ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
-------------------------------------------------------------------------------------------------Кафедра вычислительной техники
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания
к лабораторным работам
САМАРА 2004
3
Составитель:
УДК 681.325
Основы теории управления: Метод. указ. к лабор. работам / Самар.
гос. тех. ун-т; Сост.
. Самара, 2004. 92с.
Приведены методические указания к лабораторным работам по курсу
«Основы теории управления». Лабораторные работы выполняются с использованием программы «Classic». Изучение особенностей этой программы проводится в первой лабораторной работе.
Указания предназначены для студентов специальности 220100, обучающихся на очной и заочной форме. Они могут быть использованы преподавателями и студентами других специальностей, на которых изучаются основы теории управления.
Ил. 17. Табл. 5. Библиогр.: 4 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
4
Лабораторная работа №1
ИЗУЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ "CLASSIC" ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы – изучение моделирующей программы "Classic", предназначенной для исследования линейных систем автоматического управления.
Программа CLASSIC (версия 1.5) является DOS–приложением, которая
может работать в среде ОС WINDOWS. Манипулятор "мышь" программа не
поддерживает. В программе не предусмотрена отмена каких-либо выполненных пользователем действий, поэтому будьте осторожны, выполняя, например, удаления.
Запуск программы CLASSIC может быть выполнен любым допустимым
в используемой операционной системе способом. Обратите внимание, что
если пользователь длительное время не взаимодействует с программой, запущенной в среде ОС WINDOWS, то обычно "Classic" зависает. В исключительных случаях может потребоваться перезагрузка компьютера.
Все команды, управляющие программой, могут быть осуществлены через развитую систему многоуровневого меню. Вызов меню осуществляется
нажатием клавиши F10. Состояния программы, порождаемые командами меню, для удобства могут называться режимами. Для большинства команд
имеются клавиатурные комбинации, использование которых существенно
ускоряет работу с программой. В дальнейшем при описании команд меню
везде, где это возможно, указываются клавиатурные комбинации.
1. СПРАВОЧНАЯ СИСТЕМА ПРОГРАММЫ "CLASSIC"
Справочная система программы CLASSIC содержит:
– сведения общего характера, где приведены необходимые понятия и основные правила работы с программой;
– контекстно-зависимые сведения, связанные с конкретным режимом
работы программы.
Вызов справочной системы для получения сведений общего характера –
клавиша F1 (после загрузки программы, до попадания в режим редактирования моделей) , а при работе программы в каком-нибудь выбранном режиме
(из любого места программы) – Shift+F1.
Вызов контекстно-зависимой помощи, соответствующей текущему режиму программы – клавиша F1. Переход к последующей (предыдущей) странице текста помощи – PgDn (PgUp) (допустимые возможности выделяются
красным цветом). Выход из справочной системы – Esc.
5
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРАВИЛА РАБОТЫ
Текущее звено – звено, на котором установлен указатель (мигающий
маркер) звена (см. рис. 1,а).
Перемещение указателя звена: клавиши со стрелками, клавиши Home,
End, PgUp, PgDn.
Активное звено – звено, в котором выделена цветом (по умолчанию –
красным) верхняя правая область (см. рис. 1,б). Звено становится активным,
когда на нем устанавливается указатель (мигающий маркер) звена, и сохраняет свой статус до тех пор, пока активным не станет другое звено.
Вид мигающего
звена–маркера
а
Номер звена
Выделено цветом
3
б
aper1
Вид активного
звена
Имя звена
Вид варьируемого
звена
в
г
д
3
aper1
Звено–источник перед
проведением линии
связи
Мигающее перекрестие
Линия связи перед её
удалением
Р и с . 1. Элементы ввода/редактирования структуры
Варьируемое звено – звено, у которого могут быть изменены параметры
в процессе исследования. Изображение такого звено перечеркнуто стрелкой
(см. рис.1,в).
Исходная система – система (модель), не содержащая звена, назначенного варьируемым, либо с варьируемым звеном, но при номинальных
(начальных) значениях его параметров.
Текущая система – система, в которой значения параметров варьируемого звена отличаются от номинальных (начальных).
При редактировании числовых значений или строк текста можно использовать следующие клавиши: Delete, BackSpace, со стрелками влево/вправо, Home, End, Insert в их общепринятом для редакторов текста
смысле.
6
3. ОПИСАНИЕ КОМАНД МЕНЮ
При запуске программы появляется заставка, которая убирается нажатием любой клавиши. После этого появляется строка меню, вид которой приведен на рис. 2.
Анализ
Частотный анализ
Оптимизация
Упрощение модели
Анализ активного звена
F9
Alt+F9
Shift+f9
Назначить вход
Назначить выход
Назначить варьируемое звено
Отменить вход
Отменить выход
Отменить варьируемое звено
F7
F8
F6
Ctrl+F7
Ctrl+F8
Ctrl+F6
Провести связь
F5
Удалить связь Ctrl+F5
Файл/Модель Звено Связи Расчеты Назначить/Отменить Масштаб
Разместить
Редактировать параметры
Изменить ориентацию
Удалить
Чтение из файла
Запись в файл
Ввод/редактирование
Завершение работы
F3
F4
Enter
Tab
Space
Del
Увеличить
Уменьшить
Gray +
Gray -
Диск
Каталог
APER1.MDL
DEMO1.MDL
DEMO2.MDL
LR1.MDL
LR2.MDL
Следующие....PgDn
Р и с . 2. Главное меню и его команды
7
3.1. Меню "Файл/Модель"
Меню "Файл/Модель" выполняет:
– чтение модели из файла;
– запись введенной (отредактированной) модели в файл;
– переход в режим ввода/редактирования моделей.
3.1.1. Команды "Чтение из файла" (F3), "Запись в файл" (F4)
При чтении модели необходимо в поле ввода вместо символа "*" задать
конкретное имя файла (расширение .mdl устанавливается программой). Имя
может быть введено непосредственно с клавиатуры (в этом случае следует
предварительно удалить символ "*"), либо выбором из каталога: не удаляя
символ "*", нажмите клавишу Enter – будет показан список файлов моделей
*.mdl, находящихся в том же каталоге, где находится программа CLASSIC.
Поиск требуемого файла – перемещение маркера, фиксация его – клавиша
Enter.
Запись в файл введенной или отредактированной модели производится
либо с присвоением нового имени и образованием нового файла модели
(ввод имени с клавиатуры начинается с удаления символа "*"), либо в существующий файл с удалением ранее записанной модели. При этом имя может
быть назначено выбором из списка (перемещением маркера) и фиксацией –
нажатием клавиши Enter.
При необходимости можно выбрать требуемый диск или/и каталог.
3.1.2. Команда "Ввод/редактирование" структуры модели
При вводе/редактировании структуры модели выбираются и фиксируются положения звеньев, проводятся связи между ними, а также могут быть
назначены входное, выходное и варьируемое звенья.
Порядок выполнения действий при формировании структуры – произвольный:
можно расположить все звенья, а потом соединить их; можно проводить связи одновременно с добавлением новых звеньев.
3.1.2.1. Для расположения звена необходимо переместить мигающее
звено-маркер (см. рис. 1,а) на требуемое место и зафиксировать его положение нажатием клавиши Enter.
Для удобства проведения линий связи можно изменить обычную ориентацию звена (вход – слева, выход – справа ) на противоположную (вход –
справа, выход – слева), нажав клавишу Пробел.
3.1.2.2. Для проведения связи необходимо войти в соответствующий
режим, нажав клавишу F5. В правом нижнем углу верхнего окна появится
идентифицирующая текущий режим надпись "Выбор звена–источника".
Внешняя рамка одного из звеньев будет мигать, так как на ней находится
маркер выбора звена–источника связи. Если это звено не является необходимым в данный момент, то, используя клавиши со стрелками, накройте мигающим маркером то звено, от которого нужно проводить связь и нажмите
8
клавишу Enter. В правом нижнем углу верхнего окна появится идентифицирующая надпись "Проведение связей". На конце выходной стрелки выбранного звена появится мигающее перекрестие (см. рис. 1,г).
Используя клавиши со стрелками, подведите это перекрестие к входной
стороне звена–приемника. В момент, когда связь установлена, исчезает мигающее перекрестие, происходит выход из режима проведения связей, о чем
свидетельствует идентифицирующая новый режим надпись "Размещение/удаление звена" правом нижнем углу верхнего окна.
Повторяя указанные действия, можно провести все необходимые связи.
Редактирование структуры модели допускает удаление отдельной связи
либо звена с входящими и выходящими из него связями.
3.1.2.3. Чтобы удалить звено вместе с относящимися к нему линиями
связи (если они есть), необходимо сделать его активным и нажать клавишу
Delete.
3.1.2.4. Для удаления отдельной связи между звеньями необходимо выбрать соответствующий режим, нажав клавиши Ctrl+F5. В правом нижнем
углу верхнего окна появится идентифицирующая надпись "Удаление связей", а внутри активного звена появится мигающее перекрестие. Пользуясь
клавишами со стрелками, установите центр этого перекрестия в любом месте
удаляемой линии связи (см. рис. 1,д) и нажмите клавишу Enter. Связь будет
удалена и произойдет переход в режим "Размещение/удаление звена".
Предусмотрена возможность автоматического упрощения (сворачивания) структур
методом эквивалентных преобразований (с демонстрацией процесса сворачивания).
Для вызова процедуры необходимо выполнить: F10 – "Расчеты" – "Упрощение модели". Преобразование (упрощение) структур основано на поэтапном выделении пар звеньев, классификации их соединения по одному из трех типов - последовательное, параллельное или с обратной связью, и замене этой пары одним звеном с эквивалентной
передаточной функцией. Перенос точек съема и суммирования сигналов не производится. Не подлежат сворачиванию звенья, объявленные входными и выходными, а также звено, назначенное варьируемым. При сворачивании графическое расположение
остающихся звеньев и связей сохраняется.
3.1.3. Редактирование параметров звена
Ввод (редактирование) передаточной функции активного звена и задание других его атрибутов выполняется в нижнем окне. Переход между верхним окном (там набиралась структура) и нижним (и наоборот) – клавиша
Tab. При активном нижнем окне оно имеет заголовок "Редактирование параметров звена".
Передаточная функция звена в общем случае представляет собой отношение полиномов:
b0 p 2  b1 p  b2
Yвых( p)
B( p )
.


Xвх( p) a0 p 3  a1 p 2  a2 p  a3 A( p)
Передаточная функция вводится (редактируется) заданием (изменением)
коэффициентов bi и ai. При редактировании можно использовать следующие
W ( p) 
9
клавиши: Delete, BackSpace, со стрелками влево/вправо, Home, End, Insert
в их общепринятом для редакторов текста смысле.
Ввод начинается со свободного члена полинома. Переход к слагаемому
со следующей степенью аргумента p – клавиша PgUp, с предыдущей – клавиша PgDn.
Нумерация звеньев производится автоматически при построении модели, но при необходимости может быть изменена пользователем.
Каждому звену модели может быть задано имя (латинские буквы, длина
не более 7 символов).
Выполнение действий Редактирование числителя/Редактирование знаменателя/Ввод имени звена зациклено. Завершение одного действия (и, значит, переход к другому) – нажатие клавиши Enter.
При необходимости изменения номера звена, находясь в нижнем окне,
нажмите клавишу F10, и в появившейся строке меню выберите Номер.
