Вашему вниманию представляется исследовательская работа ученика 8

Учитель математики Дука Н.И.
Вашему вниманию представляется исследовательская работа ученика 8
класса, которая была представлена на Саратовский региональный тур
Всероссийского конкурса юношеских исследовательских работ им. В. И.
Вернадского и получила диплом 2 степени. В ходе выполнения работы
проведено исследование бимедиан треугольника. Понятие «бимедиана»
введено автором впервые в истории математики, в научной литературе оно
не рассматривается. Идей послужила теорема Морлея. Франк Морлей
рассмотрел трисектрисы треугольника, автор провел аналогичное
исследование и рассмотрел бимедианы треугольника.
Представление работы учеником 8б класса Романовым Василием.
«Исследование бимедиан треугольников и многоугольников, образованных
их точками пересечения»
Треугольник – простейший вид многоугольника. Несмотря на это, он
привлекал к себе внимание многих математиков мира, открывших большое
количество свойств и теорем, например:
 в XVIII веке Леонард Эйлер, швейцарский, немецкий и российский
математик доказал теорему об окружностях 9 точек треугольника, и теорему
о прямой, проходящей через 4 центра треугольника, так называемой прямой
Эйлера;
 в XIX французский полководец Наполеон Бонопарт, увлекающийся
математикой, открыл теорему о свойстве правильных треугольников,
построенных на сторонах данного треугольника;
 в XX веке открыта одна из самых удивительных теорем в геометрии –
теорема американского математика Франка Морлея о точках пересечения
трисектрис треугольника.
С момента открытия теоремы Морлея прошло более века, но до сих пор
эта необыкновенно красивая задача привлекает к себе внимание
математиков.
Возможно, нам известны не все свойства треугольника, и в ближайшем
будущем неизвестный до этого математик откроет удивительное свойство
треугольника, которым будут восхищаться.
Вернемся к теореме Морлея. Хорошо известно, что биссектрисы
треугольника пересекаются в одной точке.
А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами?
Франк Морлей доказал, что если соединить отрезками точки
пересечения смежных трисектрис произвольного треугольника, то получится
равносторонний треугольник.
По определению, трисектрисы – это отрезки прямых, заключенные
внутри треугольника, которые делят углы треугольника на 3 равные части.
Проводя аналогию биссектрис и медиан треугольника, имея определение
трисектрис, мы самостоятельно вводим определение бимедиан треугольника.
Определение: бимедианами треугольника называются отрезки,
соединяющие вершины треугольника с двумя точками на противоположной
стороне треугольника, которые делят эту сторону на три равные части.
А
В
M
N
С
Точки M и N делят сторону ВС на три равные части, отрезки АМ и А N
мы назвали бимедианами треугольника АВС. Всего в треугольнике можно
провести 6 бимедиан.
Проводя далее аналогию трисектрис и бимедиан, выдвинем
гипотезу: треугольники, вершинами которых являются точки пересечения
бимедиан, являются правильными или подобными данному треугольнику, а
многоугольники – правильными или полуправильными.
Поэтому целью нашей работы является исследование свойств бимедиан
треугольника.
Задача исследования – провести анализ многоугольников, полученных
при пересечении бимедиан треугольника.
Объект исследования – треугольник и его бимедианы.
Предмет исследования – точки пересечения бимедиан треугольника.
Что мы знаем о медианах
Из приведенных ниже источников мы имеем сведения о медианах
треугольника.
1) Определение: медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2) Свойство точки пересечения медиан: медианы треугольника пересекаются
в одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка пересечения медиан называется центроидом, физический смысл
этой точки – центр масс треугольника.
3) Свойства медиан треугольника:
 медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S
S1 = S2;
S2
1

отрезки, соединяющие вершины треугольника с точкой
пересечения медиан, делит треугольник на 3 равновеликих треугольника
S1 = S2 = S3;
S2
S1
S3

три медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих
треугольников.
