СД.Ф.2. ТФДП

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение профессионального образования
«Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
УЧЕБНО−МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
Теория функций действительного переменного
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
050201.00 − «математика – информатика»
Утверждено на заседании кафедры
математического анализа и методики
преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол № 1 от 25 сентября 2008 г.)
Зав. кафедрой
_______________________________
Раздел 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Автор программы: Локоть Вадим Владимирович
1.2 Рецензенты: Зотиков Сергей Васильевич, Мартынов Олег Михайлович
1.3 Пояснительная записка
Цель курса − вооружить будущего учителя строгими обоснованиями изученного им курса
математического анализа и познакомить его с такими важными для преподавания и изучения
математики понятиями, какими являются множество, функция, кривая, мера множества,
интегралы Римана и Лебега.
Завершается курс знакомством с основными структурами
математического анализа: метрические пространства, линейные нормированные пространства,
гильбертовы пространства.
Студенты должны знать: 1) основные понятия теории множеств, 2) свойства счётных
множеств и множеств мощности континуума, 3) строение открытых, замкнутых и совершенных
множеств на прямой, 4) меру Лебега линейного множества, 5) свойства измеримых функций, 6)
определение и свойства интеграла Лебега, 7) определения метрического, банахова,
гильбертового пространства, свойства полных пространств, 8) ряды Фурье в гильбертовом
пространстве.
Студенты должны уметь: 1) доказывать равенство множеств, 2) устанавливать взаимнооднозначное соответствие между эквивалентными множествами, 3) различать счётные
множества и множества мощности континуума, 4) находить полное изменение функции, 5)
уметь представлять функцию с ограниченным изменением в виде разности двух монотонных
функций.
Учебная программа составлена в полном соответствии с требованиями государственного
стандарта высшего образования от 11.02.2005г.
1.4 Извлечение из ГОС ВПО
ДПП. Ф.02 Теория функций действительного переменного − 90
Мощность множества. Счётные и несчётные множества. Строение замкнутых и открытых
множеств на числовой прямой. Мера Лебега. Множества и функции измеримые по Лебегу.
Интеграл Лебега.
Понятие метрического пространства. Полные метрические
пространства. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.
1.5 Объём дисциплины и виды учебной работы
№
п/
п
Шифр и
наименование
специальности
1.
050201.00
Итого
Курс
3
Семестр
5
Виды учебной работы в часах
Вид
Трудоё
мкость
Всего
аудит
орных
Лекции
Практ
ическ
ие
Сам.
раб.
итогово
го
контрол
я
90
90
54
54
30
30
24
24
36
36
2 к/р
экзамен
1.6 Содержание дисциплины
1.6.1 Распределение дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/
п
Наименование раздела, темы
I
1.
1)
4)
5)
5.
II
Общая теория множеств
Эквивалентность множеств. Понятие мощности.
Счётные множества и их свойства
Действия над мощностями.
Арифметика счётной мощности.
Мощность множества рациональных и
алгебраических чисел. Существование несчётных
множеств
Арифметика мощности континуума. Сравнение
мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна.
Мощность множества всех подмножеств.
Мощность множества иррациональных и
трансцендентных чисел
Строение открытых и замкнутых множеств
на прямой
Окрестность точки. Предельная и внутренняя
точки. Открытые и замкнутые множества.
Теоремы о пересечении и объединении открытых и
замкнутых множеств.
Строение открытых, замкнутых и совершенных
множеств. Множество Кантора.
Функции
Верхняя и нижняя грани множества значений
функции. Монотонные функции.
Функции с ограниченным изменением.
Спрямляемые кривые.
Мера Лебега
Мера открытого множества
Мера замкнутого множества. Внутренняя и
внешняя мера произвольного множества.
Мера Лебега и её свойства. Операции над
измеримыми множествами
Понятие измеримой функции.
Последовательность измеримых функций.
Интеграл Лебега
1)
2)
3)
6.
1)
2)
3)
Определение интеграла Лебега
Свойства интеграла Лебега
Сравнение интегралов Римана и Лебега
Метрические пространства
Определение и примеры метрических пространств
Полные метрические пространства
Банахово пространство. Гильбертово пространство
2)
3)
4)
5)
2.
