Математический анализ_БЭН
advertisement
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Б2. Б.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
направлению подготовки бакалавриата
080100 Экономика
(Профиль Экономика предприятий и организаций)
(код и наименование направления подготовки бакалавриата с указанием профиля)
1. Цели освоения дисциплины Математический анализ
Учебная
дисциплина
Математический
анализ
обеспечивает
приобретение знаний и умений, овладение соответствующими компетенциями
в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом.
Дисциплина является основой для изучения всех математических и
специальных дисциплин. Знания и практические навыки, полученные по
дисциплине «Математический анализ», используются обучаемыми при
изучении профессиональных дисциплин, а также при выполнении курсовых и
иных работ.
Цели освоения дисциплины:
- подготовить бакалавра к успешной работе в сфере научной и
предпринимательской деятельности на основе гармоничного сочетания
научной, фундаментальной и профессиональной подготовки кадров;
- дать качественные фундаментальные математические и естественно - научные
знания, востребованные обществом, необходимые для применения
математических методов, базирующихся на прочной основе математических
дисциплин;
- формировать мировоззрение и развивать системное мышление;
- развивать профессиональную компетентность, определяемую как
совокупность теоретических и практических навыков, способность
осуществлять профессиональные функции, в рамках одного и более видов
деятельности;
- создать условия для овладения универсальными и предметноспециализированными
компетенциями,
способствующими
социальной
мобильности бакалавра и устойчивости на рынке труда;
формировать
социально-личностные
качества
выпускников:
целеустремленность, организованность, трудолюбие, коммуникабельность,
умение работать в коллективе, ответственность за конечный результат своей
профессиональной
деятельности,
гражданственность,
толерантность;
способность самостоятельно приобретать и применять новые знания и умения,
повышение общей культуры.
Задачи курса, решение которых обеспечивает достижение целей:
- научить студента основам математической культуры, необходимой для
научного обоснования курса математики;
- формировать практические навыки решения задач;
- формировать понимание значимости математической составляющей в
естественнонаучном образовании бакалавра, а также представление о роли и
месте математического анализа в мировой культуре;
- ознакомление с системой понятий, используемых для описания важнейших
математических моделей и математических методов, и их взаимосвязью;
- формировать навыки и умения использования математических моделей и
методов;
- исследовать примеры применения математических моделей и методов в
экономике, прикладной математике и других науках.
5. Место дисциплины Математический анализ в структуре ООП ВПО:
Учебная дисциплина «Математический анализ» относится к базовой
части дисциплин математического и естественнонаучного цикла с кодом ООП
ВПО Б2 Б.1.С неё начинается изучение всех дисциплин данного цикла.
Освоение дисциплины «Математический анализ» необходимо для
успешного изучения дисциплин базовой и вариативной частей математического
и естественнонаучного цикла, дисциплин по выбору, использующих
математический анализ и математические методы, для выполнения заданий
различных практик, качественного выполнения курсовых работ и выпускной
квалификационной работы.
При изучении данной дисциплины рассматриваются разделы: «Пределы
функций», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление»,
«Числовые ряды», позволяющие студенту ориентироваться в таких
дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика»,
«Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике».
Курс «Математический анализ» будет применяться в теории и приложениях
математической экономики и эконометрики. Материалы курса могут быть
использованы для разработки и применения численных методов решения задач
из многих областей знания, для построения и исследования математических
моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом
для
изучения
студентами
математической
компоненты
своего
профессионального образования.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами
теории чисел, числовых систем, математической логики, дискретной
математики, информационных технологий в математике, геометрии, алгебры,
физики, информатики. Успешное усвоение математического анализа - залог
более лёгкого и глубокого изучения этих курсов.
В профессиональной подготовке бакалавра дисциплина занимает особое
положение. Большинство глав курса даёт научное обоснование основных
разделов математики, ее приложений и большинства дисциплин по выбору.
Для изучения математического анализа требуется качественное знание
школьного курса алгебры и начал анализа, геометрии, тригонометрии.
ОК-1 – владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
ПК-1 – способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые
для расчета
экономических и социально-экономических показателей, характеризующих
деятельность
хозяйствующих субъектов;
ПК-2 - способен на основе типовых методик и действующей нормативноправовой базы рассчитать экономические и социально-экономические
показатели, характеризующие деятельностьхозяйствующих субъектов;
ПК-3 - способен выполнять необходимые для составления экономических
разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в
соответствии с принятыми в организации стандартами;
ПК-4 - способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых
для решения поставленных экономических задач;
ПК-5 - способен выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей,
проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы;
ПК-6 - способен на основе описания экономических процессов и явлений
строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать
и содержательно интерпретировать полученные результаты.
о
Виды учебной работы в часах
п
р
о
гВ
и
р
д
а
м
и
м
т
о
ы
)г
м
а
г
и
с
т
е
р
с
к
о
й
р
№
(
н
а
К
зС
у
в
е
р
а
см
н
е
и
се
тм
7. Объем дисциплины (модуля) и виды учебной работы (для всех
направлений подготовки, на которых обеспечивается данная дисциплина
(модуль)).
Общая трудоемкость дисциплины (модуля) составляет ___7_____ зачетных
единиц
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);
____252_______ часов.
п
р
о
ф
и
л
я
и
е
м
6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
ОК-1; ПК-1; ПК-2; ПК-3; ПК-4; ПК-5; ПК-6.
1
1
1
2
Часов в интеракт.форме. (из
ауд.)
ЛК
252/7
90
20
16
108/3
144/4
Часы на СРС
. (для дисц-н с экзаменом,
включая часы на экзамен)*
Всего аудит.
080100.62
Экономика,
профиль Экономика
предприятий
и
организаций
Трудоемкость в
часах/ЗЕТ
п/п
ПР/
СМ
22
135+27
10
10
16
20
22
32
70
65
ЛБ
зачет
экзамен
8. Содержание дисциплины Математический анализ.
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
учебного времени:
Количество часов
№
Всего
Наименование раздела, темы
ПР/
Часов
п/п
ауд.ч./в
ЛК
ЛБ
СМ
на СРС
интеракт.ф.
90 / 20
36 54
135
1 семестр
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
38 / 10 16 22
70
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В
1.
4
1
10
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава II. ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ
2.
4
2
12
ФУНКЦИЙ
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В
3.
2
4
12
ТОЧКЕ
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
4.
2
2
12
ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.
2
5
12
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
6.
2
8
12
ИНТЕГРАЛ
2 семестр
ЧАСТЬ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
42 / 10 20 32
65
7. Глава VII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ
1
0
1
8.
9.
10.
11.
12.
13.
ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
4
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ЧАСТЬ III. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
Глава IХ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
4
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Глава X. НЕСОБСТВЕННЫЕ
1
ИНТЕГРАЛЫ
Глава XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2
РИМАНА
ЧАСТЬ IV. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
Глава XII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
4
Глава XIII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
4
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
6
30
2
2
2
2
14
10
4
10
4
10
9. Содержание разделов дисциплины Математический анализ.
При составлении рабочей программы дисциплины использовались материалы
из учебников и задачников:
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубаринов В.Н. Лекции по
математическому анализу. Учебник для студентов педвузов и универ-ов. –
М.: Высшая школа. – 1999, 2003, 2004. – 640 с.
2. Берман Г.Б.Сборник задач по курсу матем. анализа: учеб. пособие. — СПб:
Профессия, 2005 — 384 с.
3. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по
математическому анализу [в 2 кн.]. Кн. 1, Дифференциальное и
интегральное исчисление функций одной переменной. – М.: Высшая школа.
– 2002. – 725 с.
4. Данко П.Е., Попов А.С., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах (в двух томах). М.: Мир и образование, 2007. Часть
1, 304 с., ч. 2 – 415 с.
5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
– Учебное пособие для ун.и пед.вузов, — М.: Астрель; АСТ, 2005. – 558 с.
6. Кудрявцев Л. Д.Краткий курс математического анализа : учебник для студ.
вузов / Л. Д. Кудрявцев. - 3-е изд., перераб. — М.: Физматлит, 2005. Гриф
7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты:
Учебное пособие. — СПб.: Лань, 2005. —240 с.
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение.
Отображения. Функции.
2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность
континуума.
3. Вещественные числа.
4. Полнота множества вещественных чисел.
5. Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и
последовательности стягивающихся отрезков.
6. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.
Глава II. ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
1. Функции. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно
большие последовательности и их свойства.
2. Предел последовательности. Теоремы о пределах суммы, разности,
произведения, частного.
3. Предельный переход в неравенствах.
4. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е» и
постоянная Эйлера.
5. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у
ограниченной последовательности.
6. Критерий Коши для сходимости последовательности.
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
1. Понятие предела числовой функции.
2. База множеств. Предел функции по базе.
3. Свойство монотонности предела функции.
4. Критерий Коши существования предела функции по базе.
5. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне.
6. Теоремы о пределе сложной функции.
7. Порядок бесконечно малой функции.
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
1. Свойства функций, непрерывных в точке.
2. Непрерывность элементарных функций.
3. Замечательные пределы.
4. Непрерывность функции на множестве.
5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке.
6. Понятие равномерной непрерывности.
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции.
2. Дифференцирование сложной функции.
3. Правила дифференцирования.
4. Производные и дифференциалы высших порядков.
5. Возрастание и убывание функции в точке.
6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа.
7. Следствия из теоремы Лагранжа.
8. Производная функции, заданной параметрически.
9. Раскрытие неопределенностей.
10. Локальная формула Тейлора.
11. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.
12. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям.
13. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки.
Выпуклость.
14. Точки перегиба.
15. Интерполирование.
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Точная первообразная. Интегрируемые функции.
2. Свойства неопределенного интеграла.
ЧАСТЬ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Глава VII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА.
1. Основные определения и свойства пространств.
2. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии.
3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом
пространстве.
4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих
отображений.
5. Непрерывные отображения метрических пространств.
6. Понятие компакта. Компакты в Rn и полнота пространства Rn. Свойства
непрерывных функций на компакте.
7. Связные множества и непрерывность.
Глава
VIII.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
1. Функции в Rn. Предел. Непрерывность.
2. Дифференцируемые функции в Rn.
3. Частные производные высших порядков.
4. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
5. Производная по направлению. Градиент.
6. Геометрический смысл дифференциала.
7. Дифференцирование сложных и неявныхфункций.
8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
9. Локальный экстремум функции многих переменных.
10. Условный экстремум функции многих переменных.
11. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби.
12. Приложение формулы Тейлора.
ЧАСТЬ III. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
Глава IХ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
1. Определение интеграла Римана.
2. Критерий интегрируемости функции по Риману.
3. Метод интегральных сумм.
4. Свойства интеграла Римана как предела по базе.
5. Классы функций, интегрируемых по Риману.
6. Свойства определенного интеграла.
7. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования.
Производная интеграла.
8. Теорема Ньютона-Лейбница.
9. Методы вычисления определенного интеграла.
10. Первая и вторая теоремы о среднем значении.
Глава X. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода.
2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных
интегралов.
3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки
Абеля и Дирихле.
4. Несобственные интегралы второго рода.
5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном
интеграле.
6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
Глава XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
1. Двойной интеграл Римана.
2. Суммы Дарбу и их свойства.
3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике.
4. Основные свойства двойного интеграла.
5. Переход от двойного интеграла к повторному.
6. Замена переменных в двойном интеграле.
7. Тройной интеграл Римана.
8. Основные свойства тройного интеграла.
9. Замена переменных в тройном интеграле.
10. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
ЧАСТЬ IV. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
Глава XII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. Основные определения и свойства сходящихся рядов. Критерий Коши.
2. Ряды с неотрицательными членами.
3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами.
4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница.
5. Признаки Абеля и Дирихле.
6. Свойства сходящихся рядов и их сумм.
Глава XIII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
1.
Основные
определения
функциональных
рядов.
Сходимость
функционального ряда.
2. Равномерная сходимость.
3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности.
4. Признаки равномерной сходимости.
5. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда.
6. Степенные ряды. Теорема Абеля.
7. Ряды Фурье.
10. Темы для самостоятельного изучения.
№
Наименование раздела
Форма
п/п
дисциплины.
самостоятельной
Тема.
работы
1.
2.
3.
4.
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Глава II. ФУНКЦИИ.
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ.
Глава III. ПРЕДЕЛ
ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Глава IV.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Глава V.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИ
Е ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Глава VI.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
Глава VII. НЕКОТОРЫЕ
ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ
ТОПОЛОГИИ.
МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
Глава VIII.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Глава IХ. ИНТЕГРАЛЫ
РИМАНА.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА
1 семестр
- вопросы для
самостоятельного
изучения;
- подготовка к
контрольной
работе № 1;
- выполнение
кейс-задания № 1.
- вопросы для
самостоятельного
изучения;
- подготовка к
контрольной
работе № 2;
- выполнение
кейс-задания № 2.
2 семестр
- вопросы для
самостоятельного
изучения;
- подготовка к
контрольной
работе № 3;
- выполнение
кейс-задания № 3,
(дополнительно
№5)
- вопросы для
самостоятельного
изучения;
- подготовка к
контрольной
работе № 4;
Колво
часов
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
10
- коллоквиум № 1;
- проверка кейсзадания № 1;
- проведение и
проверка
контрольной
работы № 1
12
12
12
12
12
1
30
2
- коллоквиум № 2;
- проверка кейсзадания № 2;
- проведение и
проверка
контрольной
работы № 2;
-мини- зачёты по
таблицам
производных и
интегралов
- коллоквиум № 3;
- проверка кейсзадания № 3
(дополнительно
№5)
- проведение и
проверка
контрольной
работы № 3.
- коллоквиум № 4;
- проверка кейсзадания № 4;
- проведение и
проверка
контрольных работ
РИМАНА
Глава X.
НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Глава XI. КРАТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА
Глава XII. ЧИСЛОВЫЕ
РЯДЫ
- выполнение
№ 4;
кейс-задания № 4;
- проверка
2
- подготовка и
презентаий по
составление
приложениям
презентаций по
10
приложениям
5.
- вопросы для
10 - коллоквиум № 5;
самостоятельного
- проверка
изучения;
10 дополнительного
- подготовка к
кейс-задания № 6;
Глава XIII.
контрольной
- проведение и
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
работе № 5;
проверка
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС
- дополнительно
контрольной
ТИ И РЯДЫ
выполнение кейсработы № 5.
задания № 6.
11. Образовательные технологии
Для данной дисциплины реализуется традиционная образовательная
технология наряду с балльно-рейтинговой системой, которая осуществляется в
соответствии с технологической картой (см. п. 19 УМК).
Интерактивные формы занятий:
№ раздела
(темы)
Формы
1 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Работа в группах
Работа в группах
«Мозговой штурм» (атака)
Кейс - метод
Работа в группах
Кейс - метод
2 семестр
«Мозговой штурм» (атака)
Кейс - метод
Работа в группах
Кейс - метод
Кейс - метод
Работа в группах
Кейс - метод
12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Б2.Б.1 Математический анализ.
Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному
материалу (планы последовательного проведения занятий: ПР, СМ)
Перечень практических занятий
1 семестр
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Практическое занятие 1.1.
Тема: Действительные числа. Модуль числа.
Метод математической
индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.
Вопросы:
1. Действительные числа.
2. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.
План:
№1. Докажите утверждения с помощью метода математической индукции. (12
утверждений)
№2. Изобразите на координатной прямой решение уравнений и неравенств с
модулем (6 заданий).
№ 3. Решите уравнения и неравенства с модулем (6 заданий).
Домашнее задание №1.1:
Теория: выучите определение модуля действительного числа, его свойства.
Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.
№1. Решите уравнения и неравенства с модулем:
1) tgx tgx 2 0
2) 3 2 x 5
3) x 1 x 2 2 x 3
4)
4 x2 9 x 6 x2 x 3
№2. Докажите утверждения с помощью метода математической индукции:
1) 12 22 32 ... n 2
n(n 1)(2n 1)
,n
6
2) 1
1
1
1
...
2 n, n
2
3
n
3) Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел
делится на 9.
Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Практическое занятие 1.2.
Тема: Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности и их свойства. Предел последовательности.
Вопросы:
1. Числовые последовательности.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
3. Предел последовательности.
План:
№1. Найдите по заданной формуле xk и xm. Определите, возрастает
последовательность или убывает. Найдите, начиная с какого номера n,
выполняется xn a (4 задания).
an a (6 доказательств).
№ 2. Докажите, что lim
n
№ 3 Покажите, что при n последовательность (xk) имеет пределом число а
(3 задания).
Домашнее задание №1.2:
Теория: выучите определение бесконечно малой последовательности,
определение предела последовательности на языке «бесконечно малых» и на языке, геометрический смысл предела последовательности.
№1. Найдите по заданной формуле xk и xm. Определите, возрастает
последовательность или убывает. Найдите, начиная с какого номера n,
выполняется xn a , где xn
№ 2. Докажите, что lim
n
2n 3
; k = 5, m = 60, a = 2; = 0,01
n
3n 1 3
.
5n 1 5
№3. Покажите, что при n последовательность
1 5 9 4n 3
, , ...,
,... имеет
2 3 4
n 1
предел, равный 4.
Практическое занятие 2.1.
Тема: Теоремы о пределах суммы, разности, произведения, частного.
Предельный переход в неравенствах.
Вопросы:
1. Теоремы о пределах суммы, разности, произведения, частного.
2. Предельный переход в неравенствах
План:
№1. Найдите следующие пределы (18 заданий):
2) lim
B
0
n 1
n2 1
sin n ! 2
8) lim
B
n 1 3n 1 1 3n
n
0
2n
n
14)
3 n2 1 n
lim
cos 2n !
B0 4 3
3
n n 1
№ 2. Найдите следующие пределы (6 заданий):
1) lim
n
1 2 ... n
n2
4) lim
2 1 ... 1 n 2
n
2 4 8 16
2
1
1
1
1
n
1
Домашнее задание №2.1:
Теория:
выучите
определения
монотонных
последовательностей
(возрастающей, неубывающей, убывающей, невозрастающей, стационарной) и
ограниченных последовательностей (сверху, снизу, по модулю). Теорема
Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях.
№1. Найдите следующие пределы:
n2 3n 4
n3
1) lim
2
B
3n 5
2n 1
0
1
1
1
n 1 n 1 n 3 n 5
0
1 3n2 4n4
1
1
1
1
...
4) lim
n 1 3
35 5 7
2n 1 2n 1
2) lim
B
...
3) lim
n 1 2
23
n n 1
1
1
1
1
№ 2.* № 126 с. 83 lim
...
n 1 2 3
2 3 4 3 4 5
n(n 1)(n 2)
Практическое занятие 2.2.
Тема: Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е» и
постоянная Эйлера.
Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у
ограниченной последовательности. Критерий Коши для сходимости
последовательности.
Вопросы:
1. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е» и
постоянная Эйлера.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у
ограниченной последовательности.
3. Критерий Коши для сходимости последовательности.
План:
№ 1. Докажите, что существует предел последовательности an (3 задания).
№ 2. Найдите следующие пределы (12 заданий):
1)
1
lim 1
n
n
n4
5)
n2
lim
n n 3
n 5
9)
6n 7
lim
n 6n 4
3n 2
№3. Найдите следующие пределы (6 примеров):
1)
1
1
1
lim
...
n 3 7
7 11
4n 1 4n 3
4)
lim
n
Домашнее задание №2.2:
Теория: что такое число е, чему равно число е.
№ 1. Докажите, что существует предел
an
3
1 n n 2 n3 3 n3 n 2 n 1
последовательности
1
1
1
2
... n
3 1 3 2
3 n
№2. Найдите следующие пределы:
1)
2
2
lim 3 n 3 n 4 3 n 1
n
2)
lim
n
n 2 2n 1 n 2 7 n 3
2 n 1
3)
n 1
lim
n n 2
4)
3n 4
lim
n 3n 2
n 1
3
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Практическое занятие 3.1.
Тема: Предел числовой функции. База множеств. Предел функции по базе.
Вопросы:
1. Понятие предела числовой функции.
2. База множеств. Предел функции по базе.
План:
x 5) 1 (8 заданий).
№ 1. Докажите по определению, что lim(3
x2
№ 2. Найдите следующие пределы (12 заданий):
an :
x 2 x 12
x 1 x 2 5 x 6
x 3
1) lim
3) lim 5 x 2
x 1
x
3
4) lim x 1
2 x 1
x 1
x 1
Домашнее задание №3.1:
Теория: выучите следующие определения: предел функции в точке (по Коши,
по Гейне), предел функции по базе. Геометрический смысл предела функции.
№ 1. Докажите по определению, что 1) lim
x 3
x2 9
6,
x 3
x 5) 4
2) lim(3
x 3
№2. Найдите следующие пределы:
1) xlim
1
x2 4x 3
x3
3)
2) lim
x 2
x3 3x 2
x3 8
4)
x 3
x
lim
x 0
x2 1 1
x 16 4
2
2 x 3
x 7
x 2 49
lim
5)
lim
6)
lim
x 0 3
3
x 0
x
x 1 1
1 x 3 1 x
x2 x
Практическое занятие 3.2.
Тема: Первый замечательный предел.
Вопросы:
1. Свойство монотонности предела функции.
2. Критерий Коши существования предела функции по базе.
3. Замечательные пределы.
План:
№ 1. Найдите предел функции, раскрывая, где необходимо, неопределённости
(18 заданий):
sin 3x
1) lim
x 0
9x
2sin 2 x sin x 1
7) lim
2
x 2sin x 3sin x 1
13) lim
x 0
6
sin 7 x sin 2 x
sin x
Домашнее задание №3.2:
Теория: замечательные пределы.
№ 1. Найдите предел функции, раскрывая, где необходимо, неопределённости:
sin 5 x
x4 2
x
sin
2
2) lim
x 1
x
1) lim
x 0
3) lim
x 0
cos x cos 5 x
cos 2 x cos8 x
ctg3x( x 9 3)
5) lim
x 0
4) lim
x 0
tg 2 3x sin 2 5 x
x3 sin 4 x
6) lim
x
1 tgx 1 tgx
sin 2 x
Практическое занятие 4.1.
Тема: Второй замечательный предел. Эквивалентные бесконечно малые.
Вопросы:
1. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне.
2. Теоремы о пределе сложной функции.
3. Порядок бесконечно малой функции.
План:
№ 1. Найдите предел функции, раскрывая, где необходимо, неопределённости и
используя эквивалентные бесконечно малые (18 заданий):
2x 3
1) lim
x 2 x 1
3 x2
7) lim tg x
x 0
4
ctg 2 x
13) lim
x 0
1 x x2 1
sin 2 x
Домашнее задание №4.1:
Теория: замечательные пределы, эквивалентные бесконечно малые.
№ 1. Найдите предел функции, раскрывая, где необходимо, неопределённости и
используя эквивалентные бесконечно малые.
1 x
1
x2
1) lim
cos x
x 0
2) lim tg х
x
tg 2 x
4
1 x 1 x
3) lim
x 2 х
4) lim
x 0
e 2 x 1
x
5) lim
x
4
n
6) lim
x 0
2 cos x 1
1 tg 2 x
7) lim
x e
ln x3 3
xe
1 sin x 1
tgx
8) lim
x 2
2x x2
x2
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Практическое занятие 4.2.
Тема: Непрерывные функции и точки разрыва.
Вопросы:
1. Свойства функций, непрерывных в точке.
2. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва.
План:
№ 1. Докажите непрерывность функции в области определения на языке
приращений (4 задания): f ( x) x 2 x 2
№ 2. Проверьте непрерывность функции в точке на языке пределов (3 задания):
f ( x)
x3
1
2
; x0 ; x0
2 3x
2
3
№ 3. Докажите непрерывность функции в области определения на языке ε- (4
задания): f ( x) sin x
Домашнее задание №4.2:
Теория: определение непрерывности функции (на языке пределов, по Коши, по
Гейне, на языке приращений).
№ 1. Докажите непрерывность функции на языке приращений f ( x) x3 2 x 4
№ 2. Докажите непрерывность функции в области определения на языке ε-
f ( x) 3x 2 2 x 1
Практическое занятие 5.1.
Тема: Односторонние пределы.
Вопросы:
1. Непрерывность функции на множестве.
2. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке.
3. Понятие равномерной непрерывности.
План:
№ 1. Сделайте чертёж. Найдите односторонние пределы функции в точке x0.
Существует ли lim f ( x) ? Является ли функция непрерывной? Определите тип
x x0
x2 , x 0
разрыва (14 заданий). f ( x)
2, x 0 ,
x0 = –1,
x0 = 0
Домашнее задание №5.1:
Теория: определение непрерывности функции (на языке пределов, по Коши, по
Гейне, на языке приращений), точки разрыва 1 и 2 рода.
№ 1. Сделайте чертёж. Найдите односторонние пределы функции в точке x0.
Существует ли lim f ( x) ? Является ли функция непрерывной? Определите тип
x x0
разрыва.
x 2 1, 1 x 2
1) f ( x)
x 3, 2 x 4 ,
3
3x, 1 x 1
2 x, 1 x 3 ,
2) f ( x)
3) f ( x)
x0 = 0, x0 = 1, x0 = 3
x0 = 1, x0 = 2
x 1
x 1
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Практическое занятие 5.2
Тема: Производная и дифференциал функции.
Вопросы:
1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции.
2. Правила дифференцирования.
План:
№ 1. Найдите производную функции по определению. Вычислите значение
производной в точке x0 (4 задания): f ( x) 2 x3 2 x 3
№ 2. Найдите приращение и дифференциал функции в точке, абсолютную и
относительную погрешность вычислений (4 задания): f ( x) 3x2 x 3 , x0 = 1;
∆x=0,01; x0 = 1; ∆x=0,1
№ 3. Найдите приближённое значение с помощью дифференциала (6 заданий).
Домашнее задание №5.2:
Теория: таблица производных.
№ 1. Найдите приближённое значение с помощью дифференциала:
1). sin 60012 '
2). 5
2 0, 02
2 0, 02
№ 2. Найдите производные функций в точке:
1. f(x)= x sin x 2. f(x)= x 1tgx 3. f(x)= x 2 1 x
4. f(x)=
x ln x
ex
2
5. f(x)= 2x sin x2 1
Практическое занятие 6.1.
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложной функции.
Вопросы:
1. Дифференцирование сложной функции.
2. Геометрический и механический смысл производной функции.
План:
№ 1. Найдите производные функций в точке (33 задания):
1. f(x)=2x + 5x3 + 4 x
1 x
x m x 2 m2
23. f(x)= cos
12. f(x)= 2 2
m
x
m
1 x
x
Домашнее задание №6.1:
Теория: таблица производных.
Вариант №0 контрольной работы №1 по теме «Пределы».
3n 2 5
(2 балла)
1. Найти предел и доказать его по определению: lim 2
n 2 n 4
2. Найти пределы последовательностей (по 1 баллу):
1).
1 2 3 ... n n
2).
lim
n2
2
n
3n 1
lim
n 3n 5
n2
3).