3.2. Меню "Звено"
Это меню включает следующие команды:
Разместить
Редактировать параметры
Изменить ориентацию
Удалить
Enter
Tab
Space
Del
Назначение этих команд пояснялось при изложении материала в п. 3.1.2.
3.3. Меню "Связи"
Это меню включает две команды:
Провести связь
Удалить связь
F5
Ctrl+F5
Использование этих команд было пояснено при изложении материала
п. 3.1.2. Напомним здесь, что удаляется активное звено, после чего автоматически назначается новое активное звено.
Никаких команд по отмене удаления не предусмотрено.
10
3.4. Меню "Расчеты"
Это меню включает следующие команды:
Анализ
Частотный анализ
Оптимизация
Упрощение модели
Анализ активного звена
F9
Alt+F9
Shift+F9
3.4.1. Команда"Анализ" (F9)
Назначение :
– расчет в корневой, временной и частотной областях характеристик системы (или отдельных её звеньев);
– исследование влияния изменений параметров звеньев на свойства системы.
Результаты анализа отображаются в четырех окнах.
Левое верхнее: комплексная плоскость с расположенными на ней нулями
и полюсами передаточной функции.
Правое верхнее: переходная характеристика.
Левое нижнее: логарифмическая амплитудная (ЛАЧХ) и фазовая (ФЧХ)
частотные характеристики.
Правое нижнее: амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ).
Нули и полюсы ПФ
Переходный процесс
ЛАЧХ и ФЧХ
АФХ
Графики
Home
PgDn
End
PgDn
Передаточные функции
Esc Выход
Передаточная функция (ПФ)
Текущая передаточная функция
Редактирование ПФ звена
F3
F4
F5
Р и с . 3. Контекстное меню для команды "Анализ"
Контекстно–зависимое меню (F10) для этой команды показано на рис. 3.
Для подробного изучения характеристик каждое из окон может быть развернуто во весь экран. Для этого используются клавиши Home, PgUp, PgDn,
11
End, которые выводят на весь экран то окно из четырех, которое соответствует расположению нажатой клавиши на клавиатуре.
Имеется возможность редактирования оператора звена, назначенного
варьируемым (F5). Если после этого произвести анализ (F9), то одновременно будут выведены графики характеристик исходной (номинальной) и текущей систем.
Просмотр выражений для передаточных функций системы можно выполнить, нажав F3 или F4.
3.4.2. Манипуляции над графиками
Когда какое–нибудь из окон представлено во весь экран, появляется
возможность использовать команды контекстно–зависимого меню, вызываемого клавишей F10, для манипуляций с графиками (см. рис. 3).
Предусмотрены следующие действия над графиками:
Восстановить
Увеличить(*2)
F3 Значения
Масштаб
Число точек
Восстановить
Изменить
Ctrl+F5
F5
F6 Сетка
Esc Выход
Ctrl+F4
F4
Р и с . 3. Меню для выполнения действий над графиками
– оцифровка значений точек графика (клавиша F3). Перемещение маркера по графику выполняется клавишами со стрелками влево/вправо. Значения
могут быть запомнены на экране (клавиша Insert). В каждом окне в общем
случае представлена информация более чем об одном объекте (нули, полюсы,
ЛАЧХ, ФЧХ и т.д.). При снятии данных активный объект идентифицируется
надписью вверху окна, переход от объекта к объекту – клавиши PgUp, PgDn;
– изменение масштабов по осям (клавиша F4). Это можно сделать двумя
способами:
1) непосредственным заданием границ диапазона (клавиша Insert). После этого появится окно с четырьмя полями для ввода границ изменения аргумента и границ изменения функции. Переход от поля к полю – клавиша
Tab. Пересчет характеристик системы после изменения масштабов – клавиша F9;
2) выделением фрагмента графика перемещением маркера левого нижнего и правого верхнего углов. При входе в рассматриваемый режим мигает
12
рамка, обрамляющая весь график, а левый нижний угол является активным –
там мигает маркер–перекрестие. Правый верхний угол станет активным после нажатия клавиши Tab. Используя клавиши со стрелками можно перетащить левый нижний и правый верхний углы так, чтобы они выделяли область, требующую более детального анализа. Напомним, что пересчет характеристик системы после изменения масштабов – клавиша F9.
Восстановление прежнего масштаба – Ctrl+F4;
– наложение сетки на плоскость графика (клавиша F6);
– удвоение числа точек на графиках временных и частотных характеристик (клавиша F5). Не применяйте эту операцию более 2-3 раз, при работе в
ОС WINDOWS программа может зависнуть. Восстановление прежнего количества точек – Ctrl+F5.
3.4.3. Команда "Частотный синтез" (Alt+F9)
Назначение: синтез динамики систем в комплексно-частотной области.
Осуществляется путем манипуляций над ЛЧХ системы и варьируемого
(корректирующего) звена с использованием информации о нулях и полюсах
передаточной функции.
На графике представлены:
– ЛАЧХ исходной разомкнутой системы (эквивалентной одноконтурной
разомкнутой системе с единичной отрицательной обратной связью);
– ЛАЧХ и ФЧХ текущей системы, отличающейся от исходной звеном
коррекции;
– ЛАЧХ варьируемого звена. Маркер текущей частоты может переключаться на частотные характеристики текущей системы или варьируемого звена.
На оси частот помечаются модули корней с указанием типа (нули и полюсы, действительные и комплексные, левые и правые) текущей системы или
варьируемого звена. Перед началом синтеза в режиме редактирования модели целесообразно корректирующему (назначенному варьируемым) звену
приписать следующие начальные операторы:
– для последовательной коррекции W k(s) = 1/1;
– для обратной связи или параллельной коррекции Wk(s) = 0/1.
В этом случае перед началом синтеза частотные характеристики исходной и текущей систем будут совпадать.
Манипулирование частотной характеристикой текущей системы или варьируемого звена осуществляется деформированием ЛАЧХ с целью придания им желаемого вида. Это достигается последовательным введением в исходную (текущую) ПФ новых действительных отрицательных нулей и полюсов или компенсацией существующих, для чего предусмотрена специальная
процедура. При каждой манипуляции с ЛАЧХ текущей системы вычисляется
соответствующая передаточная функция варьируемого звена, а при любом
действии над ЛАЧХ варьируемого звена вычисляется передаточная функция
текущей скорректированной системы. Предусмотрена возможность исключе13
ния с задаваемой точностью из передаточной функции диполей – близко расположенных нулей и полюсов.
3.4.4. Команда "Оптимизация" (Shift+F9)
Назначение:
– численная оптимизация коэффициентов передаточной функции варьируемого звена с целью минимизации функционала от переходной характеристики;
– исследование поверхности отклика – зависимости функционала от варьируемых параметров.
При работе в режиме оптимизации информация на экране представляется в четырех окнах.
Левое верхнее: форма функционала и значения весовых коэффициентов.
Правое верхнее: фрагмент структуры, включающий варьируемое (оптимизируемое) звено и его исходную передаточную функцию.
Левое и правое нижние окна: коэффициенты числителя и знаменателя
передаточной функции варьируемого звена и их начальные значения.
Функционал представляется в виде суммы, составленной из интегральных квадратичных оценок переходной составляющей процесса и его производных:
I=b*e + a0I0 + a1I1 + a2I2 + …+a4I4
По определению квадратичная интегральная оценка вычисляется по
формуле:



2
I k   ak y (k ) (t ) dt
0
(k )
где y (t ) – производная k-ого порядка от переходной составляющей
процесса;
ak – весовой коэффициент, выбираемый из практических соображений.
Для оценки I1 коэффициент a1 рекомендуют выбирать с использованием сле1
1
дующего неравенства: t р  a1  t р , в котором tр – требуемое время регу6
3
лирования [4].
Предусмотрена возможность включения в функционал установившейся
ошибки (коэффициент b должен быть отличным от нуля). Конкретный вид
функционала назначается заданием весовых коэффициентов. По умолчанию
a0=1, а все остальные коэффициенты равны нулю, что соответствует простой
интегральной квадратичной оценке (ИКО). Чаще используется улучшенная
(обобщенная) ИКО, что соответствует значению коэффициента a1, отличному
от нуля (по умолчанию a1=1 и a0=1).
14
Для манипулирования с коэффициентами числителя и знаменателя передаточной функции варьируемого звена следует вызвать контекстно–
зависимое меню клавишей F10. Вид строки меню для этого случая показан на
рис. 4.
Числитель
Критерии
Окна
Tab
Shift+Tab
Коэффициенты
Оптимизация
Сечения
Анализ
Расчеты
F5
F4
F9
Esc Выход
Назначить варьируемым
F3
Отменить
Ctrl+F3
Изменение верхней границы
Ctrl+PgUp
Изменение нижней границы
Ctrl+PgDn
Изменение текущего значения
Enter
Редактирование значений
Insert
Р и с . 4. Меню для режима "Оптимизация" и его команды
Каждый из коэффициентов передаточной функции варьируемого звена
может быть назначен варьируемым (клавиша F3); при этом в нижнем окне у
соответствующего коэффициента появляется числовая ось и автоматически
задается диапазон его изменения – по три декады в обе стороны от начального значения (границы могут быть впоследствии изменены), а также выводится текущее значение коэффициента, в начальный момент равное исходному.
Изменение текущих значений варьируемых коэффициентов с клавиатуры производится перемещением клавишами со стрелками влево/вправо
маркера по числовой оси.
При запуске процедуры поиска минимума функционала (F5) в правом
верхнем окне вместо фрагмента структуры появляются стартовое (начальное)
и меняющееся текущее значение оптимизируемого функционала, число выполненных шагов (итераций) поиска. Одновременно с этим в нижних окнах
на числовых осях отображается процесс изменения текущих значений варьируемых параметров.
Запуск процедуры численной оптимизации возможен, если система
находится в устойчивой области при стартовых (текущих) значениях варьируемых параметров.
Из режима оптимизации может быть проведен анализ (клавиша F9) с одновременным отображением характеристик исходной и текущей (оптималь15
ной) систем. По окончании анализа можно вернуться в режим оптимизации
(Esc).
4
3.4.5. Команда "Сечения" (F4)
Если при оптимизации варьируемым назначен только один параметр, то
по этой команде строится график зависимости функционала от этого параметра. На графике помечаются точки, соответствующие глобальному минимуму, начальному и текущему значениям функционала. Текущее значение
варьируемого параметра может быть изменено перемещением с клавиатуры
маркера по числовой оси.
Из режима "Сечения" могут быть вызваны режимы численной оптимизации (F5) или анализа (F9). Для значений параметра, при которых система
неустойчива, функционал не вычисляется и точки на графике не отображаются.
Если при оптимизации варьируемыми назначены два параметра, то по
этой команде в трехмерном пространстве строится поверхность отклика,
отображающая зависимость функционала от этих параметров. На поверхности помечаются точки, соответствующие глобальному минимуму, начальным
и текущим значениям параметров. Текущие значения варьируемых параметров могут быть изменены перемещением клавишами со стрелками влево/вправо маркера по числовым осям.
Из режима "Сечения" могут быть вызваны режимы численной оптимизации (F5) или анализа (F9).
Для получения наиболее выгодного ракурса при просмотре поверхности
отклика имеется возможность её вращения вокруг осей (см. команды контекстно–зависимого меню, вызываемого по F10). При значениях варьируемых параметров, где система неустойчива, значения функционала не вычисляются и поверхность не строится.
3.4.6. Команда "Упрощение модели"
Производится упрощение (сворачивание) структуры модели методом эквивалентных преобразований (с демонстрацией процесса сворачивания).