1)
2)
3)
3.
1)
2)
3)
4.
1)
2)
3)
Всег
о
ауди
т.
III
14
Количество часов
Лек- Практи Самосто
ции
ческие ятельна
я
работа
IV
V
VI
6
8
6
1
2
1
2
1
8
2
2
1
2
4
4
6
1
1
1
1
2
6
4
1
1
1
1
7
1
2
9
2
2
6
1
1
2
6
2
1
1
4
6
1
2
1
11
5
1
2
1
2
2
6
2
6
2
6
2
4)
Ряды Фурье в произвольном гильбертовом
пространстве
1
2
1.6.2 Содержание разделов дисциплины
Общая теория множеств
Эквивалентность множеств. Понятие мощности. Счётные множества и их свойства
Действия над мощностями. Арифметика счётной мощности.
Мощность множества рациональных и алгебраических чисел.
Существование несчётных множеств
Арифметика мощности континуума. Сравнение мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна.
Мощность множества всех подмножеств.
Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел
Строение открытых и замкнутых множеств на прямой
Окрестность точки. Предельная и внутренняя точки.
Открытые и замкнутые множества.
Теоремы о пересечении и объединении открытых и замкнутых множеств.
Строение открытых, замкнутых и совершенных множеств. Множество Кантора.
Функции
Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Монотонные функции.
Функции с ограниченным изменением. Спрямляемые кривые.
Мера Лебега
Мера открытого множества Мера замкнутого множества.
Внутренняя и внешняя мера произвольного множества.
Мера Лебега и её свойства. Операции над измеримыми множествами
Понятие измеримой функции. Последовательность измеримых функций.
Интеграл Лебега
Определение интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега.
Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Метрические пространства
Определение и примеры метрических пространств. Полные метрические пространства.
Банахово пространство. Гильбертово пространство.
Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
1.
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Общая теория множеств
Строение открытых и
замкнутых множеств на
прямой. Функции
Форма
самостоятельной
работы
Домашние задания
Коллоквиум
Контрольная работа
Количество
часов
14
(6)
(4)
(4)
Форма контроля
самостоятельной
работы
Проверка домашних
заданий
Индивидуальное
собеседование
Проверка и анализ
результатов
контрольной работы
2.
Мера Лебега
Интеграл Лебега
Метрические пространства
Домашние задания
Коллоквиум
Контрольная работа
22
(8)
(8)
(6)
Проверка домашних
заданий
Индивидуальное
собеседование
Проверка и анализ
результатов
контрольной работы
Экзамен
1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
Планы проведения практических занятий
Практическое занятие № 1
Тема: Операции над множествами
Вопросы для обсуждения:
1. Действия над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение, симметричная
разность, произведение).
2. Формулы двойственности.
Литература: [2], стр. 13 – 16, [3], стр. 5 – 11, [4], стр. 5 – 13.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2413, № 2415, № 2417, № 2419, № 2421, № 2423, № 2425, № 2427, № 2429, № 2431,
№ 2433, № 2435, № 2437, № 2439, № 2441, № 2443, № 2445. [5], № 10.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 16 – 30, [3], стр. 11 – 24, [4], стр. 14 – 28.
Практическая часть: [8], № 2414, № 2416, № 2418, № 2420, № 2422, № 2424, № 2426, № 2428,
№ 2430, № 2432, № 2434, № 2436, № 2438, № 2440, № 2442, № 2444.
Практическое занятие № 2
Тема: Отображения множеств
Вопросы для обсуждения:
1. Взаимно однозначное соответствие.
2. Эквивалентность множеств.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2447, № 2449, № 2451, № 2453, № 2457, № 2459, № 2461, № 2463, № 2465, [5], № 27,
№ 29, № 31, № 33, № 35, № 37, № 39, № 41, № 43, № 45, № 47, № 49, № 51, № 58, № 59, № 60.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 16 – 30, [3], стр. 18 – 24, 51 – 55, [4], стр. 22 – 28, 49 - 56.
Практическая часть: [8], № 2446, № 2448, № 2450, № 2452, № 2454, № 2456, № 2458, № 2460,
№ 2462, № 2464, № 2466, [5], № 28, № 30, № 32, № 34, № 36, № 38, № 40, № 42, № 44, № 46,
№ 48, № 50, № 52.
