Мартюгин

УТВЕРЖДАЮ
Директор института математики
Имени С.Л. Соболева Сибирского
Отделения РАН академик РАН
Ю. Л. ЕРШОВ
“10” ноября 2008 г.
ОТЗЫВ
ВЕДУЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ
О диссертации Мартюгина Павла Владимировича «Оценки длины и
вычислительной
сложности
синхронизации
конечных
автоматов»,
представленной на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.09 – дискретная математика и
математическая кибернетика.
Актуальность темы для науки и практики
Исследования, выполненные в диссертации, относятся к теории автоматов и оценкам
сложности вычислений.
Детерминированный конечный автомат называется синхронизируемым, если
существует слово, под действием которого все состояния автомата отображаются в одно и то
же состояние. Такие автоматы могут использоваться, например, для сортировки деталей на
автоматизированном производстве.
Вопросы о том, как проверить автомат на синхронизуемость и найти (кратчайшее)
слово, синхронизирущее данный автомат, исследуются уже более сорока лет. В частности, до
сих пор не доказана и не опровергнута гипотеза Черни о том, что всякий синхронизируемый
автомат с n состояниями можно синхронизировать словом длины (n-1)2.
Аналогичные вопросы можно ставить также для бережной синхронизации частичных
автоматов, в которых действие некоторых символов на данном состоянии может быть не
определено. Такая постановка задачи не менее естественна и актуальна, чем исходная.
Известно, что длины синхронизующих слов для частичных автоматов растут гораздо
быстрее, чем в детерминированном случае.
Диссертация содержит серию нижних оценок на длину кратчайшего слова,
синхронизирующего автомат, для автоматов из различных классов, а также новые
результаты о вычислительной сложности задач синхронизации автоматов. Большая часть
результатов получена путем построения автоматов с достаточно длинными кратчайшими
синхронизирующими словами (для нижних оценок на длину синхронизирующих слов) либо
конструкций, сводящих к задачам синхронизации известные трудно вычислимые проблемы
(для результатов о сложности).
Анализ и оценка результатов диссертации
Диссертация содержит 123 страницы и состоит из введения, двух глав, заключения и
списка литературы (46 наименований).
Введение (глава 1)
Во введении автор определяет классы автоматов, результаты о которых содержатся в
дальнейшем тексте, формулирует задачи, связанные с синхронизацией, о решении которых
пойдет речь, и приводит таблицу результатов о синхронизации автоматов, известных до
него.
Глава 2
Эта глава посвящена результатам о детерминированных автоматах. Впервые
построена серия автоматов с нулем над двухбуквенным алфавитом, у которых длина
кратчайшего синхронизирующего слова растет квадратично: ранее были известны только
серии примеров с линейным ростом, либо над алфавитами возрастающей мощности.
Описаны новые быстрые алгоритмы проверки автоматов на синхронизируемость. Получены
результаты о сложности задач, связанных с синхронизацией автоматов: в частности,
доказано, что задача о том, существует ли у данного автомата синхронизирующее его слово
длины не больше L, NP-полна, даже если рассматриваются только автоматы над бинарным
алфавитом. Исследуется также сложность соответствующей задачи для различных
подклассов автоматов: в большинстве случаев она также оказывается NP-трудной или даже
NP-полной, для доказательства чего к соответствующим задачам путем построения
автоматов-примеров сводится задача ВЫПОЛНИМОСТЬ.
Глава 3
Эта глава посвящена результатам о частичных автоматах. О таких автоматах общего
вида известно, что длина кратчайшего бережно синхронизирующего слова растет
экспоненциально, однако аналогичный результат не был известен для автоматов над
фиксированным алфавитом. В работе впервые построены примеры частичных автоматов над
двухбуквенным алфавитом, у которых длина кратчайшего бережно синхронизирующего
слова растет быстрее, чем любой полином от количества состояний, хотя и медленнее, чем an
для любого a. Кроме того, улучшены имеющиеся (экспоненциальные) нижние оценки для
автоматов над растущим алфавитом, также с помощью новой серии примеров. Наконец,
доказано, что задачи о том, синхронизируем ли данный частичный автомат, и если да, то
существует ли для него бережно синхронизирующее слово длины не больше данной,
PSPACE-полны, даже если ограничиться рассмотрением автоматов над двухбуквенным
алфавитом. Этот результат, самый технически сложный в диссертации, доказывается с
помощью сведения к задачам синхронизации известной PSPACE-полной задачи 3ВЫПОЛНИМОСТЬ С КВАНТОРАМИ.
В заключении работы приводится удобная таблица полученных результатов.
Рекомендации по использованию результатов диссертации
Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в
Институте математики СО РАН, Московском, Уральском, Новосибирском государственных
университетах и в других научных центрах, где изучаются современные проблемы теории
автоматов и сложность вычислений, а также для обучения студентов соответствующих
специальностей.
Заключение
Принципиальные недостатки в работе отсутствуют. В качестве замечания можно
отметить некоторую небрежность в описании известных результатов: так, в приведенном для
полноты картины доказательстве теоремы Черни отсутствует важное для понимания
определение длины интервала. Кроме того, в части работы, посвященной оценкам
сложности, были бы уместны определение класса PSPACE и обсуждение иерархии
упомянутых классов сложности.
Отмеченные недостатки изложения не влияют на общую положительную оценку
диссертации.
Диссертация представляет собой завершенную научно-исследовательскую работу на
актуальную тему. Результаты опубликованы в отечественных и зарубежных рецензируемых
изданиях, автореферат соответствует содержанию диссертации.
Работа отвечает всем требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским
диссертациям, а ее автор, Мартюгин Павел Владимирович, заслуживает присуждения ей
ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.09 –
дискретная математика и математическая кибернетика.
Отзыв рассмотрен на заседании семинара отдела Теоретической кибернетики
института математики Имени С.Л. Соболева Сибирского Отделения РАН 6 ноября 2008г.
Заведующий отделом
доктор физ.-мат. наук, профессор
В. Т. Дементьев
С.н.с. отдела
кандидат физ.-мат. наук
А. Э. Фрид