K 2  .
Еще четыре алгебраических уравнения для вычисления этих констант
получаются из равенств (32), (33), если  rz и  rr подчинить граничным условиям (20) –
(21).
A1 I1 R   B1 K1 R   Af1 R   Bf 2 R   s3 R   0;
A1 g1 R   B1 g 2 R   Ag 3 R   Bg 4 R  
1
s1 R   s 2 R   0;
2
A1 I1    B1 K1    Af1    Bf 2    s3    0;
A1 g1    B1 g 2    Ag 3    Bg 4   
1
s1    s 2    0;
2
(34)
(35)
(36)
(37)
Чтобы вычислить интегралы в (29), нужно прежде из (19), (22) найти
преобразование Фурье температуры, вычисление которых целесообразно проводить
методом прогонки.
Определив числа A, B, Ak , Bk , k  1,2,3, из системы (34) – (37) находим величины
 1 ,  2 ,  rz из уравнений (23) – (25), через которые выражаются Фурье-образы
напряжений  jk . Теперь, совершая обратные преобразования Фурье, получим искомые
напряжения:
 jk r , z, t  
1
r 2

   , t exp ir z d ;
1
jk
j , k  r ,  , z.
(38)

Интегралы (38) вычисляются численно.
Литература
1.
Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А., Упругость и прочность
цилиндрических тел. М.: Высш. шк., 1975. 526 с.
2.
Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А.
Эрдейи. – М.: Наука, 1974. – 296 с.