Практическое занятие № 3
Тема: Мощность множества
Вопросы для обсуждения:
1. Счётные множества.
2. Множества мощности континуума.
3. Сравнение мощностей.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2467, № 2469, № 2471, № 2475, № 2477, № 2479, № 2481, № 2483, № 2485, № 2487,
№ 2489, № 2491 [5], № 61, № 63, № 65, № 67, № 73, № 75, № 79, № 81, № 83, № 85.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 51 – 54, [3], стр. 62 – 68, [4], стр. 60 – 78.
Практическая часть: [8], № 2468, № 2470, № 2472, № 2474, № 2476, № 2478, № 2480, № 2482,
№ 2484, № 2486, № 2488, № 2490 [5], № 62, № 64, № 68, № 75.
Практическое занятие № 4
Тема: открытые и замкнутые множества
Вопросы для обсуждения:
1. Основные понятия теории точечных множеств.
2. Теоремы Больцано – Вейерштрасса.
3. Открытые и замкнутые множества.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2493, № 2495, № 2497, № 2499, № 2501, № 2503, № 2505, № 2507, [5], № 150, № 153,
№ 155, № 163.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 51 – 54, [3], стр. 62 – 68, [4], стр. 60 – 78.
Практическая часть: [8], № 2492, № 2494, № 2496, № 2498, № 2500, № 2502, № 2504, № 2506,
[5], № 152, № 154, № 162.
Практическое занятие № 5
Тема: Точечные множества
Вопросы для обсуждения:
1. Плотные и нигде не плотные множества.
2. Совершенные множества.
3. Множество Кантора.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2519, [5], № 213, № 225, № 226, № 227, № 235, № 236, № 237, № 241, № 244, № 282,
№ 283.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 87 – 127, [4], стр. 88 – 119.
Практическая часть: [8], № 2518, № 2520, [5], № 220, № 224, № 228, № 239, № 240, № 242,
№ 246, № 284.
Практическое занятие № 6
Тема: Контрольная работа
Практическое занятие № 7
Тема: Функции
Вопросы для обсуждения:
1. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание функции на множестве и в точке.
2. Точки разрыва.
3. Функции с ограниченным изменением.
4. Спрямляемые кривые.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], стр. 114 – 116, № 1, № 3, № 5, № 7, № 9, № 11, № 13, № 15, № 17, № 19, № 21,
№ 23, № 27, № 29, № 31.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [3], стр. 138 – 152, [4], стр. 122 – 138.
Практическая часть: [3], стр. 114 – 116, № 2, № 4, № 6, № 8, № 10, № 12, № 14, № 16, № 18,
№ 20, № 22, № 26, № 28, № 30.
Практическое занятие № 8
Тема: Мера Лебега
Вопросы для обсуждения:
1. Мера открытого множества.
2. Мера замкнутого множества.
3. Внутренняя и внешняя мера произвольного множества.
4. Понятие измеримой функции.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[7], № 2525, № 2527, № 2529, № 2531, № 2533, № 2535, № 2537, № 2539, № 2541, № 2547,
№ 2551, № 2553, № 2555, №2561.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [3], стр. 150 – 170, [4], стр. 139 – 162.
Практическая часть: [7], № 2526, № 2528, № 2530, № 2532, № 2534, № 2536, № 2538, № 2550,
№ 2552, № 2554, № 2556, № 2558, № 2560.
Практическое занятие № 9
Тема: Интеграл Лебега
Вопросы для обсуждения:
1. Определение интеграла Лебега.
2. Свойства интеграла Лебега.
3. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2571, № 2573, № 2575, № 2577, № 2579, № 2581, № 2583, № 2585, № 2587, № 2589,
№ 2591.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 31 – 80.
Практическая часть: [8], № 2570, № 2572, № 2574, № 2576, № 2578, № 2580, № 2582, № 2584,
№ 2586, № 2588, № 2590, № 2592.
Практическое занятие № 10
Тема: Метрические пространства
Вопросы для обсуждения:
1. Определение метрического пространства.
2. Примеры метрических пространств.