7n 1
13
lim 4n 12 n
n
7
sin
3n
3. Найти пределы функций (по 1 баллу):
x 4 x3 x 2 1
3
2
1). xlim
1
x
2
x
1
x 1
x
2). lim
x0
x
1 2x 1
3
3). lim
x 0
x
1 1
3
ln( x 1)
sin
Практикум по решению задач
Пределы
Примеры решения заданий
3n 2
3
1. Доказать, что lim an a (указать N ( ) ), где an
, a .
n
2n 1
2
Решение. По определению число a называется пределом числовой
последовательности an , если 0 N ( ) , такой, что n N ( )
выполняется неравенство an a .
Выберем произвольное число 0 . Тогда
3n 2 3 6n 4 6n 3
1
1
an a
и неравенство an a
2n 1 2
2(2n 1)
4n 2 4n 2
1
1
будет выполнено в точности тогда, когда
, т.е. 4n 2 , откуда
4n 2
1 1
1 1
n
. Положив N ( ) 1 , получим, что для всех n N ( )
4 2
4 2
справедливо неравенство an a . В соответствии с определением предела
это и означает, что lim an a .
n
(3 n) 2 (3 n) 2
.
n (3 n ) 2 (3 n) 2
Решение. В таких примерах делят числитель и знаменатель на старшую степень
n. В числителе она 2, а в знаменателе 1. Поэтому числитель и знаменатель
разделим на n 2 . В результате получим
2. Вычислить предел числовой последовательности: lim
3 n 3 n
lim
2
2
n
3 n 3 n
2
2
3 2 3 2
n 1 1
n n
lim
2
2
n
3 3
n 2 1 1
n n
2
3 2 3 2
1 1
n n 2
lim
2
2
n
3 3 0
1 1
n n
(3 n) 2 (3 n) 2
Ответ: lim
n (3 n) 2 (3 n) 2
3. Вычислить предел: lim
n 3 5n 2 4 9 n 8 1
.
(n n ) 7 n n 2
Решение. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень n, т.е. на n 2 .
5 4
1
3
9 8
2
8
3
4
n 5n 9n 1
n
n
Тогда
. Поэтому
2
7
1
7
1
1
(n n ) 7 n n
1 3 2
n2 n
n n n
5 4
1
3
9 8
2
8
3
4
n 5n 9n 1
n
n
lim
lim
4 9.
n
(n n ) 7 n n 2 n 7 1 1 7 1 1
n2 n
n3 n 2 n
n
Ответ: lim
n
n 3 5n 2 4 9n8 1
(n n ) 7 n n
2
49.
4. Вычислить предел: lim n( n2 1 n2 1) .
n
Решение. В этом примере получаем неопределенность вида . Чтобы
избавиться от неопределенности умножим и разделим выражение под знаком
предела на сопряженное к нему и воспользуемся формулой разности квадратов.
n( n2 1 n2 1) n
( n2 1 n2 1)( n2 1 n2 1)
n
2
n2 1 n2 1
n2 1 n2 1
2n
2
Поэтому lim n( n 2 1 n 2 1) lim
lim
1.
2
2
n
n
n
1
1
n 1 n 1
1 2 1 2
n
n
Ответ: lim n( n2 1 n2 1) 1
n
2
3
n 1
1
5. Вычислить предел: lim 2 2 2 2 .
n n
n
n
n
2
3
n 1
1 2 3 ( n 1)
1
Решение. lim 2 2 2 2 lim
.
n n
n
n
n n
n2
Числитель дроби, стоящей под знаком предела, является арифметической
n(n 1)
прогрессией, сумма которой равна
. Поэтому
2
1
n 2 1
2
2
3
n 1
n(n 1)
n n
n 1
1
lim 2 2 2 2 lim
lim
lim
.
n n
n 2n 2
n
n
n
n n 2n 2
2n 2
2
2
3
n 1 1
1
Ответ: lim 2 2 2 2 .
n n
n
n
n 2
n 1
6. Вычислить предел: lim
.
n n 1
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида (1 ) .
n
2
n 1 n n 1
2
n
n
2n
lim
2
2
n 1
n n 1
lim
lim 1
lim 1
e
e2 .
n n 1
n n 1 n n 1
n
n 1
e2 .
Ответ: lim
n n 1
2 x2 5x 3
7. Доказать (найти ( ) ), что: lim
7 .
x3
x3
Решение. Зафиксируем произвольное >0. Требуется по этому найти такое
>0, чтобы из условия 0 x 3
вытекало бы неравенство
2 x2 5x 3
7 . То есть
x3
1
2( x 3) x
2x 5x 3
2
7
7 2x 1 7 2 x 3
x3
x3
2
2 x2 5x 3
7 . То есть в
Отсюда получим, что если x 3 / 2 , то
x3
2 x2 5x 3
качестве ( ) можно взять / 2 . Поэтому lim
7 .
x3
x3
8. Доказать, что функция f ( x) непрерывна в точке x0 (найти ( ) ):
f ( x) 5x 2 1, x0 6 .
Решение. Покажем, что при любом 0 найдется такое ( ) , что
f ( x) f ( x0 ) при x x0 ( ) .
f x0 179 .
Покажем,
как
для
произвольного
положительного
действительного числа , найти такое положительное число , что
5 x 2 1 179 , если x 6 .
Так как 5 x 2 1 179 5 x 2 180 5 ( x 6)( x 6) и нас интересует поведение
функции в окрестности точки x0 6 , то, не нарушая общности, будем считать,
что рассматриваются только точки х такие, что x 6 1. Тогда 5 x 7 , а
11 x 6 13 . Поэтому, для рассматриваемых х справедливы соотношения
5 x 2 180 5 ( x 6)( x 6) 5 13 ( x 6) .
Но, если
65 ( x 6) (то есть ( x 6)
65
), то и 5 x 2 180 . Пусть
2
. Тогда, если x 6 , то 5 x 180 65 ( x 6) .
65
функция f x 5 x 2 1 непрерывна в точке x0 6.
min 1;
Значит
( x3 2 x 1)( x 1)
9. Вычислить предел функции: lim
.
x1
x4 4 x2 5
Решение. Так как пределы числителя и знаменателя при x 1 равны нулю, то
0
мы имеем неопределенность вида
. "Раскроем" эту неопределенность,
0
разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий
множитель x 1 (сокращать на x 1 можно, потому что при нахождении
предела мы считаем, что x 1 0 ):
( x3 2 x 1)( x 1)
( x 3 2 x 1)( x 1)
x3 2 x 1
lim
lim
lim
.
x 1
x 1 ( x 3 x 2 5 x 5)( x 1)
x 1 x 3 x 2 5 x 5
x4 4 x2 5
В полученной дроби знаменатель уже не стремится к нулю при x 1 ,
поэтому можно применять теорему о пределе частного:
lim( x3 2 x 1)
x3 2 x 1
( x3 2 x 1)( x 1)
x 1
lim 3
0
.
Ответ:
lim
0
x 1 x x 2 5 x 5
x1
lim( x3 x 2 5 x 5)
x4 4 x2 5
x1
10. Вычислить предел функции: lim
x 4
1 2x 3
.
x 2
0
. Умножим числитель и
0
знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавляемся от
иррациональности в числителе):
Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида
lim
x 4
1 2x 3
( 1 2 x 3)( 1 2 x 3)
1 2x 9
lim
lim
x 4
x 4
x 2
( x 2)( 1 2 x 3)
( x 2)( 1 2 x 3)
2x 8
2( x 2)( x 2)
8 4
lim
x 4
( x 2)( 1 2 x 3) x4 ( x 2)( 1 2 x 3) 6 3
lim
Ответ: lim
x4
1 2x 3 4
.
3
x 2
ln(1 sin x)
.
x 0
sin 4 x
ln(1 sin x)
sin x
Решение. Так как lim
1 и lim
1 , то
x 0
x 0
sin x
x
ln(1 sin x) sin x 4 x 1 1
ln(1 sin x) 0
lim
lim
.
x 0
sin 4 x
0 x0 sin x
x sin 4 x 4 4
ln(1 sin x) 1
Ответ: lim
.
x 0
sin 4 x
4
x2 1
12. Вычислить предел функции: lim
.
x 1 ln x
ln(t 1)
Решение. Так как lim
1 , то
t 0
t
x2 1
( x 1)( x 1)
t (t 2)
lim
lim
x 1 t lim
lim(t 2) 2 .
x 1 ln x
x 1 ln1 ( x 1)
t 0 ln(t 1)
t 0
x2 1
Ответ: lim
2.
x 1 ln x
2
2cos x 1
13. Вычислить предел функции: lim
.
x / 2 ln sin x
0
Решение. В данном случае мы имеем неопределенность вида .
0
11. Вычислить предел функции: lim
Сделаем замену t x
2
. Тогда t 0 при x
cos 2 t
2
2
и xt
2
.
2
2
1
2
1
2sin t 1
lim
lim
lim
.Т.к. 2sin t 1 sin 2 t ln 2 при t 0 ,
x / 2 ln sin x
t 0
t 0 ln cos t
ln sin t
2
2
2sin t 1
ln 2 sin 2 t
1 cos 2 t
(1 cos t )(1 cos t )
lim
lim
ln 2 lim
ln 2 lim
t 0 ln cos t
t 0
t 0 ln cos t
t 0 ln[1 (cos t 1)]
ln cos t
то
(cos t 1)(1 cos t )
1
ln 2 lim
ln 2 lim(1 cos t ) 2ln 2 ln .
t 0
t 0
ln[1 (cos t 1)]
4
cos 2 x
2
cos t 1
1.
t 0 ln[1 (cos t 1)]
Воспользовались тем, что lim
2cos x 1
1
Ответ: lim
ln .
x / 2 ln sin x
4
2
7 2 x 53 x
14. Вычислить предел функции: lim
.
x 0 2 x arctg3 x
7 2 x 53 x
(7 2 x 1) (53 x 1)
0
lim
Решение. lim
x 0 2 x arctg3 x
0 x0 2 x arctg3 x
2x
3x
7 1
5 1
ln 7
ln 5
lim
lim
x 0
2 x 1 arctg3x 3x 2 arctg3 x x0 1 arctg3x 2 arctg3x
2x
3
3x
2x
3x
3
ln 7
ln 5
125
2ln 7 3ln 5 ln
3
arctg3x 2
arctg3x
49
1 lim
lim
x
0
x
0
2
3x
3
3x
ax 1
В данном случае использовали замечательные пределы: lim
ln a и
x0
x
arctgx
7 2 x 53 x
125
ln
Ответ: lim
.
lim
1.
x 0 2 x arctg3 x
x 0
49
x
e x e x 2
15. Вычислить предел функции: lim
.
x0
sin 2 x
1
ex x 2
x
x
e e 2 0
e2 x 2e x 1
(e x 1) 2
e
lim
lim x
lim x
Решение. lim
2
x 0
x 0 e sin 2 x
x 0 e sin 2 x
sin 2 x
0 x0 sin x
e x 1 x
e x e x 2
x2
1
lim
lim
1
Ответ:
=1.
lim
x 0 x 2 x 0 x
2
x0
e
x
e
sin
x
sin
x
x
16. Вычислить предел функции: lim(1 ln(1 x3 ))3 /( x
2
arcsin x )
x 0
.
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида 1 . Сведем предел
ко второму замечательному пределу.
3
ln(1 x3 )
lim (1 ln(1 x ))
x 0
1
lim(1 ln(1 x3 ))3/( x
2
arcsin x )
x 0
ln(1 x )
3
x
3
e
lim
3x
Ответ: lim(1 ln(1 x3 ))3 /( x
x 0
arcsin x
x 0 arcsin x
2
arcsin x )
e 3 .
x e 3
3ln(1 x3 )
x 2 arcsin x
lim
3ln(1 x3 )
e x 0 x
2
arcsin x
1 x
sin 2 x
17. Вычислить предел функции: lim
.
x 0
x
1 x
sin 2 x
Решение. Так как при x 0 sin 2 x 2 x , то lim
21 2 (в данном
x 0
x
1 x
sin 2 x
случае неопределенности нет).
Ответ: lim
2.
x 0
x
1/( 3 x 1)
3x 1
18. Вычислить предел функции: lim
.
x 1
x 1
Решение. Здесь имеем неопределенность вида 1 , и предел сводится ко
второму замечательному пределу.
1/( 3 x 1)
3x 1
lim
x 1
x 1
e
1/( 3 x 1)
2x 2
lim 1
x 1
x 1
2( x 1) 1
x 0 x 1 3 x 1
lim
e
x 1
2( x 1)
2
x
2
lim 1
x 1
x 1
2( 3 x 1)( 3 x 2 3 x 1) 1
3
x 0
x 1
x 1
lim
e
lim
x 0
2( 3 x 2 3 x 1)
x 1
2( x 1) 1
x 1 3 x 1
e2
1/( 3 x 1)
3x 1
Ответ: lim
x 1
x 1
e2 .
ln x 1
19. Вычислить предел функции: lim
x e
xe
sin
2e
x
.
Решение. В данном случае мы имеем неопределенность вида
раскрытия сделаем замену t x e . Тогда t 0 при x e .
ln x 1
lim
x e
xe
sin
2e
x
t
ln e 1
lim
t 0
t
ln(t e) 1
lim
t 0
t
cos
2e
sin
2e
(t e )
te
ln e
lim
t 0
t
t
ln x 1
Ответ: lim
x e
xe
t
ln 1
e
sin
2e
cos t
t
2e
e
e 1
lim
e t 0
x
e1 .
20. Вычислить предел функции: lim 4cos3 x x arctg
x 0
1
.
x
sin t
2e 2
0
. Для ее
0
1
1
ограничена, значит, x arctg
бесконечно малая
x
x
1
функция при x 0 . Поэтому lim 4cos3 x x arctg 2 .
x 0
x
1
Ответ: lim 4cos3 x x arctg 2 .
x 0
x
Решение. Функция arctg
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Доказать, что lim an a (указать N ).
n
3n 2
3
, a .
2n 1
2
1.1. an
1.2. an
4n 1
, a 2.
2n 1
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
3 n 3 n .
2.1. lim
2
2
n
3 n 3 n
2
3 n 2 n .
2.2. lim
4
4
n
1 n 1 n
2
4
4
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
3.1. lim
n
n 3 5n 2 4 9n8 1
n n
7nn
2
.
3.2. lim
n 3
n 1 n2 1
3n 3 n 1
4
3
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
4.1. lim n
n
n2 1 n2 1 .
4.2. lim n
n
5
.
n n 2 n2 3 .
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
2 3
n 1
1
...
.
2
2
2
2
n
n
n
n
5.1. lim
n
2n 1! 2n 2 !.
n
2n 3!
5.2. lim
Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.
n1
n 1
6.1. lim
.
n n 1
n
Задача 7. Доказать (найти ), что:
2n 3
6.2. lim
.
n 2n 1
2 x2 5x 3
7.
7.1. lim
x -3
x3
5x2 4 x 1
6.
7.2. lim
x 1
x 1
Задача 8. Доказать, что функция f x непрерывна в точке x0 (найти ).
8.1. f x 5 x 1, x0 6.
Задача 9. Вычислить пределы функций.
2
9.1.
x
lim
x 1
3
2 x 1 x 1
x 4x 5
4
2
.
8.2. f x 4 x 2, x0 5.
2
x3 3x 2
.
9.2. lim
2
x 1
xx
Задача 10. Вычислить пределы функций.
1 2x 3
.
x 2
10.1 lim
x 4
1 x 3
.
2 3 x
10.2. lim
x 8
Задача 11. Вычислить пределы функций.
11.1. lim
ln 1 sin x
x 0
sin 4 x
.
11.2. lim
1 cos10 x
x2
e 1
x 0
.
Задача 12. Вычислить пределы функций.
x2 1
12.1. lim
.
x 1 ln x
x2 x 1 1
.
ln x
12.2. lim
x 1
Задача 13. Вычислить пределы функций.
2 x 1
2
2
2cos x 1
.
13.1. lim
x 2 ln sin x
13.2. lim
7 2 x 53 x
.
14.1. lim
x 0 2 x arctg3 x
e3 x e2 x
14.2. lim
.
x 0 2arcsin x sin x
x 12
Задача 14. Вычислить пределы функций.
e
sin x
e
sin 3 x
.
Задача 15. Вычислить пределы функций.
e x e x 2
15.1. lim
.
x 0
sin 2 x
1 x sin x cos 2 x
.
x 0
sin 2 x
15.2. lim
Задача 16. Вычислить пределы функций.
16.1. lim 1 ln 1 x
x0
3
3 x2 arcsin x
16.2. lim cos x
.
x0
1x
.
Задача 17. Вычислить пределы функций.
1 x
2 x
17.2. lim
.
x 0 3 x
x
sin 2 x
17.1. lim
.
x0
x
Задача 18. Вычислить пределы функций.
1 3 x 1
3
x
1
.
18.1. lim
x 1
x
1
1 x a
sin x
18.2. lim
x a sin a
.
Задача 19. Вычислить пределы функций.
ln x 1
19.1. lim
x e
xe
sin
2e
x
tgx
x 4
.
19.2. lim
ctg x
.
Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности.
20.1. lim
x 0
4cos3 x x arctg 1 x . 20.2. lim
x 2
3sin x 2 x sin
x
.
2x
Практическое занятие 7.1
Тема: Теоремы о средних значениях (Ролля, Коши и Лагранжа).
Производные и дифференциалы высших порядков.
Вопросы:
1. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа.
2. Следствия из теоремы Лагранжа.
3. Производные и дифференциалы высших порядков.
План:
№ 1. Определите значение с из теоремы о среднем (т. Лагранжа) для функций,
если возможно (6 заданий): f ( x) arctgx, x 0;1
№ 2. Определите значение с из теоремы о среднем (т. Коши) для функций, если
возможно (6 заданий): f ( x) x3 , g ( x) x2 1, x 1;2
№ 3. Докажите, что уравнение имеет единственный простой действительный
корень (т. Ролля). Методом проб установите интервал, в котором содержится
этот корень (3 задания): x3 3x 2 6 x 1 0
№ 4. Найдите производные указанного порядка (10 заданий).
Домашнее задание №7.1:
Теория: таблица производных, теоремы о средних значениях: Ферма, Ролля,
Коши, Лагранжа.
№ 1. Найдите производные функций в точке:
1). ρ(φ)= a sin 2 , f(4)(φ) 2). f(x)=1 x3 x 4 , f(3)(x)
3). f(x) = sin x e x , докажите, что
d2y
dy
2 2y 0
2
dx
dx
№ 2. Определите значение с из теоремы о среднем (т. Лагранжа) для функций,
если возможно:
1) f ( x) 5x3 2x, x a; b
2) f ( x)
1
, x a; b
x 1
2
3) f ( x) 3 x , x a; b
Практическое занятие 7.2.
Тема: Правило Лопиталя. Общая схема исследования функции.
Вопросы:
1. Возрастание и убывание функции в точке.
2. Экстремальные точки. Выпуклость. Точки перегиба.
3. Исследование функций с помощью производных.
4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
План:
№ 1. Вычислите пределы по правилу Лопиталя (12 заданий):
e x ea
1) lim
x a x a
ln( 1 x 2 )
5) lim
x 0 cos 3 x e x
x
9) lim 2
xa
a
tg
x
2a
№ 2. Исследуйте функцию по плану и постройте её график.
План исследования функции.
3
1. Область
5. Чётность-нечётность.
x
а). f ( x )
2
определения.
6. Экстремумы.
3 x
2. Непрерывность.
7. Точки перегиба.
3. Асимптоты
8. Дополнительные
4. Нули функции.
точки.
Домашнее задание №7.2:
Теория: правило Лопиталя, общая схема исследования функции.
№ 1. Вычислите пределы по правилу Лопиталя:
3
б). f ( x ) ( x 4) 2
1) lim
x 0
x arc tgx
x3
tg x x
2) lim
x 1 ln x
ln x
1
3) lim
x 0 x sin x
x
4) lim
1 x tg
x 1
x
2
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Практическое занятие 7.1.
Тема: Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.
Вопросы:
1. Первообразная и простейшие способы её нахождения.
План:
№ 1. Вычислите интегралы (18 заданий):
1) ( x 2)3 (3x 5)dx
2x2 8
dx
13)
16 x 4
7) cos(4 x 7)dx
Домашнее задание №8.1:
Теория: таблица интегралов.
№ 1. Вычислите интегралы:
1)
dx
2)
2
6
2x
sin
2
dx
x cos 2 x
3) ctg 2 xdx 4)
dx
x 3x 2
2
5)
dx
7 6x x
2
6)
4x
2
dx
4x 5
Практическое занятие 8.2.
Тема: Интегрирование путём подстановки (замены переменной).
Интегрирование по частям.
Вопросы: 1. Замена переменного. Интегрирование путём подстановки.
2. Интегрирование по частям.
План:
№ 1. Вычислите интегралы путём подстановки (замены переменной) (9
заданий):
1)
1
dx
x 1
x 1 t
4)
3
arctg x
dx
1 x2
7) cos(3e x 1)e x dx
№ 2. Выполните интегрированием по частям (9 заданий):
1) ln 2 xdx
4) x 2 arcsin 2 xdx
7) sin x ln(cos x )dx
Домашнее задание №8.2:
Теория: таблица интегралов.
№ 1. Вычислите интегралы:
1)
sin x cos x
dx
3
sin x cos x
2)
x
dx
x 1
2
3)
sin
2
dx
4)
(9 x 1)
x
Практическое занятие 9.
Тема: Интегрирование рациональных дробей.
Вопросы: 1. Интегрирование рациональных дробей.
5
sin 5xdx
5) ln xdx
План: № 1. Вычислите интегралы (12 заданий):
(11x 16)
5)
dx
( x 1)( x 2) 2
x2 3
1) 2 dx
x 1
9)
x4 2 x2 4
1 x2
3
dx
Домашнее задание №9:
№ 1. Вычислите интегралы:
1)
x
( x 1)( x 2)2 dx
2)
2 x3 3x
3) 4 2 dx
x x 1
xdx
2 x2 2 x 5
Практическое занятие 10.
Тема: Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
Вопросы: 1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
План: № 1. Вычислите интегралы (10 заданий):
1) sin 4 dx
4)
sin 3 x
cos 2 x dx
7) sin 3x cos 2 xdx
Практическое занятие 11.
Тема: Интегрирование выражений, содержащих радикалы. Подстановки
Эйлера.
Вопросы:
1. Интегрирование выражений, содержащих радикалы.
План:
№ 1. Вычислите интегралы (10 заданий):
1)
( x 1)
dx
3x 1
4)
3
dx
4x 3 x
7)
2
dx
2 x 5x 2
2
Домашнее задание № 10 - 11:
Вариант № 0 контрольной работы № 2 по теме «Производные и интегралы»
1. (3 балла)
3. (2 балла) Вычислите пределы,
Вычислите производные функций:
пользуясь правилом Лопиталя:
а). f(x) = ln x 1 x 2 1
1
б). f(x) = arccos
x 1
1
в). f(x) = sin x ln
x
3
2. (2 балла) Исследуйте функцию на
непрерывность
(укажите
промежутки
непрерывности, найдите точки разрыва,
укажите их вид, сделайте чертёж). х0=0,
х0=1.
x2 , x 0
f ( x) 1, x 0
tgx 1, x 0
tgx
1
б) lim (( 2arctgx) ln x )
а) lim
x 0 x
x
4. Вычислите интегралы: (3 балла)
ln 3 x
a) 2 dx
x
б)
x
в)
x
2
2
2 x 3 dx
x x 4x 3
2
ln x
dx
x
г) cos 3x cos 5 xdx
Практикум по решению задач
Дифференцируемые функции
1
1. Найти производную функции y x cos x sin x cos 2 x .
2
1
1
Сначала преобразуем данную функцию: y sin 2 x cos 2 x
2
2
1
1
1
1
y sin 2 x x2cos2 x 2cos x( sin x) sin 2 x x cos2 x sin x cos x x cos2 x.
2
2
2
2
2 x2
xe
2. Найти производную функции y 2
.
x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 xe x x 2 2 xe x )( x 2 1) (2 x) x 2e x
2 x 3e x 2 x 5e x 2 xe x 2 x 3e x 2 x 3e x
y
( x 2 1)2
( x 2 1)2
2
2 xe x ( x 4 1 x 2 )
( x 2 1)2
x
x
2 sin x
1
1
1 sin x x cos x
1
sin x x cos x sin x sin x x cos x
y
2
2
2
x
x
x
sin
x
sin
x
sin
x
2 x 2
tg
cos
2sin cos
2
2
2
2
x cos x
sin 2 x
2 x4
4. Найти производную функции y arctg
1 x8
1
8 x3 (1 x8 ) (8 x 7 )2 x 4 (1 x8 ) 2 (8 x 3 8 x11 16 x11 ) 8 x 3 8 x11
y
(1 x8 ) 2
(1 x8 ) 2 (1 x8 ) 2
(1 x8 ) 2
4 x8
1 (1 x8 ) 2
3. Найти производную функции y ln tg
8 x3 (1 x8 ) 8 x3
(1 x8 ) 2
1 x8
2
5. Найти производную функции y x 2e x ln x
2 1
2
2
2
2
2
2 x2
y x e ln x x 2e x 2 xe x x 2e x 2 x ln x xe x 2 xe x (1 x 2 )ln x xe x
x
2
xe x (1 2ln x 2 x 2 ln x)
x 2 1 ln x
6. Найти предел lim
.
x 1
ex e
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела
0
получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и
0
знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f(x) = 2x +
1
;
х
7. Найти предел lim
g(x) = ex;
2arctgx
3
x
x
lim
x 1
f ( x)
g ( x)
1
x 2 1 3 ;
x
e
e
e
2x
.
e 1
3
3
2
x
;
; lim
f ( x)
g
(
x
)
e
1 x2
x 2 x
2 x 2
3
2
2
.
(0 1) 1 (3) 3
(1 x 2 )e x (3)
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка
вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя
может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен
результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь
полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы
Лопиталя.
x
2
xe
.
x x e x
8. Найти предел lim
x
1
x) ;
g ( x) 1 e x ;
2
x
1 2 1 2x x 2x 1 2x
f ( x) e e e e (4 x) ; g ( x) e x ;
2
2
4
4
x
1 2
1
e (4 x)
(4 x)
1
1
1 2x
4
4
g ( x) e ;
lim x 0;
lim
lim
f ( x) ;
x
x
x
x
x
2
e
4
2e 2
e2
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов
вычиления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя
может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных,
домножение и др.).
e x e x 2 x
9. Найти предел lim
.
x 0
x sin x
e x e x 2 1 1 2 0
g ( x) 1 cos x ; lim
f ( x) e x e x 2 ;
— опять
x0 1 cos x
1 1
0
получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
e x e x 1 1 0
x
x
g ( x) sin x ; lim
f ( x) e e ;
— применяем правило
x0 sin x
0
0
Лопиталя еще раз.
e x e x 2
x
x
g
(
x
)
cos
x
f ( x) e e ;
;
lim
2;
x0 cos x
1
0
0
Неопределенности вида 0 ; 1 ; можно раскрыть с помощью
логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении
f ( x) e 2 (1
пределов функций вида y f ( x) , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для
нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny =
g(x)lnf(x).