Преобразование (упрощение) структур основано на поэтапном выделении
пар звеньев, классификации их соединения по одному из трех типов - последовательное, параллельное или с обратной связью, и замене этой пары одним
звеном с эквивалентной передаточной функцией. Перенос точек съема и
суммирования сигналов не производится. Не подлежат сворачиванию звенья,
объявленные входными и выходными, а также звено, назначенное варьируемым. При сворачивании графическое расположение остающихся звеньев и
связей сохраняется.
16
3.4.7. Команда "Анализ активного звена"
Выполняется анализ звена, являющегося активным, в исследуемой системе любой сложности. При этом не нужно назначать для этого звена
"Вход" и "Выход".
4. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ
Используя предложенную для анализа систему, приобретите практические навыки работы с программой "Classic".
Контрольные вопросы
1. Как выполняются соединения между звеньями системы?
2. Как можно удалить отдельное звено системы?
3. Как можно удалить отдельную связь между звеньями системы?
4. Предусмотрена ли возможность изменения геометрических размеров звеньев?
5. Как можно изменить масштаб графика, полученного в результате анализа системы?
6. Как назначается варьируемое звено и как отменяется этот статус звена?
7. Как назначаются входное и выходное звенья системы и как отменяется этот
статус звеньев?
8. По какому критерию выполняется оптимизация системы?
9. Как задаются пределы изменения варьируемых при оптимизации коэффициентов?
10. Как задаются параметры звеньев системы?
17
Лабораторная работа №2
ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
Цель работы – исследование характеристик типовых звеньев систем
управления.
1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
1.1. Общие положения
При анализе и синтезе систем управления их разбивают на динамические звенья.
Под динамическим звеном понимают устройство любой физической
природы и конструктивного оформления, но описываемого определенным
дифференциальным уравнением. Динамические звенья классифицируются
именно по виду дифференциального уравнения.
Под типовым динамическим звеном понимают такое звено, которое
описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка.
Динамические свойства систем управления и типовых звеньев описывают обыкновенными дифференциальными уравнениями, например:
dy
d 2x
dx

a
y

b
 b1
 b2 x ,
(1)
3
0
3
2
2
dt
dt
dt
dt
dt
где x – входная величина, а y – выходная величина
В теории управления эти уравнения обычно записывают в символической форме, которая получается, если производные в исходном уравнении
заменить с использованием символического оператора дифференцирования
d
p
(2)
dt
С учетом этого, вместо (1) можно записать:
a0
d3y
 a1
d2y
 a2
a0 p3 y  a1 p 2 y  a2 py  a3 y  b0 p 2 x  b1 px  b2 x ,
что можно преобразовать к виду:
(3)
(4)
y(a0 p3  a1 p 2  a2 p  a3 )  x(b0 p 2  b1 p  b2 ) .
Считая введенный оператор дифференцирования алгебраической величиной, можно решить дифференциальное уравнение (4) относительно выходной величины и выразить отношение выходной величины к входной. Такое
отношение в теории управления называют передаточной функцией звена
(или системы) и обычно обозначают буквой W, т.е.
b0 p 2  b1 p  b2
Yвых( p)
B( p )
,


Xвх( p) a0 p 3  a1 p 2  a2 p  a3 A( p)
где B(p) – полином числителя, A(p) – полином знаменателя.
W ( p) 
18
(5)
Более строго передаточная функция определяется как отношение изображений Лапласа выходной и входной величин звена при нулевых начальных
условиях:
b0 s 2  b1s  b2
Yвых(s)
B( s )
;
(6)


3
2
Xвх( s) a0 s  a1s  a2 s  a3 A( s)
где s  c  j – комплексная величина.
Так как во многих случаях вместо обозначения s в изображениях
Лапласа используют букву p , то внешне эти два вида записи передаточной
функции совпадают, хотя между ними имеется принципиальная разница: в
первом случае речь идет о временной области, а во втором – о комплексной.
Корни уравнения B(s)=0 называют нулями передаточной функции.
Уравнение A(s)=0 называют характеристическим уравнением системы, а
корни этого уравнения – полюсами передаточной функции.
W ( s) 
1.2. Характеристики типовых звеньев
1.2.1. Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции.
Переходная функция или переходная характеристика h(t ) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на
его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице.
Такое входное воздействие называют единичной ступенчатой функцией и
обозначают x(t )  1(t ) , что соответствует x(t )  0 при t  0 и x(t )  1 при
t 0.
Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию x  1(t ) N , то выходная величина будет равна y  h(t ) N .
1.2.2. Важнейшей характеристикой звена является его частотная передаточная функция, которая описывает свойства звена при воздействии на
его вход гармонического сигнала:
(7)
x  X макс cos( t) ,
где X м акс – амплитуда;
 – частота этого воздействия.
На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармонический сигнал той же частоты, но в общем случае сдвинутый по фазе
относительно входной величины на угол  . Таким образом, для выходной
величины можно записать:
(8)
y  Yмакс cos( t   ) .
19
Если известна передаточная функция звена W (s) , то частотная передаточная функция W (j ) может быть получена из нее путем замены s на jω:
(9)
W (j )  W (s) при s  j .
Частотная передаточная функция W (j ) на каждой частоте ω представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент – сдвигу фазы выходной величины по отношению к входной:
Y
( )
mod W ( j)  W ( j)  макс
;
X макс( )
arg W ( j)   ( ) .
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
(10)
W( j )  A( )e j ( )  U ( )  jV ( )
где A( ) – модуль частотной передаточной функции;
 ( ) – аргумент или фаза;
U ( ) – вещественная составляющая частотной передаточной функции;
V ( ) – мнимая составляющая частотной передаточной функции.
Модуль частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя этой функции.
Аргумент или фаза частотной передаточной функции находятся как разность аргументов числителя и знаменателя.
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции
необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и
знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, а затем произвести
разделение на вещественную и мнимую части (см. пример 1 на стр. 20).
1.2.3. Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) строится на
комплексной плоскости и представляет собой геометрическое место концов
векторов, соответствующих частотной
передаточной функции
ω=∞ V(ω)
W (j )  U ( )  jV ( )
5
10 U(ω)
0
при изменении частоты  от нуля до
-1
ω=0
100 c
бесконечности. По оси абсцисс отклаω=5 c-1
-5
50 c-1
дывается
вещественная
часть
15 c-1
U ( )  Re W ( j ) , а по оси ординат –
мнимая часть V()  Im W( j) . Для
каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные
20
-10
Р и с . 1. Возможный вид АФХ
точки соединяются затем плавной кривой. Около нанесенных точек можно
написать соответствующие им частоты (см. рис. 1).
АФХ можно построить и используя полярные координаты, т.е. вычисляя непосредственно модуль и фазу и нанося соответствующую точку на комплексную плоскость. При
необходимости по известным модулю и фазе можно легко вычислить вещественную и
мнимую части.
Вместо АФХ можно построить отдельно амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и фазовую частотную характеристику (ФЧХ).
АЧХ показывает, как звено пропускает сигналы различной частоты.
Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной
величин на различных частотах.
ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.
1.2.4. Частотные свойства звена можно характеризовать и т.н. логарифмическими частотными характеристиками.
Для их получения прологарифмируем выражение (10) для частотной передаточной функции
(11)
ln W( j )  ln A( )  j ( )
Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой – фаза.
Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и фазовую частотную характеристику (ФЧХ).
Для построения ЛАЧХ находится величина
(12)
L( )  20 lg | W ( j ) | 20 lg A()
Эта величина выражаМодуль, дБ
Фаза, град
ется в децибелах (дБ). Из1-ая асимптота
менению в два раза соот20 lg k
0
6
2-ая асимптота
ветствует 6 дБ. Один децибел соответствует измене0
нию в 1,122 раз, т.е. предЛАЧХ
ФЧХ
ставляет сравнительно малую величину.
– 45
При
построении
– 16,5
Наклон
ЛАЧХ и ФЧХ по оси абссопрягаю20 дБ/дек
цисс откладывают угловую
щая
(6 дб/окт)
частота
частоту в логарифмическом
масштабе, т.е. наносят от–90
–39
метки,
соответствующие
100 ω, рад/с
10
0,01
0,1 1/T 1,0
lg ( ) , но около отметок
записывают само значение
Р и с . 2. Пример ЛАЧХ и ФЧХ
частоты ω в рад/с (см.
рис. 2).
21
По оси ординат откладывают модуль в децибелах. Для этой цели на ней
наносят равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0
дБ, что соответствует значению модуля A( )  1 .
Замечание. В системе CLASSIC вместо разметки самой оси ординат
размечают нижнюю горизонтальную линию, ограничивающую поле графиков (см. рис. 2).
Наклон на отдельных участках ЛАЧХ выражают в дБ/декаду, где декада
соответствует десятикратному изменению частоты  . Иногда наклон выражают в дБ/октаву, где октава соответствует двукратному изменению частоты. Заметьте, что наклон 20 дБ/декаду=6 дБ/октаву, а 40 дБ/дек=12 дБ/окт.
Для построения ФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот), а по
оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. В системе
CLASSIC графики ЛАЧХ и ФЧХ выполняются совмещенно, при этом разметка в градусах наносится с правой стороны.
Вид ЛАЧХ и ФЧХ приведен на рис. 2.
1.2.5. При выполнении прикидочных расчетов вместо построения точных ЛАЧХ часто используют т.н. асимптотические ЛАЧХ, которые строятся очень просто. Поясним,
как это делается.
Пример 1. Пусть передаточная функция имеет вид (она соответствует апериодическому звену первого порядка):
W ( s) 
k
1  Ts
.
Получим выражение для частотной передаточной функции (см. 9, 10) и ее вещественной и мнимой частей.
W ( j ) 
k
k (1  jT )
k
kT


j
 U ( )  jV ( )
2
2
1  jT (1  jT )(1  jT ) 1   T
1   2T 2
Тогда точная ЛАЧХ определится выражением
L( )  20 lg | W ( j) | 20 lg U 2 ( )  V 2 ( )  20 lg
k
1  2T 2
.
(13)
Из (13) можно понять, что для частот, меньших 1/T (т.е. для ω < 1/T), можно пренебречь вторым слагаемым под корнем. Тогда левее частоты 1/T точную ЛАЧХ можно заменить выражением
L( )  20 lg( k ) ,
(14)
которому соответствует прямая линия (называемая первой асимптотой), параллельная оси частот (см. рис. 2).
Для частот, больших 1/T, можно пренебречь единицей под корнем в (13) и тогда
точная ЛАЧХ заменится на выражение
L( )  20 lg
k
T
,
(15)
которому соответствует прямая с наклоном 20 дБ/дек (вторая асимптота).
Эти две прямые должны быть сопряжены (иметь точку пересечения) на частоте
ω = 1/T), , которая называется сопрягающей частотой. Полученная ломаная линия и
является асимптотической ЛАЧХ (см. рис. 2).
22
Ясно, что наибольшее расхождение между точной и асимптотической ЛАЧХ будет на сопрягающей частоте и составит 3 дБ, что в линейном масштабе соответствует
отклонению в 2 =1,4 раза. На всем остальном протяжении влево и вправо от сопрягающей частоты точная ЛАЧХ будет отличаться от асимптотической менее, чем на 3 дБ,
что приемлемо для многих практических расчетов.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Рекомендуемая форма представления результатов экспериментов приведена в разд. 3.
2.1. Исследование характеристик интегрирующего звена
Передаточная функция интегрирующего звена имеет вид: W ( s) 
1
.