S1
S2
S1 = S2 = S3= S4 = S5 = S6;
S3
S4
S5
S6
Точки пересечения бимедиан треугольника
и деление ими бимедиан на части
Рассмотрим треугольник АВС и бимедианы AK, AL, BP, BF, CM, CN.
B
B
N
K
O
M
L
S
A
C
P
F
O и S – точки пресечения бимедиан AK и CN, AL и CM соответственно.
1) Найдем отношение, в котором точка О пересечения смежных
бимедиан С N и АК треугольника делит бимедианы.
С N ∩ АК = О
BN=1/3BA. BK=1/3BC ⟹ NК ‖ ВС ⟹ ∆ ВNК ∾ ∆ ВАС, коэффициент
подобия k = 1/3 ⟹ NК = 1/3 АС.
NК ‖ АС ⟹ ∠ ОАС = ∠ NКО, ∠ КNО = ∠ АОС ⟹ ∆ NКО ∾ ∆ САО,
коэффициент подобия k = NК/АС = 1/3 ⟹ NО = 1/3 СО, КО = 1/3 АО,
NО = 1/4 NС, СО = 3/4 NС.
Итак, получили вывод: точка пересечения несмежных бимедиан
треугольника делит бимедиану в отношении 3:1, считая от вершины
треугольника.
2) Найдем отношение, в котором точка S пересечения смежных
бимедиан МС и АL треугольника делит бимедианы.
МС ∩ АL = S
Проведя аналогичные рассуждения, получим:
ВМ = 2/3 ВА, В L = 2/3 ВС ⟹ ∆ МLS ∾ ∆ САS , k = 2/3 ⟹ М L =2/3АС,
∆ МSL ∾ ∆ СSА, k = 2\3 ⟹ М S = 2/3 SС, ⟹ SС = 3/5 М S, М S = 2/5 МС.
Итак, получили вывод: точка пересечения смежных медиан делит
бимедианы в отношении 3:2, считая от вершины треугольника.
3) Рассмотрим отрезки, соединяющие соответствующие точки двух
бимедиан, выходящих из одной вершины.
Назовем точки соответствующими, если они получаются при
пересечении двух бимедиан, выходящих из одной вершины, с двумя
смежными или с двумя несмежными бимедианами, выходящими из других
вершин треугольника.
СМ ∩ ВР = R, СN ∩ АК = О.
B
N
K
G
O
Соответствующие точки делят бимедианы в одном отношении:
СО : СN = СR : СМ = 3/4 ⟹ О R ‖ М N,
∆ СOR∾ ∆ СNM, k = 3/4 ⟹ OR =3/4 NM = 3/4∙ 1/3 AB = 1/4 AB.
Аналогично, SD ‖ MN SD = 3/5 MN = 3/5 ∙ 1/3 AB = 1/5 AB.
Любые соответствующие точки, например Q и G, делят бимедианы BP и
BF в одном отношении CQ : CM=CG : CN ⟹ QG ‖ АB, аналогично TE‖ MN.
Получили вывод: прямые, соединяющие соответствующие точки
пересечения двух бимедиан, выходящих из одной вершины, с другими
бимедианами, параллельны сторонам треугольника.
Причем, в результате наших наблюдений мы выяснили: если взять две
пары соответствующих точек Т, Е и Q, G на двух бимедианах ВР и В F,
выходящих из одной вершины В, то образованные ими отрезки ТЕ и QG не
только параллельны, но и один из них в 2 раза больше другого
ТЕ ‖ QG , QG = 2 ТЕ.
Это свойство соответствующих точек мы получили в результате
измерений на нескольких рисунках произвольных треугольников, доказать
его нам еще не удалось.
Получили вывод: отрезки , заключенные между крайними
соответствующими точками на любых двух бимедианах, выходящих из
одной вершины треугольника, параллельны и один из них в 2 раза больше
другого; отрезки, заключенные между вторыми точками двух бимедиан,
выходящих из одной вершины, параллельны сторонам треугольника и
составляют 1/5 часть от них; отрезки, заключенные между третьими (считая
от вершины) соответствующими точками, параллельны сторонам
треугольника и составляют 1/4 часть от них.