10. Найти предел lim x x .
g ( x)
x 0
x 0
Здесь y = xx, lny = xlnx.
ln x правило
1/ x
lim
lim x 0;
x0
x0
x0 1
x0 1/ x 2
x0
Лопиталя
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x
Следовательно limln y ln lim y 0; lim y lim x x 1
Тогда limln y lim x ln x lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
.
x 0
x 0
x2
11. Найти предел lim 2 x .
x e
x
; — получили неопределенность.
x e 2 x
1
1
Применяем правило еще раз. f ( x) 2;
g ( x) 4e2 x ;
lim 2 x 0 ;
x 2e
3
x
12. Исследовать функцию y 2
и построить ее график.
x 1
Находим область существования функции. Очевидно, что областью
определения функции является область (–;–1) (–1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными
асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (–; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = –1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
3 x 2 ( x 2 1) 2 x x 3 3 x 4 3 x 2 2 x 4 x 4 3 x 2
y
2
( x 2 1) 2
( x 2 1) 2
( x 1)2
f ( x) 2 x;
g ( x) 2e2 x ;
lim
Критические точки: x = 0; x = – 3 ; x = 3 ; x = –1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
(4 x3 6 x)( x 2 1) 2 ( x 4 3 x 2 )4 x( x 2 1)
y
( x 2 1) 4
(4 x3 6 x)( x 4 2 x 2 1) ( x 4 3 x 2 )(4 x 3 4 x)
( x 2 1) 4
4 x 7 8 x5 4 x 3 6 x 5 12 x 3 6 x 4 x 7 4 x 5 12 x 5 12 x 3
( x 2 1) 4
2 x5 4 x3 6 x 2 x( x 4 2 x 2 3) 2 x( x 2 3)( x 2 1) 2 x( x 2 3)
.
( x 2 1) 4
( x 2 1) 4
( x 2 1) 4
( x 2 1)3
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < – 3 ,
y < 0, кривая выпуклая;
– 3 < x < –1,
y < 0, кривая выпуклая;
–1 < x < 0,
y > 0, кривая вогнутая;
0 < x < 1,
y < 0, кривая выпуклая;
1 < x < 3,
y > 0, кривая вогнутая;
y > 0, кривая вогнутая;
3 < x < ,
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого
определяем знаки производной функции на промежутках.
– < x < – 3 , y > 0, функция возрастает
– 3 < x < -1,
y < 0, функция убывает
–1 < x < 0,
y < 0, функция убывает
0 < x < 1,
y < 0, функция убывает
1 < x < 3,
y < 0, функция убывает
y > 0, функция возрастает
3 < x < ,
Видно, что точка х = – 3 является точкой максимума, а точка х = 3
является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны
соответственно –3 3 /2 и 3 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем
x2
1
наклонные асимптоты. k lim 2
lim
1;
x x 1
x
1
1 2
x
1
x3
x3 x3 x
x
b lim 2
x lim
lim 2
lim x 0
2
x x 1
x x 1 x x 1 x 1 1
x2
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Исходя из определения производной, найти f 0 .
3
2
1 2
2
2
tg x x sin , x 0;
arcsin x cos x, x 0;
1.1. f x
1.2. f x
x
9x 3
0, x 0.
0, x 0.
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение
касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой x0 .
2.1. y 4 x x 2 4, x0 2.
2.2. y 2 x 2 3x 1, x0 2.
Задача 3. Найти дифференциал dy .
3.1. y x arcsin 1 x ln x x 2 1 , x 0. 3.2. y tg 2arccos 1 2 x 2 , x 0.
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
4.2. y 3 x3 7 x , x 1,012.
4.1. y 3 x , x 7,76.
Задача 5. Найти производную.
5.1. y
2 3x3 4 x 2 x 2
.
15 1 x
Задача 6. Найти производную.
2x
5.2. y
6.1. y x ln 2 e x 2 e 2 x e x 1 .
2
x x a x a.
Задача 8. Найти производную.
1 sin 2 3x
8.1. y sin 3
.
3 cos6 x
Задача 9. Найти производную.
tg x ctg x
.
9.1. y arctg
2
Задача 10. Найти производную.
1
2 5 th x
10.1. y
ln
.
4 5 2 5 th x
Задача 11. Найти производную.
11.1. y arctg x
1 2 ln arctg x
.
3x3
.
6.2. y e 2 x 2 sin 2 x cos 2 x 8.
Задача 7. Найти производную.
7.1. y x ln
1 1 x 2
7.2. y ln x a 2 x 2 .
1 cos2 3x
8.2. y cosln 2
.
3 sin 6 x
9.2. y arcsin
x 2
.
5x
11.2. y sin x
Задача 12. Найти производную.
1 2
x2
2
2
x 8 x 4 arcsin , x 0.
12.1. y
24
16
x
ln sin x
.
12.2. y
4x 1
1
4x 1
arctg
.
16 x 2 8 x 3
2
2
Задача 13. Найти производную.
13.1. y
x arcsin x
1 x2
1 4x2
ln 1 x . 13.2. y 4ln
.
2
2
x
1 1 4x
x
2
Задача 14. Найти производную.
14.1. y
1
ln tg x ctg .
sin
14.2. y x cos sin ln sin x .
Задача 15. Найти производную y x .
3t 2 1
,
x
3
3t
15.1.
3
y sin t t .
3
x 1 t 2 ,
15.2.
y tg 1 t .
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке,
соответствующей значению параметра t t0 .
x a sin 3 t ,
16.1.
3
y a cos t , t0 3.
x 3 cos t ,
y sin t , t0 3.
16.2.
Задача 17. Найти производную n -го порядка.
ax
17.1. y x e .
17.2. y sin 2 x cos x 1 .
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
18.1. y 2 x 7 ln x 1 , y ?
2
V
18.2. y 3 x
2
ln
2
x, y III ?
Задача 19. Найти производную второго порядка y xx от функции, заданной
параметрически.
x cos 2t ,
19.1.
2
y 2sec t.
x 1 t 2 ,
19.2.
y 1 t .
Задача 20. Показать, что функция y удовлетворяет уравнению (1).
2
20.1.
y x e x 2 ,
xy 1 x 2 y. (1)
sin x
,
20.2.
x
xy y cos x. (1)
y
Неопределенный интеграл
Таблица основных неопределённых интегралов.
1)
2)
u
u du 1 C .
du
u ln u C .
9)
du
sin 2 u
du
ctg u C .
tg u C .
cos2 u
du
u
sin u ln tg 2 C .
du
u
cosu ln tg( 2 4 ) C .
du
1
u
2 2 a arctg a C .
a u
du
u
2 2 arcsin a C .
a u
10)
3)
au
a du ln a C .
11)
4)
u
u
e du e C .
12)
5)
sin udu cosu C .
13)
6)
cosudu sin u C .
14)
7)
tg udu ln cosu C .
15)
8)
ctg udu ln sin u C .
16)
u
du
a2 u2
du
u2 a2
1 au
ln
C.
2a a u
ln u u 2 a 2 C .
1. x( x 2 1) 3 / 2 dx.
dt
; Получаем:
2x
1 3/ 2
1 2 5/ 2
t 5/ 2
( x 2 1) 5 / 2
3 / 2 dt
t 2 2 t dt 2 5 t C 5 C 5 C;
u x 2 ; dv sin xdx;
2
2. x 2 sin xdx
x cos x cos x 2 xdx
du 2 xdx; v cos x
u x; dv cos xdx;
2
2
x cos x 2 x sin x sin xdx x cos x 2 x sin x 2 cos x C.
du dx; v sin x
Замена t x 2 1; dt 2 xdx; dx
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по
частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к
табличному.
u e 2 x ; du 2e 2 x dx;
2x
2x
3. e cos xdx
e sin x sin x 2e dx
dv cos xdx; v sin x
u e 2 x ; du 2e 2 x dx;
2x
2x
2x
2x
e sin x 2 e cos x cos x 2e dx e sin x
dv sin xdx; v cos x;
2x
2e 2 x cos x 4 cos xe2 x dx
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по
частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний
полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем
его в левую часть равенства.
5 e 2 x cos xdx e 2 x (sin x 2 cos x)
2x
e cos xdx
e2x
(sin x 2 cos x) C.
5
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц
интегралов.
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных
классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения
неопределенных интегралов приведением их к табличным.
1
2
4. (2 x 1) 20 dx 2 x 1 t; dt 2dx; t 20 dt
5.
2 x2 2 x2
4 x
x
arcsin
C.
2
4
dx
2 x2 2 x2
2 x
2
2 x
2
dx
1 21 1
t 21
(2 x 1) 21
t C
C
C
21
2
42
42
dx
2 x
2
dx
2 x
2
ln x x 2 2
6.
cos x
sin
3
dx
x
sin
2 sin 1 / 2 x C
3/ 2
x cos xdx sin x t; dt cos xdx
2
sin x
t
3/ 2
dt 2t 1 / 2 C
C.
7.
u x 2 ; dv e 5 x dx;
1 5x
x 2e5x 2
1 5x 2
2 5x
5x
x
e
dx
e
x
e
2
xdx
xe5 x dx
e 5
5
5
5
;
du 2 xdx; v
5
u x; dv e 5 x dx;
1 5 x x 2 e 5 x 2 xe5 x
2
x 2 e 5 x 2 xe5 x
e dx
e 5 x dx
1 5x
5
5
5
5
5
25
25
du dx; v e ;
5
x 2 e 5 x 2 xe5 x 2e 5 x e 5 x 2 2 x 2
.
x
5
25
125
5
5 25
dx
dx
d ( x 1)
x 2 2 x 8 x 2 2 x 1 9 dx d ( x 1) 9 ( x 1) 2 x 1 t
8.
dt
arcsin
t
x 1
C arcsin
C.
3
3
32 t 2
1
u ln x; dv x 3 dx;
ln x
ln x
1 1
ln x 1 dx
ln x
2 2 dx 2 3 2
x 3 dx 1
2 x
2x
2x x
2x
2x
du dx; v 1 ;
9.
2
x
2x
1 1
ln x
1
x 2 C 2 2 C.
2 2
2x
4x
10.
u ln x; dv xdx;
2
x2 1
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2
x
2
x
ln
xdx
ln
x
dx
xdx
C
1
x
2 x
2
2
2
4
; 2
du dx; v
x
2
2
x
(2 ln x 1) C.
4
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
e sin 2 xdx t e ; dt e 2 cos x sin x sin 2 x e dx; dt t C
11.
2
e cos x C.
dx
dt
1
1
2tdt
dt
x t;
2
2 2
2arctgt C 2arctg x C.
12.
dx 2 x 2t
(t 1)t
t 1
( x 1) x
dx
dx
1
dx
1
x 3
arctg
13. 2
C.
2
2
16
x 6 x 25
( x 3) 16 16 x 3
4
1
4
u 6 x 5; du 6dx;
7x 2
84 x 24
84 x 24
3x 2 5 x 4 dx 36 x 2 60 x 48 dx (6 x 5) 2 23 dx x u 5 ;
6
1 14u 70 24
7
udu
23
du
7
23
u
du 2
2
ln( u 2 23)
arctg
C
14.
2
6
3 u 23 3 u 23 6
u 23
3 23
23
7
23
6x 5
ln 36 x 2 60 x 48
arctg
C.
6
3
23
Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то
дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее
можно интегрировать указанным выше способом.
15.
x
2
u x 3; du dx;
5x 3
5x 3
5u 15 3
udu
dx
dx
du 5 2
2
2
6 x 40
( x 3) 49
u 49
u 49
x u 3;
du
5
18 u 7
5
9
x4
ln u 2 49 ln
C ln x 2 6 x 40 ln
C.
14 u 7
2
7 x 10
u 49 2
u x 3; du dx;
3x 4
3x 4
3u 9 4
udu
dx
dx
du 3
2
2
2
x u 3;
7 x 6x
16 ( x 3)
16 u
16 u 2
18
16.
13
2
du
16 u 2
3 16 u 2 13 arcsin
u
x3
C 3 7 x 2 6 x 13 arcsin
C.
4
4
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
Тогда
интеграл
вида
(ax
2
dx
bx c) n
можно
знаменателе полного квадрата представить в виде
путем
(u
2
выделения
du
.
s) n
в
Сделаем
следующее преобразование:
du
1 s u2 u2
1
du
1
u 2 du
du
.
(u 2 s) n s (u 2 s) n
s (u 2 s) n 1 s (u 2 s) n
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
udu
dv1 (u 2 s ) n ; u1 u; du1 du;
Обозначим:
udu
1
v
;
2
n 1
1 (u 2 s ) n
2(n 1)(u s )
u 2 du
u
1
du
(u 2 s) n (2n 2)(u 2 s) n1 2n 2 (u 2 s) n1 ;
Для исходного интеграла получаем:
du
1
du
u
1
du
2
n
n 1
2
n 1
2
s (u s )
s(2n 2) (u s ) n 1
s)
s(2n 2)(u s)
du
u
2n 3
du
(u 2 s) n s(2n 2)(u 2 s) n1 s(2n 2) (u 2 s) n1 .
(u
2
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1
раз, то получится табличный интеграл
u
du
.
s
2
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем
случае.
u 2ax b; du 2adx;
Mx N
Mx N
n
(ax 2 bx c) n dx (4a) (2ax b) 2 (4ac b 2 ) n dx x u b ; s 4ac b 2 ;
2a
M (u b)
N
( 4a ) n
( 4a ) n M
udu
2aN Mb
du
2a
du
2
2
n
n
2
2a
2a 2a (u s )
2a
(u s )
(u s) n
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2
+ s приводится к табличному
dt
t
n
, а ко второму интегралу применяется
рассмотренная выше рекуррентная формула.
Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби
вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой
степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень
простую реализацию этого метода на ЭВМ.
(x
2
u x 2; du dx;
3x 5
3x 5
3u 6 5
dx
dx
du
2
2
2
2
4 x 7)
(( x 2) 3)
(u 3) 2
x u 2;
t u 2 3; 3 dt
udu
du
u
1
du
11
2 11
2
2
2
2
2
2
(u 3)
(u 3)
3 2(u 3) 3 2 u 3
dt 2udu; 2 t
3
11u
11
u
3
11( x 2)
11
x2
arctg
C
arctg
C.
2
2
2
2t 6(u 3) 6 3
2( x 4 x 7) 6( x 4 x 7) 6 3
3
3
17. 3
18.
9 x 3 30 x 2 28 x 88
( x 2 6 x 8)( x 2 4) dx
Т.к. ( x 2 6 x 8)( x 2 4) ( x 2)( x 4)( x 2 4) , то
9 x 3 30 x 2 28 x 88
A
B
Cx D
2
2
( x 2)( x 4)( x 4) x 2 x 4 x 4
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие
числители, получаем:
A( x 4)( x 2 4) B( x 2)( x 2 4) (Cx D)( x 2 6 x 8) 9 x 3 30 x 2 28x 88
( A B C ) x 3 (4 A 2 B 6C D) x 2 (4 A 4 B 8C 6 D) x (16 A 8B 8D)
9 x 3 30 x 2 28 x 88.
A B C 9
4 A 2 B 6C D 30
4 A 4 B 8C 6 D 28
16 A 8B 8D 88
C 9 A B
D 30 4 A 2 B 54 6 A 6 B
2 A 2 B 4C 3D 14
2 A B D 11
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
2 A 2 B 36 4 A 4 B 72 6 A 12 B 14
2 A B 24 2 A 4 B 11
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
50 10 B 5 B 35
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
B 3
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
4 A 5 B 35
A 5
B 3
C 1
D 2
Итого:
x2
x
2
dx 5 ln x 2 3 ln x 4 2
dx 2
dx
2
4
x 4
x 4
1
x
5 ln x 2 3 ln x 4 ln( x 2 4) arctg C.
2
2
5
4
3
2
6 x 8 x 25 x 20 x 76 x 7
dx
19.
3x 3 4 x 2 17 x 6
5
3
x 2 dx x 4 dx x
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее
целую часть:
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7
3x3 – 4x2 – 17x + 6
6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2
2x2 + 3
9x3 + 8x2 – 76x - 7
9x3 – 12x2 – 51x +18
20x2 – 25x – 25
2
20 x 2 25 x 25
4 x 2 5x 5
2
2
2
x
3
dx
2
x
dx
3
dx
5
dx x 3 3x
3
2
3
2
3
3x 4 x 17 x 6
3x 4 x 17 x 6
4 x 2 5x 5
5 3
dx
3x 4 x 2 17 x 6
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при
х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x3 – 4x2 – 17x + 6
x-3
3
2
3x – 9x
3x2 + 5x – 2
5x2 – 17x
5x2 – 15x
– 2x + 6
– 2x + 6
0
Таким образом 3x – 4x – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1).
3
2
4 x 2 5x 5
A
B
C
( x 3)( x 2)(3x 1) x 3 x 2 3x 1
A( x 2)(3x 1) B( x 3)(3x 1) C ( x 3)( x 2) 4 x 2 5x 5
Тогда:
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных
коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений
(которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой)
применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода
состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно
несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений
х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений
принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем
40 A 16
случае – 3, -2, 1/3. Получаем: 35B 21
C 1
A 2 / 5
B 3 / 5
C 1
Окончательно получаем:
6 x 5 8 x 4 25 x 3 20 x 2 76 x 7
2
dx
dx
dx
2
5
dx = x 3 3 x 3
3
2
3
x2
x3
3x 1
3x 4 x 17 x 6
2
5
x 3 3x 3 ln x 2 2 ln x 3 ln 3x 1 C.
3
3
4
2
3x 14 x 7 x 15
A
Bx C
Dx E
dx
dx 2
dx 2
dx
20.
2
2
2
x3
( x 3)( x 2)
( x 2)
x 2
Найдем неопределенные коэффициенты:
A( x 2 2) 2 ( Bx C )( x 3) ( Dx E )( x 3)( x 2 2) 3x 4 14 x 2 7 x 15
Ax 4 4 Ax 2 4 A Bx 2 3Bx Cx 3C Dx 4 2Dx 2 3Dx 3 6Dx Ex 3 2 Ex 3Ex 2 6 E
( D A) x 4 (3D E ) x 3 ( A B 2 D 3E 4 A) x 2 (3B C 6D 2 E ) x (2 A 3C 6 E 4 A)
D A 3
3D E 0
B 2 D 3E 4 A 14
3B C 6 D 2 E 7
3C 6 E 4 A 15
D 3 A
E 9 3 A
B 11A 35
3B C 7
3C 22 A 69
D 3 A
E 9 3 A
B 6 2 A 27 9 A 4 A 14
3B C 18 6 A 18 6 A 7
3C 54 18 A 4 A 15
D 3 A
E 9 3 A
11A 35 B
C 7 3B
21 9 B 70 2 B 69
Тогда значение заданного интеграла:
A 3
B 2
C 1
D 0
E 0
dx
2x 1
dx
x
dx
1
2
dx 3
2 2
dx 2
3 ln x 3 2
2
2
2
x3
x3
( x 2)
( x 2)
( x 2)
x 2
x
1
x
arctg
C.
2
4( x 2) 4 2
2
2dt
dx
dt
dt
1 t2
2
2 2
2
2
2
4 sin x 3 cos x 5 2t
1 t
8t 3 3t 5 5t
2t 8t 8
4
3
5
21.
1 t2
1 t2
dt
dt
1
1
2
C
C.
2
x
t2
t 4t 4
(t 2)
tg 2
2
3
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее
помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в
рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно
отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная
рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену
переменной этот метод является единственно результативным.
dx
2dt
9 8 cos x sin x
8(1 t )
2t
(1 t 2 ) 9
2
1 t
1 t2
22.
x
tg 1
1
t 1
1
arctg
C arctg 2
C.
2
4
2
4
2
2
dt
dt
2
t 2t 17
(t 1) 2 16
2
Интеграл вида R(sin x, cos x)dx , если
функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью
универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить
подстановку t = sinx.
R(sin x, cos x)dx
Функция
R(sin x, cos x)
cos xdx
cos x
R (sin x, cos x)
может содержать cosx только в четных степенях, а
cos x
следовательно, может
относительно sinx.
быть
преобразована
в
рациональную
функцию
R(sin x, cos x)dx r (sin x) cos xdx r (t )dt.
sin x t
cos 7 xdx
(1 t 2 ) 3
1 3t 2 3t 4 t 6
dt
dt
dt
cos
xdx
dt
dt 4 3 2
4
4
sin 4 x
t
t
t
t
cos 2 x 1 sin 2 x
23.
1 3
1
1
3
sin 3 x
3 dt t 2 dt 3 3t t 3
3
sin
x
C.
t
3
3
3t
3 sin 3 x sin x
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только
нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в
функцию может быть любой, как целой, так и дробной.
Интеграл вида R(sin x, cos x)dx ,
если функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда R(sin x, cos x)dx r (cos x) sin xdx r (t )dt.
24.
(t 2) 2 4t 5
cos x t
sin 3 x
1 t2
t 2 4t 4 4t 5
dx
dt
dt
dt
2 cos x
2t
t2
t2
dt sin xdx
2
4t
5
tdt
dt
t
t
t 2
dt tdt 2dt 4
5
2t 5 ln t 2 4
dt
t 2 t 2
t2
t2 2
t2
A
t
t 2 t 2 B
dt
t2
A Bt 2 t t 2
4 dt 2t 5 ln t 2 8 ln t 2 4t
2t 5 ln t 2 8
t2
2
B 1, A 2 2
t
2
1
t 2 t 2
2
t
cos 2 x
2t 3 ln t 2 C
2 cos x 3 ln(cos x 2) C.
2
2
Интеграл вида R(sin x, cos x)dx , если
функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную
подстановка t = tgx.
Тогда R(sin x, cos x)dx r (t )dt
используется
1
tgx t ;
2
dx
cos
x
sin 2 x 6 sin x cos x 16 cos 2 x tg 2 x 6tgx 16 dx 1 dx d (tgx) dt
cos 2 x
25.
dt
dt
1 tgx 3 5
1 tgx 2
ln
C ln
C.
2
10 tgx 8
t 6t 16
(t 3) 25 10 tgx 3 5
2
Интеграл произведения синусов и косинусов
различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
1 sin( m n) x sin( m n) x
mn
m n
1
1 cos( m n) x cos( m n) x
sin mx cos nxdx 2 sin( m n) x sin( m n) xdx 2 m n m n
1
cos mx cos nxdx 2 cos(m n) x cos(m n) xdx 2
1 sin( m n) sin( m n)
mn
m n
1
1
1
1
26. sin 7 x sin 2 xdx cos 5 xdx cos 9 xdx sin 5 x sin 9 x C.
2
2
10
18
1
sin mx sin nxdx 2 cos(m n) x cos(m n) xdx 2
27.
1
1
sin 10 x cos 7 x cos 4 xdx sin 10 x[cos 7 x cos 4 x]dx 2 sin 10 x cos11xdx 2 sin 10 x cos 3xdx
1
1
1
1
1
1
1
sin 21xdx sin xdx sin 13xdx sin 7 xdx cos 21x cos x cos 13x
4
4
4
4
84
4
52
1
cos 7 x C.
28
Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно
использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения
порядка функций.
28.
sin
2
dx
4dx
2
dctg 2 x
2ctg 2 x C
2
2
x cos x
sin 2 x dx
sin 2 x
2
1
1
1 1
2
2
sin xdx 2 2 cos 2 x dx 4 (1 cos 2 x) dx 4 (1 2 cos 2 x cos 2 x)dx
1
1
1
x 1
1 1
x sin 2 x
29. dx cos 2 xdx cos 2 2 xdx sin 2 x (1 cos 4 x)dx
4
2
4
4 4
4 2
4
4
1
x sin 2 x x sin 4 x 1 3x
sin 4 x
dx cos 4 xdx
sin 2 x
C.
8
4
4
8
32
4 2
8
4
Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.
30.
1
p cos u; dq e u du;
u ln x; du dx;
u
e u cos u
x e cos udu
cos(ln x)dx u
u
dp sin udu; q e ;
x e ; dx e u du;
p sin u; dq e u du;
e u sin udu
e u cos u e u sin u e u cos udu;
u
dp cos udu; q e ;
Итого: e u cos udu e u (cos u sin u ) e u cos udu
eu
(cos u sin u ) C
2
1
x
x cos(ln x) x dx 2 (cos(ln x) sin(ln x)) C
x
cos(ln x)dx 2 cos 4 ln x C;
u
e cos udu
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл,
выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от
иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит
преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть
найден как известно всегда.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов
иррациональных функций.
ax b
dx где n- натуральное число.
Интеграл вида R x, n
cx
d
ax b
t функция рационализируется.
cx d
tn b
ax b
tn b
n
dt ;
t ;
x
;
dx
n
cx d
a ct n
a ct
t n b t n b
ax b
n
dx R
Тогда R x,
a ct n , t a ct n dt r (t )dt.
cx d
dx
2dx
dx
2t 3 dt
t 2 dt
4
1 2 x t; dt
3 ; 2
2
31.
3
t 1
2t
t t
1 2x 4 1 2x
4 4 1 2x
t
t
1
2
2 t
dt t 2 2 1
dt 2 tdt 2
dt t 2t 2 ln t 1 C
t 1
t 1
t 1
С помощью подстановки
n
1 2 x 24 1 2 x 2 ln 4 1 2 x 1 C.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных
степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени,
равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в
выражение.
Проиллюстрируем это на примере.
32.
12 x 1 t ; x 1 t 12 ;
(t 4 t 3 )12t 11dt
t3 t2
dx
12
( x 1) 1 6 x 1
t 2 1 dt
t 12 (1 t 2 )
dx 12t 11dt ;
t3
t2
t
1
tdt
12 2
dt 2
dt 12 t 2
12 dt
dt 1 2
dt 12 tdt 12 2
t 1
t 1
t 1
t 1
t 1
3
x 1 4 x 1
dt
6t 2 12t 6 ln( t 2 1) 12arctgt C 66 x 1 1212 x 1 6 ln( 6 x 1 1)
2
1 t
12arctg12 x 1 C.
12
Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение: Биноминальный дифференциал — выражение
m
x (a + bxn)pdx, где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от
биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные
функции только в следующих трех случаях:
1)
Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью
подстановки t x , где - общий знаменатель m и n.
2)
Если
m 1
- целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
n
t s a bx n , где s – знаменатель числа р.
3) Если
a bx n
m 1
, где s –
p - целое число, то используется подстановка t s
n
xn
знаменатель числа р.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от
функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из
квадратного трехчлена.
На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.
Интегралы вида R x, ax 2 bx c dx .
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В
зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала,
предпочтительно применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата
может быть приведен к виду: u 2 m 2 .
Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:
2
2
1)
R(u, m u )du;
2)
R(u,
R(u,
m 2 u 2 )du;
3)
u 2 m 2 )du;
1 способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида R(u, m 2 u 2 )du подстановкой u m sin t или u m cos t
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
33.
x a sin t ;
a2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
dx
a
a
sin
t
a
cos
tdt
a
cos
t
dt
(1 cos 2t )dt
2
dx a cos tdt
a 2t a 2
a 2t a 2
a2
x x
sin 2t C
sin t cos t C
arcsin
a 2 x 2 C.