Ts
Рассмотрите характеристики звена при T=1 с.
2.1.1. Выберете пункт меню "Ввод/редактирование". Приблизительно в
центре верхнего окна разместите изображение звена. Фиксация положения
звена – нажатие клавиши ENTER.
2.1.2. Назначьте для этого звена вход (нажмите клавишу F7) и выход
(нажмите клавишу F8).
2.1.3. Перейдите в нижнее окно (нажмите клавишу ТАБУЛЯЦИЯ) и задайте передаточную функцию звена.
Для этого в числителе задайте единицу. Нажав ENTER, перейдите к заданию знаменателя. Младший коэффициент полинома знаменателя установите равным нулю, нажмите клавишу PgUp для ввода слагаемого со следующей степенью у аргумента "s". В рассматриваемом случае коэффициент при
"s" установите равным единице.
Задайте подходящее имя звена, например, intеgr.
2.1.4. Перейдите снова в верхнее окно (клавиша ТАБУЛЯЦИЯ). Теперь
все подготовлено для анализа характеристик этого звена.
2.1.5. Нажмите клавишу F9 (или воспользуйтесь меню, последовательно
выбирая F10 – Расчеты – Анализ). После этого на экране появятся четыре
окна, в которых расположены характеристики исследуемого звена. Для детального изучения характеристик любую из них можно вывести на весь
экран. Для этого воспользуйтесь клавишами Home, PgUp, PgDn, End. Эти
клавиши выводят на весь экран то окно из четырех, которое соответствует
расположению нажатой клавиши на клавиатуре.
Для детального изучения графиков следует использовать оцифровку и
масштабирование (выбор через систему меню по F10). При оцифровке
можно выбирать в окне различные графики, используя клавиши PgUp и
PgDn. Вверху окна будет появляться надпись, идентифицирующая анализируемый график.
23
При анализе характеристик интегрирующего звена обратите внимание на следующие характерные для этого звена особенности.
Корневая плоскость содержит один полюс в начале координат.
Переходная характеристика – реакция звена на единичное ступенчатое воздействие 1(t) – прямая линия. Используя оцифровку, определите её наклон.
ЛАЧХ представляет собой прямую линию. Используя оцифровку, убедитесь путем
расчетов, что ее наклон составляет –20 дБ/дек.
ФЧХ имеет постоянное значение –90 град. на всем диапазоне частот.
Точки АФХ интегрирующего звена расположены на отрицательной части оси мнимых.
2.1.6. Для изучения влияния изменения параметров на характеристики
звена объявите звено варьируемым. Для этого сначала нужно выйти из режима "Графики" (нажмите клавишу ESC), а потом нажать клавишу F6 (или
выбрать соответствующий пункт меню). При этом будут одновременно отображаться графики исходного (номинального) и текущего звена (с измененными параметрами).
2.1.7. Изменяя в нижнем окне передаточную функцию звена, можно исследовать влияние изменения постоянной времени интегратора на его характеристики.
Обратите внимание, что переход к расчетам после задания параметров
варьируемого звена осуществляется после нажатия клавиши ENTER.
Проведите анализ звена с новыми постоянными времени T=2 c, T= 0,5 c.
ВНИМАНИЕ! При анализе других типовых звеньев просто изменяйте
передаточную функцию на новую и далее выполняйте п. 2.1.3 – 2.1.7.
2.2. Исследование характеристик дифференцирующего звена
Передаточная функция этого звена: W ( s)  Ts .
Исследуйте характеристики звена при следующих параметрах:
постоянная времени T=1 с и T=10 с.
2.3. Исследование характеристик апериодического звена первого порядка
k
.
Ts  1
Исследуйте характеристики звена при следующих параметрах: коэффициент усиления k=10, постоянная времени T=1 с.
Передаточная функция этого звена: W ( s) 
Апериодическое звено первого порядка характеризуется следующими особенностями.
На корневой плоскости располагается отрицательный полюс, равный –1/T. Переходная характеристика представляет собой экспоненту, достигающую 95% от установившегося значения за три постоянных времени (3T).
Асимптота ЛАЧХ апериодического звена первого порядка на низких частотах
идет параллельно оси частот на уровне 20 lgk=20 дБ; на высоких частотах асимптота –
прямая с наклоном –20дБ/дек.
ФЧХ показывает, что фазовый сдвиг изменяется от 0 до –90 град. На частоте сопряжения асимптот, равной 1/T, модуль уменьшается на 3 дБ, фазовый сдвиг составляет –45 град.
24
Точки АФХ располагаются на полуокружности в четвертом квадранте комплексной
плоскости.
Объявите звено варьируемым (если это еще не сделано) и исследуйте его
при k = 10, T=0,5 с, а потом при k =2 и T=1 с.
Сделайте выводы о влиянии коэффициента усиления k и постоянной
времени T на характеристики звена.
2.4. Исследование характеристик звена второго порядка
Передаточная функция типового звена второго порядка может быть записана в нескольких формах, одной из которых является следующая:
k
(13)
W ( s)  2 2
T s  2 Ts  1
где k – коэффициент усиления;
T – постоянная времени;
 – коэффициент демпфирования.
Характеристики звена существенно зависят от коэффициента демпфирования.
Если коэффициент демпфирования ξ>1, то характеристическое уравнение звена (приравненный нулю знаменатель передаточной функции) имеет
отрицательные вещественные корни и звено эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно. Общий коэффициент передачи этих звеньев должен равняться k, а их постоянные времени
соответственно, например, T3 и T4.
Звено второго порядка при ξ>1 принято называть апериодическим звеном второго порядка.
Исследуйте это звено при k=1, T=1. Коэффициент демпфирования сначала задайте равным 1, а затем, назначив звено варьируемым, задайте ξ=1,2 и
ξ=1,5.
Сделайте выводы о влиянии коэффициента демпфирования ξ>1 на характеристики звена.
Обратите внимание, что переходная характеристика имеет Sобразную форму и процесс протекает без перерегулирования.
Асимптотическая ЛАЧХ звена второго порядка строится аналогично тому, как это
было сделано для апериодического звена первого порядка. Вначале проведем вертикальные линии через сопрягающие частоты ω=1/T3 и ω=1/T4. Для определенности построения будем считать, что T3 >T4.
Точная ЛАЧХ определяется выражением
L( )  20 lg
k
( 1   2T32 )( 1   2T42 )
.
(14)
Левее первой сопрягающей частоты (ω=1/T3) это выражение заменяется приближенным L( )  20  lg k , которому соответствует прямая, параллельная оси частот
(нулевой наклон).
Для частот 1/T3 < ω < 1/T4 выражение (14) заменяется приближенным
L( )  20  lg
k
T3
, которому соответствует прямая с наклоном – 20дБ/дек.
25
Для
частот
L( )  20  lg
k
ω>1/T4
выражение
(14)
заменяется
приближенным
, которому соответствует прямая с наклоном – 40 дБ/дек.
 2T3T4
При коэффициенте демпфирования ξ<1 корни характеристического
уравнения звена будут комплексными, а звено называют колебательным
звеном второго порядка.
Оставив прежними значения k=1 и T=1, исследуйте звено при  =0,5.
С уменьшением коэффициента демпфирования склонность звена к колебательности будет возрастать. Убедитесь в этом, задавая последовательно
 =0,25 и  =0,05.
Обратите внимание, что АЧХ может иметь резонансный пик. Можно показать, что пик будет существовать при ξ<0,707.
2.5. Исследование характеристик реального дифференцирующего звена
ks
.
1  Ts
Рассмотрите характеристики звена при k=1, T=2.
Для анализа характеристик исследуемого звена в зависимости от постоянной времени объявите звено варьируемым и установите его параметры
k=1 и T=4.
Передаточная функция этого звена: W ( s) 
2.6. Исследование характеристик реального интегрирующее звена
k
.
s (1  Ts )
Рассмотрите характеристики звена при k=1, T=2.
Для сравнения характеристик исследуемого звена с характеристиками
идеального интегрирующего звена объявите исследуемое звено варьируемым
и установите его параметры k = 1 и T=0.
Передаточная функция этого звена: W ( s ) 
Контрольные вопросы
1. Дайте определение типового динамического звена.
2. Дайте определение передаточной функции звена.
3. Перечислите характеристики типовых звеньев.
4. Как получаются и представляются графически ЛАЧХ и ФЧХ?
5. Как, используя передаточную функцию звена, получить его АФХ?
6. Что представляют собой асимптотические ЛАЧХ?
7. Поясните полученные характеристики для указанного преподавателем звена.
8. При каких условиях типовое звено второго порядка может быть заменено
двумя апериодическими звеньями первого порядка?
9. Через какое время текущее значение выходной величины апериодического
звена первого порядка составит 95%, 99% от установившегося значения?
26
3. ФОРМА ОТЧЕТА
Таблица 1
Результаты экспериментов представьте в виде следующей таблицы:
Название звена, его
передаточная функ- Вид передаточной характеристики
ция и дифференци- звена
альное уравнение
1
2
Апериодическое
звено первого
h(t)
порядка
2,5 с; 9,9
x W (s) y 10 yуст
1
3,5 с; 9,99
1,5 с; 9,5
1,0 с; 8,65
W1(s)=k/(1+Ts)
dy 1
k
 y x
dt T
T
Вид ЛАЧХ и ФЧХ звена
3
4
Модуль, дБ
Im
Фаза, град
20
0
17
–2,0
Re
ЛАЧХ
ФЧХ
0,5 с; 6,3
– 45
Наклон
20 дБ/дек
(6 дб/окт)
0
k=10, T=0,5 с
W1(s)=10/(1+0,5s)
Расположение
полюсов и нулей
t, с
0
1,75
3,5
– полюс
системы
–14
0,1
2,0
(1/T)
–90
100 ω, рад/с
Здесь поместите выводы о ходе переходной и частотных характеристик, о полюсах и нулях передаточной функции.
27
Лабораторная работа №3
СОЕДИНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Целью работы является изучение свойств различных видов соединения
динамических звеньев.
В теории управления рассматривают следующие виды соединения отдельных звеньев:
– последовательное;
– параллельное (согласное);
– с обратной связью (встречно-параллельное).
1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
1.1. Краткая теория
Последовательным называют такое соединение, при котором выход
каждого предыдущего звена связан со входом последующего (см. рис. 1). В
образованной цепи воздействия передаются последовательно от одного звена
к другому. Входным воздействием для всего соединения является входное
воздействие первого звена (xвх = x1). Выходной величиной для всего соединеxвх = x1
W1(s)
y1
x2
W2(s)
y2
xi
Wi(s)
yi
xn
Wn(s)
yn
yвых
Р и с . 1. Последовательное соединение динамических звеньев
ния является выходная величина последнего звена (yвых = yn).
Легко показать, что передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение
n
W ( s )   Wi ( s )
(1)
i 1
Общий коэффициент усиления (передачи) соединения представляет собой произведение коэффициентов усиления (передачи) всех звеньев. Вследствие (1) можно утверждать, что частотная передаточная функция (см. работу
№2) последовательного соединения звеньев равна произведению частотных
передаточных функций всех звеньев соединения
n
W ( j )   Wi ( j )
i 1
28
(2)
Из (2) следует, что амплитудная частотная характеристика (АЧХ) последовательного соединения звеньев равна произведению амплитудных частотных характеристик (АЧХ) всех звеньев соединения; а фазовая частотная характеристика (ФЧХ) последовательного соединения звеньев равна сумме фазовых частотных характеристик (ФЧХ) всех звеньев соединения.