4) Рассмотрим треугольник, вершинами которого служат
соответствующие точки.
Соединив третьи от вершин соответствующие точки бимедиан, получим
треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия 1/4,
ориентированный на плоскости так же, как данный треугольник.
Соединив вторые от вершин соответствующие точки пересечения
бимедиан, получим треугольник, подобный данному с коэффициентом
подобия 1/5, причем его ориентация на плоскости отличается от ориентации
данного треугольника на 180о.
Соединив крайние соответствующие точки каждой пары бимедиан
отрезками прямых, получим шестиугольник, который обладает следующими
свойствами: его противоположные стороны параллельны и параллельны
сторонам данного треугольника, из двух противоположных сторон одна
больше другой в 2 раза, большие стороны чередуются с меньшими.
5) Рассмотрим точки пересечения бимедиан правильного
треугольника.
Получаем:
1) правильный треугольник, подобный данному, k = 1/5 (рис 1);
2) правильный треугольник, подобный данному, k = 1/4 (рис 2);
3) полуправильный шестиугольник ( рис. 3);
4) шестиугольник с равными сторонами и равными чередующимися углами
(рис 4);
5) треугольную правильную звезду (рис 5);
6) фигуру, состоящую из четырех правильных треугольников с тремя
общими вершинами (рис 6).
Рис 1
Рис 4
рис 2
рис 5
рис 3
рис 6
Последняя фигура – вертушка – напоминает знак радиации и может
быть использована как эмблема фирмы.
n -медианы треугольника и многоугольники, образованные их точками
пересечения
Назовем 3-медианами треугольника отрезки, которые соединяют
вершины треугольника с точками на противоположной стороне, которые
делят эту сторону на 4 равные части.
1)
Проводя доказательство, аналогичное первому случаю для бимедиан,
имеем: ∆ NКО ∾ ∆ САО, k = 1/4 ⟹ ОК = ¼ АО и ОК = 1/5АС,
следовательно, точка О делит 3-медианы АК и СN в отношении 4:1, считая от
вершины треугольника;
3
7
∆ МLS ∾ ∆ САS , k = 3/4 ⟹ SL =3/4АS, SL =
АS, следовательно, точка S делит 3-медианы А L и СМ в отношении 4:3,
считая от вершины треугольника.
В
N
K
О
M
S
L
А
2)
С
Соединяя соответствующие точки пересечения 3-медиан, получаем :
а) треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия k = 2/7 (рис1);
б) треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия k = 2/5(рис2);
в) шестиугольник, противоположные параллельные стороны которого
относятся как 1:3 (рис 3).
Рис 1
3)
Рис 2
Рис 3
Назовем n-медианами треугольника отрезки, которые соединяют
вершины треугольника с точками на противоположной стороне, которые
делят эту сторону на n равных частей.
Рассмотрим шестиугольник, вершинами которого являются
соответствующие точки пересечения n-медиан, ближних к сторонам
треугольника, его противоположные стороны параллельны и относятся как
1: n.
Задача
На сколько треугольников разбивают данный треугольник бимедианы,
проведенные по одной из каждой вершины?
Ответ: на 17 треугольников.
Заключение
Подтвердилось утверждение гипотезы о том, что:
два треугольника, образованные точками пересечения бимедиан, подобны
данному треугольнику с коэффициентами подобия 1/5 и 1/4;
шестиугольник, вершинами которого являются точки пересечения бимедиан,
является полуправильным, его противоположные стороны параллельны и
относятся как 1:2,
два треугольника, образованные точками пересечения 3-медиан, подобны
данному треугольнику с коэффициентами подобия 2/7 и 2/5;
шестиугольник, вершинами которого являются точки пересечения
3-медиан, является полуправильным, его противоположные стороны
параллельны и относятся как 1:3,
шестиугольник, вершинами которого являются точки пересечения
n-медиан, является полуправильным, его противоположные стороны
параллельны и относятся как 1: n.