2
4
2
2
2
a 2
Теорема: Интеграл вида R(u, m 2 u 2 )du подстановкой u mtgt или u mctgt
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
34.
x
4
a
x atgt; dx
dt ;
2
dx
a cos tdt
cos 3 tdt
1 (1 sin 2 t )d sin t
cos t
cos 2 ta 4 tg 4 ta a 4 sin 4 t a 4
sin 4 t
a2 x2 a2 x2 a ;
cos t
(a 2 x 2 ) 3 / 2
a2 x2
C.
4 3
4
2
2
3
a
x
a
x
a x
m
m
Теорема: Интеграл вида R(u, u 2 m 2 )du подстановкой u
или u
sin t
cos t
1
1
a2
C
sin
t
1
3a 4 sin 3 t a 4 sin t
a2 x2
x
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
35.
2
2 sin t
dt ;
dx
2 sin t cos tdt
1
x cos t ; dx
cos 2 t
ctg 4 tdt
2
5
5
x( x 2 4) 5 / 2 2
cos t 2 2 tg t 32
x 4 2tgt;
1
1
1
1
1 1
1
ctg 2 t 2 1dt ctg 2 td (ctgt ) ctg 2 tdt ctg 3 t 2 1dt
32
32
32
96
32 sin t
sin t
1
1
t
2
1
1
ctg 3t ctgt
C ctgt
2
3/ 2
2
2
96
32
32
12
(
x
4
)
x 4
16 x 4
1
2
arccos C.
32
x
2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)
1)
Если а>0, то интеграл вида R( x, ax 2 bx c )dx
подстановкой ax 2 bx c t x a .
2)
Если a<0 и c>0, то интеграл вида
R( x,
рационализируется
ax 2 bx c )dx рационализируется
подстановкой ax 2 bx c tx c .
3)
Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные
множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида R( x, ax 2 bx c )dx
рационализируется подстановкой ax 2 bx c t ( x x1 ) .
Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического
использования, т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят
к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее
теоретический интерес.
3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
I .
P( x)dx
ax 2 bx c
;
II . P( x) ax 2 bx c dx;
III .
dx
( x ) n ax 2 bx c
;
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду
интеграла I типа.
Далее делается следующее преобразование:
P( x)dx
ax 2 bx c
Q( x) ax 2 bx c
dx
ax 2 bx c
;
в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени
многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина.
Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x),
степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части
полученного выражения, затем умножают на
ax 2 bx c и, сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют и коэффициенты
многочлена Q(x).
Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше
единицы. В противном случае можно успешно использовать методы
интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная
функция является производной подкоренного выражения.
36.
3x 3 7 x 2 1
x 2 2x 5
dx ( Ax 2 Bx C ) x 2 2 x 5
dx
x 2 2x 5
.
Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на
ax 2 bx c и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.
3x 3 7 x 2 1
(2 Ax B) x 2 2 x 5
Ax 2 Bx C
( x 1)
x 2 2x 5
x 2 2x 5
x 2 2x 5
(2 Ax B)( x 2 2 x 5) ( Ax 2 Bx C )( x 1) = 3x 3 7 x 2 1
2 Ax 3 4 Ax 2 10 Ax Bx 2 2 Bx 5B Ax 3 Bx 2 Cx Ax 2 Bx C = 3 x 3 7 x 2 1
3 Ax 3 (5 A 2B) x 2 (10 A 3B C ) x 5B C 3x 3 7 x 2 1
A 1
A 1
5 A 2 B 7
B 1
10 A 3B C 0
C 13
5B C 1
7
3x 3 7 x 2 1
dx
Итого: 2
=
dx ( x 2 x 13) x 2 2 x 5 7
x 2x 5
( x 1) 2 4
= ( x 2 x 13) x 2 2 x 5 7 ln( x 1 x 2 2 x 5) C.
37. (4 x 6 x) x 3dx
2
2
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18 x
(4 x 2 6 x)( x 2 3)
x 3
2
dx ( Ax 3 Bx 2 Cx D) x 2 3
(3 Ax 2 2 Bx C ) x 2 3
( Ax 3 Bx 2 Cx D) x
dx
x2 3
x2 3
x2 3
x2 3
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18x (3 Ax 2 2Bx C )( x 2 3) Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18 x 3 Ax 4 2 Bx 3 Cx 2 9 Ax 2 6 Bx 3C Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18x 4 Ax 4 3Bx 3 (2C 9 A) x 2 (6B D) x 3C
A 1; B 2; C 3 / 2; D 6; 9 / 2;
3
9
3
2
2
2
2
2
(4 x 6 x) x 3dx x 2 x 2 x 6 x 3 2 ln x x 3 C.
1
x v ;
v 3 dv
v 2 dv
dv
( Av B ) 1 v 2
1
x 2 1 dx dv
1 v2
1 v2
2
v
1
2
v
v2
v2
( Av B)v
A 1 v2
1 v2
1 v2
1 v2
v 2 A Av 2 Av 2 Bv
v 2 2 Av 2 Bv A
A 1 / 2; B 0; 1 / 2;
dx
38.
x
v 2 dv
3
1 v2
v 1 v2 1
1 x2 1
1
arcsin v
arcsin C
2
2
2
2 x
x
Второй способ решения того же самого примера.
sin t
1
tgt
4
x cos t ; dx cos t dt ;
cos 2 t dt sin t cos t dt cos 2 tdt
1
x3 x2 1 2
cos 2 t sin t
x 1 tgt;
tgt
cos 3 t
1
1
1
1 x 2 1
1 cos 2t dt t sin 2t sin 2t 2 sin t cos t 2
2
2
4
x
x
1
1
x 2 1
arccos
C.
2
x
x 2
dx
С учетом того, что функции arcsinх и arccosх связаны соотношением
arcsin
1
1
arccos , а постоянная интегрирования С – произвольное число,
x 2
x
ответы, полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно
применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода
интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством,
очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью
вычислений и преобразований.
39.
dx
(1 x
2 3/ 2
)
x sin t ;
cos tdt
dt
x
dx cos tdt;
tgt C
C.
3
2
2
cos
t
cos
t
1
x
2
cos t 1 x
Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные
функции.
К таким интегралам относится интеграл вида R( x, P( x) )dx , где Р(х)многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется
ультраэллиптическим.
Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные
функции, то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие
интегралы:
x
1)
e dx - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский
математик (1781-1840))
2
2
2)
sin x dx; cos x dx - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель –
французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)
2
3)
4)
5)
dx
ln x
- интегральный логарифм
ex
x dx - приводится к интегральному логарифму
sin x
x dx - интегральный синус
cos x
dx - интегральный косинус
x
/2
/2
x sin t ;
/2
1
2
2
2
1 x dx
1 sin t cos tdt cos tdt (1 cos 2t )dt
2 0
0; / 2 0
0
6)
1
40.
0
1 1
/2 1
t sin 2t sin .
2 2
4 4
4
0
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о
том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна
быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное
применение формулы приводит к абсурду.
0
0
dx x , с другой стороны, если применить тригонометрическую
41.
0
dx
dx
dt
tgx t
0
подстановку, dx 2
2
2
2
2
0
0 sin x cos x
0 cos x(1 tg x)
0 1 t
Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это
произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx
имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном
случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в
определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением
перечисленных выше условий.
b
b
42. cos xdx lim cos xdx lim sin x lim (sin b sin 0) lim sin b - не существует.
0
b
b
0
0
b
b
Несобственный интеграл расходится.
1
43.
1
dx
dx
1 1
1
lim
lim
1 1 - интеграл сходится.
x 2 b b x 2 b x b blim
b
44. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по
2
2
1
1
x3 x2 2 8 4 1 1 5
(ед2)
3
21 3 2 3 2 6
формуле: S x 2 dx xdx
45. Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1 способ. Выразим из уравнения переменную у. y r 2 x 2
Найдем производную y
Тогда
r
x
r x2
2
r
1
x2
r
x
S 1 2
dx
dx r arcsin
2
4
r
r x
r 2 x2
0
0
r
2
r
0
Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат,
то получим: r2cos2 + r2sin2 = r2, т.е. функция = f() = r,
2
S
0
df ()
0 тогда
d
2
0 r 2 d r d 2r
0
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы методом непосредственного интегрирования.
1 z 2
dx
x x 3e x x 2
dx .
1. 2 .
2.
3.
4. ( x 1)( x x 1)dx .
(
) dz .
z
x
x3
3
x2 4 x
5.
dx .
x
6.
dx
.
7.
3 2 x 2 3x
2x
dx .
8.
cos 2 x
cos2 x sin 2 x
dx .
3 3x
dx
x
1 2x 2
2
9.
.
dx . 10. 2 sin 2 dx . 11. ctg xdx . 12.
2
2
2
2
x (1 x )
cos 2 x sin x
Найти интегралы методом подведения под знак дифференциала.
dx
13. tg 3 xd (tg x) .
14.
.
15. 8 2 x dx .
16. 2 x x 2 1 dx .
5
(2 x 3)
17. x 1 x dx .
2
2
2 5
18. x x 2 dx .
21. sin 3 x cos xdx 22.
3
19.
x 4 dx
4 x
5
.
20.
(6 x 5)dx
2 3x 5 x 6
2
ln x
dx
. 24. sin( 2 x 3)dx .
dx . 23.
3
2
x
(arcsin x) 1 x
π 2
e x dx
x5 4
x
x
e
x
dx
25. (cos(2 x )) dx . 26. e sin e dx . 27.
. 28. x
.
4
e 1
dx
sin 2 x
xdx
xdx
dx
dx .30. 2
29.
. 31. 2
. 32.
. 33. 4
.
2
2
2x 9
x 1
x 1
1 cos x
4 9x
34.
e x dx
4
. 35.
1 x
dx . 36.
x(1 x 2 )
dx . 37.
1 x
1 x2
dx
x2 1
dx . 40.
39. 2
.
x(x 1)
x 1
Найти интегралы методом замены переменной.
e
2x
4
3 x
x
dx . 38.
dx .
3 x
x4
.
41.
4x 3
( x 2)
3
42.
dx .
dx
1 3
x 1
.
43.
x
3
x2 4 x
dx .
44.
lntg x
dx .
sin x cos x
1 x2
1 x2
1 ln x
45.
dx .
dx . 47.
dx . 46.
x ln x
x2
x4
Найти интегралы методом интегрирования по частям.
x arctg x
x
48. x sin 2 xdx . 49. x e dx . 50. x arctg xdx . 51.
dx . 52. x cos2 xdx .
1 x2
x 2 dx
2
2
53. ln( x 1)dx . 54.
. 55. x 2 ln(1 x)dx . 56. x(arctg x) dx .
2 2
(1 x )
57. e ax cosbx dx . 58. e 3x (sin 2 x cos 2 x)dx . 59. cosln xdx . 60. a 2 x 2 dx
dx
dx
dx
dx
61.
62.
.
63.
. 64.
.
2
2
2
5 2x x2
x
x
2
,
5
x
3
x
10
12 x 9 x 2
4 3x
8 x 11
3x 1
65.
66.
67.
dx .
dx .
dx .
2
2
2
5 x 6 x 18
5 2x x
x 2x 2
dx
( x 2)dx
dx
dx
68.
. 69.
.
70.
. 71.
.
2
2
2
x 2 2x 2
( x 1) x 2 x
x 1 x
x x x 1
72.
75.
2 x 2 41x 91
dx .
( x 1)( x 3)( x 4)
2x2 5
73.
x5 x 4 8
dx .
3
x 4x
74.
x 6 2 x 4 3x 3 9 x 2 4
dx .
76.
x 5 5x 2 4 x
32 xdx
.
2
(2 x 1)( 4 x 16 x 15)
2x 2 1
dx .
77.
x 3 5x 2 6 x
dx .
x 4 5x 2 6
x 4 3x 3 3x 2 5
dx .
78
x 3 3x 2 3x 1
x 3 6 x 2 11x 5
x 2 3x 2
x2
dx . 80. 3
dx .
79.
.
81.
dx
2
2
4
x 5x 8x 4
x( x 2 x 1)
( x 2)
82.
85.
89.
93.
x3 2x 2 4
x3 6x 2 9x 7
x2 2x 3
dx
dx .
.
83.
.
84.
dx
3
3
2
2
3
( x 1)( x 4 x 3x)
x ( x 2)
( x 2) ( x 5)
xdx
x3 1
. 86.
2 x 2 3x 3
3x 2 x 3
dx
dx . 87.
dx
.
88.
2 2
2
3 2
( x 1) ( x 1)
( x 1)( x 2 x 5)
( x 1) ( x 1)
x3 x 1
x5 2x3 4x 4
x3 6
dx
dx .
dx . 90.
dx . 91.
.
92.
2
4
2
4
3
2
4
2
1 x
( x 2)
x 2x 2x
x 6x 8
2 xdx
( x 1)(1 x 2 )
. 94.
2
2 sin x
dx
dx
dx .
. 95.
. 96.
2 cos x
5 3 cos x
5 4 sin x cos3x
97.
dx
dx
dx
. 98.
. 99.
.
2
2
2
2
8 4 sin x 7 cos x
4 3 cos x 5 sin x
3 sin x 5 cos x
100.
104.
cos4 x sin 4 x
cos2 x sin 2 x
cos(2 x 3)
dx . 101. tg 5 xdx . 102.
cos 4 x 4 ctg 2 x
tg x
dx
.
dx . 103.
4
3
5
sin x cos x
sin x cos x
dx 105. sin 3 x cos2 xdx . 106.
dx
cos x sin 3 x
. 107. cos6 xdx .
sin 3 x
108.
109. 4
110. cos xdx .111. sin x cos xdx .112.
dx
cos x
sin x cos4 x
sin 3 x
x
x
113. sin 3x cos5 xdx . 114. sin 10 x sin 15 xdx . 115. cos cos dx .
2
3
sec 2 x
2
dx .
116. sin x sin 2 x sin 3xdx . 117. cos x cos 3xdx . 118.
2
tg x 4 tgx 1
dx
xdx
1 x dx
119.
120.
121.
.
1 x x
x 3 x 24 x
( x 1)1 2 ( x 1)1 / 3
dx
122.
126.
130.
134.
dx
x2 1 x
3 1
x
dx 123.
dx
(a 2 x 2 ) 3
dx
x 2 (2 x 3 ) 5 3
1 x4
x5
2
7
dx
124.
1 x 2 dx
x4
125.
1 x2
x2
dx .
( x 1) ( x 2)
dx
dx
127.
.128. x 1 (1 x1 3 ) 3 dx 129.
.
3 2
2
2 3
(x a )
x x 1
131. x
3
4
53
(1 x ) dx . 132.
3 2
dx 135. x (1 2 x )
3
5
2
3
2 dx .
136.
2
1 x4
x5
dx . 133.
dx
x 2 x x2
138. x 2 x 1dx .139. 1 4 x x dx .140.
2
2
.137.
dx
dx
3
x3 1 4 x3
dx
(2 x 3) 4 x x 2
141.
3x 2 5 x
3 2x x
1 x 2x 2
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
2
1
1
2
e x ln x . 3. z 2 ln z C . 4. x 2 x x C .
1. C . 2. C
x
5
z
3x x
2
2
1
2(1,5) x
66 7 44 3
C . 8. C ctgx tgx .
arcsin x C . 7. 3x
x
x C . 6.
5.
ln 1,5
7
3
3
tg 4 x
1
C .
9. arctg x C . 10. x sin x C . 11. C ctg x x . 12. tgx C . 13.
4
x
(8 2 x) 3
2
14. C
. 15. C
. 16.
( x 2 1) 3 C .
3
3
8(2 x 3) 4
1
dx .
1
5
2
(1 x 2 ) 3 . 18. 5 ( x 3 2) 6 C . 19.
4 x5 C .
3
18
5
1
2
20. 3x 2 5 x 6 C . 21. sin 4 x C . 22.
(ln x) 3 C .
3
4
1
1
1
23. C
. 24. C cos(2 x 3) . 25. tg( 2 x ) C .
2
2
4
2(arcsin x) 2
17. C
5
1
27. e x C . 28. ln( e x 1) C .
5
1
1
2
arctg
xC.
29. C ln(1 cos2 x) . 30. ln( x 2 1) C . 31.
3
2
3 2
1
1
ex
1
3x
C.
32. arcsin C . 33. arctg x 2 C . 34. arctg
3
2
2
2
2
1
1
35. arcsin x 1 x 2 C . 36. arctg x 2 ln( x 4 1) C .
2
4
37. C x 6 ln 3 x C . 38. x 4 ln x 4 C . 39. x 2 arctg x C .
11
4
x 1
C . 41. C
40. ln
.
x
2( x 2) 2 x 2
26. C cose x .
2
1
3
42. ( x 1) 3 3( x 1) 3 3 ln 1 3 x 1 C .
2
1
6 6
43. ( x 5 212 x 5 2 ln 12 x 5 1 ) C . 44. ln 2 tg x C .
5
2
45. 2 1 ln x ln ln x 2 ln 1 ln x 1 C . 46. C
47.
50.
52.
54.
(1 x 2 ) 3
3x 3
.
1
1
1 x2
C
arcsin x . 48. sin 2 x x cos 2 x C . 49. C e x ( x 1) .
x
4
2
x2 1
x
arctg x C . 51. 1 x 2 arctg x ln x 1 x 2 C .
2
2
x2 1
1
x sin 2 x cos 2 x C . 53. x ln( x 2 1) 2 x 2 arctg x C .
4 4
8
x
1
( x 3 1) ln(1 x) x 3 x 2 x
C.
C
arctgx . 55.
2
3
9
6
3
2
2(1 x )
e ax
x2 1
1
2
2
(arctg x) x arctg x ln(1 x ) C . 57.
(b sin bx a cos bx) C
56.
2
2
a2 b2
x
e3x
(sin 2 x 5 cos 2 x) C . 59. (cos ln x sin ln x) C .
58.
13
2
x
a2
2
2
60.
a x
ln x a 2 x 2 C . 61. C ln 1 x 5 2 x x 2 .
2
2
1 x2
2
1 2x
1
3x 2
C . 63. ln
62. arscin
C . 64. arctg
C.
3
7 x5
3
3
2
x 1
29
5x 3 3
65. C 8 5 2 x x 2 3 arcsin
. 66.
arctg
ln( 5 x 2 6 x 18) C
45
9
10
6
67. 3 x 2 2 x 2 4 ln( x 1 x 2 2 x 2 ) C .
68.
1
1
x
C . 70. arcsin
ln( x 2 2 x 2) arctg( x 1) C . 69. ln
C
2
x
1
2
1 1 x
71. arcsin
2 x
C.
x 5
72. ln
( x 1) 4 ( x 4) 5
( x 3)
7
C.
x3 x 2
x 2 ( x 2) 5
73.
4 x ln
C . 74. ln 2 x 1 6 ln 2 x 3 5 ln 2 x 5 C .
3
3
2
( x 2)
x( x 2) ( x 1)( x 1) 3
x2
x 2
1
x 3
ln
ln
C . 76.
75.
ln
C.
2
x2
2 2 x 2 2 3 x 3
1
x2
1
2
1
7
17
C.
77. ln x ln x 2 ln x 3 C . 78.
2 x 1 ( x 1) 2
6
2
3
x2
6
4
ln x 1 C .
79. ln
C . 80.
x2
x 1 x 1
1
81. C
1
ln x 2
3( x 2)
2( x 2)
( x 1)( x 3)
1
x
1
1
1
1
(1 )
C.
ln
C . 83. ln
82.
x 1
x
4 x2 x
2 x 2( x 2)
84.
3
3
2( x 2) 2
2
ln x 5 C . 85.
1
ln
3
x 1
x2 x 1
1
2x 1
arctg
C.
3
3
( x 2 2 x 5)3 1
1
1
1
x 1
C.
arctg
C . 87. ln x 1 ln( x 2 1)
86. ln
x 1
2
2
2
4
2( x 1)
1
x2 1
7
arctg x
)C .
88. (ln
4
x 1
( x 1) 2
x2
2
2 x 2 ln( x 2 2 x 2) 2 arctg( x 1) C .
89.
2
x
x2 4
3
x 3 2
x 2
arctg
arctg
C.
2
2
2
2
2
x 2
90. ln
91.
1
4 2
ln
x2 2 2 1
2
x 2
arctg
C.
4
1 x2
ln( x 2 2)
1
x
arctg
C.
2
2
4
2
2
4( x 2)
x 1
1
1
1
x
93.
ln x 1 ln(1 x 2 ) C . 94. arctg(2 tg ) C .
4
2
2
2( x 2 1) 2
1
4
1
x
C . 96. ln( 2 cos x)
95.
arctg( tg ) C .
x
3
3 2
2 tg
2
x
tg 5
1
3tgx
1
C . 98.
97. ln 2
arctg
C . 99. arctg(3 tg x) C .
x
3
15
5
tg 3
2
1
1
1 1 tg x 1
100. ln
sin x cos x C . 101. tg 4 x tg 2 x ln cos x C .
4
2
4 1 tg x 2
1
102. 2 tgx C . 103. 44 tg x C . 104. C tg x(2 tg 2 x) 4 ctg 2 x C .
3
1
1
C.
105. cos3 x(3 cos2 x 5) C . 106. ln tg x
15
2 sin 2 x
cos x
1
x
5
1
5
15
ln tg .
107.
x sin 2 x(cos4 x cos2 x ) C . 108. C
2
16
12
4
18
2 sin 2 x 2
92.
109.
110.
112.
114.
116.
2 x
x2 x 2 1
(tg 2 x 1)(tg 4 x 10 tg 2 x 1)
C.
3 tg 3 x
3
1
x sin 4 x
sin x sin 3 x sin 5 x sin 7 x C . 111.
C.
5
7
8
32
2
cos8 x cos 2 x
2 cos x
cos5 x C . 113.
C.
5
16
4
sin 25 x sin 5 x
3
5x
x
C . 115. sin
3 sin C .
50
10
5
6
6
1
1
1
sin x sin 5 x sin 7 x
cos 6 x cos 4 x cos 2 x C . 117.
C.
24
16
8
2
20
28
118. ln tg x 2 tg 2 x 4 tg x 1 C .
119. 2 x 33 x 84 x 66 x 4812 x 3 ln(1 12 x )
33 6
171
212 x 1
12
ln( x x 2)
arctg
C
2
7
7
4
3
7
5
2
1
1
1
1
1
1
120. 6( ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 6 ( x 1) ( x 1) 6 ( x 1) 3 ) C .
9
8
7
6
5
4
1 x 1 x
1 x
2 arctg
C.
121. ln
1 x
1 x 1 x
122. 63 (1 x) 2 (
4 x 1
(1 x) 2 1 x
1 x 1
C.
) C . 123. 4
3 x2
16
5
7
4
(1 x 2 ) 3
124. C
3x 3
. 125. C
3
x
127. C
a
2
x a
2
1 x2
x
arcsin x . 126.
C.
2
2
2
x
a x a
2
. 128. 3(ln
x
1 3 x
23 x 3
2(1 3 x ) 2
)C .
1 3 2
1 3 2
3
23 x 2 1 1
3 2
2
arctg
C.
129. ln( x 1 1) ln( ( x 1) x 1 1)
2
2
4
3
1
1
1 4 3x 3
130.
C . 131. 3 (1 x 3 ) 8 3 (1 x 3 ) 5 C .
2
8
8
5
3 3
x(2 x )
3
3
1
1 x4 1 1 1 x4
132. ln
C . 133. 2 ( x 4 1) 2 C .
4
4 x4
x2
1
1 x4 1 1 1 x4
1 1 x2
C . 135.
134. ln
C.
2
4
2
2
4
4
x
x
1 2x
1
2 x x2 2
1
1
x 6 60 x 15 x 2
ln
ln
136. C
. 137. C
.
x
2x 3
2
2 2
15
1
138. ( x 1) x 2 2 x 1 ln x 1 x 2 2 x 1 C .
2
1
x2
)C.
139. (( x 2) 1 4 x x 2 5 arcsin
2
5
1 x 2 2x 2
140.
ln x 1 x 2 2 x 2 C .
x 1
1
x 1
141. C (3x 19) 3 2 x x 2 14 arcsin
.
2
2
2 семестр
Перечень практических занятий
Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ.
Практическое занятие 1.
Тема: Функции нескольких переменных. Частные производные и
дифференцируемость функции. Полный дифференциал.
Вопросы:
1. Функция нескольких переменных, область её определения.
2. График функции нескольких переменных, уровень функции нескольких
переменных, линии и поверхности уровня.
3. Дифференцируемые функции в Rn.
4. Дифференцирование сложной функции.
5. Геометрический смысл дифференциала.
План:
№ 1. Найдите и изобразите область определения функции двух переменных (10
заданий)
№ 2. Найдите частные производные первого порядка функции нескольких
переменных (14 заданий).
x
1) z( x; y ) x 3 5xy2 y 3 ;
10) z ( x; y) arctg ;
y
№ 2. Найдите полный дифференциал (6 заданий):
Домашнее задание № 1
Теория: классификация метрических пространств, открытое / замкнутое
множество, функция нескольких переменных (ФНП), предел ФНП (по Коши,
по Гейне), непрерывность ФНП (по Коши, по Гейне, на «языке пределов», на
«языке приращений»).
№1. Найдите и изобразите область определения функции двух переменных
ln(3 x)
1
2) z( x; y ) ln( x 2 y 2 1) 3) z( x; y) ln(3x y 3)
2
2 ,
3x 2 y 6
9 x y
№ 2. Найдите частные производные первого порядка функции нескольких
переменных.
1) z ( x; y )
1) u (ax by cz ) ; 2) u x y z ;
3) z ( x; y ) e
№ 3. Найдите первый полный дифференциал функций:
1) z ( x; y ) cos( xy ) ,
2) u( ;; t ) et e t
2
№ 4.
2
Найдите
2 n
2
частные
2
2
производные
первого
x
y
4) l ( ; ) e cos
порядка
функции
1
u( x; y; z) sin 2 3x 2 y z и их значения в точках: A (1;–1;1), В (1;1;4), С (– ; 0;–1)
2
Практическое занятие 2.
Тема: Дифференцирование сложных функций и функций, заданных неявно.
Частные производные высших порядков функций, заданных неявно.
Вопросы:
1. Дифференцирование сложных функций.
2. Дифференцирование функций, заданных неявно.
3. Частные производные высших порядков функций, заданных неявно.
План:
№ 1. Найдите производные сложных функций (6 заданий).
№ 2. Найдите производные функций, заданных неявно (6 заданий).
№3. Найдите частные производные высших порядков функций, заданных
неявно (4 задания).
Домашнее задание №2
Теория: формулы дифференцировния сложной функции, функции заданной
неявно, частная производная, геометрический смысл производной, полный и
частный дифференциалы, геометрический смысл дифференциала, алгоритмы
нахождения экстремума ФНП и наибольшего (наименьшего) зачения.
№1. Найдите частные производные сложной функции
1) z(u; v) x2 y y 2 x, x u cos v, y u sin v
№2. Введите промежуточные аргументы и найдите частные производные
z ( x; y )
x y xy
x2 y 2
№3. Найдите производную функции, заданной неявно: x y3 хy 2 2 0
№4. Найдите z x и z y в точке (1, –2, 2), если z 3 4 xz y 2 4 0 .
Практическое занятие 3.
Тема: Экстремум функции, наибольшее и наименьшее значение функции.
Приближённые вычисления.
Вопросы:
1. Локальный экстремум функции многих переменных.