Если используются логарифмические частотные характеристики, то ЛАЧХ всего соединения получается суммированием ЛАЧХ звеньев, что удобно при расчетах без
ЭВМ. Вычисления особенно упрощаются, если используются асимптотические ЛАЧХ.
1.2. Экспериментальная часть
1.2.1. Соедините последовательно два апериодических звена с передаточными функциями:
1
2
и W2 (s) 
W1 ( s) 
1  1s
1  2s
Назначьте первое звено входным (сделайте его активным и нажмите
клавишу F7), а второе – выходным (сделайте его активным и нажмите
клавишу F8). Получите характеристики системы (нажмите клавишу F9).
Проанализируйте характеристики соединения этих звеньев.
Из этого анализа можно установить следующие факты:
1) на комплексной плоскости присутствуют два полюса, совпадающие с полюсами
звеньев, образующих последовательное соединение;
2) ЛАЧХ на низких частотах определяется общим коэффициентом усиления
20lg2= 6дБ; на высоких – стремится к асимптоте с наклоном –40 дБ/дек;
3) ФЧХ изменяется от 0 до –180 град;
4) АФХ проходит через четвертый и третий квадранты комплексной плоскости;
5) переходная характеристика представляет собой апериодический процесс.
Обратите внимание, что ход всех характеристик соответствует типовому звену
второго порядка с коэффициентом демпфирования ξ>1 (см. лаб. раб. №2).
Таким образом, последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка соответствует типовому апериодическому звену второго порядка.
1.2.2. Назначьте выход на первое звено (сделайте его активным и
нажмите клавишу F8) и убедитесь, что на вход второго звена подается экспонента, являющаяся реакцией первого апериодического звена на единичное
ступенчатое воздействие.
1.2.3. Дополните структуру еще одним звеном (оно называется пропорционально-дифференцирующим) с передаточной функцией:
W3(s)=1+1s
Постоянная времени этого звена совпадает с постоянной времени первого апериодического звена. Поэтому в формуле для передаточной функции
всего последовательного соединения выражение (1+1s) окажется в числителе
и в знаменателе, и оно сократится.
29
1.2.4. Назначьте выход на третье звено (сделайте его активным и
нажмите клавишу F8) и выполните расчет (нажмите клавишу F9).
Анализируя представленные на экране временные и частотные характеристики
можно сделать вывод, что новое соединение совпадает по свойствам с апериодическим
звеном первого порядка с передаточной функцией:
W1 (s) 
2
1  2s
Так и должно быть из-за упомянутого выше сокращения в формуле для
передаточной функции всего соединения. На комплексной плоскости тоже
хорошо видно, что произошла полная компенсация нулем одного полюса.
Включение в последовательную цепь звена с передаточной функцией,
специально подобранной так, чтобы можно было выполнить сокращение в
выражении для передаточной функции всего соединения (а, значит, упростить ее), часто используется при синтезе САУ для придания нужного вида
частотным характеристикам.
Но практически невозможно сделать абсолютно одинаковыми постоянные времени у первого и третьего звеньев. Поэтому соответствующие члены
в числителе и знаменателе не сократятся в математическом смысле. Можно
оценить степень влияния этой неидентичности постоянных времени на характер изменения выходной величины.
1.2.5. Назначьте третье звено варьируемым (сделайте его активным и
нажмите клавишу F6) и задайте новые постоянные времени для него:
сначала T3 = 0,95,
а потом
T3 = 1,05.
Выполните анализ системы (клавиша F9). Сделайте выводы о влиянии
неточного задания параметров третьего звена (0,95 или 1,05 вместо требуемой 1,0) на характер переходного процесса.
2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
2.1. Краткая теория
Параллельным (согласным) называется такое соединение звеньев, при
котором входные воздействия всех звеньев одинакоy1
W1(s)
вы, а их реакции алгебраически суммируются (см. рис.
yвых=y1+y2+…+yn
y2
xвх
2). Для реализации паралW2(s)
лельного соединения необходимо иметь или специальyn
Wn(s)
ное суммирующее устройство, или иметь возможность
Р и с . 2. Параллельное соединение звеньев
суммировать выходные сигналы звеньев на входе звена,
30
следующего за параллельным соединением.
Так как выходной сигнал при параллельном соединении равен сумме
выходных сигналов звеньев, то передаточная функция соединения будет равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:
(3)
W (s)  W1 (s)  W2 (s)      Wn (s) .
Параллельное соединение звеньев применяют для получения различных
законов управления САУ: введения интегральной составляющей; составляющей, пропорциональной производной и т.д.
2.2. Экспериментальная часть
Для исследования особенностей параллельного соединения используйте
структуру, показанную на
рис. 3.
Вход
Выход
Здесь для разветвления
входного воздействия введе2
1
4
1
но звено 1, а для суммирова1
W2(s)
W1( s) 
W
(
s
4 )
ния сигналов с выходов па1
1
раллельно соединенных зве3
ньев 2 и 3 – введено звено 4.
Передаточные функции
W3(s)
этих дополнительных звеньев 1 и 4 установите равными
Р и с . 3. Структура для исследования параллель1
1
ного соединения звеньев
W1 ( s)  , W 4 ( s )  .
1
1
Меняя в данной структуре передаточные функции второго и третьего
звеньев и добавляя новые звенья, можно исследовать свойства систем, образуемых параллельным соединением различных звеньев.
2.2.1. Проведите исследование системы, образованной соединением апериодического звена первого порядка и интегрирующего звена со следующими передаточными функциями:
2
1
; W3 ( s)  .
W2 (s) 
1  1s
1s
Аналитически определите передаточную функцию системы.
Выполните расчеты (клавиша F9) и проанализируйте их результаты.
Получившиеся характеристики соединения звеньев позволяют сделать
следующие выводы.
На комплексной плоскости размещены два полюса передаточной функции системы, совпадающие с полюсами передаточных функций звеньев, и один нуль передаточной функции системы.
На переходном процессе можно заметить две составляющие. Первая обусловлена
апериодическим звеном (затухает приблизительно за 3 сек); вторая определяется интегрирующим звеном, находящимся под воздействием постоянного входного сигнала.
31
Фазо-частотная характеристика в представленном на графиках диапазоне частот
имеет подъем, обусловленный нулем передаточной функции соединения.
2.2.2. Проведите исследование параллельного соединения дифференцирующего и усилительного звеньев:
W2 ( s)  T2 s ; W3 ( s)  k 3 .
Примите T2 =1 c, а k3 =2.
Выполните анализ получившихся результатов (аналогично п.2.2.1).
2.2.3. Проведите исследование параллельного соединения интегрирующего и усилительного звеньев:
1
;
W3 ( s)  k 3 .
W2 (s) 
T2 s
Примите T2 =1 c, а k3 =2.
Выполните анализ получившихся результатов (аналогично п.2.2.1).
2.2.4. Проведите исследование параллельного соединения звеньев, заданных преподавателем.
3. СОЕДИНЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
3.1. Краткая теория
При таком соединении два звена образуют замкнутый контур (см. рис. 4).
Выходная величина первого звена y1, являющаяся выходной величиной
yвых всего соединения, воздействует на вход второго звена (xвх2=yвых). Выход
второго звена y2 алгебраически суммируется с входным сигналом xвх всего
соединения и образует входную ве1
личину для первого звена:
y1=yвых
xвх1
xвх
xвх1=xвх + y2.
W1(s)
Таким образом, преобразованный вторым звеном выходной сиг2
y2
нал воздействует на вход звена 1 и
W2(s)
xвх2=yвых
это называют обратной связью.
Передаточная функция W1(s) звена 1
Р и с . 4. Соединение с обратной связью
называется передаточной функцией
прямой цепи, а передаточная функция W2(s) – передаточной функцией цепи обратной связи. Говорят, что звено
1 "охвачено обратной связью".
Обратная связь называется положительной, если сигнал обратной связи
усиливает воздействие входного сигнала:
xвх1 = xвх + y2.
32
или отрицательной, если сигнал обратной связи ослабляет действие входного сигнала:
xвх1=xвх – y2.
В системах автоматического управления, как правило, используют отрицательную обратную связь. Используя определение передаточной функции, можно записать для рис. 4:
yвых(s) = W1(s)∙xвх1(s);
y2(s) = W2(s)∙yвых(s);
xвх1(s) = xвх(s) ± y2(s).
(4)
Из этой системы уравнений можно получить выражение для передаточной функции системы с обратной связью:
Yвых ( s)
W1 ( s)

.
(5)
X вх ( s) 1  W1 ( s)  W2 ( s)
Знак "+" в знаменателе относится к отрицательной обратной связи, а
знак "–" к положительной. Если W2(s)=k=const, то обратную связь называют
"жесткой", а в противном случае – "гибкой", с конкретной детализацией:
скоростная, изодромная, запаздывающая, и т.п.
При W2(s)=k=1 обратную связь называют единичной.
W ( s) 
3.2. Экспериментальная часть
При исследовании рекомендуется использовать структуру, показанную
на рис. 5. Здесь для обеспечения отрицательной обратной связи включено
звено 3 с передаточной функцией
Вход Выход
W3(s)= –1. Суммирование входного
воздействия и сигнала обратной свя1
зи выполняется в звене 1 (на него
назначен "Вход" и подается сигнал
W1(s)
отрицательной обратной связи).
2
3
3.2.1. Проведите исследование
1
W2(s)
цепи, полученной в результате охваW3 ( s ) 
1
та жесткой отрицательной обратной
связью интегрирующего звена
Р и с . 5. Структура для исследования
1
соединения с обратной связью
W1 ( s ) 
; W2 (s)  k 2 ,
Ts
при T=0,5 с, а k2=5.
Получите выражение для передаточной функции этого соединения.
Совпадает ли оно с каким-либо типовым звеном?
Выполните расчеты (клавиша F9).
Проанализируйте получившиеся характеристики соединения этих звеньев (аналогично п. 2.2.1).
33
3.2.2. Проведите исследование цепи, полученной в результате охвата
жесткой отрицательной обратной связью апериодического звена первого порядка, приняв на рис. 5:
k
W1 ( s )  1 ; W2 ( s)  k 2 ,
1  Ts
при k1=1, T=0,5 с, а k2=10.
Получите выражение для передаточной функции этого соединения.
Совпадает ли оно с каким-либо типовым звеном?
Выполните расчеты (клавиша F9).
Проанализируйте получившиеся характеристики соединения этих звеньев (аналогично п. 2.2.1).
3.2.3. Проведите исследование системы, полученной в результате охвата
жесткой отрицательной обратной связью W2(s) последовательного соединённых апериодического звена Wа(s) и интегрирующего звена Wи(s):
1
1
; Wи ( s) 
; W2 ( s )  k 2 ,
Wa ( s) 
1  Tа s
Tи s
при Tа=0,5 с, Tи=1 с, k2=10.
Получите выражение для передаточной функции этого соединения. Совпадает ли оно с каким-либо типовым звеном?
Выполните расчеты (клавиша F9).
Проанализируйте получившиеся характеристики соединения этих звеньев (аналогично п. 2.2.1).
4. ФОРМА ОТЧЕТА
Результаты исследований рекомендуется представить в форме, приведенной на стр. 33.
На переходной (столбец 2) и частотных (столбец 4) характеристиках системы отметьте значения в 6-10 точках, включая начальную и конечную. На
ЛАЧХ запишите частоту (точка 3), при которой ЛАЧХ проходит через ноль
(точка 1) и фазовый сдвиг на этой частоте (точка 2).