3. Полные метрические пространства.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2613, № 2615, № 2617, № 2619, № 2621, № 2623, [5], № 119, № 123.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 104 – 150.
Практическая часть: [8], № 2612, № 2614, № 2616, № 2618, № 2620, № 2622, [5], № 118, № 122.
Практическое занятие № 11
Тема: Линейные нормированные пространства
Вопросы для обсуждения:
1. Определение линейного нормированного пространства.
2. Банахово пространство.
3. Гильбертово пространство.
4. Линейный функционал. Норма функционала.
5. Линейный оператор. Норма оператора.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2625, № 2627, № 2629, № 2631, № 2633, № 2635, № 2637, № 2639, № 2641.
Домашнее задание:
Практическая часть: [8], № 2624, № 2626, № 2628, № 2630, № 2636, № 2638, №2640.
Практическое занятие № 12
Тема: Контрольная работа
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Рекомендуемая литература:
Основная
1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М., 1957.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
Москва – Ижевск. 2002.
3. Макаров И.П. Теория функций действительной переменной. – М., 1958.
4. Фролов Н.А. Теория функций действительной переменной. – М., 1961.
5. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. – М.. 1968.
6. Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительной переменной. – М.,
1981.
7. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. – М.,
1978.
8. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.
– М., 1973.
Дополнительная
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
М., 1960.
2. Лузин Н.Н. Теория функций действительной переменной. – М., 1948.
3. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. – М., 1965.
4. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. – М., 1965.
5. Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Элементы теории функций действительной переменной. – Ленинград, 1987.
6. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. – М. 1965.
7. Виленкин Н. Я. В поисках бесконечности. – М., 1983.
8. Теляковский С.А. Сборник задач по теории функций действительного переменного. – М.,
1980.
1. 10. Примерные зачётные тестовые задания.
Контрольная работа № 1 (три варианта)
1. Доказать равенства: а) A \ ( B \ C )  ( A \ B) ( A C ), б) ( A \ B) \ C  ( A \ C ) \ ( B \ C ),
в) ( A \ B) ( B \ C ) (C \ A) ( A B C )  A B C.
2. Установить взаимно однозначное соответствие:
а) между множеством натуральных чисел и множеством всех целых чисел;
б) между множеством натуральных чисел и множеством всех нечётных чисел;
в) между множеством всех неотрицательных рациональных чисел и множеством всех
натуральных чисел.
3. Найти взаимно однозначное отображение:
а) интервала  a; b  на всю числовую прямую; б) числовой прямой на интервал  a; b  ;
в) отрезка [ a; b] на отрезок [0; 1].
4. Какова мощность множества:
а) всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?
б) всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?
в) всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра
которых – рациональные числа?
5. Найти замыкание множества всех точек вида:
p2
а) 2 , где p и q  всевозможные целые числа, причём q  0.
q
p
q
б) 2 , где p и q  всевозможные натуральные числа,
q2
, p и q  всевозможные целые числа, отличные от нуля.
в)
4 p2  q2
Контрольная работа № 2 (три варианта)
1. Найдите полное изменение функции f на отрезке [ a; b] . Найдите для функции f две
монотонные функции
 и  такие, что f ( x)   ( x)  ( x) на [a; b] .
0 при x  0,

а) f ( x)  1  x при 0  x  1, на отрезке [0; 1];
5 при x  1

 x  1 при x  1,

б) f ( x)  10 при x  1, на отрезке [0; 2];
 2
 x при x  1,
 x 2 при x  [0; 1),

в) f ( x)  0 при x  1, на отрезке [0; 2].
1 при x  (1; 2],

Постройте графики функций f , , .
2. Проверьте, являются ли метриками следующие функции:
3
3
а)  ( x, y) | x  y |, x, y  R ;
б)
 ( x, y ) | arctgx  arctgy |, x, y  R ;
в)
 ( x, y) | x  y |, x, y  R, x  0, y  0.
1.11 Примерный перечень вопросов к экзамену.
1. Мощность множества
1. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
2. Счётные множества и их свойства.
3. Действия над мощностями.
4. Арифметика счётной мощности.
5. Мощность множества рациональных чисел.
6. Мощность множества алгебраических чисел.