2. Наибольшее и наименьшее значение функции многих переменных.
План:
№1. Найдите экстремум функции многих переменных. (3 задания).
№2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции многих переменных
в замкнутой области. (4 задания).
№3. Вычислите приближённо значение функции z ( x; y ) в окрестности точки
М0 (x0, y0) (3 задания).
Домашнее задание №3
Вариант № 0 контрольной работы №3 по теме «Функции нескольких
переменных»
x2 y 2
1
4
9
№ 1. Найдите и постройте область определения функции: z ( x; y) ln
(1 балл).
№ 2. Найдите частные производные второго порядка и покажите равенство
смешанных производных: z ( x; y ) arctg
x y
(2 балла).
1 xy
x
y
№ 3. Найдите производную сложной функции: z ( x; y ) arcsin , y( x) x 2 1 (2
балла)
№ 4. Найдите
d 2z d 2z
,
,
dxdy dx 2
если функция задана неявно e z xyz 0 (2 балла)
№5. (3 балла) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
z sin x sin y sin( x y )
2
2
в замкнутой области, ограниченной D : 0 x ; 0 y .
Глава IХ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА.
Глава X. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Практическое занятие 4.
Тема: Определённый интеграл и его свойства. Задача о площади
криволинейной трапеции. Геометрические приложения интеграла Римана.
Несобственные интегралы.
Вопросы:
1. Методы вычисления определённого интеграла.
2. Задача о площади криволинейной трапеции.
3. Геометрические приложения интеграла Римана.
4. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.
План:
№ 1. Вычислите определённый интеграл. При необходимости введите новую
переменную или интегрируйте по частям (15 заданий).
№ 2. Вычислите площадь фигуры с помощью определённого интеграла (2
задания).
№ 3. Найдите несобственные интегралы (3 задания).
Домашнее задание № 4
Теория: таблица интегралов, определение интеграла Римана, его свойства,
определения верхней и нижней сумм Дарбу, их свойства.
№1. Вычислите интегралы.
e
ln 2 x
1)
dx
x
1
8
2)
3
1
x
dx
1 x
3)
0
ex
e x ex
dx
№2. Вычислите площадь фигуры с помощью определённого интеграла.
1) y x 2 ; y 3 x
2) y x 2 ; y
x3
3
3)
2 xy 1; x 4 y 1 0; x 2
dx
№3. Найдите несобственные интегралы: 1) 2
x 2x 5
1
2)
1
3x 2 2
3
x2
dx
Практикум по решению задач
1. Найти и изобразить область определения функций:
а) z 1 x 2 y 2 1 ; б) z x 2 4 y / ln(1 x 2 y 2 ) .
а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств
x 1,
x 2 1,
1 x 2 0,
(которую последовательно решаем) 2
2
y 1;
y 1 0;
y 1.
Следовательно,
область
определения
множество
точек
D ( x, y) 1 x 1, y 1
( x, y) 1 x 1,1 y .Область
определения изображена на рис. 1.
б) функция определена, если x и y удовлетворяют
системе неравенств
x 2 4 y 0,
1
2
2
1 x y 0,
1
1
0
x 1 x 2 y 2 1.
1
Область
определения
получается
2
пересечением множеств: y x / 4 - множество точек
Рис. 1
«под» параболой y x 2 / 4 , включая саму параболу;
y
x 2 y 2 1 - внутренность круга радиуса 1 с центром в
точке O(0;0) , x 2 y 2 0 - вся плоскость Oxy, исключая
точку O(0;0) .
0
1
1
Итак, D {( x, y ) y x 2 / 4,
x
x 2 y 2 1, ( x 0) ( y 0)} (рис. 2).
1 Рис. 2
2 xy
2. Вычислить пределы:а) lim 2
, б) lim( x 2 y 2 )e ( x y )
x 0 x y 2
x
y 0
y
y
а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по
прямой y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из x 0 следует y 0
2 xy
2 x kx
2k
и lim 2
. Пределы получаются разными при
lim 2
2
2
2
2
x 0 x y
x 0 x k x
1
k
y 0
2 xy
(x y2 )
становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в
достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при
MM0(0,0) не существует.
б) lim( x 2 y 2 )e ( x y ) =находим предел вдоль луча y=kx (k>0, x [0; ) ) при
различных «k» и не существует числа A, к которому значения f ( x, y)
2
x
y
применим
x
x e
x
( x 2 )
2(1 k 2 )
Лопиталя два раза= (1 k 2 )lim
. lim (1 k ) x
x e
x
(1 k )
e(1k ) x
x= lim x 2 (1 k 2 )e x (1 k ) (1 k 2 )lim
x2
(1 k ) x
правило
2(1 k 2 )
1
lim
0 k 0, – предел существует и равен нулю.
2 x (1 k ) x
(1 k )
e
3. Найти точки разрыва функций: а) z 1/ ln(2 x 2 y 2 ); б) u 1/( x 2 y 2 z 2 ).
а) Область существования функции ln(2 x 2 y 2) есть множество точек
плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию 2 x 2 y 2 0
или x 2 y 2 2 - внутренность круга радиуса
2 с центром в точке O (0;0).
Функция 1/ ln(2 x 2 y 2 ) не определена в точках, в которых знаменатель
обращается в нуль, т.е. ln(2 x 2 y 2 ) 0 , отсюда 2 x 2 y 2 1 или x 2 y 2 1 .
Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности x 2 y 2 1 .
б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель
обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва функции
образуют поверхность x 2 y 2 z 2 0 – конус.
4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции
z ln( x 2 y 2 ) .
Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило
дифференцирования
сложной
функции,
получим:
z
1
2x
,
2
( x 2 y 2 )x 2
2
x ( x y )
x y2
z
1
2y
2
2
. Дифференцируя вторично, получим:
2
(
x
y
)
y
y ( x y 2 )
x2 y 2
2 z z 2 x
( x2 y 2 ) x 2x
x2 y 2
2 2
,
2
x 2 x x x x 2 y 2
( x 2 y 2 )2
( x y 2 )2
2 z
z 2 x
(2 y )
4 xy
2
2x 2
2
,
2
2 2
2 2
xy y x y x y
(
x
y
)
(
x
y
)
2 z
z
2y
2x
4 xy
2
2 y 2
2
,
2
2 2
2 2
yx x y x x y
(x y ) (x y )
2 z z
2y
( x 2 y 2 ) y (2 y )
x2 y 2
2 2
.
2
y 2 y y y x 2 y 2
( x 2 y 2 )2
( x y 2 )2
5. Найти полное приращение и дифференциал функции f ( x, y) xy 2 в точке
( x, y ) .
По формуле (5.1) f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y)
= ( x x)( y y)2 xy 2 y 2 x 2 xy y x(y)2 2 yxy x(y )2 .
Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная
относительно x и y : df ( x, y) y 2x 2 xyy .
6. Найти дифференциал функции f ( x, y, z ) x 2 y 3 / z 4 .
f 2 xy 3 f 3x 2 y 2 f
4 x2 y3
,
,
5 ,
Первый способ. По формуле (5.4):
x
z y
z4
z
z
3
2 2
2 3
2 xy
3x y
4x y
df ( x, y, z ) 4 dx 3 4 dy
dz xy 2 (2 yzdx 3xzdy 4 xydz ) / z 5 .
5
z
z
z
Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):
1
1
1
df ( x, y, z ) d ( x 2 y 3 4 ) 4 d ( x 2 y 3 ) x 2 y 3d ( 4 ) ( y3 2 xdx x 2 3 y 2dy) / z 4 +
z
z
z
2 3
5
2
x y (4dz / z ) xy (2 yzdx 3xzdy 4 xydz ) / z 5 .
7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f ( x, y) .
По формуле (5.4): df f xdx f ydy . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3,
считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные
производные не зависят от порядка дифференцирования):
d 2 f d (df ) d ( f xdx f ydy) ( f xdx f ydy)x dx ( f xdx f ydy )y dy
= f xx (dx)2 2 f xy dxdy f yy (dy)2 ;
d 3 f d (d 2 f ) ( f xx (dx)2 2 f xy dxdy f yy (dy)2 )x dx ( f xx (dx)2 2 f xydxdy
(dx)3 3 f xxy
(dx)2 dy 3 f xyy
dx(dy)2 f yyy
(dy)3.
f yy (dy)2 )y dy f xxx
du
8. Найти
, если u xyz , где x t 2 1, y ln t , z tg t .
dt
du u dx u dy u dz
yz 2t xz (1/ t )
По формуле (6.1) имеем
dt x dt y dt z dt
xy sec2 t 2t lntg t (t 2 1) tg t ) / t (t 2 1)ln t sec2 t .
9. Найти производную функции u (t ) t t .
Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как
делалось для функции одной переменной.
Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при
подстановке в функцию f ( x, y ) x y вместо x и y двух одинаковых функций
переменой t:
x (t ) t ,
y (t ) t . Тогда по формуле (6.1):
u(t ) f x( x, y ) (t )
+ f y( x, y) (t )
получаем
t t x y 1 x y 1= y x y1 x y ln x t t t 1 + t t ln t t t (1 ln t ) .
x
y
z
dz
и
, если z y x , где y = sin2x.
x dx
dz z z dy
z
Имеем
=
y x ln y . По формуле (6.2) получим
x
dx x y dx
y x ln x 2 xy x1 cos2 x .
z z
, , dz , если z f (u, v) , где u ln( x 2 y 2 ) , v xy 2 .
11. Найти
x y
z f (ln( x 2 y 2 ), xy 2 ) - сложная функция от независимых переменных x и y.
z z u z v
2x
fu 2
fv y 2 ;
Тогда по формулам (6.3) получим:
2
x u x v x
x y
z
z
z z u z v
2y
fu 2
f
2
xy
dz
du
dv fudu f vdv ,
;
v
2
y u y v y
x
y
u
v
2x
2y
du ux dx uy dy 2
dx
dy , dv vx dx vy dy y 2dx 2 xydy ,
2
2
2
x y
x y
10. Найти
2x
2y
dz fu 2
dx 2
dy f v( y 2 dx 2 xydy )
2
2
x y
x y
2x
2y
2
2
f
y
f
)
dx
dx
f
2
xyf
u
v
u
v
2
dy .
2
2
x y
x y
12. Найти y(0) , если y 1 xe y .
F ( x, y) y xe y 1 0 и по формуле (6.4) получаем y( x)
Fx( x, y )
Fy( x, y)
ey
=
. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся,
1 xe y
что точка
N ( x0 , y0 ) N (0;1) принадлежит графику функции, т.е.
F ( x0 , y0 ) F (0;1) ( x xe y 1)
x 0
y 1
0 . Поэтому y(0)
e1
e .
1 0 e1
z z
, , если x3 2 y3 z 3 3xyz 2 y 3 0 .
x y
Левую часть данного уравнения обозначим F ( x, y, z ) . По формуле (6.5)
x
Fx( x, y, z )
3x 2 3 yz x 2 yz
получим:
,
2
y
Fz( x, y, z )
3z 3xy xy z 2
Fy( x, y, z )
z
6 y 2 3xz 2
.
y
Fz( x, y, z )
3( z 2 xy )
13. Найти
14. Вычислить приближенно
(4,05) 2 (3,07) 2 .
Искомое число будем рассматривать как значение функции f ( x, y ) x 2 y 2
при x x0 x и y y0 y , если x0 4, y0 3, x 0,05, y 0,07 . Точка
M (4;3) выбрана из соображений близости ее к точке N (4,05; 3,07) и простоты
вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По
формуле (7.1) имеем f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y .
Находим f ( x0 , y0 ) x 2 y 2
f y( x0 , y0 )
y
x y
2
2
M (4,3)
5,
M (4,3)
f x( x0 , y0 )
2
. Следовательно,
5
x
x2 y 2
M (4,3)
4
,
5
(4,05) 2 (3,07) 2
5 (4 0,05 3 0,07) / 5 5 0,08 5,08 .
15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
x 2 y 2 z 2 8x 4 y 6 z 20 0 в точке М(2,4,6).
Обозначив через F ( x, y, z ) левую часть уравнения поверхности, найдем
Fx( x, y, z ) 2 x 8,
Fy( x, y
, z ) 2 y Fz(4x, y,, z ) 2 z 6, Fx(2, 4,6) 4,
Fy(2,4,6) 12, Fz(2, 4,6) 6. По формуле (7.2) имеем уравнение касательной
плоскости 4( x 2) 12( y 4) 6( z 6) 0 или 2 x 6 y 3z 38 0 . По
формулам (7.3) находим уравнения нормали в параметрической форме
x 2 4t , y 4 12t , z 6 6t , отсюда можно получить канонические
x2 y4 z 6
уравнения нормали
.
2
6
3
16. Исследовать на экстремум функцию z x3 y 3 3xy .
Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему
zx 3 x 2 3 y 0,
решая которую получаем критические точки M 1 (0;0),
2
z
3
y
3
x
0,
y
M 2 (1;1) . Определим характер критических точек по достаточным условиям
экстремума. Находим zxx ( x, y) 6 x, zxy ( x, y) 3, zyy ( x, y) 6 y . В точке
M 1 (0;0) :
zxx ( M 1 ) 0 ,
zxy ( M1 ) 3 ,
zyy ( M1 ) 0 ,
z xx z yy ( z xy ) 2
M1 (0;0)
9 0 Следовательно,
M 1 (0;0) - седловая точка. В
точке M 2 (1;1) : zxx ( M 2 ) 6, zxy ( M 2 ) 3 , zyy ( M 2 ) 6 , 6 6 (3)2 27 0 ,
поэтому M 2 (1;1) - точка минимума функции z; zmin z ( M 2 ) 1 .
17.
Найти
наибольшее
и
наименьшее
значения
функции
2
2
2
f ( x, y) x 4 xy 5 y 13x в области D, заданной неравенствами y x 4 .
Область D ограничена частью параболы x y 2 и отрезком прямой x = 4
(рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума
f x 2 x 4 y 13 0,
функции:
Решение системы: x =32,5, y = –13.
f
4
x
10
y
0.
y
Найденная критическая точка M 1 (32,5; 13) не принадлежит D.
2) Исследуем функцию на границе. а) На участке 1 x 4, y [2,2] .
Функция
сводится
к
функции
одной
переменной
f ( x, y)
f1 ( y) f (4, y) 5 y 2 16 y 36, y [2,2] .Находим критические точки функции
f1 ( y ) : f1( y ) 10 y 16 0, y1kp 1,6 . На 1 x = 4 и точки M 2 (4; 1,6) 1 . б) На
линии 2 x y 2 , y [2;2] . Функция f ( x, y) сводится к функции
f 2 y 4 4 y 3 8 y 2 , y [2;2] . Находим критические точки функции f 2 ( y ) :
( y2 kp 0) [2;2] ,
f 2( y) 4 y 3 12 y 2 16 y 0 ,
y( y 2 3 y 4) 0 ,
( y3kp 1) [ 2,2] , ( y4 kp 4) [2,2] . На 2 x y 2 и получаем точки
M 3 (0;0) 2 , M 4 (1;1) 2 .
3) Вершины ломаной в точках M 5 (4; 2) и M 6 (4;2) . 4) Вычисляем значения
f (M 3 ) 0 ,
f ( M 4 ) 3 ,
функции f в точках M 2 M 6 :f(M 2 ) 48,8,
f ( M 5 ) 48 , f ( M 6 ) 16 . Итак, f наиб. f (4;2) 16 , f наим. f (4; 1,6) 48,8 .
18. Функцию f ( x, y) x3 5x 2 xy y 2 10 x 5 y 4 разложить по формуле
Тейлора в окрестности точки(2,-1).
Имеем f (2, 1) 2 . Вычислим последовательно частные производные данной
функции: f x( x, y) 3x2 10 x y 10, f y( x, y) x 2 y 5 ,
( x, y) 6 .
f xx ( x, y) 6 x 10, f xy (( x, y) 1, f yy ( x, y) 2, f xxx
Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения
производных в точке (2,-1):
f x(2, 1) 3, f y(2, 1) 1, f xx (2, 1) 2, f xy (2, 1) 1, f yy (2, 1) 2,
(2, 1) 6 . По формуле (7.4) получаем искомое разложение
f xxx
f ( x, y) 2 3( x 2) ( y 1) ( x 2) 2 ( x 2)( y 1) ( y 1) 2 ( x 2)3 .
19. Функцию f ( x, y) arctg ( y / x) разложить по формуле Тейлора в
окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.
Имеем f (1;1) arctg1 / 4 . В соответствии с формулой (7.4) вычислим
производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).
f x y /( x2 y 2 ), f y x /( x2 y 2 ), f xx 2 xy /( x 2 y 2 )2 ,
f xy 2( y 2 x2 ) /( x2 y 2 )2 , f y 2 xy /( x 2 y 2 )2 ; f x(1,1) 1/ 2 ,
f y(1,1) 1/ 2 , f xx (1,1) 1/ 2, f xy (1,1) 0, f yy (1,1) 1/ 2 . По формуле (7.4)
имеем
arctg ( y / x) / 4 ( x 1) / 2 ( y 1) / 2 ( x 1) 2 / 4 ( y 1) 2 / 4 o( 2 ) ,
где ( x 1) 2 ( y 1) 2 .
Задачи для самостоятельного решения
Найти области определения следующих функций:
1. z 1 x 2 / a 2 y 2 / b 2 . 2. z ln( y 2 4 x 8) . 3. z 1/ x y 1/ x y .
4. z arcsin(( y 1) / x) . 5. z x y . 6. z ctg ( x y ) . 7. z ln x ln sin y .
8. u R 2 x 2 y 2 z 2 1/ x 2 y 2 z 2 r 2 , R r.
Вычислить пределы функций, полагая, что независимые
произвольно стремятся к своим предельным значениям.
9.
x2 y 2 1 1
lim
.
2
2
x 0
x
y
y 0
12. lim(1 x y )
2
x 0
y 0
2
1
x2 y 2
sin( x3 y 3 )
.
10. lim
2
2
x 0
x
y
y 0
2
переменные
2
e1/( x y )
.
11. lim 4
x 0 x y 4
y 0
x y
.
x x xy y 2
y
. 13. lim
2
Найти точки разрыва функций двух переменных:
14. z 1/(( x 1)2 ( y 1)2 ). 15. z 1/ sin x sin y. 16. z ( x y ) /( x3 y 3 ).
Найти точки разрыва функций трех переменных:
x2 y 2 z 2
17. u 1/ xyz.
18. u 1/ 2 2 2 1 .
b
c
a
19. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0:
1) f ( x, y) x 2 y 2 /( x 2 y 2 ), f (0,0) 0 . 2) f ( x, y) xy /( x 2 y 2 ), f (0,0) 0 .
x3 y 3
, f (0,0) 0 .
3) f ( x, y ) 2
x y2
Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций:
20. z x5 y5 5x3 y 3 . 21. z xy y / x . 22. z xe xy . 23. z (cos y 2 ) / x .
24. z y x . 25. Найти f x(3,2), f y(3,2), f xx (3,2), f xy (3,2), f yy (3,2) , если
f ( x, y) x3 y xy 2 2 x 3 y 1 .
Найти полное приращение и дифференциал функции z:
26. а) z x 2 xy y 2 , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 1,2.
б) z lg( x 2 y 2 ) , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 0,9.
Найти дифференциал функций:
27. z ln( y x 2 y 2 ) . 28. z tg( y 2 / x) . 29. z ln cos( x / y) .
30. Найти df(1,2,1), если f ( x, y, z ) z /( x 2 y 2 ) .
Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков.
31. z x3 3x 2 y y 3 .
32. z y / x x / y .
33. z x 2 2 xy .
34. z ( x y )e xy .
35. u xy yz zx . 36. u e xyz .
dz
37. Найти
, если z e2 x3 y , где x tgt , y t 2 1 .
dt
dz
38. Найти
, если z x y , где x = ln t, y = sin t.
dt
du
39. Найти
, если u yz / x, где x et , y ln t , z t 2 1 .
dt
z
dz
40. Найти
и
, если z ln(e x e y ) , где y x x3 / 3 .
x dx
2
x 1
z
dz
41. Найти
и
, если z arctg
, где y e( x1) .
x dx
y
2
42. Найти zx , z y , если z u ln v , где u y / x, v x 2 y 2 .
43. Найти dz, если z u 2v v 2u , где u x sin y, v y cos x .
44. Найти zx , zy , если z f (u, v) , где u 2 y /( z y), v x 2 3 y .
45. Найти dz, если z f (u, v) , где u sin( x / y), v x / y .
dy
46. Найти
, если: а) x 2e2 y y 2e2 x 0 , б) y sin x cos( x y) 0 .
dx
dy d 2 y
47. Найти
, 2 , если: а) x y e x y , б) x y arctg y 0 .
dx dx
48. Найти z x и zy в точке (1,-2,2), если z 3 4 xz y 2 4 0 .
49. Найти z x и zy , если: а) z ln( x z ) xy / z 0 , б) F ( x y z, x 2 y 2 z 2 ) 0 .
Рекомендация. Ввести u x y z, v x 2 y 2 z 2 .
Вычислить приближенно:
50. (2,01)3,03 . 51. (1,02)3 (1,97)3 . 52. sin 28 ;cos61 . 53. ln( 3 1,03 4 0,98 1) .
54. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания
R = 2,5м, высоту H = 4м и толщину стенок l=1 дм . Найти приближенно объем
материала, затраченного на изготовление стакана.
55. В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, r =10см, высота h =30 см.
Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, r – на 3
мм и h уменьшить на 1мм.
56. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к следующим
поверхностям в указанных точках: а) z sin x cos y в точке / 4, / 4,1/ 2 ;
б) z e x cos y в точке (1, ,1/ e) ; в) x( y z )( xy z ) 8 0 в точке (2,1,3);
г) 2 x / z 2 y / z 8 в точке (2,2,1); д) z 2 4 z x 2 0 в точках пересечения с осью Oz.
57. Найти углы, которые образуют нормаль к поверхности z arctg ( x / y) в
точке (1,1, /4) c осями координат. Найти экстремумы функций двух
переменных:
58. z x 2 xy y 2 3x 6 y .
59. z xy 2 (1 x y ) ( x 0, y 0) .
60. z xy 50/ x 20/ y ( x 0, y 0) . 61. z x3 3xy 2 15x 12 y .
2
2
62. z (2 x 2 y 2 )e ( x y ) .
63. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x 2 y 2 xy x y в
области x 0, y 0, x y 3 .
64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy в области
x2 y 2 1.
2
2
65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z e ( x y ) (2 x 2 3 y 2 ) в
круге x 2 y 2 4 .
66. Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего
объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и
высотой H.
67. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной
стенок и внутренней емкостью V так, чтобы на его изготовление было
затрачено наименьшее количество материала.
68. Функцию f ( x, y) x3 2 y 3 3xy разложить по формуле Тейлора в
окрестности точки (2,1).
69. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-его порядка включительно
функцию f ( x, y ) e y cos x .
70. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 3-го
порядка включительно функцию f ( x, y) y / x .
71. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го
порядка включительно неявную функцию z ( x, y) , определяемую уравнением
z 3 3 yz 4 x 0 , если z (1;1) 1 .
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
1. x / a y / b2 1.
2. y 2 4 x 8 .
3. x y 0, x y 0 - внутренняя часть правого вертикального угла,
образованного биссектрисами координатных углов.
4. 1 x y 1 x ( x 0), 1 x y 1 x ( x 0) (при x = 0 функция не
определена).
5. x 0, y 0, x 2 y .
6. Вся плоскость за исключением прямых x y n (n 0, 1, 2,...) .
7. x 0; 2 n y 2(n 1) (n – целое число).
2
2
2
8. Часть пространства, заключенная между сферами x 2 y 2 z 2 r 2 и
x 2 y 2 z 2 R 2 , включая поверхность внешней сферы и исключая –
внутренней сферы.
9.0. 10. 0. 11. 0. 12. 1. 13. 0. 14. (1, –1).
15. Линии разрыва – прямые x k и y m , где k , m Z .
16. О(0,0)- точка бесконечного разрыва; точки прямой x y 0 ( x 0) —
устранимые точки разрыва.
17. Поверхности разрыва – координатные плоскости x 0, y 0, z 0 .
18. Поверхность разрыва – эллипсоид x 2 / a 2 y 2 / b2 z 2 / c 2 1 .
19. 1) непрерывна; 2) разрывна; непрерывна по x и y в отдельности; 3)
непрерывна. Перейти к полярным координатам.
20. zx 5 x 4 15 x 2 y 3 , zy 5 y 4 15x3 y 2 , zxx 20 x3 30 xy 3 , zxy 45x2 y 2 ,
zyy 20 y3 30 x3 y .
21. zx y y / x 2 , zy x 1/ x , zx 2 y / x3 , zxy 1 1/ x 2 , zyy 0 .
22. zx (1 xy )e xy , zy x2e xy , zxx y( xy 2)e xy , zxy x( xy 2)e xy , zyy x3e xy .
23. zx (cos y 2 ) / x 2 , zy 2( y sin y 2 ) / x , zxx 2(cos y 2 ) / x3 , zxy 2( y sin y 2 ) / x 2 ,
zyy (2sin y 2 4 y2 cos y2)/ x .
24. zx y x ln y , zy xy x1 , zxx y x ln 2 y , zxy y x1 ( x ln y 1) , zyy x( x 1) y x2 .
25. f x(3,2) 56, f y(3,2) 42, f xx (3,2) 36, f xy (3,2) 31, f yy (3,2) 6 .
26. а) =0,33, dz = 0,3; б) z = 0,0187, dz = 0,0174.
27. dz ( x 2 y 2 ) 1/ 2 ( y x 2 y 2 ) 1 xdx ( x 2 y 2 ) 1/ 2 dy .
28. dz x 2 cos2 ( y 2 / x) y(2 xdy ydx).
29. dz y 2tg ( x / y)( xdy ydx) .
30. df (1,2,1) (5dz 2(dx 2dy)) / 25 .
31. dz 3x( x 2 y)dx 3( x 2 y 2 )dy, d 2 z 6 x y dx 2xdxdy y (dy ) 2 .
2
32. dz (1/ x 2 1/ y 2 )( xdy ydx), d 2 z 2( y(dx)2 / x3 (1/ y 2 1/ x2 )dxdy x(dy)2 / y2 )
33. dz ( x 2 2 xy)1/ 2 (( x y)dx xdy) ,
d 2 z ( x 2 2 xy)3/ 2 ( y 2 (dx)2 2 xydxdy x 2 (dy)2 )
34. dz e xy (( y 2 xy 1)dx ( x 2 xy 1)dy) ,
d 2 z e xy ( y( y 2 xy 2)(dx)2 2( x y)( xy 2) dxdy x( x2 xy 2)( dy) 2 ) .
35. du ( y z )dx ( x z )dy ( x y )dz , d 2u 2(dxdy dydz dxdz ) .
36. du e xyz ( yzdx zxdy xydz ) ,
d 2u e xyz (( yzdx xzdy xydz )2 2( zdxdy xdydz ydzdx)) .
37. z(t ) e2 x3 y (2sec2 t 3(2t 1)) .
38. dz / dt x y ( y / tx (ln x)cos t ) .
39. dz / dt ( x( z 2 yt 2 ) yztet ) / tx 2 .