Сделайте выводы о ходе переходной и частотных характеристик, о расположении полюсов и нулей передаточной функции.
Например, относительно приведенного в рекомендуемой форме отчета
примере можно сказать:
1) переходная характеристика представляет собой апериодический процесс;
34
Таблица 1
Рекомендуемая форма отчета
Вид соединения,
передаточные функции Вид передаточной характеризвеньев и их соединения стики системы
(системы)
1
2
Расположение полюсов и нулей системы
Вид ЛАЧХ и ФЧХ системы
3
4
Модуль, дБ
W1(s)
W2(s)
h(t)
(14,1; 1,997)
Im
(9,9; 1,97)
W1(s)=1/(1+1s)
W2(s)=2/(1+2s)
W(s)=2/((1+1s)(1+2s)) =
=2/(1+3s+2s2)
6
–1,0
–0,5
0
5
10
15
t, с
ЛАЧХ
ФЧХ
Re
– 16,5
(0,6; 0,13)
0
1
0
(4,8; 1,6)
Передаточная
функция системы:
Фаза, град
– 90
2
Наклон
40 дБ/дек
(12 дб/окт)
– полюс
системы
–39
0,1
–180
3
1,0
10,0 ω, рад/с
Здесь поместите выводы о ходе переходной и частотных характеристик, о полюсах и нулях передаточной функции.
35
2) ЛАЧХ на низких частотах определяется общим коэффициентом усиления системы 20lg(1*2)= 6дБ; на высоких – стремится к асимптоте с наклоном –40 дБ/дек (12 дБ/окт);
3) ФЧХ изменяется от –17˚ до –180˚ (в пределе – от 0˚ до –180˚);
4) на комплексной плоскости имеется два полюса, совпадающие с полюсами звеньев, образующих последовательное соединение.
Контрольные вопросы
1. Покажите, что передаточная функция последовательно соединенных звеньев
действительно определяется выражением (1).
2. Как по ЛАЧХ последовательно соединенных звеньев можно определить
ЛАЧХ системы?
3. Как по ФЧХ последовательно соединенных звеньев можно определить ФЧХ
системы?
4. Покажите, что передаточная функция параллельно соединенных звеньев действительно определяется выражением (3).
5. В каких случаях применяют параллельное соединение звеньев?
6. Как, используя графики переходных функций параллельно соединенных звеньев, получить график переходной функции всей системы?
7. Покажите, что передаточная функция системы, полученной при соединении
звеньев с обратной связью, действительно определяется выражением (5).
8. Каким типам обратной связи в выражении (5) соответствуют знаки "плюс" и
"минус"?
9. Изменится ли передаточная функция системы, если на рис. 4 поменять местами звенья 1 и 2?
10. От чего в основном зависят свойства системы, представляющей собой усилитель с большим коэффициентом усиления, охваченный отрицательной обратной связью?
36
Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Целью работы является изучение:
– критериев устойчивости систем управления;
– влияния на устойчивость коэффициента усиления в системе;
– влияния расположения корней характеристического уравнения на характер переходного процесса замкнутой системы.
1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Система автоматического регулирования только в том случае может выполнять свое назначение, если переходные составляющие, возникающие в
системе в силу различных причин, будут с течением времени уменьшаться
до нуля. Такие системы называют устойчивыми.
Показывают, что у устойчивой системы все полюсы передаточной функции (корни характеристического уравнения) должны располагаться слева от
мнимой оси плоскости корней. Случай, когда один вещественный корень или
пара комплексных сопряженных корней оказывается на мнимой оси, является
граничным. В этом случае говорят, что система находится на границе
устойчивости.
Таким образом, если корни характеристического уравнения известны, то
вопрос об устойчивости системы решен. Но найти корни уравнения высокой
степени не просто, а для уравнений порядка выше четвертого аналитическое
решение вообще не возможно.
Для того чтобы обойти вопрос о нахождении корней уравнения при исследовании устойчивости, в теории автоматического управления разработаны
критерии устойчивости – правила, позволяющие анализировать устойчивость, не решая характеристическое уравнение. К ним относятся: критерий
Гурвица, критерий А.В.Михайлова, частотный критерий Найквиста.
В частности, в соответствии с критерием Гурвица система третьего порядка будет устойчивой, если все коэффициенты её характеристического
уравнения:
a0 s 3  a1s 2  a2 s  a3  0
будут больше нуля и произведение "средних" коэффициентов больше, чем
произведение "крайних", т.е. если
a1a2 > a0a3.
В соответствии с критерием устойчивости Найквиста замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда АФХ разомкнутой системы не
охватывает точку (–1, j0). Если АФХ пересекает вещественную ось в точке
37
"–1", то замкнутая система находится на границе устойчивости. Чем дальше
(правее) АФХ разомкнутой системы проходит от критической точки (–1, j0),
тем, вообще говоря, сильнее затухание переходной составляющей в замкнутой системе.
На рис. 1 приведены АФХ трех
Im
разомкнутых систем. В соответствии с
критерием устойчивости Найквиста
Re
-1
0
после замыкания система с АФХ "а" буа
дет устойчивой, с АФХ "б" – будет нахо0
диться на границе устойчивости, а с АФХ
в б

"в" – будет неустойчивой.
∞
Судить об устойчивости замкнутой
системы можно и по логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутой системы – ЛАЧХ и ФЧХ.
Замкнутая система устойчива, если при значении ФЧХ, равном минус
180 градусам, ЛАЧХ отрицательна (т.е. модуль коэффициента усиления в
системе на этой частоте меньше единицы). Другими словами, замкнутая система устойчива, если ЛАЧХ перейдет через ноль на частоте, меньшей частоты, при которой ФЧХ принимает значение минус 180 градусов.
В этой связи вводят понятия запаса устойчивости по фазе и запаса
устойчивости по амплитуде.
Под запасом по амплитуде ∆A понимают модуль значения ЛАЧХ на частоте, при которой ФЧХ имеет значение минус 180 градусов:
Р и с . 1. Вид АФХ трех систем
|
|
∆A = L(ω) при φ(ω) = –180°
Под запасом по фазе ∆φ понимают модуль величины:
–180˚ – (значение ФЧХ на частоте, при которой ЛАЧХ проходит через ноль), т.е.
|
|
∆φ = –180˚ – φ(ω) при L (ω) = 0
Показывают, что чем большее значение имеют эти величины, тем дальше от критической точки (–1, j0) проходит АФХ.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
2.1. Сформируйте структуру системы, в которой четыре звена в прямом пути соединены последовательно, а пятое образует контур отрицательной единичной обратной связи (рис. 2).
Задайте для звеньев следующие передаточные функции:
1
1
1
; W4 ( s) 
; W5 ( s)  1
W1 (s)  k ; W2 (s)  ; W3 ( s) 
1  T1s
1  T2 s
s
Примите T1 = 1 с, T2 = 2 с. (Преподаватель может задать другие параметры звеньев).
38
2.2. Получите выражения для передаточной функции Wраз(s) разомкнутой системы и для передаточной функции Wзам(s) замкнутой системы.
Выход
Вход
W1(s)
W2(s)
Единичная отрицательная
обратная связь
W3(s)
W4(s)
W5(s)
Р и с . 2. Структура исследуемой системы
Используя критерий Гурвица, вычислите критический коэффициент
усиления Kкр для замкнутой системы (коэффициент, при котором система
будет находиться на границе устойчивости).
2.3. Проанализируйте свойства системы в зависимости от коэффициента усиления первого звена. Рекомендуемые для исследования значения
коэффициента приводятся в следующих далее подпунктах.
Для удобства сравнения получаемых результатов можно звено 1
назначить варьируемым (клавиша F6).
Выполняя эти исследования, необходимо для каждого коэффициента усиления k
записать значения полюсов замкнутой системы и зарисовать кривые переходного процесса (со значениями на осях!). Время наблюдения переходного процесса выбирайте
таким, чтобы можно было видеть его окончание.
Выполнив исследование в подпункте для замкнутой системы, разомкните цепь обратной связи, для чего установите коэффициент передачи
звена обратной связи равным нулю. Используя ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой
системы, определите (и запишите) запас по фазе и запас по амплитуде в системе (сами характеристики можно не рисовать). Зарисуйте АФХ в таком
масштабе, чтобы было детально видно прохождение её в районе точки (–1,
j0).
В разделе 3 приведена рекомендуемая форма представления результатов.
ВНИМАНИЕ! Закончив выполнение этой части исследования в текущем
подпункте, не забудьте снова замкнуть цепь обратной связи при переходе к
исследованиям по программе следующего подпункта.
2.3.1. Задайте значение k = 0,05. Получите характеристики системы
(нажмите клавишу F9).
При малом начальном значении коэффициента усиления полюсы передаточной
функции исходной системы незначительно отличаются от полюсов разомкнутой системы: s1 = 0; s2 = – 0,5; s3 = – 1. Переходный процесс в системе имеет апериодический
характер.
39
2.3.2. Исследуйте систему при k=0,075.
Если увеличивать значение коэффициента усиления в системе, то два корня характеристического уравнения начнут сближаться, а третий будет удаляться от начала
координат по оси действительных. Переходная характеристика изменяется так, что
быстродействие системы возрастает; монотонный характер переходного процесса
пока сохраняется.
2.3.3. Исследуйте систему при k=0,1.
Если продолжать процесс увеличения коэффициента усиления, то два корня, сойдясь на действительной оси, перейдут в комплексно-сопряженные и начнут расходиться. Пока мнимая часть пары комплексно-сопряженных корней не превзошла по модулю
действительную часть, сохраняется монотонность переходного процесса.
2.3.4. Исследуйте систему при k = 1,0.
При таких значениях коэффициента усиления мнимая часть пары комплексносопряженных корней превзошла по модулю действительную часть. При этом на переходном процессе стали проявляться колебательные свойства системы. По расположению корней на комплексной плоскости и переходному процессу видно, что система приближается к границе устойчивости.
2.3.5. Задайте значение коэффициента усиления k, равное вычисленному
вами критическому значению.
Убедитесь, что система находится на границе устойчивости.
2.3.6. Дальнейшее увеличение усиления приводит к неустойчивой системе. Убедитесь в этом при k = kкр + 0,1.
3. ФОРМА ОТЧЕТА
Отчет должен содержать:
– рисунок исследуемой системы;
– выражения для передаточных функций звеньев и для передаточных
функций разомкнутой и замкнутой системы в общем виде и после подстановки численных значений;
– запись критерия устойчивости Гурвица для системы и вычисление
критического значения коэффициента усиления.
Результаты исследований рекомендуется представить в приводимой на
следующей странице форме.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение устойчивой системы управления.
2. Назовите известные вам критерии устойчивости.
3. Назовите критерии, которые позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по характеристикам разомкнутой.
4. Поясните графически понятия запаса устойчивости по фазе и амплитуде.
5. Поясните физический смысл критерия, позволяющего судить об устойчивости
замкнутой системы по ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.
40
6. Поясните физический смысл критерия устойчивости Найквиста.
7. Каким условиям должны удовлетворять полюсы передаточной функции замкнутой системы, чтобы переходный процесс был монотонным?
8. При каких условиях переходный процесс становится колебательным?
