Лабораторная работа № 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ

Лабораторная работа №14.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С
ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА.
Цель работы: определить экспериментально с помощью оборотного
маятника ускорение свободного падения.
Краткая теория
Физическим маятником называют твердое тело, способное вращаться вокруг невертикальной оси, не проходящей через центр масс
тела. На рис. 1 представлен физический маятник как тело, способное
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через произвольную точку O тела, не совпадающую с центром масс (т. C ) тела.
Рис. 1.
Расстояние от точки подвеса O до центра масс C равно a . На
тело действуют силы тяжести и реакции подвеса. В положении равновесия уравновешены силы, действующие на маятник, равны нулю и
моменты этих сил относительно точки подвеса, т.к. линии действия
этих сил проходят через точку подвеса. Если тело маятника отклонить
от положения равновесия на угол  и отпустить, оно будет совершать
вращательное движение вокруг заданной оси. Такое движение описывается основным законом динамики для вращательного движения
(уравнением моментов), которое для твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, в векторной форме имеет вид:


M  J ,
(1)

где M – момент сил, приложенных к маятнику, относительно точки
1
подвеса, J – момент инерции маятника относительно точки подвеса.
Если в данный момент времени угловое отклонение маятника от
положения равновесия равно  , то величина момента силы тяжести
маятника равна

M  mga sin  ,
а направлен вектор момента перпендикулярно плоскости рисунка за
эту плоскость. Момент же реакции подвеса не изменился и равен нулю. При малых углах отклонения величина момента силы тяжести
равна

M  mga  .
Т.о., момент силы тяжести пропорционален угловому смещению, которое так же является вектором. Из рисунка видно, что
направлению момента силы тяжести и углового перемещения противоположны по направлению, поэтому проекции момента силы тяжести на ось вращения должна быть записана в виде:
M  mga .
(2)
С учетом сказанного основной закон динамики в проекции на ось
вращения принимает вид:
d 2
J 2  mga ,
(3)
dt
получим исходное уравнение движения маятника:
d 2
J 2  mga  0 .
(4)
dt
Это уравнение является уравнением гармонических колебаний,
решением которого является гармоническая функция:
   0 sin t   0  .
В том, что (5) является решением уравнения (4), можно убедиться путем простой подстановки (5) в уравнение. При этом видно,
что циклическая частота колебаний равна
mga

,
(5)
J
а период колебаний, соответственно,
2
J
(6)
T
 2

mga
Сравнивая выражение для периода колебаний математического
маятника с формулой (6) заметим, что величина J ma играет тy же
2
роль, что и длина математического маятника. Поэтому ее называют
приведенной длиной физического маятника:
J
.
lпр 
ma
Точку O' лежащую на прямой, соединяющей точку подвеса O и
центр масс C , на расстоянии от точки O , равном приведенной длине
физического маятника, называют центром качания. Физический маятник отличается свойством сопряженности точки подвеса и центра качения, заключающегося в том, что если маятник заставить колебаться
вокруг центра качания, то прежняя точка подвеса станет новым центром качания. Иначе говоря, приведенная длина маятника и, соответственно, период колебаний при этом не изменяются.
Пусть точка O (рис.2) является точкой подвеса, C – центром
масс маятника, а точка O' – центром качания. Приведенная длина маятника при этом равна
J
,
lпр 
ma
где: a – расстояние от точки подвеса до центра масс.
Рис. 2.
Перевернем маятник, заставив его колебаться вокруг оси, проходящей через т. O' . Приведенная длина маятника в таком положении
равна
J'
l 'пр 
.
mlпр  a 
Используя выражение для приведенной длины маятника в пря-
3
мом положении lпр получим окончательно, что приведенная длина маятника при таком его обороте не изменяется:
2
J C  mlпр  a 
J C  ma 2  mlпр lпр  2a 
l 'пр 


mlпр  a 
mlпр  a 
J
lпр  2a 
a

 lпр .
mlпр  a 
Это свойство физического маятника используют в гравиметрической разведке для определения ускорения свободного падения, а
сам маятник называют оборотным.
J
Краткая теория метода определения ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.
Оборотный маятник, предлагаемый для работы, представляет
собой длинный стержень, на котором укреплены две чечевицы: неподвижная A и перемещаемая B . Маятник может колебаться вокруг
осей, совпадающих с ребрами призм a и b . Расстояния от ребер
призм до центра масс маятника равны, соответственно, a1 и a 2 .
(рис.3). Если маятник колеблется вокруг ребра призмы a , период колебаний равен
J1
.
(7)
T1  2
mga1
В обратном положении маятника (колебания относительно
призмы b ) период колебаний определяется соотношением:
J2
T2  2
,
(8)
mga2
где J 1 и J 2 - моменты инерции маятника относительно осей колебания в первом и втором случаях соответственно, а m - масса маятника.
4
Рис. 3.
По теореме Шнейтера моменты инерции маятника равны:
J1  J C  ma12 , J 2  J C  ma22 ,
где: J C - момент инерции маятника относительно оси, проходящей
через центр масс.
Из последних соотношений видна связь между моментами
инерции относительно точки подвеса и центра качания:
J 2  J1  ma22  a12 .
Используя эту связь и выражения для периодов колебаний, получим расчетное соотношение для ускорения свободного падения:
4 2 a22  a12 
g
.
(9)
a2T22  a1T12
При перемещении подвижной чечевицы изменяются моменты
инерции относительно обеих призм и положение центра масс. Т.е. изменяются величины периодов колебаний маятника в прямом и обратном положениях. Можно подобрать такое положение подвижной чечевицы, при котором периоды колебаний маятника в обоих положениях окажутся одинаковыми:
T1  T2  T .
Равенство периодов колебаний означает, что расстояние между приз-
5
мами равно приведенной длине маятника:
a1  a2  lпр .
В этом случае расчетная формула для ускорения свободного падения
значительно упрощается:
4 2lпр
4 2
g  2 a1  a2  
.
(10)
T
T2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Измерения
Измерить период колебаний маятника в прямом и обратном положениях подвижной чечевицы. Положение чечевицы устанавливав
по шкале от 6 до 10 см через 1,0 см. Период колебаний определять
как среднее из 20-30 колебаний.
Построить график зависимости периода колебаний маятника в
прямом и обратном положениях от положения чечевицы. В области
пересечения кривых зависимость установить более точно, изменяя
положение чечевицы через 0,5 см.
Измерить расстояние между ребрами призм.
По формуле (10) рассчитать значение g, используя значение периода колебаний, совпадающего в прямом и обратном положениях маятника.
Если периоды колебаний в прямом и обратном положениях не совпали, расчет производить по формуле (9).
Рассчитать погрешность определения g
Результаты измерений и расчетов внести в таблицу.
Контрольные вопросы
1. Объясните теорию физического маятника.
2. Объясните свойство сопряженности точки подвеса и центра, качания физического маятника.
3. Объясните теорию метода определения ускорения свободного падения
6