40. zx e x /(e x e y ), dz / dx (e x e y ( x 2 1)) /(e x e y ) .
41. zx y /( y 2 ( x 1)2 ), dz / dx y(1 2( x 1)2 ) /( y 2 ( x 1) 2 ) .
42. zx 2u(ux / v ( y ln v) / x 2 ), zy 2u((ln v) / x uy / v) .
43. dz ((2uv v 2 )sin y (u 2 2uv) y sin x)dx
((2uv v 2 ) x cos y (u 2 2uv)cos x)dy .
44. zx 2 xfv(u, v) 2 yfu(u, v) /( x y) 2 , zy 2 xfu(u, v) /( x y) 2 3 f v(u, v) .
45. dz y 2 (cos( x / y) fu(u, v) y / x f v(u, v) / 2)( ydx xdy) .
46. a) y ( y 2e2 x xe2 y ) /( x 2e2 y ye2 x ) ,
б) y ( y cos x sin( x y )) /(sin( x y ) sin x) .
47. a) y ( x y 1) /( x y 1), y 4( x y ) /( x y 1)2 .
б) y (1 y 2 ) / y 2 , y 2(1 y 2 ) / y 5 .
48. zx 1, zy 1/ 2.
49. а) zx ( yz ( z x) z 3 ) /( z 3 2 xy( x z )), zy xz ( x z ) /( z 3 2 xy( x z )) ;
б) zx ( Fu(u, v) 2 xFv(u, v)) /( Fu(u, v) 2 zFv(u, v)) ,
zy ( Fu(u, v) 2 yFv(u, v)) /( Fu(u, v) 2 zFv(u, v)) .
50. 8,29. 51. 2,95. 52. 0,227. 53. 0,005. 54. 8,2 м3.
55. Увеличится на 617,5см3.
56. а) x y 2 z 1 0; x / 4 t , y / 4 t , z 1/ 2 2t .
б) x ez 2 0; x 1 t , y , z et 1/ e .
в) 2 x 7 y 5z 4 0; x 2 2t , y 1 7t , z 3 5t .
г) x y 4 z 0; x 2 t , y 2 t , z 1 4t .
д) В точке (0,0,0): z = 0; x = 0, y = 0, z = t. В (0,0, –4): z = –4; x = 0, y = 0, z = –4+t.
57. cos 1/ 6 , cos 1/ 6, cos 2 / 6 . 58. zmin 9 при x 0, y 3 .
59. zmax 1/ 64 при x 1/ 4, y 1/ 2 . 60. zmin 30 при x 5, y 2 .
61. zmin 28 при x 2, y 1 ; zmax 28 при x 2, y 1 .
В критических точках(1;2), (–1; –2) экстремумов нет.
62. zmin 0 при x y 0; zmax 2e1 при x 1, y 0 .
В критических точках (0; 1) экстремумов нет.
63. zнаиб. 6 в точках (3; 0) и (0; 3); zнаим. 1 в точке (1; 1).
64. zнаиб. 1/ 2 в точках (1/ 2;1/ 2) и (1/ 2; 1/ 2) ;
zнаим. 1/ 2 в точках (1/ 2; 1/ 2) и (1/ 2;1/ 2) .
65. zнаим. 0 в точке (0; 0); zнаиб. 3/ e в точках (0; 1) и (0; -1).
66. 2 2 R / 3, 2 2 R / 3, H / 3 . 67. x y z 3 V 2 .
68.
f ( x, y) 12 15( x 2) 6( x 2)2 3( x 2)( y 1) 6( y 1)2 ( x 2)3 2( y 1)3
69. f ( x, y) 1 y ( y 2 x 2 ) / 2! ( y 3 3x 2 y) / 3! o( 2 ) , где x 2 y 2 .
70. f ( x, y) 1 ( x 1) ( y 1) ( x 1)2 ( x 1)( y 1) ( x 1)3
( x 1)2 ( y 1) o( 3 ) , где ( x 1) 2 ( y 1) 2 .
71. z 1 2( x 1) / 3 ( y 1) / 2 2( x 1)2 / 9 ( y 1) 2 /8 o( 2 ) , где
( x 1) 2 ( y 1) 2 .
Глава XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
Практическое занятие 5.
Тема: Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле и его
вычисление.
Вопросы:
1. Двойной интеграл Римана.
2. Суммы Дарбу и их свойства.
3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике.
4. Основные свойства двойного интеграла.
5. Переход от двойного интеграла к повторному.
План:
№ 1. Постройте указанные области D и запишите как правильные в
направлении Оy при помощи повторного интеграла (3 задания).
№ 2. Запишите двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя
способами. Сделайте чертёж (4 задания).
№ 3. Перемените порядок интегрирования в повторном интеграле (6 заданий).
№ 4. Вычислите повторные и двойные интегралы. Сделайте чертёж (6 заданий).
Домашнее задание № 5
Теория: двойной интеграл, свойства двойного интеграла.
№1. Запишите двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя
способами. Сделайте чертёж.
1) D ограничена прямыми: x a; x a; y b, y b
2) D – треугольник с вершинами (– 1; –1); (1; 3); (2; –4)
3) D: x2 y 2 R2 ; x 0; y 0
5) D: y x2 , x y 2
6) D ограничена
x2 y 2
4) D: 2 2 1
линиями: y x3 , x y 10; x y 4; y 0
a
b
№2. Вычислите повторные и двойные интегралы. Сделайте чертёж.
4
2
dy
1) dx
( x y)2
3
1
2
2)
d
0
a
a sin
d
3)
е
x
y
dxdy , D ограничена кривыми: x 0; y 1; x y 2
D
4)
D
dxdy
xx
2
, D ограничена кривыми: x 0; y 2 1 x
Практические занятия 6-7.
Тема: Замена переменных в двойном интеграле.
Вопросы:
1. Замена переменных в двойном интеграле.
План:
№ 1. Сделайте чертёж и замену переменных в двойном интеграле. Расставьте
пределы интегрирования (6 заданий).
№ 2. Вычислите двойные интегралы, выполнив замену переменных. Сделайте
чертёж (10 заданий).
Домашние задания № 6 – 7
Теория: двойной интеграл, его геометрический смысл, свойства двойного и
повторного интеграла.
№1. Сделайте замену переменных в интеграле. Расставьте пределы
интегрирования.
2
x
1
1
1) f ( x; y)dxdy , D: x2 y 2 ax , x2 y 2 by
2
2
2) dx f x y dy 3) dx f x; y dy .
D
0
0
0
0
(П.С.К.)
(П.С.К.)
Замена:
u x y, v x y
№2. Вычислите повторные и двойные интегралы, выполнив
переменных. Сделайте чертёж.
2
2a
2 ax x
2) ydxdy , D: x a y 2 a 2 , y 0
1) dx dy
D
2
0
0
Практическое занятие 8.
Тема: Геометрические и механические приложения двойного интеграла.
Вопросы:
1. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
План:
№ 1. Оцените двойной интеграл в области D (2 задания).
замену
№ 2. Найдите среднее значение подынтегральной функции f ( x; y ) в области D
(2 задания).
№ 3. Найдите площадь области, ограниченной кривыми. Сделайте чертёж (3
задания).
№ 4. Найдите объём тела, ограниченного поверхностями. Сделайте чертёж (3
задания).
Домашнее задание № 8
№1. Оцените двойной интеграл (1 x y)dxdy , где D – прямоугольник:
D
0 x 1, 0 y 2 .
№2. Найдите среднее значение подынтегральной функции f ( x; y ) в области D.
2
2
x xy 2 y dxdy , D ограничена прямыми: x 0; y 0; x y 1
D
№3. Найдите площадь области, ограниченной кривой x 2 y 2 2a 2 x 2 y 2 ; .
Сделайте чертёж.
№4. Найдите объём тела усечённой призмы, ограниченной координатными
плоскостями и плоскостями: x 2; y 3; x y z 4 . Сделайте чертёж.
2
Практическое занятие 9.
Тема: Расстановка пределов интегрирования в тройном интеграле и его
вычисление.
Вопросы:
1. Тройной интеграл Римана.
2. Основные свойства тройного интеграла.
План:
№ 1. Запишите тройной интеграл в виде повторных интегралов двумя
способами. Сделайте чертёж (3 задания).
№ 2. Вычислите тройные интегралы. Сделайте чертёж (8 заданий).
Домашнее задание № 9
Теория: тройной интеграл, его геометрический смысл, свойства тройного и
повторного интеграла.
№1. Вычислите тройные интегралы. Сделайте чертёж.
e xyz e xyz
1) (27 54 y 3 )dxdydz ,
x2 z
dxdydz ,
3)
V
V: y 0, x 1, y x, z 0, z xy
2)
2 y e
2 xy
dxdydz ,
V
V: x 0, z 0, y 1, z 1, y x
V
2
V: y 0, x 0, z 0, x 2, z 1, y 1
4)
(3x 4 y)dxdydz ,
V
V: y 0, x 1, y x, z 0, z 5( x 2 y 2 )
Практическое занятие 10.
Тема: Замена переменных в тройном интеграле.
Вопросы:
1. Замена переменных в тройном интеграле.
План:
№ 1. Вычислите повторные и тройные интегралы, выполнив замену
переменных. Сделайте чертёж (12 заданий).
Домашнее задание № 10
№1. Вычислите повторные и тройные интегралы. Сделайте чертёж.
1
1) dx
0
2)
1 x 2 y 2
1 x 2
dy
0
3
x y z dz
2
2
2
3)
0
ydxdydz , V:
x 2 y 2 a 2 , z h, z 0
4)
V
4 x2 y 2
3 x 2
dx
dy
0
a
2
a2 y2
dy
0
x y
3
2
0
y
dz
2
x2 y 2
a
dx
x 2 y 2 dz
0
Практическое занятие 11-12.
Тема: Геометрические и механические приложения тройного интеграла.
Вопросы:
1. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
План:
№ 1. Найдите объём тела, ограниченного поверхностями. Сделайте чертёж (4
задания).
№ 2. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями. Сделайте чертёж (3
задания).
№3. Найдите координаты центра масс неоднородного тела (4 задания).
№4. Найдите момент инерции неоднородного тела V.
Домашнее задание № 11-12
Вариант №0 контрольной работы № 4 «Кратные интегралы»
Вычислите интегралы: №1, №2 – по 1 баллу, №3 – 6 – по 2 балла.
1. (6 x 2 y 2
D
2. y 2 cos xydxdy
25 4 4
x y )dxdy
3
D
D : x 0; y ; y 2 x.
D : x 1; y x ; y x 2 .
3.
D
dxdy
( x y 2 )2
2
D : x 2 y 2 4 x;
x 2 y 2 8 x;
y x; y 2 x.
4. y 2 z cos
V
xyz
dxdydz
9
V : x 0; x 9; y 1;
y 0; z 0; z 2
6. ydxdydz
5. 3 y 2 dxdydz
V
V
V : y 2 x; y 0; x 2;
V : 4 x 2 y 2 z 2 16;
z 0; z xy
y 3 x; y 0; z 0.
Практикум по решению задач
1. Область S задана уравнениями границы: y x / 2, y x, x 2 .
Изобразить указанную область и записать как
y
L
правильную.
B
Область S – треугольник, ограниченный прямыми
OA : y x / 2, OB : y x,
AB : x 2 (рис. 3). Точки
пересечения прямых есть O(0;0), A(2; 1), B(2; 2).
A
0
Рис. 3
2
x
y
0
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая
через внутреннюю точку области, пересекает прямую OA : y x / 2 и прямую
Поэтому
область
задается
системой
неравенств:
OB : y x .
S : 0 x 2; x / 2 y x.
B
б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но
L для задания ее системой неравенств необходимо область S
2
разбить на две части S1 и S2 (рис. 4). Выразим в уравнениях
S2
границы x через независимую переменную y : OB: x=y, OA:
A
S1
L 1 x=2y. Для определения границ изменения переменной y
проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L1 пересекает
x
прямую OB: x=y и прямую OA: x=2y; прямая L2 пересекает
прямую OB: x=y и прямую AB: x=2. Итак, S ( S1 ) ( S 2 ), и
Рис. 4
S1 : 0 y 1; y x 2 y, S 2 : 1 y 2; y x 2.
2. Точки из области D удовлетворяют неравенству x 2 y 2 ax
(a>0) , т.е.
D :{x 2 y 2 ax} . Изобразить данную область и записать как правильную.
Преобразуя неравенство x 2 y 2 ax , получим ( x a / 2) 2 y 2 a 2 / 4 .
Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из
уравнения
x 2 y 2 ax
границы
y ax x 2
следует
или
x (a / 2) (a 2 / 4) y 2 . Область D может быть записана как правильная в
направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D
параллельно
Oy,
пересекает
OKL : y ax x 2 и
полуокружность
полуокружность OML: y ax x 2 (рис. 5),
D : { 0 x a; ax x 2 y ax x 2 } .
Рис. 5
y
Рис. 6
y
M
D
0
a
-2
M
a
_
2
L
a x
a_
2
0
-
K
L
D
_a
2
x
K
Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая,
проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает
полуокружность
KLM : x (a / 2) +
KOM : x (a / 2) (a 2 / 4) y 2
(a 2 / 4) y 2
(рис.
6)),
(a / 2) (a 2 / 4) y 2 x (a / 2) (a 2 / 4) y 2 }
и
и
полуокружность
( D) :{a / 2 y a / 2;
2
x2
1
x
3. Вычислить повторный интеграл dx ( x 2 y )dy .
2
x2
1
x
dx ( x 2 y )dy интегрируя внутренний интеграл по «y», полагаем «x»
x2
2 2
x2
x
x2
постоянным= dx x dy 2 ydy x y x 2 y / 2 x
1 x
x
1
2
2
2
= x( x x) ( x x ) dx ( x 3 x 4 )dx x 4 / 4 x 5 / 5
2
4
2
1
1
dx
12 49 / 20 .
1
2 y
0
y
4. Изменить порядок интегрирования в интеграле dy f ( x, y )dx .
1
2 y
0
y
dy f ( x, y )dx f ( x, y )dxdy , и правильная в направлении Ox область D
D
ограничена линиями x=y, x=2 – y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку)
(рис. 7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок
OAB границы состоит из отрезков прямых OA : y x, x [0;1] и
AB : y 2 x, x [1,2] ,
то,
где
y
A
D1 : {0 x 1; 0 y x},
1
D
0
1
2 y
0
y
D2 : {1 x 2; 0 y 2 x} . Итак, dy fdx =
B
2
1
Рис. 7
x
fdxdy = fdxdy fdxdy
D D1 D2
D1
D2
1
x
2
2 x
0
0
1
0
= dx f ( x, y )dy dx
f ( x, y)dy .
5. Вычислить I ( x y )dxdy по области D, ограниченной линиями y x 2 и
2
D
y
x.
Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол y x 2 и
y
2
y=x
A
0
Рис. 8а
1
y=
x
__
x
y
x решаем уравнение x 2 x x 4 x,
откуда
x 4 x 0, x( x 1)( x 2 x 1) 0 ,
имеем действительные корни x1 0 , x2 1 .
Таким образом, параболы пересекаются в
точках O(0;0), A(1;1) . Рассматривая D как
правильную в направлении Oy (рис. 8а), имеем
D :{0 x 1; x 2 y x} . По формуле
1
x
0
x2
а) I ( x y 2 )dxdy dx ( x y 2 )dy
D
y x
3
y
= dx x y
3 2
0
yx
1
1
8 5/ 2 x4 x7
33
4
3 1 6
3 x x x 3 x dx 15 x 4 21 140
0
0
Рис. 8б
Если область D рассматривать как правильную
направлении Ox (рис. 8б), то D :{ 0 y 1; y 2 x y }. По формуле
1
в
x y
2
x
=
y 2 x
I ( x y 2 )dxdy dy ( x y 2 )dx dy
2
0
D
0
x y 2
y2
1
y
1
1
y2 2 7/2 3 5
3 4
33
y
5/ 2
0 2 y 2 y dy = 4 7 y 10 y 140 .
0
1
6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой
системе координат неравенством x 2 y 2 R 2 (круг радиуса R с центром в
точке O(0;0) ).
Перейдем от декартовых координат x, y к полярным , по формулам
x cos , y sin . Подставим x и y в исходное неравенство, получим:
2 cos2 2 sin 2 R 2 или 0 R . На координату дополнительных
ограничений не накладывается, поэтому 0 2 (или ).
В полярной системе координат круг записывается неравенствами:
P : 0 2; 0 R.
7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга,
ограниченную линиями x 2 y 2 R 2 , y k1 x , y k 2 x ( y 0 ), k1 , k 2 —
y
постоянные, k1 0, k 2 0 .
2
2 y2
y= k x
x
R
+
=
2
y =k x Изобразим область S (рис. 9). Запишем
заданные линии в полярных координатах,
1
которые связаны с декартовыми формулами
y sin :
1) x 2 y 2 R 2
x cos ,
2 cos2 2 sin 2 R 2 , R ;
0
x
2) y k1 x sin k1 cos ,
Рис. 9
tg k1 , arctg k1 ;
3) y k 2 x sin k 2 cos , tg k 2 , arctg k 2
Область S Oxy переходит в область P O .
В полярной системе координат заданная область определяется системой
неравенств: P : arctg k1 arctg k 2 ; 0 R.
y
8. Вычислить двойной интеграл I ( y 2)dxdy , S S
множество
точек,
2
2
x y 4x .
удовлетворяющих
неравенству
0
2
Границей области является линия x y 4 x или
2
x
2
( x 2) 2 y 2 4 - окружность радиуса 2 с центром в точке
C (2;0) (рис. 10).
Рис. 10
Наличие в уравнении границы комбинации x 2 y 2 наводит на мысль, что для
вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам ,
по формулам x cos , y sin , dxdy dd . Уравнение границы
x 2 y 2 4 x 0 переходит в уравнение 2 cos2 2 sin 2 4 cos 0 или
( 4 cos) 0 . Отсюда =0 (соответствует полюсу O) и 4 cos - уравнение
окружности. Так как всегда 0 (по смыслу ), то из 4 cos следует
cos 0 , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из
2
2
рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть
P : ; 0 4 cos . Тогда по формуле
2
2
/2
4 cos
/ 2
0
I ( y 2)dxdy ( sin 2)dd d ( 2 sin 2)d
S
P
4 cos
3
d sin 2
3
/ 2
0
/2
/2
64
cos3 sin 16 cos2 d
/ 2 3
/2
/2
64 / 2
16
3
cos
d
cos
8
(1 cos2)d cos4
3 / 2
3
/ 2
/ 2
1
8( sin 2)
2
/2
8.
/ 2
y
9. Вычислить I dxdy , где
D x
D : {1 x 2 / a 2 y 2 / b 2 2; y 0; y bx / a} .
Область
D
ограничена
линиями:
2
2
2
2
x / a y / b 1 – эллипс с полуосями a и b,
x 2 / 2a 2 y 2 / 2b 2 1 – эллипс с полуосями a 2 и
b 2 , y=0 – прямая (ось Ox), y bx / a – прямая (рис.
11).
Рис.11
Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к
эллиптическим полярным координатам по формулам: x a cos, y b sin ,
dxdy abdd . Уравнения границы области в координатах , будут:
1) x 2 / a 2 y 2 / b 2 1 1 ,
2)
3)
2,
x 2 / 2a 2 y 2 / 2b 2 1
y 0 0 , 4) y bx / a / 4 . Итак, область интегрирования в
координатах , есть
y
b sin
P : 0 / 4; 1 2 . Тогда I dxdy
abdd
x
a
cos
D
P
/4
2
2
/4
sin
b
d d b 2 (ln cos ) 0 ( 2 / 2) (b 2 ln 2) / 4 .
1
0 cos
0
Задания.
1. Записать символически правильную в направлении Oy область V R 3 , если
ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.
2. Записать символически правильную в направлении Ox область V R 3 , если
ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.
2
10. Область V ограничена поверхностями x 2 y 2 ( z 2) 2 и z=0. Изобразить
область и записать как правильную: а) в направлении
z
Oz, б) в направ лении Ox.
M
Область V — круговой конус с боковой
поверхностью, описываемой уравнением конической
поверхности x 2 y 2 ( z 2) 2 , основанием, лежащим
на плоскости z=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью,
совпадающей с Oz (рис. 12).Область V - правильная во
0
y всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения
x 2 y 2 2 2 - уравнение
x 2 y 2 ( z 2) 2 имеем
x
окружности радиуса 2; таким образом, в основании
Рис.12
конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в
x 2 y 2 ( z 2) 2
направлении Oz. Из уравнения
y
2
имеем z 2 x 2 y 2 . Для точек области V имеем:
S
-2
0
0 z 2 x 2 y 2 . Проекция области V на плоскость
Oxy
2 x
V : {( x, y) S ;
-2
Рис.13
S : x2 y2 4
есть
(рис.
13),
поэтому
0 z 2 x2 y 2 },
где
S : x 2 y 2 4 .Так как S — правильная область, то
S : {2 x 2;
S : {2 y 2; 4 y 2 x 4 y 2 }.
4 x2 y 4 x2 }
Поэтому
требуемая
запись
или
будет
4 x2 y 4 x2 ;
V : {2 x 2;
0 z 2 x2 y2 }
или
V : {2 y 2; 4 y 2 x 4 y 2 ; 0 z 2 x 2 y 2 } .
б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения
z
x 2 y 2 ( z 2) 2
имеем
x ( z 2) 2 y 2 .
M
Линии пересечения плоскости Oyz и конической
поверхности находятся из решения системы
D
уравнений:
в
x 2 y 2 ( z 2) 2 0 ;
x 0,
x 0,
результате
имеем
прямые в плоскости
y
2
0
-2
z y 2,
Рис. 14
Oyz.
Итак, проекцией V на плоскость Oyz является
область D — треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0 (рис. 14), поэтому
( z 2) 2 y 2 x ( z 2) 2 y 2 } ,
V : {( y, z ) D;
где
D : z y 2, z y 2, z 0 .
Так как область D – правильная, то рассматривая ее как правильную в
направлении
Oy,
имеем
а
потому
D : {0 z 2, z 2 y z 2} ,
0 z 2, z 2 y z 2,
V :
2
2
2
2
( z 2) y x ( z 2) y .
z
11. Вычислить
I ( x 2 y 2 z )dV , где
V
область
V
ограничена
y x 2 , x y 2 , z y, z 0 .
поверхностями:
y x2и
x y2
Поверхности
есть
1
параболические цилиндры с образующими,
V
параллельными Oz; z y, z 0 — плоскости.
y
Область V – правильная в направлении Oz, а 1
потому 0 z y для точек, принадлежащих V
x
(рис. 15).
Рис. 15
Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область
y
S, ограниченная линиями y x 2 и x y 2 (рис. 16), а
x=y 2
S : {0 x 1; x 2 y x}
потому,
V : {0 x 1, x 2 y x , 0 z y}.
S
0
y=x2
1
Рис. 16
y
Тогда I ( x 2 y 2 z )dV = dxdy ( x 2 y 2 z )dz =
V
x
S
2 z y
= dxdy( xz 2 yz z )
S
z 0
0
=см. (2.3)=
и
1
x
1
0
x2
0
2
2
3
dx ( xy 3 y )dy dx( xy / 2 y )
y x
y x2
1
= ( x 2 / 2 x 3 / 2 x 5 / 2 x 6 )dx
0
1
= ( x 3 / 6 2 x 5 / 2 / 5 x 6 / 12 x 7 / 7) 143 / 420
0
12. Вычислить тройной интеграл I zdxdydz , где
V
V : { x 2 y 2 z 2 R; z x 2 y 2 } .
x 2 y 2 z 2 R и полуконусом
Область V ограничена полусферой
z x 2 y 2 . Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к
сферическим координатам по формулам: x r cos sin , y r sin sin ,
z r cos , при этом dxdydz r 2 sin drdd . Неравенства, описывающие V,
преобразуются:
а)
x 2 y 2 z 2 R r 2 R 2 , 0 r R;
б) z x 2 y 2 r cos r sin , tg 1, 0 / 4 .
Так как нет ограничений на , то 0 2 . В итоге, область интегрирования в
сферических координатах есть : 0 2; 0 ; 0 r R (этот же
4
результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле
2
/4
R
0
0
0
I zdxdydz r cosr sin drdd d cos sin d r 3dr =
2
V
повторный
интеграл «расщепился» в произведение определенных
2 / 4 r 4 R R 4
2 sin
интегралов= 0
.
2 0 4 0
8
13. Вычислить тройной интеграл I z ( x 2 y 2 )dxdydz , где V ограничена
V
полусферой z R x y ,
z a (a 0) .
2
2
2
цилиндром
x2 y2 R2и
плоскостью
Тело V и проекция его на плоскость Oxy S : x 2 y 2 R 2 — круг радиуса R
изображены на рис. 17 и 18. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим
координатам ,, z по формулам x cos, y sin , z z, dxdydz dddz .
Поверхности, ограничивающие V преобразуются:
а) z R 2 x 2 y 2 z R 2 2 , б) x 2 y 2 R 2 R , в) z=a . Так
как нет ограничений на координату , то 0 2 (или ) .Область
интегрирования в цилиндрических координатах есть : {0 2,
0 R, R 2 2 z a}.
z
y
0
x
0
y
x
Рис. 17
Тогда
по
Рис. 18
I z ( x 2 y 2 )dxdydz z 2 dddz =
формуле
V
z2 a
R
1 2
= d d zdz = d d
=
d (a 2 R 2 )3 5 d =
20
2 R 2 2
0
0
0
0
0
R 2 2
R
1 2
= 0 (a 2 R 2 ) 4 / 4 6 / 6 = R 4 (3a 2 R 2 )
0
2
14. Найти массу пластинки D : {1 x 2 / 9 y 2 / 4 2; y 0, y 2 / 3x} с
поверхностной плотностью y / x .
По формуле m ( x, y )dxdy ( y / x)dxdy . Область D и подынтегральная
2
R
3
2
a
R
3
D
D
функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 при
a 3, b 2 ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому m (b 2 ln 2) / 4 и
при b 2 m ln 2 .
15. Найти массу тела. V : x 2 y 2 z 2 R; z x 2 y 2 , если объемная
плотность az (a 0) .
По формуле m ( x, y, z )dV a zdxdydz a I . Тройной интеграл I по
V
V
данной области V вычислен в примере 12, I R 4 / 8 , и потому m aR 4 / 8 .
16. Найти объем тела V : r12 x 2 y 2 z 2 r22 ;
( x 2 y 2 ) / a 2 z ( x 2 y 2 ) / b 2 ; k1 x y k 2 x , (a, b, k1 , k 2 0) .
Из формулы V dxdydz . Тело V ограничено сферами, полуконусами и
V
плоскостями (рис. 19).
Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность
перехода к сферическим координатам r, , по формулам: x r cos sin ,
y r sin sin , z r cos . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:
1) x 2 y 2 z 2 r12 r r1 ; 2) x 2 y 2 z 2 r22 r r2 ;
Рис. 19
Рис. 19 в)
3) z ( x 2 y 2 )a 2 tg a или arctga ;
4) z ( x 2 y 2 )b 2 tg b, arctgb ;
5) y k1 x arctg k1 ; 6) y k 2 x arctg k 2 .
Область изменения сферических координат точек области
: r1 r r2 ; arctg k1 arctg k 2 ; arctg b arctg a .