Таблица 1
Рекомендуемая форма отчета
Замкнутая система
Значение
коэф. Полюса передаk точной функции
Разомкнутая система
Запас
по фазе
Δφ°,
и
амплитуде
ΔA, дБ
Переходный процесс
h(t)
Im
Амплитуднофазовая
характеристика
АФХ
1
Im
Re
k=
0,05
Δφ=80°,
s1 s2 s3
s1= – 1,044
s2= – 0,395
s3= – 0,060
ΔA=
30 дБ
0
10
20
30
– 0,003
Re
t, с
k= ...
41
Лабораторная работа №5
УСТАНОВИВШИЕСЯ ОШИБКИ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Целью работы является изучение установившихся ошибок в системах
управления различного типа (статических, астатических) при типовых входных воздействиях.
1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Теория автоматического управления рассматривает системы управления
в информационном плане, т.е. с точки зрения передачи и преобразования сигналов. Поэтому важно знать с какой точностью передаются эти сигналы. В
частности, с какой точностью воспроизводится задающее воздействие, т.е.
выполняется основное условие:
y в ых (t )  x вх (t ) .
(1)
Ошибка системы по задающему воздействию определяется выражением:
 x (t)  x вх (t )  y вых (t ) .
(2)
Из-за переходных процессов в системе текущее значение ошибки тоже
изменяется, поэтому условились точность автоматических систем оценивать
величиной установившейся ошибки Δ x уст, которая имеет место в устойчивой системе после завершения переходного процесса:
 x уст  lim  x (t ) .
t
(3)
Если известна передаточная функция замкнутой системы относительно
ошибки WΔ(s), то установившееся значение ошибки можно вычислить на основании теоремы операционного исчисления о конечном значении функции:
 x уст  lim  x (t )  lim (W ( s)sxвх ( s)) .
t 
s 0
(4)
Из этого выражения должно быть ясно, что ошибка в автоматической
системе зависит от внешнего воздействия xвх(s) и свойств системы, отображаемых передаточной функцией W(s).
Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки определяется выражением:
1
,
W( s) 
1  Wраз ( s)
поэтому вместо (4) теперь можно записать
s  xв х( s )
,
 xуст  lim
s  0 1  Wраз ( s )
где Wраз(s) - передаточная функция разомкнутой системы;
42
(5)
xвх(s) – изображение по Лапласу для типового воздействия (см. (6) на
стр. 42).
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Наберите структуру, приведенную на рис. 1.
Вход
4
Формирователь
входных
воздействий
W4(s)
xвх(t)
2
1
Объект
управления
Регулятор
W1(s)
W2(s)
3
– yвых(t)
yвых(t)
Единичная
отрицательная
обратная связь
W3(s)= –1
Выход
Δ x(t)
5
Сумматор
W5(s)=1
Р и с . 1. Структура исследуемой системы
Отдельные звенья этой структуры имеют следующий смысл.
Звено 1 - регулятор, звено 2 - объект управления.
Передаточные функции этих звеньев будут задаваться в процессе выполнения работы.
Звено 3 осуществляет отрицательную единичную обратную связь в системе. Передаточная функция этого звена:
W3(s) = –1.
Именно звенья 1, 2 и 3 образуют исследуемую систему. Другие звенья
предназначены для выполнения вспомогательных функций при проведении
эксперимента.
Звено 4 - формирователь входного воздействия. Оно обеспечивает получение различных входных воздействий и распределение их на два звена – 1
и 5. Необходимость в этом звене вызвана тем, что CLASSIC стандартно
обеспечивает подачу только единичного воздействия на вход только того
звена, которое назначено входным. В нашем же случае необходимо подавать
входные воздействия на звенья 1 и 5. Кроме того, эти воздействия могут отличаться от единичного. Для получения различных воздействий передаточная функция звена 4 должна принимать следующие значения:
43
единичное воздействие:
xвх ( s)  1s ;
xвх (t )  1(t );
W4 (s)  1;
(6, a)
W4 ( s)  vs ;
(6, б)
линейное воздействие
xвх (t )  vt ;
xвх s   v2 ;
s
квадратичное (параболическое) воздействие:
2
xвх (t )  at ;
2
xвх ( s )  a3 ; W4 ( s )  a2 .
(6,в)
s
s
При выполнении лабораторной работы примите скорость v = 1 и ускорение a = 1.
Звено 5 используется для получения ошибки в системе:
 x(t )  xвх(t )  yвых(t ) .
Передаточная функция этого звена:
W5(s) = 1.
Таким образом, в процессе выполнения работы будет необходимо задавать различные передаточные функции звеньев 1, 2 и 4.
ВНИМАНИЕ! При выполнении работы некоторые звенья нужно будет назначать
варьируемыми. Получать доступ к окну, в котором меняются параметры этого звена,
проще всего так: вернувшись к состоянию, когда на экране расположены 4 окна с характеристиками, нажмите F5. Теперь корректируйте выражение для передаточной функции.
Завершающее нажатие ENTER в этом окне приведет к выполнению расчетов для вновь
заданных параметров (т.н. текущее состояние системы).
2.1. Установившиеся ошибки в статической системе
при отработке единичного скачка
Рассмотрим зависимость статической ошибки от коэффициента усиления в контуре статической системы третьего порядка.
Примем, что объект управления представляет собой последовательное
соединение трех апериодических звеньев первого порядка с одинаковыми
параметрами: k = 1 и T = 1 c.
2.1.1. Получите аналитическое выражение для передаточной функции
объекта и задайте её для звена 2.
В качестве регулятора используйте пропорциональное звено с начальным значением W1(s) =k =1.
Получите аналитические выражения для передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, а также передаточную функцию относительно
ошибки.
Пользуясь критерием устойчивости Гурвица, определите критическое
значение коэффициента усиления kкр в системе.
44
2.1.2. Для изучения влияния коэффициента усиления в контуре на установившуюся ошибку звено 1 объявите варьируемым.
2.1.3. Получите характеристики системы (нажмите клавишу F9).
Рассмотрите на полном экране переходный процесс в системе относительно ошибки (правое верхнее окно). Если это необходимо, то для определения установившегося значения ошибки увеличьте временной интервал на
графике (нажмите клавиши F4 - Insert - Tab;- задайте значения по осям; –
нажмите клавишу F9).
Определите установившееся значение ошибки и сравните её с теоретическим значением.
2.1.4. Перейдите в режим варьирования передаточной функции звена 1 и
повторите пункт 2.1.3 для следующих её значений:
а) W1(s) = 2;
б) W1(s) = 4; в) W1(s) = kкр.
Отмечайте изменение характера переходного процесса.
Выполненные эксперименты должны показать, что в данной системе (статической)
процесс уменьшения установившейся ошибки за счет увеличения коэффициента усиления в контуре приводит к увеличению колебательности переходного процесса. При
критическом значении коэффициента усиления система выходит на границу устойчивости. Понятие установившейся ошибки для неустойчивых систем теряет смысл.
2.2. Установившиеся ошибки в статической системе при
отработке степенных воздействий
Теперь исследуйте поведение системы при подаче на её вход линейноизменяющегося задающего воздействия. Для этого передаточную функцию
звена 4 задайте в соответствии с (6,б).
Передаточную функцию регулятора (звена 1) установите равной
W1(s) = 4.
2.2.1. Получите характеристики системы (нажмите клавишу F9).
Рассмотрите на полном экране переходный процесс в системе относительно ошибки (правое верхнее окно). Если необходимо, то увеличьте временной интервал на графике.
Обратите внимание, что после окончания собственных переходных движений в
системе ошибка линейно нарастает. Другими словами, статическая система "не
справляется" с входным сигналом, изменяющимся с постоянной скоростью.
Определите скорость её нарастания (т.е. угловой коэффициент линейного участка после завершения переходных движений) и сравните его с теоретическим значением.
2.2.2. Подайте на систему квадратичное воздействие, задав
W4 (s)  12
s
(см. 6,в).
"Отработать" этот сигнал статическая система тем более не в состоянии.
45
2.3. Установившиеся ошибки в астатической системе
В этой части работы используйте прежнюю структуру, но в качестве
объекта управления задайте апериодическое звено:
W2 ( s )  10 ,
1  Ts
приняв T = 1 с.
В качестве регулятора (звено 1) возьмите интегральный регулятор, для
чего задайте W1(s)  1s .
Получившаяся система является системой с астатизмом первого порядка (в ней только один интегратор).
Получите аналитические выражения для передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, а также передаточную функцию относительно
ошибки.
Пользуясь критерием устойчивости Гурвица, определите критическое
значение коэффициента усиления kкр в системе.
Для задания требуемых входных воздействий необходимо вводить различные передаточные функции звена 4 в соответствии с (6). Для удобства их
изменения звено 4 объявите варьируемым, задав сначала W4(s) = 1.
Выполните анализ этой системы для постоянного (единичного), линейного и квадратичного воздействия
Для каждого случая делайте выводы относительно установившегося значения ошибки; сравнивайте ошибку, определенную экспериментально, с её
теоретическим значением; выявляйте связь ошибки с коэффициентом усиления в контуре.
3. ФОРМА ОТЧЕТА
3.1. Изображение исследуемой системы (см. рис. 1) с указанием неизменяемых передаточных функций звеньев.
3.2. Результаты экспериментов рекомендуется представить в виде таблицы, форма которой приведена на следующей странице.
Над таблицей запишите передаточные функции разомкнутой системы,
замкнутой системы относительно входного воздействия и относительно
ошибки:
Wраз(s) = …;
Wзам(s) = …;
W∆(s) = …;
При выполнении п. 2.1 эта таблица должна быть заполнена для четырех
значений коэффициента усиления регулятора: 1; 2; 4; kкр при ступенчатом
входном воздействии.
При выполнении п. 2.2 (коэффициент усиления регулятора k = 4) таблица должна быть заполнена для входных воздействий двух типов: линейного
и квадратичного.
46
При исследовании астатической системы (п. 2.3) результаты представьте в виде аналогичной таблицы для ступенчатого, линейного и квадратичного входного воздействия.
Таблица 1
Рекомендуемая форма отчета
Статическая система
Wраз(s) = …;
Передаточная функция
регулятора.
Выражение
для входного
воздействия
и его график
W∆(s) = …;
График изменения ошибки во времени (выход
звена 5)
W1(s) = 2
xвх= 1(t)
Wзам(s) = …;
∆x
Выражение и
значение для
теоретической
ошибки; экспериментальное
значение ошибки и время её
измерения
∆xтеор =
… = 0,333
1
∆xэксп = 0,33
при
tизм = 9,8 с
1
0,33
0
…
10
…
t
…
Контрольные вопросы
1. Дайте определение статической и астатической систем управления.
2. От чего зависит ошибка по задающему воздействию в автоматической системе?
3. Как можно определить ошибку по задающему воздействию в автоматической
системе?
4. Как отрабатываются различные типовые входные воздействия статической
системой?
5. Имеется ли возможность уменьшать установившуюся ошибку в статической
системе до любого желаемого значения?
6. Как отрабатываются различные типовые входные воздействия астатической
системой?
47
Лабораторная работа №6
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ
Целью работы является знакомство с показателями качества процесса
управления и выявление зависимости показателей качества от типа и
настройки регулятора.
1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Устойчивость системы автоматического управления – необходимое, но
далеко не достаточное условие рациональности ее использования. Система,
будучи устойчивой, может оказаться недостаточно точной, переходные процессы в ней могут затухать недостаточно быстро и/или недостаточно плавно.
Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходном процессах отработки заданного воздействия, объединяется понятием качества процесса управления (качества системы). Требования этого комплекса выдвигаются практикой.