7. Существование несчётных множеств.
8. Арифметика мощности континуума.
9. Сравнение мощностей.
10. Теорема Кантора-Бернштейна.
11. Мощность множества всех подмножеств непустого множества.
12. Мощность континуума как мощность множества всех подмножеств счётного множества.
13. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел.
14. Пример множества, имеющего мощность, большую, чем мощность континуума.
2. Множества на числовой прямой.
1. Окрестность точки. Предельная точка. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные
определения.
2. Теорема о дополнении к замкнутому множеству.
3. Теорема о дополнении к открытому множеству.
4. Теорема об объединении открытых множеств.
5. Теорема о пересечении открытых множеств.
6. Теорема об объединении замкнутых множеств. Формулы двойственности.
7. Теорема о пересечении замкнутых множеств. Формулы двойственности.
8. Строение открытых множеств на прямой.
9. Строение замкнутых множеств на прямой.
10. Строение совершенных множеств на прямой.
11. Множество Кантора и его свойства.
3. Функции.
1. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Колебание функции.
2. Монотонные функции.
3. Функции с ограниченным изменением.
4. Классы функций с ограниченным изменением.
5. Свойства функций с ограниченным изменением.
6. Аддитивность полной вариации.
7. Спрямляемые кривые.
4. Мера Лебега.
1. Мера открытых множеств.
2. Мера замкнутых множеств.
3. Внутренняя и внешняя меры произвольного множества.
4. Мера Лебега и её свойства.
5. Отделимость замкнутых множеств.
6. Аддитивность меры.
7. Операции над измеримыми множествами.
5. Измеримые функции.
1. Понятие измеримой функции. Характеристические функции.
2. Свойства измеримых функций.
3. Последовательности измеримых функций.
4. Сходимость почти везде.
5. Сходимость по мере.
6. Теоремы Д.Ф. Егорова и Н.Н. Лузина.
6. Интеграл Лебега.
1. Строение верхних и нижних сумм Лебега.
2. Свойства верхних и нижних сумм Лебега.
3. Определение интеграла Лебега.
4. Свойства интеграла Лебега.
5. Предельный переход под знаком интеграла.
6. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
7. Метрические пространства.
1. Понятие метрического пространства.
2. Полные метрические пространства.
3. Банаховы пространства.
4. Гильбертово пространство.
5. Теорема Банаха о сжимающих отображениях.
6. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.
1.12. Комплект экзаменационных билетов.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция №1
Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
1. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
2. Счётные множества и их свойства.
3. Действия над мощностями.
4. Арифметика счётной мощности.
5. Мощность множества рациональных чисел.
6. Мощность множества алгебраических чисел.
Лекция №2
Существование несчётных множеств. Арифметика мощности континуума.
1. Существование несчётных множеств.
2. Арифметика мощности континуума.
3. Сравнение мощностей.
4. Теорема Кантора-Бернштейна.
Лекция №3
Мощность множества всех подмножеств непустого множества.
1. Мощность множества всех подмножеств непустого множества.
2. Мощность континуума как мощность множества всех подмножеств счётного множества.
3. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел.
4. Пример множества, имеющего мощность, большую, чем мощность континуума.
Лекция №4
Теоремы о дополнении, объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств.
1. Окрестность точки. Предельная точка. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные
определения.
2. Теорема о дополнении к замкнутому множеству.
3. Теорема о дополнении к открытому множеству.
4. Теорема об объединении открытых множеств.
5. Теорема о пересечении открытых множеств.
6. Теорема об объединении замкнутых множеств. Формула двойственности.
7. Теорема о пересечении замкнутых множеств. Формула двойственности.
Лекция №5
Строение открытых, замкнутых и совершенных множеств на прямой.
1. Строение открытых множеств на прямой.
2. Строение замкнутых множеств на прямой.
3. Строение совершенных множеств на прямой.
4. Множество Кантора и его свойства.
Лекция №6
Функции с ограниченным изменением.
1. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Колебание функции.
2. Монотонные функции.
3. Функции с ограниченным изменением.
4. Классы функций с ограниченным изменением.
Лекция №7
Спрямляемые кривые.
1. Свойства функций с ограниченным изменением.
2. Аддитивность полной вариации.