V
Тогда v dxdydz r 2 sin drdd =
V
arctg a 1
= d r 2 dr (r23 r13 )(arctg k 2 arctg k1 )(cos(arctg a)
arctg k r
arctg b 3
1 1
cos(arctgb)) .
arctg k2
r2
есть
Задачи для самостоятельного решения
Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.
1. S – параллелограмм со сторонами x=3, x=5, 3x-2y+4=0, 3x-2y+1=0.
2. Область D задана неравенствами y x 2 , y 4 x 2 .
3. Область D – треугольник со сторонами y x, y 2 x, x y 6 .
Вычислить повторные интегралы.
1
1
1
x
0
0
0
x2
4. dx ( x y )dy . 5. dx xy dy
2
2
a
0
0
A
B
a
b
6. d sin d . 7. dx f ( x, y )dy , если
2
2
( x, y) .
f ( x, y) Fxy
Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:
y
1
r
2 rx x 2
e
ln x
sin x
0
x
1
0
0
0
8. dy f ( x, y )dx . 9. dx
0
y
f ( x, y)dy . 10. dx f ( x, y)dy . 11. dx f ( x, y)dy .
Перейти от двойного интеграла f ( x, y )dxdy
по конечной области D к
D
повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:
12. Область D – параллелограмм со сторонами x 3, x 5, 3x 2 y 4 0,
3x 2 y 1 0 .
13.
15.
16.
17.
D : {x 2 y 2 1; x 0; y 0} . 14. D : {( x 2) 2 ( y 3) 2 4} .
D — треугольник со сторонами y x, y 2 x, x y 6 .
D : y 2 x 0; 2 y x 0, xy 2.
D — треугольник с вершинами O(0;0), A(2;1), B(2;1) .
18. D – сегмент, ограниченный линиями y x 2 , y 1 .
Вычислить двойные интегралы:
19. e x y dxdy, D : 0 x 1; 0 y 2. 20. x 3 y 2 dxdy, D - круг x 2 y 2 R 2 .
D
D
21. ( x y )dxdy, D — область, ограниченная линиями y x 2 , y 2 x .
2
D
x2
dxdy, D — область, ограниченная линиями x 2, y x, xy 1 .
2
y
D
23. cos(x y )dxdy, D — область, ограниченная линиями x 0, y , y x .
22.
D
24. 1 x 2 y 2 dxdy, D — четверть круга x 2 y 2 1 , лежащая в первом
D
квадранте.
25. xy 2 dxdy, D — область, ограниченная параболой y 2 2 px и прямой
D
x p/2.
26. y 2 dxdy , если D ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды
D
x a(t sin t ) , y a(1 cost ) , 0 t 2 .
Перейти в двойном интеграле f ( x, y )dxdy к полярным координатам , и
D
расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по , внутреннее - по
:
27. D — область, ограниченная окружностями x 2 y 2 4 x , x 2 y 2 8 x и
прямыми y x , y 2 x .
28. D — область, являющаяся общей частью двух кругов x 2 y 2 ax и
x 2 y 2 by .
29. D — меньший из двух сегментов, на которые прямая x y 2 рассекает
круг x 2 y 2 4 .
30. D — внутренняя
(x2 y 2 )2 a2 (x2 y 2 ) .
часть
правой
петли
лемнискаты
Бернулли
31. D: {x 0, y 0, ( x 2 y 2 )3 4a 2 x 2 y 2} .
x2 y2
1 . Указание. Перейти к эллиптическим полярным
32. D:
4
9
координатам.
33. D — область, ограниченная линией ( x 2 y 2 / 3) 2 x 2 y . Указание. Перейти к
эллиптическим полярным координатам.
2R
2 Ry y 2
R/2
0
34. dy
f ( x, y )dx .
2
x 3
0
x
35. dx f ( x y )dy .
2
2
1
x2
0
0
36. dx f ( x, y )dy .
С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:
R
37. dx
0
R2 x2
ln(1 x 2 y 2 )dy .
38.
(h 2 x 3 y)dxdy .
D: x 2 y 2 R 2
0
y
39.
2
2
2
2
2
R x y dxdy . 40. arctg x dxdy , D - часть кольца x y 1,
D: x 2 y 2 Rx
D
x 2 y 2 9 , y x / 3, y x 3 . 41. sin x 2 y 2 dxdy,
D : {2 x 2 y 2 42}
D
Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:
x2 y2
42. xydxdy, D : 2 2 1, x 0, y 0 .
b
D
a
43. xy dxdy, D — область, ограниченная линией (( x 2 / 2) ( y 2 / 3)) 4 xy 6 .
D
Изобразить указанные ниже области V R 3 ( x, y, z )и записать как
правильные: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox.
44. Область V ограничена поверхностями x 2 y 3z 6, z 0, y 0, x 0 .
45. Область V ограничена поверхностями x 2 y 2 ( z R) 2 R 2 .
46. Область V ограничена поверхностями z x 2 y 2 , z 4 .
Вычислить интегралы:
x y e
e1 e x 1
ln( z x y )
47. dx dy
dz .
(
x
e
)(
x
y
e
)
0
0
e
dxdydz
48.
, — область, ограниченная плоскостями
3
( x y z 1)
x 0, y 0, z 0 , x y z 1 .
49. xydxdydz , V – область, ограниченная гиперболическим параболоидом
V
z xy и плоскостями x y 1, z 0 ( z 0) .
y cos(z x)dxdydz , V – область, ограниченная цилиндром y x и
50.
V
плоскостями y 0, z 0 и x z / 2 .
51. xyzdxdydz , V – область, ограниченная поверхностями y x 2 , x y 2 ,
V
z xy, z 0 .
Перейти в
тройном
f ( x, y, z )dxdydz
интеграле
к
цилиндрическим
V
координатам ,, z или сферическим координатам r, , и расставить пределы
интегрирования:
52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями
x 2 y 2 R 2 , z 0, z 1, y x, y x 3 .
53. V – область, ограниченная поверхностями x 2 y 2 2 x, z 0, z x 2 y 2 .
54. V : {x 2 y 2 z 2 R 2 ; x 0; y 0; z 0} .
55. V : {x 2 y 2 z 2 R 2 ; x 2 y 2 ( z R 2 ) R 2} .
Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить
интегралы:
2
56. dx
2 x x2
0
dy z x 2 y 2 dz . 57. dx
0
a 2
58. dy
0
R
a
R
0
a2 y2
y
( x2 y 2 ) / a
dx
0
2
dy
a
a
( x 2 y 2 )dz .
0
R2 x2
x y dz . 59. dx
2
R2 x2 y 2
R2 x2
a2 x2
a2 x2
a
dy
h( x2 y 2 ) / a
60. ( x 2 y 2 )dxdydz , где V : {z 0, R12 x 2 y 2 z 2 R22} .
V
dz
x2 y2
.
dxdydz
61.
x 2 y 2 ( z 2) 2
V
dxdydz , где V : {x 2 y 2 1; 1 z 1} .
62. x 2 y 2 z 2 dxdydz , где область V ограничена поверхностью
V
x y2 z2 z .
Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:
63. z x 2 y 2 1, x 4, y 4 . 64. y x , y 2 x , z 0, x z 6 .
2
65. z 9 y 2 , x 0, y 0, z 0, 3x 4 y 12 ( y 0) .
66. 2 y 2 x, x / 4 y / 2 z / 4 1, z 0 . 67. x 2 / 4 y 2 1, z 12 3x 4 y, z 1.
68. z x 2 y 2 - гиперболический параболоид, z 0, x 3 .
69. z ( x 1) 2 y 2 , z 2 x 2 . 70. z x 2 y 2 , z x y .
x 2 y 2 3z . 72. x 2 y 2 z 2 1, x 2 y 2 z 2 16,
71. x 2 y 2 z 2 4,
x 2 y 2 z 2 , x 0, y 0, z 0 ( x 0, y 0, z 0) .
73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a, если плотность
пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной
из вершин и равен 0 в центре квадрата.
Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных
кривыми:
74. ay x 2 , x y 2a (a 0) .
75. x y a , y 0, x 0 .
76. ( x 2 y 2 ) 2 2a 2 xy ( x 0, y 0) . 77. a(1 cos) - кардиоида, 0 .
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных
поверхностями:
78. x 0, y 0, z 0, x 2, y 4, x y z 8 (усеченный параллелепипед).
79. z y 2 / 2, x 0, y 0, z 0, 2 x 3 y 12 0 .
80. z ( x 2 y 2 ) / 2a, x 2 y 2 z 2 3a 2 ( z 0) .
Ответы к заданиям для самостоятельной работы
3x 1
3x 4
2
2
y
1. S : 3 x 5;
. 2. D : 2 x 2 ; x y 4 x .
2
2
2
3. D : 0 x 2; x y 2 x; 2 x 3; x y 6 x. 4. 1. 5. 1/ 40. 6. a 3 / 3 .
1
x
r
0
x2
0
y
7. F ( A, B) F ( A, b) F (a, B) F (a, b) . 8. dx f ( x, y )dy . 9. dy
1
e
0
ey
0
arcsin y
5
(4 3x) / 2
6, 5
( 2 y 1) / 3
3
(3 x 1) / 2
5
3
12. dx
11. dy
r r2 y2
arcsin y
1
10. dy fdx
f ( x, y )dx .
fdy dy
fdy
8
( 2 y 1) / 3
6, 5
( 2 y 4) / 3
fdx dy
9, 5
5
8
( 2 y 4) / 3
fdx dy
fdx
1
1 x 2
0
0
1
1 y 2
0
0
4
3 4 x x 2
0
3 4 x x 2
fdy dy fdx . 14. dx
13. dx
5
2 6 y y 2 5
1
2 6 y y 2 5
fdy dy
2
2x
3
6 x
3
y
4
6 y
0
x
2
x
0
3
1
2x
2
2/ x
1
y/2
2y
2
y/2
2/ y
0
x/2
1
x/2
0
1
y/2
fdx .
15. dx fdy dx fdy dy fdx dy fdx .
16. dx fdy dx fdy dy fdx dy fdx .
y/2
0
1
2
1
1
2y
1
1
1
2
x / 2
0
x/2
0
2 y
1
x2
0
y
17. dx fdy dx fdy dy fdx . 18. dx fdy dy fdx .
y
19. (e 1) 2 . 20. 0. 21. 33/140. 22. 9/4. 23. –2. 24. / 6 . 25. p 5 / 21 . 26. 35a 4 / 12
8 cos
arctg 2
d f ( cos, sin )d .
27.
/4
4 cos
arctg ( a / b )
b sin
28.
d
0
0
/2
/2
a sin 2
0
0
31. d f ( cos, sin )d .
/2
f ( cos, sin )d
f ( cos, sin )d .
30.
2 sec( / 4)
0
d f ( cos, sin )d .
arctg ( a / b )
2
29. d
a cos
2
1
0
0
0
/4
a cos 2
/ 4
0
d
f ( cos, sin )d .
32. x 2 cos, y 3 cos, I 6 d f (2 cos,3 sin )d .
33. I 3 d
3 cos 2 sin
0
/2
2 R sin
/6
( R cos ec) / 2
34. d
f ( cos, sin )d .
/4
sec
0
sin sec2
36. d
f ( cos, 3 sin )d .
0
f ( cos, sin )d .
/3
2 sec
/4
0
35. d f ()d .
37. [(1 R 2 ) ln(1 R 2 ) R 2 ] / 4 .
38. R 2 h . 39. R 3 ( 4 / 3) / 3 . 40. 2 / 6 . 41. 6 2 . 42. a 2b 2 / 8 . 43. 1/ 4 6 .
44. а) V : ( x, y ) S , 0 z (6 x 2 y ) / 3, S : x 0, y 0, x 2 y 6;
б) V : ( x, y ) D, 0 x 6 2 y 3z, D : y 0, z 0, 2 y 3z 6.
б) V : ( y, z ) D;
2 Rz z 2 y 2 x 2 Rz z 2 y 2 , D : y 2 z 2 2 Rz 0
46. а) V : ( x, y) S ; x 2 y 2 z 4, S : x 2 y 2 4;
б) V : ( x, y) D; z y 2 x z y 2 , D : z y 2 , z 4.
45. а) V : ( x, y) S ; R R 2 x 2 y 2 z R R 2 x 2 y 2 , S : x 2 y 2 R 2 ;
47. 2e 5 .
48. (ln 2 5 / 8) / 2 .
49. 1/180.
50. 2 8 / 16 .
51. 1 / 96 .
/3
1
R
52. dz d f ( cos, sin , z )d . 53.
0 /4
0
/2
/2
/2
2 cos
2
/ 2
0
0
d d f ( cos, sin , z )dz .
R
54. d sin d f (r cos sin , r sin sin , r cos)dr .
/ 2
0
0
2
R 3/2
0
0
55. d
R 2 2
d
f ( cos, sin , z )dz или
R R 2 2
2
/3
R
2
/2
2 R cos
0
0
0
0
0
0
2
d sin d f r dr d sin d
f r 2 dr , где
f f (r cos sin , r sin sin , r cos ) .
57. 4R 5 / 15 .
56. 8a 2 / 9 .
58. a 4 / 8 .
59. 4ah / 3 .
60. 4( R25 R15 ) .
61. [3 10 ln 2 1 / 10 3 2 8] . 62. /10 . 63. 560/3. 64. 48 6 / 5 .
65. 45. 66. 81/5. 67. 22 . 68. 27. 69. / 3 . 70. / 8 . 71. 19 / 6 и 15 / 2 .
72. 21(2 2 ) / 4 . 73. 0 a 2 [2 2 ln(1 2 )] / 3 . 74. xc a / 2, yc 8a / 5 .
75. xc yc a / 5 . 76. xc yc a / 8 . 77. xc 5a / 6, yc 16a / 9 .
78. xc 14 / 15, yc 26 / 15, zc 8 / 3 . 79. xc 6 / 5, yc 12 / 5, zc 8 / 5 .
80. xc yc 0, zc 5a(6 3 5) / 83 .
Глава XII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Практическое занятие 13-14.
Тема: Числовые ряды. Ряды с неотрицательными членами.
Вопросы:
1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши.
2. Ряды с неотрицательными членами
3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами
План:
№ 1. Найдите сумму ряда, при необходимости сначала найдите an (8 заданий).
№ 2. Исследуйте ряды на сходимость (12 заданий).
Домашнее задание № 13-14:
Теория: числовой ряд, обозначение числового ряда, частичная сумма ряда,
остаток ряда, ряд сходящийся (расходящийся), формула для нахождения суммы
убывающей геометрической прогрессии, необходимое условие сходимости
числового ряда, признаки сходимости рядов.
№ 1 Исследуйте ряды на сходимость. 1)
n 2
4)
n 1 n 5
2n
2n
2)
n
n 0 1 2
( 1) n1
5) ( n 1 n 1) 6)
7)
n 1
n 1 (3n 2)!
( 2n 2)!
n
n 1 ( 3n 5) 2
( n 2)
( 1) n 1
n
n 1
3)
n
n 1 3n 1
2n
( 1) n 1
8)
n 1 4n 7
Практическое занятие 15-16.
Тема: Абсолютная и условная сходимость. Ряды с членами произвольного
знака. Признак Лейбница.
Вопросы:
1. Абсолютная и условная сходимость рядов.
2. Ряды Лейбница.
План:
№ 1. Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость (8 заданий).
Домашнее задание № 15-16:
Теория: знакочередующийся ряд, абсолютная и условная сходимость. Признак
Лейбница.
Вариант №0 контрольной работы № 5 «Числовые ряды»
1. Найдите сумму ряда
1
1
1
... (3 балла)
1 4 4 7 7 10
2. Исследуйте ряды на сходимость (по 1 баллу):
5n ( n 1)!
1)
2)
2n !
n 1
n 1
3)
n 1 2 n 3
3n
sin 2n
4)
n3
n 1
n
1
n 1
3. Исследуйте ряд на абсолютную сходимость:
1000n 1
[bn
1
] (2 балла)
n
n 2 n 1 n 2 n 1 5)
(1) n (n 1)
,
n (n 1)
n 1
n
n 1
13. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение
дисциплины.
Основная литература.
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубаринов В.Н. Лекции по
математическому анализу. Учебник для студентов педвузов и универ-ов. –
М.: Высшая школа. – 1999, 2003, 2004. – 640 с.
2. Берман Г.Б.Сборник задач по курсу матем. анализа: учеб. пособие. — СПб:
Профессия, 2005 — 384 с.
3. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по
математическому анализу [в 2 кн.]. Кн. 1, Дифференциальное и
интегральное исчисление функций одной переменной. – М.: Высшая школа.
– 2002. – 725 с.
4. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по
математическому анализу [в 2 кн.]. Кн. 2, Ряды, несобственные интегралы,
кратные и поверхностные интегралы. – М.: Высшая школа. – 2002. – 712 с.
5. Виноградова И.А.Задачи и упражнения по мат. анализу.: Учебник для унтов: Ч.1.— М.:Дрофа,2001
6. Виноградова И.А.Задачи и упражнения по мат. анализу.: Учебник для унтов: Ч.2.— М.:Дрофа,2001
7. Действительный анализ в задачах : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по
группе мат. направл. и спец. / П. Л. Ульянов [и др.]. - М. : Физматлит, 2005.
— 416 с.гриф
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
– Учебное пособие для ун.и пед.вузов, — М.: Астрель; АСТ, 2005. – 558 с.
9. Кудрявцев Л. Д.Краткий курс математического анализа : учебник для студ.
вузов / Л. Д. Кудрявцев. - 3-е изд., перераб. — М. : Физматлит, 2005.Гриф
10.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты:
Учебное пособие. — СПб.: Лань, 2005. —240 с.
11.Математический анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие для студ.
Вузов. / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев, А. А. Шишкин. Под.
Ред. Бутузова В.Ф. 3-е изд. — М: Физматлит, 2000
12.Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность.
Дифференцируемость : учеб. пособие / Л. Д. Кудрявцев [и др.]. - 2-е изд.,
перераб. и доп. - М. : Физматлит, 2003. - 496 с
13.Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды : учеб.
пособие / Л. Д. Кудрявцев [и др.]. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Физматлит,
2003. - 504 с
14.Сборник задач по математическому анализу. В 3 т. : Т. 3 : Учебное пособие /
Л.Д. Кудрявцев .- 2-е изд., перераб.и доп .- М.: Наука. Физматлит, 2003.
15.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Часть 1. — СПб.:
Лань, 2005. — 448 с.
16.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Часть 2. — СПб.:
Лань, 2005. — 464 с.
15. Оценочные средства.
15.1. Примерные зачетные тестовые задания.
Вариант №0 контрольной работы №1 по теме «Пределы».
1. Найти предел и доказать его по определению:
3n 2 5
(2 балла)
lim
2
n 2 n 4
2. Найти пределы последовательностей (по 1 баллу):
1 2 3 ... n n
1). lim
2).
n2
2
n
3n 1
lim
n 3n 5
n2
3).
7n 1
13
lim 4n 12 n
n
7
sin
3n
3. Найти пределы функций (по 1 баллу):
x 4 x3 x 2 1
3
2
1). xlim
1
x
2
x
1
x 1
x
2). lim
x0 1 2 x 1
x
3
3). lim
x 0
x
1 1
3
ln( x 1)
sin
Вариант № 0 контрольной работы № 2 по теме «Производные и интегралы»
3. (2 балла) Вычислите пределы,
1. (3 балла)
пользуясь правилом Лопиталя:
Вычислите производные функций:
tgx
а). f(x) = ln x 1 x 2 1
1
б) lim (( 2arctgx) ln x )
а) lim
3
x 0 x
x
1
б). f(x) = arccos
x 1
4. Вычислите интегралы: (3 балла)
1
ln 3 x
в). f(x) = sin x ln
a) 2 dx
x
x
2. (2 балла) Исследуйте функцию на
непрерывность
(укажите
промежутки
непрерывности, найдите точки разрыва,
укажите их вид, сделайте чертёж). х0=0,
х0=1.
x2 , x 0
f ( x) 1, x 0
tgx 1, x 0
б)
x
в)
x
2
2
2 x 3 dx
x x 4x 3
2
ln x
dx
x
г) cos 3x cos 5 xdx
Вариант № 0 контрольной работы №3 по теме «Функции нескольких
переменных»
x2 y 2
1
4
9
№ 1. Найдите и постройте область определения функции: z ( x; y) ln
(1 балл).
№ 2. Найдите частные производные второго порядка и покажите равенство
смешанных производных: z ( x; y ) arctg
x y
(2 балла).
1 xy
x
y
№ 3. Найдите производную сложной функции: z ( x; y ) arcsin , y( x) x 2 1 (2
балла)
№ 4. Найдите
№5.
d 2z d 2z
,
,
dxdy dx 2
Найдите
если функция задана неявно e z xyz 0 (2 балла)
наибольшее
и
наименьшее
значение
функции
в замкнутой области, ограниченной D : 0 x ; 0 y .
z sin x sin y sin( x y )
2
2
(3 балла).
Вариант №0 контрольной работы № 4 по теме «Кратные интегралы»
Вычислите интегралы: №1, №2 – по 1 баллу, №3 – 6 – по 2 балла.
1. (6 x 2 y 2
D
2. y 2 cos xydxdy
25 4 4
x y )dxdy
3
D
dxdy
( x y 2 )2
2
D : x y 4 x;
2
2
x y 8 x;
y x; y 2 x.
2
2
4. y 2 z cos
V
V
V : 4 x 2 y 2 z 2 16;
z 0; z xy
y 3 x; y 0; z 0.
Вариант №0 контрольной работы № 5 по теме «Числовые ряды»
1. Найдите сумму ряда
1
1
1
... (3 балла)
1 4 4 7 7 10
2. Исследуйте ряды на сходимость (по 1 баллу):
xyz
dxdydz
9
V : x 0; x 9; y 1;
y 0; z 0; z 2
6. ydxdydz
V
V : y 2 x; y 0; x 2;
D
D : x 0; y ; y 2 x.
D : x 1; y x ; y x .
2
5. 3 y 2 dxdydz
3.
5n ( n 1)!
2)
2n !
n 1
1)
n 1
3)
n 1 2 n 3
3n
sin 2n
4)
n3
n 1
1
n 1 n
3. Исследуйте ряд на абсолютную сходимость:
1000n 1
[bn
1
] (2 балла)
n
n 2 n 1 n 2 n 1 5)
(1) (n 1)
,
n (n 1)
n 1
n
n
n 1
15.2. Примерный перечень вопросов к зачёту (экзамену)
Вопросы к зачёту (экзамену) по курсу математического анализа
1 семестр
1 часть «Функции. Пределы функций»
1. Аксиомы действительных чисел. Выполнение аксиом действительных чисел
для бесконечных десятичных дробей.
2. Ограниченное множество. Граница множества. Грань множества.
Существование граней у ограниченного множества.
3. Принципы Архимеда и Кантора.
4. Метод математической индукции.
5. Числовая последовательность (определение последовательности, способы
задания). Монотонные последовательности (возрастающая, убывающая,
неубывающая, невозрастающая, ограниченная сверху, ограниченная снизу,
ограниченная,
неограниченная
сверху,
неограниченная
снизу
последовательность).
6. Бесконечно
малая
последовательность.
Признак
сходимости
последовательности, сформулированный с помощью бесконечно малой
последовательности, ограниченность бесконечно малой последовательности.
7. Бесконечно малая последовательность. Свойства бесконечно малых
последовательностей (сумма бесконечно малых последовательностей,
произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей)
8. Определение предела последовательности. Геометрический смысл предела
последовательности. Свойства пределов последовательностей (единственность
предела последовательности, ограниченность сходящейся последовательности).
9. Определение
предела
последовательности.
Свойства
пределов
последовательностей
(предел
суммы
последовательностей,
предел
произведения двух последовательностей).
10. Определение
предела
последовательности.
Свойства
пределов
последовательностей (предел отношения двух последовательностей).
11. Предельный переход в неравенствах ( lim an a и n аn>с
n
о двух «милиционерах»)
12. Бесконечно большие последовательности (определение + ∞,– ∞, ∞,
определение
бесконечно
большой
последовательности,
теорема
о
существовании предела монотонной последовательности, теорема Кантора о
вложенных отрезках).
13. Бесконечно большие последовательности (определение + ∞,– ∞, ∞,
определение бесконечно большой последовательности).
no n n0
a с , теорема
14. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
15. Монотонные
последовательности.
Теорема
Вейерштрасса
об
ограниченных монотонных последовательностях.
16. Число е и постоянная Эйлера.
17. Подпоследовательность (теорема Больцано-Вейерштрасса о возможности
выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности).
18. Фундаментальная последовательность (определение, теорема - критерий
Коши о сходимости последовательности).
19. Определение числовой функции, способы задания. Композиция
отображений. Монотонные функции.
20. Определение числовой функции, способы задания. Терминология,
применяемая для описания свойств функции.
21. База. Предел функции по базе. Свойства пределов функции (теорема о
единственности предела).
22. База. Предел функции по базе. Свойства пределов функции (финальная
ограниченность, теорема о пределе суммы).
23. Бесконечно малые функции (определение, сумма бесконечно малых
функций, произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции).
24. Бесконечно малые функции (предел произведения функций, предел
частного двух функций).
25. Предельный переход в неравенствах функций (f(x)>K предел f(x) K,
теорема о двух ”милиционерах”).
26. Критерий Коши сходимости функции по базе.
27. Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность определений
сходимости по Коши и по Гейне.
28. Теоремы о пределе сложной функции (теоремы 1-3).
29. Теоремы о пределе сложной функции (теорема 4).
30. Порядок бесконечно малой функции. Эквивалентные бесконечно малые
функции.
2 часть «Непрерывность функции в точке. Дифференцирование функций одной
переменной. Неопределённый интеграл».
1. Непрерывные функции (определения: на языке пределов, по Коши, по
Гейне, непрерывность функции слева и справа). Необходимое и достаточное
условие непрерывности функции в точке.
2. Свойства непрерывных функций (непрерывность линейной комбинации
двух
непрерывных
функций,
произведения,
частного,
локальная
знакоопределенность, локальная ограниченность, непрерывность сложной
функции).
3. Непрерывность элементарных функций. Доказать по определению, что
f(x) = sinx – непрерывна.
4. Первый замечательный предел. Примеры
5. Второй замечательный предел. Следствия из второго замечательного
предела. Примеры.
6. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва,
теорема о точках разрыва монотонной функции)
7. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва,
критерий непрерывности монотонной функции)
8. Непрерывность функции на множестве (определение, точки разрыва,
существование и непрерывность обратной функции)
9. Теоремы о непрерывных функциях на отрезке (теоремы Больцано – Коши
(об обращении непрерывной функции в ноль, о промежуточном значении
непрерывной функции).
10. Теоремы о непрерывных функциях на отрезке (теоремы Вейерштрасса (об
ограниченности непрерывной функции, о достижении граней))
11. Равномерная непрерывность функции (определение, теорема ГейнеКантора).
12. Приращение функции. Дифференциал и производная функции.
Геометрический смысл и механический смысл производной.
13. Правила дифференцирования (вывод формул).
14. Дифференцирование сложной функции (определение, вывод формулы).
15. Производные и дифференциалы высших порядков.