Для типовых входных сигналов (единичный скачок, единичный сигнал
постоянной скорости, гармонический сигнал) качество процесса отработки
можно оценивать непосредственно по управляемой переменной системы – её
выходу y, либо по ошибке системы. Для этих элементарных случаев разработаны прямые показатели качества переходных процессов. Этими показателями являются следующие (см. рис. 1).
Δyм
1) Время регулирования tрег, которое служит основной характеристикой
y
2δр
1,4
yуст
1,0
N=2
0
tм
tрег
t, с
Р и с . 1. Прямые показатели качества переходного процесса
быстродействия системы и определяется из условия малости переходной составляющей:
| y(t) – yуст | ≤ δр при t ≥ tрег,
48
где δр – заранее заданное значение, определяющее точность системы. Иначе
говоря, время регулирования tрег определяется как время, когда выходная величина системы войдет в зону допустимой погрешности и больше из неё не
выйдет. Обычно допустимая погрешность задается равной ±5%.
2) Максимальное перерегулирование ∆yм, которое определяется как
наибольший выброс управляемого процесса y(t) относительно установившегося значения. Обычно эту величину выражают в относительных единицах
(процентах): δyм =(∆yм /yуст)100%.
3) Время максимального перерегулирования tм – время, соответствующее
максимальному перерегулированию.
4) Число перерегулирований N, определяемое как число выбросов на
кривой переходного процесса в интервале 0 < t t рег.
Перечисленные показатели определяют зону, ограничивающую рассогласование системы в ходе процесса управления. Границы этой зоны на
рис. 1 показаны штрих–пунктирными линиями
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Исследуемая в лабораторной работе система приведена на рис. 2. В качестве объекта управления используется система третьего порядка, представляющая собой последовательное соединение трех апериодических звеньев. Регулятор системы управления выбирается с различными законами
управления.
Параметры регулятора должны быть выбраны так, чтобы время регулирования было не более 2,5 с, а перерегулирование не превышало 5%.
∆x
x
+
–
Регулятор
Объект
управления
y
отрицательная обратная связь
Р и с . 2. Исследуемая система
Результаты экспериментов представьте в форме, приведенной в разд. 3.
2.1. Соберите на рабочем поле структуру, соответствующую исследуемой системе (см. рис. 3).
Задайте следующие передаточные функции звеньев:
0,2
1
W1s   1 ;
W2 s  
;
W3 s  
;
W4 s   1 .
1 s
1 s
1  0,1s
Звено регулятора объявите варьируемым и сделайте его активным, т.е.
49
совместите с ним маркер-прямоугольник. При определении показателей
качества при необходимости изменяйте значения по осям в окне "ПереходВход
Выход
Объект управления
Регулятор
Wрег(s)
W1(s)
Отрицательная обратная
связь
W2(s)
W3 (s)
W4(s)
Р и с . 3. Структура исследуемой системы
ный процесс" так, чтобы в нем умещалась вся кривая.
2.2. Начните исследование с регулятора, осуществляющего регулирование по интегральному закону (И-регулятор). Передаточная функция такого
регулятора имеет вид:
Wрег s   1 ,
Tи s
где Tи - постоянная времени регулятора. Для начала задайте Tи = 0,2.
Выполните анализ системы (F9). Зарисуйте переходный процесс в системе и определите показатели качества процесса управления. Запишите эти
данные в отчет.
Переходный процесс в системе пока далек от заданных требований.
2.3. Перейдите в режим варьирования параметров (когда на экране четыре окна с результатами моделирования – нажмите F5). Задайте постоянную
времени в передаточной функции текущей системы Tи = 0,4. Выполните анализ системы (F9). Зарисуйте переходный процесс в системе и определите показатели качества процесса управления. Запишите эти данные в отчет. Дайте
сравнительную оценку этих двух переходных процессов.
Переходный процесс в системе улучшился, но все еще далек от заданных требований.
2.4. Запишите параметры текущего звена в модель (ответьте "Да" на соответствующий вопрос). Выполните анализ системы (F9), а затем перейдите в
режим варьирования параметров (F5). Задайте постоянную времени в передаточной функции текущей системы Tи=1,0. Выполните анализ системы (F9).
Зарисуйте переходный процесс в системе и определите показатели качества
процесса управления. Запишите эти данные в отчет.
Дайте сравнительную оценку рассмотренных переходных процессов.
50
2.5. Можно попытаться улучшить качество управления, усложнив алгоритм управления. Воспользуйтесь пропорционально–интегральным регулятором (ПИ – регулятор). Напомним, что такой регулятор представляет собой соединенные параллельно пропорциональное звено (усилитель) с Wп(s)=k
и интегрирующее звено c Wи s   1 . Поэтому передаточная функция регуTи s
лятора теперь будет иметь вид:
Wрег s  
1  k Tи s
Tи s
.
Примите, что k=6, Tи = 0,4. Задайте эти параметры для передаточной
функции регулятора.
Выполните анализ системы (F9). Зарисуйте переходный процесс в системе и определите показатели качества процесса управления. Запишите эти
данные в отчет. Сравните полученные результаты с предыдущими.
Попробуйте изменить параметры регулятора так, чтобы показатели качества
улучшились. Если это удастся сделать, то запишите в отчет параметры регулятора,
график переходного процесса и показатели качества.
2.6. Можно еще усложнить алгоритм управления, перейдя к пропорционально-интегрально-дифференциальному регулятору (ПИД-регулятору).
Такой регулятор представляет собой параллельное соединение трех звеньев:
пропорционального звена (усилитель) с Wп (s)=k, интегрирующего звена c
Wи s   1 и дифференцирующего звена с Wд (s) = Tд s. Поэтому передаточTи s
ная функция регулятора теперь будет иметь вид:
Wрег s  
1  k Tи s  Tи Tд s 2 .
Tи s
Задайте для регулятора следующие параметры: k = 1,5, Tи = 0,12 с,
Tд = 10 с.
Выполните анализ системы (F9). Зарисуйте переходный процесс в системе и определите показатели качества процесса управления. Запишите эти
данные в отчет. Сравните полученные результаты с предыдущими.
Попробуйте изменить параметры регулятора так, чтобы показатели качества
улучшились. Если это удастся сделать, то запишите в отчет параметры регулятора,
график переходного процесса и показатели качества.
3. ФОРМА ОТЧЕТА
3.1. Рисунок исследуемой системы в общем виде (см. рис. 2) и в виде,
показанном на рис. 3, с указанием передаточных функций звеньев.
3.2. Выражение для передаточной функции объекта управления.
3.3. Результаты экспериментов рекомендуется представить в виде таблицы, форма которой приведена на следующей странице.
51
3.4. Сделайте выводы о связи качества переходного процесса в системе
управления со сложностью алгоритма управления (И–, ПИ–, ПИД– регулирование).
Таблица 1
Рекомендуемая форма отчета
Тип регулятора и его
передаточная функция.
Интегральный
График переходного процесса с указанием
показателей качества регулирования
y
Перерегулирование δyм = 40%
регулятор
1,4
1
W s  
0,2s
1,0
N=2
0
W s  
tм =2 с
tрег =4,3 с
1
0,4s
…
1
1s
…
W s  
t, с
ПИ–регулятор
W s   ...
ПИД–регулятор
W s   ...
Контрольные вопросы
1. Определите понятие качества процесса управления.
2. Перечислите и поясните на графике прямые показатели качества переходного
процесса.
3. Перечислите типы регуляторов и запишите соответствующие им передаточные функции.
4. Как влияет тип регулятора на показатели качества процесса управления?
52
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического
управления. – СПб.: Наука, 2000.
2. Анализ и синтез систем управления / Имаев Д.Х. и др. – СПб, 1997.
3. Теория управления /Алексеев А.А. и др. – СПБ.; СПбЭТУ (ЛЭТИ), 1999.
4. Теория автоматического управления. Ч. 1. / Под ред. проф. А.В. Нетушила.
Учебник. Высш. школа, 1967.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Лабораторная работа №1
ИЗУЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ "CLASSIC" ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ " ......................................................................................................... 5
1. Справочная система программы "classic" ..................................................... 5
2. Основные понятия и правила работы ............................................................ 6
3. Описание команд меню .................................................................................. 7
4. Методика выполнения .................................................................................. 17
Контрольные вопросы ...................................................................................... 17
Лабораторная работа №2
ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ ........................................................... 18
1. Краткая теория ............................................................................................. 18
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 23
Контрольные вопросы ...................................................................................... 26
3. Форма отчета ................................................................................................. 27
Лабораторная работа №3
СОЕДИНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ .................................................... 28
1. Последовательное соединение ..................................................................... 28
2. Параллельное соединение ............................................................................ 30
3. Соединение с обратной связью .................................................................... 32
4. Форма отчета ................................................................................................. 34
Контрольные вопросы ...................................................................................... 36
Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ............... 37
1. Краткая теория .............................................................................................. 37
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 38
3. Форма отчета ................................................................................................. 40
Контрольные вопросы ...................................................................................... 40
Лабораторная работа №5
УСТАНОВИВШИЕСЯ ОШИБКИ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ................ 42
1. Краткая теория .............................................................................................. 42
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 43
3. Форма отчета ................................................................................................. 46
Контрольные вопросы ...................................................................................... 47
Лабораторная работа №6
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ......................................... 48
1. Краткая теория .............................................................................................. 48
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 49
3. Форма отчета ................................................................................................. 51
Контрольные вопросы ...................................................................................... 52
53
ОГЛАВЛЕНИЕ
Лабораторная работа №1
ИЗУЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ "CLASSIC" ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ " ......................................................................................................... 5
1. Справочная система программы "classic" ..................................................... 5
2. Основные понятия и правила работы ............................................................ 6
3. Описание команд меню .................................................................................. 7
4. Методика выполнения .................................................................................. 17
Контрольные вопросы ...................................................................................... 17
Лабораторная работа №2
ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ ........................................................... 18
1. Краткая теория.............................................................................................. 18
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 23
Контрольные вопросы ...................................................................................... 26
3. Форма отчета ................................................................................................. 27
Лабораторная работа №3
СОЕДИНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ ..................................................... 28
1. Последовательное соединение ..................................................................... 28
2. Параллельное соединение ............................................................................ 30
3. Соединение с обратной связью .................................................................... 32
4. Форма отчета ................................................................................................. 34
Контрольные вопросы ...................................................................................... 36
Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ............... 37
1. Краткая теория............................................................................................... 37
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 38
3. Форма отчета ................................................................................................. 40
Контрольные вопросы ...................................................................................... 40
Лабораторная работа №5
УСТАНОВИВШИЕСЯ ОШИБКИ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ................. 42
1. Краткая теория............................................................................................... 42
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 43
3. Форма отчета ................................................................................................. 46
Контрольные вопросы ...................................................................................... 47
Лабораторная работа №6
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ......................................... 48
1. Краткая теория............................................................................................... 48
2. Экспериментальная часть ............................................................................. 49
3. Форма отчета ................................................................................................. 51
Контрольные вопросы ...................................................................................... 52
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .............................................................. 53
54
Составитель
Основы теории управления
Методические указания к лабораторным работам
Авторская редакция В.М. Чухонцева
Технический редактор Г.Н. Шанькова
Подписано в печать 16.02.04
Формат 60х84 1/16. Бум. типогр. №2
Печать офсетная
Усл. п. л. 3.02. Усл. кр. отт. 3.02. Уч.-изд. л. 2.94.
Тираж 100 экз. С.-40.
---------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Самарский государственный технический университет
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус.
55