16. Основные теоремы дифференциального исчисления. Лемма Дарбу,
Теорема Ферма. Геометрический смысл.
17. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля.
Геометрический смысл.
18. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Коши и
Лагранжа. Геометрический смысл.
19. Производная функции, заданной параметрически (определение, вывод
формулы).
20. Производная функции, заданной неявно (определение, вывод формулы).
21. Производная показательно – степенной функции (вывод формулы).
22. Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя.
23. Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя.
24. Раскрытие неопределенностей вида 0 , , 1 , 0 , 00 по правилу
Лопиталя.
25. Локальная формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к некоторым
функциям. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа.
26. Исследование функций с помощью производных. Асимптоты.
27. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки.
Возрастание и убывание функции в точке.
28. Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Точки
перегиба.
29. Интерполирование.
30. Точная
первообразная.
Интегрируемые
функции.
Свойства
неопределенного интеграла.
Вопросы к зачёту (экзамену) по курсу математического анализа
2 семестр
3 часть «Метрические пространства. Функции нескольких переменных»
1. Классификация пространств. Основные определения и свойства.
(топологические, метрические, хаусдорфовы, полные пространства)
2. Классификация пространств. Основные определения и свойства. (линейные,
нормированные, банаховы, гильбертовы, евклидовы пространства)
3. Открытые и замкнутые множества. Теоремы о пересечении и объединении
открытых и замкнутых множеств.
4. Классификация точек метрического пространства по отношению к
произвольному множеству. Теорема о дополнении к открытому и замкнутому
множеству.
5. Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (ограниченность,
существование предельной точки последовательности).
6. Компактность куба в n–мерном евклидовом пространстве.
7. Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (замкнутость).
Теорема о полноте n–мерного евклидова пространства.
8. Критерий компактности множества в n-мерном пространстве.
9. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих
отображений.
10. Теорема Банаха о единственности неподвижной точки сжимающего
отображения.
11. Непрерывное
отображение
метрических
пространств.
Связное
множество. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции на
связном множестве.
12. Теорема об ограниченности и достижении точной верхней и нижней
грани функциями, непрерывными на компакте.
13. Функция нескольких переменных. Основные определения (способы
задания, график, линии и поверхности уровня). Примеры.
14. Предел функции нескольких переменных (по Коши и по Гейне).
Примеры. Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного.
15. Непрерывность функции нескольких переменных (по Коши, по Гейне, на
«языке пределов», на «языке приращений»). Точки разрыва. Примеры. Теорема
о действиях с непрерывными функциями.
16. Свойства функций нескольких переменных, связанные с их
непрерывностью.
17. Частные производные и необходимое условие дифференцируемости
функции. Примеры.
18. Частные производные и достаточное условие дифференцируемости.
Примеры.
19. Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга о
равенстве смешанных производных. Следствия из них.
20. Полный и частный дифференциалы функции нескольких переменных.
Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям. Примеры.
21. Дифференциалы высших порядков. Вывод формул для дифференциалов
2-го и 3-го порядков для функции двух переменных. Примеры.
22. Производная по направлению (вывод формулы). Градиент. Свойства
производной по направлению. Примеры.
23. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Примеры.
24. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Формула полной
производной. Примеры.
25. Инвариантность
формы
первого
дифференциала.
Правила
дифференцирования.
26. Теорема об условиях существования однозначной и непрерывной неявной
функции. Теорема о производной функции, заданной неявно. Примеры.
27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое
условие экстремума функций многих переменных.
28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Достаточное
условие экстремума.
29. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений. Примеры.
30. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом
в форме Пеано и Лагранжа.
4 часть «Интегралы. Ряды»
1. Определение интеграла Римана. Задача о нахождении площади
криволинейной трапеции.
2. Интеграл Римана. Теорема о единственности определённого интеграла.
3. Интеграл Римана. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу.
4. Критерий интегрируемости функции по Риману. Классы функций,
интегрируемых по Риману.
5. Свойства определенного интеграла (доказать аддитивность и теорему о
среднем).
6. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования.
Теорема о производной от интеграла с переменным верхним (нижним)
пределом.
7. Формула Ньютона-Лейбница (теорема).
8. Методы вычисления определённого интеграла. Формула замены
переменной Формула интегрирования по частям в определенном интеграл.
Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах.
9. Несобственные интегралы первого и второго рода.
10. Приложения определённого интеграла. Примеры.
11. Определение двойного интеграла. Теорема о достаточном условии
интегрируемости функции нескольких переменных (о существовании двойного
интеграла).
12. Основные свойства двойного интеграла (доказать линейность и
аддитивность).
13. Простая (правильная) область. Теорема о переходе от двойного интеграла к
повторному.
14. Основные свойства повторного интеграла (доказать аддитивность).
15. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных
координатах.
16. Приложения двойного интеграла. Примеры.
17. Определение тройного интеграла. Теорема о достаточном условии
интегрируемости функции нескольких переменных (о существовании тройного
интеграла).
18. Основные свойства тройного интеграла.
19. Простая (правильная) область. Теорема о переходе от тройного интеграла к
повторному.
20. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в
цилиндрических координатах.
21. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в сферических
координатах.
22. Приложения тройного интеграла. Примеры.
23. Числовой ряд. Частичная сумма ряда и сумма ряда. Остаток ряда как сумма
некоторого ряда. Примеры. Необходимый признак сходимости ряда.
24. Гармонический ряд и ряд Дирихле. Примеры. Теорема о сходимости ряда и
его остатка.
25. Числовой ряд с неотрицательными членами. Признаки сравнения.
26. Числовой ряд с неотрицательными членами. Признаки сходимости
числовых рядов: признак Даламбера, радикальный признак Коши. Примеры.
27. Абсолютно сходящийся ряд. Условно сходящийся ряд. Признаки
сходимости числовых рядов: признак Лейбница. Примеры.
28. Функциональный ряд. Точка и область сходимости ряда. Частичная сумма и
сумма функционального ряда.
29. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса о
равномерной сходимости рядов на множестве.
30. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного
ряда.
15.3. Комплект экзаменационных билетов.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Мурманский государственный
гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
Кафедра: Прикладной математики и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математический анализ, ББИ, 1 курс, 1 семестр
Экзаменационный билет № 1.
1. Классификация пространств. Основные определения и свойства.
(топологические, метрические, хаусдорфовы, полные пространства)
2. Определение интеграла Римана. Задача о нахождении площади
криволинейной трапеции.
Зав. кафедрой ПМ и ММЭ
Б.М. Верещагин
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол №5 от 22.12.2011 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------Экзаменационный билет № 2.
1. Классификация пространств. Основные определения и свойства. (линейные,
нормированные, банаховы, гильбертовы, евклидовы пространства)
2. Интеграл Римана. Теорема о единственности определённого интеграла.
Экзаменационный билет № 3.
1. Открытые и замкнутые множества. Теоремы о пересечении и объединении
открытых и замкнутых множеств.
2. Интеграл Римана. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу.
Экзаменационный билет № 4.
1. Классификация точек метрического пространства по отношению к
произвольному множеству. Теорема о дополнении к открытому и
замкнутому множеству.
2. Критерий интегрируемости функции по Риману.
Экзаменационный билет № 5.
1. Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (ограниченность,
существование предельной точки последовательности).
2. Свойства определенного интеграла (доказать аддитивность и теорему о
среднем).
1.
2.
1.
2.
Экзаменационный билет № 6.
Компактность куба в n–мерном евклидовом пространстве.
Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Теорема
о производной от интеграла с переменным верхним (нижним) пределом.
Экзаменационный билет № 7.
Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (замкнутость).
Формула Ньютона-Лейбница (теорема).
Экзаменационный билет № 8.
1. Критерий компактности множества в n-мерном пространстве.
2. Методы вычисления определённого интеграла. Формула замены переменной
(теорема).
Экзаменационный билет № 9.
1. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих
отображений.
2. Несобственные интегралы первого и второго рода.
Экзаменационный билет № 10.
1. Теорема Банаха о единственности неподвижной точки сжимающего
отображения.
2. Приложения определённого интеграла. Примеры.
Экзаменационный билет № 11.
1. Непрерывное отображение метрических пространств. Связное множество.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции на связном
множестве.
2. Определение двойного интеграла. Теорема о достаточном условии
интегрируемости функции нескольких переменных (о существовании
двойного интеграла).
Экзаменационный билет № 12.
1. Теорема об ограниченности и достижении точной верхней и нижней грани
функциями, непрерывными на компакте.
2. Основные свойства двойного интеграла (доказать линейность и
аддитивность).
Экзаменационный билет № 13.
1. Функция нескольких переменных. Основные определения (способы задания,
график, линии и поверхности уровня). Примеры.
2. Простая (правильная) область. Теорема о переходе от двойного интеграла к
повторному.
Экзаменационный билет № 14.
1. Предел функции нескольких переменных (по Коши и по Гейне). Примеры.
Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного.
2. Основные свойства повторного интеграла (доказать аддитивность).
Экзаменационный билет № 15.
1. Непрерывность функции нескольких переменных (по Коши, по Гейне, на
«языке пределов», на «языке приращений»). Точки разрыва. Примеры.
Теорема о действиях с непрерывными функциями.
2. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных
координатах.
Экзаменационный билет № 16.
1. Свойства
функций
нескольких
переменных,
непрерывностью.
2. Приложения двойного интеграла. Примеры.
связанные
с
их
Экзаменационный билет № 17.
1. Частные производные и необходимое условие дифференцируемости
функции. Примеры.
2. Определение тройного интеграла. Теорема о достаточном условии
интегрируемости функции нескольких переменных (о существовании
тройного интеграла).
Экзаменационный билет № 18.
производные и достаточное условие дифференцируемости.
1. Частные
Примеры.
2. Основные свойства тройного интеграла.
Экзаменационный билет № 19.
1. Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга о
равенстве смешанных производных. Следствия из них.
2. Простая (правильная) область в пространстве. Теорема о переходе от
тройного интеграла к повторному.
Экзаменационный билет № 20.
1. Полный и частный дифференциалы функции нескольких переменных.
Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям.
Примеры.
2. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в
цилиндрических координатах.
Экзаменационный билет № 21.
1. Дифференциалы высших порядков. Вывод формул для дифференциалов 2-го
и 3-го порядков для функции двух переменных. Примеры.
2. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в сферических
координатах.
1.
2.
1.
2.
Экзаменационный билет № 22.
Производная по направлению (вывод формулы). Градиент. Свойства
производной по направлению. Примеры.
Приложения тройного интеграла. Примеры.
Экзаменационный билет № 23.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Примеры.
Числовой ряд. Частичная сумма ряда и сумма ряда. Остаток ряда как сумма
некоторого ряда. Примеры. Необходимый признак сходимости ряда.
Экзаменационный билет № 24.
1. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Формула полной
производной. Примеры.
2. Гармонический ряд и ряд Дирихле. Теорема о сходимости ряда и его
остатка.
Экзаменационный билет № 25.
1. Инвариантность
формы
первого
дифференциала.
дифференцирования.
2. Числовой ряд с неотрицательными членами. Признаки сравнения.
Правила
Экзаменационный билет № 26.
1. Теорема об условиях существования однозначной и непрерывной неявной
функции. Теорема о производной функции, заданной неявно. Примеры.
2. Числовой ряд с неотрицательными членами. Признаки сходимости числовых
рядов: признак Даламбера, радикальный признак Коши. Примеры.
Экзаменационный билет № 27.
1. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое
условие экстремума функций многих переменных.
2. Абсолютно сходящийся ряд. Условно сходящийся ряд. Признаки
сходимости числовых рядов: признак Лейбница. Примеры.
Экзаменационный билет № 28.
1. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Достаточное
условие экстремума.
2. Функциональный ряд. Точка и область сходимости ряда. Частичная сумма и
сумма функционального ряда.
Экзаменационный билет № 29.
1. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений. Примеры.
2. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса о
равномерной сходимости рядов на множестве.
Экзаменационный билет № 30.
1. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в
форме Пеано и Лагранжа.
2. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного
ряда.
15. 4. Список основных определений по темам курса.
1 часть «Функции. Пределы функций»
1. Множество ограничено снизу (сверху).
2. Множество ограничено (по модулю).
3. Неограниченное множество.
4. Верхняя (нижняя) граница множества.
5. Верхняя (нижняя) грань множества.
6. Функция.
7. Способы задания функций.
8. Функция ограничена снизу (сверху).
9. Функция ограничена (по модулю).
10.Функция строго возрастает (не убывает).
11.Функция строго убывает (не возрастает).
12.Функция периодическая, основной период.
13.Функция чётная, симметричное множество.
14.Функция нечётная, симметричное множество.
15.Последовательность.
16.Последовательность ограничена снизу (сверху).
17.Последовательность ограничена (по модулю).
18.Последовательность бесконечно большая.
19.Последовательность бесконечно малая.
20.Предел последовательности на языке «бесконечно малых».
21.Предел последовательности на языке ε.
22.Что такое число e? Чему равно число е?
23.Последовательность фундаментальная.
24.Предел функции в точке x0 на языке ε - (по Коши).
25.Предел функции в точке x0 на языке последовательностей (по Гейне).
26.Предел функции по базе В.
27.База множеств.
28.Финально ограниченная функция.
29.Эквивалентные бесконечно малые функции (определение).
30.Эквивалентные бесконечно малые функции (примеры).
31.Первый замечательный предел.
32.Второй замечательный предел.
33.Модуль действительного числа.
34.Геометрический смысл предела последовательности.
35.Геометрический смысл предела функции.
2 часть «Непрерывность функции в точке. Дифференцирование функций одной
переменной. Неопределённый интеграл»
36.Функция непрерывна на языке ε - (по Коши).
37.Функция непрерывна на языке последовательностей (по Гейне).
38.Функция непрерывна на языке пределов.
39.Точка разрыва 1 рода.
40.Точка разрыва 2 рода.
41.Функция непрерывна на языке приращений.
42.Функция равномерно непрерывная.
43.Производная функции.
44.Дифференциал функции.
45.Геометрический и механический смысл производной.
46.Касательная к кривой.
47.Локальный максимум (минимум) функции.
48.Несобственный локальный максимум.
49.Несобственный локальный минимум.
50.Производная сложной функции.
51.Производная функции, заданной параметрически.
52.Геометрический смысл теоремы Ферма.
53.Геометрический смысл теоремы Ролля.
54.Геометрический смысл теоремы Коши.
55.Неопределённый интеграл.
3 часть «Метрические пространства. Функции нескольких переменных (ФНП)»
1. Топология. Система подмножеств.
2. Топологическое пространство. Примеры.
3. Открытое множество. Замкнутое множество.
4. Хаусдорфово пространство.
5. Метрика. Метрическое пространство. Примеры.
6. Последовательность Коши.
7. Сходящаяся последовательность.
8. Полное метрическое пространство. Банахово пространство.
9. Линейное (векторное) пространство.
10.Норма. Линейное нормированное пространство.
11.Скалярное произведение в линейном пространстве.
12.Гильбертово пространство. Евклидово пространство.
13.Внутренняя точка множества. Внутренность множества.
14.Внешняя точка множества. Внешность множества.
15.Граничная точка множества. Граница множества.
16.Предельная точка множества.
17.Изолированная точка множества.
18.Покрытие множества. Компакт.
19.Ограниченное множество в метрическом пространстве.
20.Сжимающее отображение в метрическом пространстве.
21.Связное множество в метрическом пространстве.
22.Функция нескольких переменных.
23.Линии уровня. Поверхности уровня.
24.Предел ФНП по Коши.
25.Предел ФНП по Гейне.
26.Непрерывность ФНП по Коши.
27.Непрерывность ФНП по Гейне.
28.Непрерывность ФНП на «языке пределов».
29.Непрерывность ФНП на «языке приращений».
30.ФНП ограничена в области.
31.ФНП равномерно непрерывна.
32.Полное приращение ФНП. Частная производная ФНП.
33.Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
34.ФНП дифференцируема в точке.
35.Полный дифференциал ФНП. Частный дифференциал.
36.Геометрический смысл дифференциала.
37.Производная по направлению для ФНП. Градиент.
38.Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности.
39.Точка локального максимума (минимума) ФНП.
40. Точка экстремума ФНП. Критическая (стационарная) точка ФНП.
41. Матрица Якоби. Якобиан.
42. Точка условного максимума (минимума).
43. Схема исследования ФНП на экстремум.
44. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения ФНП в
замкнутой области.
4 часть «Интегралы. Ряды»
1. Интегральная сумма.
2. Определённый интеграл (интеграл Римана).
3. Функция, интегрируемая по Риману.
4. Криволинейная трапеция, её площадь.
5. Верхняя (нижняя) сумма Дарбу.
6. Геометрический смысл интеграла Римана.
7. Геометрический смысл сумм Дарбу.
8. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
9. Несобственный интеграл 1 рода, 2 рода.
10.Формула для вычисления среднего значения функции через
определённый интеграл.
11.Формула для вычисления площади плоской фигуры через определённый
интеграл.
12.Формула для вычисления объёма тела вращения через определённый
интеграл.
13.Формула для вычисления массы плоской фигуры через двойной интеграл.
14.Двойной интеграл Римана.
15.Геометрический смысл двойного интеграла.
16.Простая (правильная) область на плоскости, в пространстве.
17.Формула для вычисления среднего значения функции через двойной
интеграл.
18.Формула для вычисления площади плоской фигуры через двойной
интеграл.
19.Формула для вычисления объёма тела через двойной интеграл.
20.Формулы перехода к полярной системе координат. Якобиан.
21.Тройной интеграл Римана.
22.Формула для вычисления объёма тела через тройной интеграл.
23.Формула для вычисления массы тела через тройной интеграл.
24.Формулы перехода к цилиндрической системе координат. Якобиан.
25.Формулы перехода к сферической системе координат. Якобиан.
26.Числовой ряд. Общий член ряда. Примеры.
27.Частичная сумма ряда. Сумма ряда.
28.Ряд сходящийся (расходящийся).
29.Остаток ряда.
30.Необходимый признак сходимости ряда.
31.Критерий Коши для сходимости числового ряда.
32.Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Примеры.
33.Мажорирующий ряд (мажоранта).
34.Знакочередующийся ряд. Знакопеременный ряд.
35.Абсолютно сходящийся ряд. Условно сходящийся ряд.
36.Признак сравнения. Предельный признак сравнения.
37.Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена.
38.Признак Д'аламбера.
39.Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
40.Функциональный ряд. Точка и область сходимости. Примеры.
Примечание: если в определении или вопросе Вам попадается слово «интеграл» или
фамилия «Риман», то можете ожидать дополнительный вопрос по статье Римана «О
возможности представления функции посредством тригонометрического ряда».
15.5. Примерные темы курсовых работ – не предусмотрены.
15.5. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – не
предусмотрены.
15.6. Методика исследования (если есть).
Фундаментальные методы исследования.
15.7 Для оценивания знаний студентов по дисциплине применяется
предусмотренная нормативными документами система оценок: «отлично»,
«хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно», а также балльнорейтинговая система (см. п. 19).
16. Методические указания по изучению дисциплины (или её разделов) и
контрольные задания для студентов заочной формы обучения (если
необходимо указать).
Нет заочной формы обучения.
17. Содержательный компонент теоретического материала.
Теоретический (лекционный) материал представлен схематично в виде плана.
Подробно теоретический материал изложен в учебниках, электронные версии
которых имеются на кафедре М и ММЭ:
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубаринов В.Н. Лекции по
математическому анализу. – М.: Высшая школа. – 1999.
2. Ларин А.А. Курс лекций по высшей математике.
1 семестр
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Лекции 1-2: Глава I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Вещественные числа. Система аксиом вещественных чисел.
2. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли
Лекции 3-5: Глава II. ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
3. Функции. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно
большие последовательности и их свойства.
4. Предел последовательности. Теоремы о пределах суммы, разности,
произведения, частного. Предельный переход в неравенствах.
5. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е» и
постоянная Эйлера.
6. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у
ограниченной последовательности. Критерий Коши для сходимости
последовательности.
Лекции 5-6: Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
7. Понятие предела числовой функции. База множеств. Предел функции по
базе. Свойство монотонности предела функции.
8. Критерий Коши существования предела функции по базе. Эквивалентность
определений сходимости по Коши и по Гейне. Теоремы о пределе сложной
функции.
9. Порядок бесконечно малой функции. Замечательные пределы.
Лекции 7-8: Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
10. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных
функций. Непрерывность функции на множестве
11. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке. Понятие равномерной
непрерывности
Лекции 8-10: Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
11. Приращение функции. Дифференциал и производная функции.
Геометрический и механический смысл производной функции. Правила
дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.
12. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа. Производные и дифференциалы
высших порядков. Экстремальные точки. Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя. Выпуклость. Точки перегиба. Исследование функций с
помощью производных.
Лекция 10: Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
13. Первообразная и простейшие способы её нахождения. Замена переменного.
Интегрирование
путём
подстановки.
Интегрирование
по
частям.
Интегрирование
рациональных
дробей.
Интегрирование
некоторых
тригонометрических функцийю Интегрирование выражений, содержащих
радикалы.
2 семестр
ЧАСТЬ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ.
Лекция 1: Глава VII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
1. Основные определения и свойства пространств. Хаусдорфовость
метрического пространства в естественной топологии. Внутренние, внешние и
граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о
последовательности
стягивающихся
шаров.
Принцип
сжимающих
отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятие
компакта. Компакты в Rn и полнота пространства Rn. Свойства непрерывных
функций на компакте. Связные множества и непрерывность.
Лекции 2 – 3: Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
2. Функции в Rn. Предел. Непрерывность. Дифференцируемые функции в Rn.
Частные производные высших порядков. Полный и частные дифференциалы.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Производная по
направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала.
3. Дифференцирование сложных и неявныхфункций. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Инвариантность формы полного дифференциала.
Дифференцирование неявной функции. Локальный экстремум функции многих
переменных. Условный экстремум функции многих переменных.
Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби. Приложение формулы
Тейлора.
ЧАСТЬ III. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
Лекции 4: Глава IХ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
4. Определение интеграла Римана. Критерий интегрируемости функции по
Риману. Метод интегральных сумм. Свойства интеграла Римана как предела по
базе. Классы функций, интегрируемых по Риману. Свойства определенного
интеграла. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования.
Производная интеграла. Теорема Ньютона-Лейбница. Методы вычисления
определенного интеграла. Интегрирование чётных и нечётных функций. Первая
и вторая теоремы о среднем значении.
Лекция 5: Глава X. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.9.
Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Критерий
Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов.
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Несобственные
интегралы второго рода. Формулы замены переменной и интегрирования по
частям в несобственном интеграле.
Лекции 5 – 6: Глава XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.
5. Двойной интеграл Римана. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий Римана
интегрируемости функции на прямоугольнике.
6. Основные свойства двойного интеграла. Переход от двойного интеграла к
повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Тройной интеграл
Римана. Основные свойства тройного интеграла. Переход от тройного
интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле.
Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
ЧАСТЬ IV. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
Лекция 7: Глава XII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
7. Основные определения и свойства сходящихся рядов. Необходимый признак
сходимости ряда. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами.
Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами.
Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Признаки Абеля и
Дирихле. Свойства сходящихся рядов и их сумм.
Лекция 8: Глава XIII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И
РЯДЫ
8.
Основные
определения
функциональных
рядов.
Сходимость
функционального ряда. Равномерная сходимость. Критерий равномерной
сходимости функциональной последовательности. Признаки равномерной
сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Фурье.
18. Словарь терминов.
(страницы указаны Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. (В 3-х
томах). М.: Дрофа; т.1 - 2003, 704с.; т.2 - 2004, 720с.; т.3 - 2006, 351с.
1 часть
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10
Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321
Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362
Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530
- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497
Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319
Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200
Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308
- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220
Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301
- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485
- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61
- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68
- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317
Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590
- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10
Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20
- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222
- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477
- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336
- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15
- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
2 часть
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201
- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263
- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530
- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424
- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
3 часть
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192
Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 219
Действительное линейное пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209
ε-окрестность 100
ε -сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
- Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- с почти скалярным произведением 192
- со скалярным произведением 192
- сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- среднего квадратичного приближения 48
- элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- по направлению 339
- фильтру 338, 340
- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188
- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- медленного роста 291
- основных функций D 280 S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108
- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- в комплексной форме 64
- для нечетной функции 28, 63
- четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов
пространства 156
- последовательность отображений 108
- точек метрического пространства 99
- функционалов 277
- функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств
186, 187
- линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- пространства со скалярным произведением 201, 202
- метрического пространства 116, 120
- пространства CL_ 2, 216, 217
- порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства
106, 107
- почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- пределе отображения по фильтру 341, 343
- фильтра 338
- представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- преобразовании Фурье в пространстве 293, 295, 299
- разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных
элементов 329, 330
- пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- существовании ортонормированных базисов 240
- сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- ортогонализации 224, 225
- эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151,
153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11,
15, 16
- Фейера 42, 44
- Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций
тригонометрическими и алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- линейных ограниченных операторах 172, 175
- минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах
непрерывных функций 48, 50
- преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- производных отображений в линейных нормированных пространствах 182,
183
- равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268
- Топология пространства 331
- Точка пространства 96, 139
- T-периодическая функция 9, 10
- Треугольная матрица 142
- Тригонометрическая система функций 6
- Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- Фурье 9
- Узел 322
- интерполяции 316
- Упорядоченное множество 334
- Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
- Фейер Л. 39, 41
19. Балльно – рейтинговая система.
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
080100.62 Экономика (общий профиль)
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
Шифр дисциплины по РУП: Б.2 Б.1
Дисциплина: Математический анализ
Курс: 1;
Семестр: 1
Кафедра математики и математических методов в экономике
Ф.И.О. преподавателя, звание, должность: Дарбенян А. З., доцент.
252/108
Кол-во семестров 2
7/3
ЛКобщ./тек. сем. 36/20 ПР/СМобщ./тек. сем. 62/36 ЛБобщ./тек. сем.
СРСобщ./тек. сем 154 / 52 Консультации 2 часа
Общ. трудоемкость час/ЗЕТ
Интерактивные формы
общ./тек. сем.
Форма контроля
20/10
ЗАЧЕТ
УСЛОВИЯ НАКОПЛЕНИЯ БАЛЛОВ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ
№
п/п
Содержание задания
Количество
мероприятий
Максимальное
количество
баллов
Срок
предоставления
10
10
По расписанию
По согласованию с
преподавателем
2
20
По согласованию с
преподавателем
2
20
По согласованию с
преподавателем
Вводный блок
1.
2.
3.
Не предусмотрено
Посещение занятий
Кейс – задания
Основной блок
28
2
1. Пределы.
2. Дифференциальное исчисление
4.
5.
Контрольные работы по темам:
1. Пределы.
2. Производная и интеграл.
Коллоквиум
Итого:
Зачет
Итого:
Итого:
3.
Самостоятельная работа
Мини-зачёт по формулам:
«Таблица производных»,
«Таблица интегралов»
Домашняя работа
4.
Сообщение по приложениям
1.
2.
Итого:
60
40
40
100
Дополнительный блок
5
2
16
4
По расписанию
18
10
По расписанию
2
10
По расписанию
40
* Статус дисциплины (по учебному плану): A (обязательная для изучения)
По согласованию с
преподавателем