3. Спрямляемые кривые.
Лекция №8
Мера открытых множеств. и замкнутых множеств.
1. Мера открытых множеств.
2. Мера замкнутых множеств.
Лекция №9
Мера Лебега и её свойства.
1. Внутренняя и внешняя меры произвольного множества.
2. Мера Лебега и её свойства.
3. Отделимость замкнутых множеств.
Лекция №10
Операции над измеримыми множествами.
1. Аддитивность меры.
2. Операции над измеримыми множествами.
Лекция №11
Измеримые функции.
1. Понятие измеримой функции. Характеристические функции.
2. Свойства измеримых функций.
3. Последовательности измеримых функций.
4. Сходимость почти везде.
5. Сходимость по мере.
6. Теоремы Д.Ф. Егорова и Н.Н. Лузина.
Лекция №12
Интеграл Лебега.
1. Строение верхних и нижних сумм Лебега.
2. Свойства верхних и нижних сумм Лебега.
3. Определение интеграла Лебега.
Лекция №13
Свойства интеграла Лебега.
1. Свойства интеграла Лебега.
2. Предельный переход под знаком интеграла.
3. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Лекция №14
Метрические пространства.
1. Понятие метрического пространства.
2. Полные метрические пространства.
3. Банаховы пространства.
4. Гильбертово пространство.
Лекция №15
Сжимающие отображения.
1. Определение сжимающего отображения
2. Теорема Банаха о сжимающих отображениях.
3. Применение теоремы Банаха.
Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий)
(страницы указаны в кн. Л.Д.Кудрявцева
"Курс математического анализа" . Все тома есть в электронной библиотеке факультета )
Часть 1
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10
Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321
Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362
Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530
- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497
Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319
Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200
Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308
- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220
Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301
- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485
- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61
- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68
- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317
Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590
- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10
Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20
- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222
- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477
- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336
- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15
- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
Часть 2
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201
- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263
- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530
- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424
- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
Часть 3
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192
Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19
Действительное линейное пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- - - по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209
\varepsilon-окрестность 100
\varepsilon-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- - в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
- - Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- - с почти скалярным произведением 192
- - со скалярным произведением 192
- - - сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- - - - - среднего квадратичного приближения 48
- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- - по направлению 339
- - - фильтру 338, 340
- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188
- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- - - медленного роста 291
- основных функций D 280
- - - S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108
- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- - в комплексной форме 64
- - для нечетной функции 28, 63
- - - четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156
- последовательность отображений 108
- - точек метрического пространства 99
- - функционалов 277
- - функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- - - среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187
- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- - - - пространства со скалярным произведением 201, 202
- - - метрического пространства 116, 120
- - - пространства CL_ 2, 216, 217
- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107
- - почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- - пределе отображения по фильтру 341, 343
- - - фильтра 338
- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295
- - - - - - S' 299
- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330
- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- - существовании ортонормированных базисов 240
- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- - ортогонализации 224, 225
- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16
- Фейера 42, 44
Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и
алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- - линейных ограниченных операторах 172, 175
- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах непрерывных
функций 48, 50
- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183
- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- - ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268
Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
T-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций 6
Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- - Фурье 9
Узел 322
- интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач
1. Примеры решения задач.
1. Доказать равенство:
( B \ C ) (C \ A) ( A B C )  A B C.
Решение. Пусть x принадлежит левой части равенства. По определению объединения
множеств x принадлежит по крайней мере одному из четырёх множеств. Пусть, например,
x  A / B. Тогда x  A и, следовательно, принадлежит правой части равенства. Аналогично
рассматриваем случаи x  B / C и x  C / A. Если x  A B C , то x принадлежит всем
множествам, поэтому x принадлежит правой части.
Обратно. Пусть y принадлежит правой части. Тогда y принадлежит по крайней мере
одному из множеств A, B, C. Пусть, например, y  A. Если y  B , то y  A / B и
принадлежит левой части равенства. Пусть теперь y  B . Если y  C , то y  B / C и,
следовательно, принадлежит левой части. Пусть, наконец, y  A, y  B, y  C. В этом случае
y  A B C и принадлежит левой части. Равенство доказано.
( A \ B)
2. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех
положительных рациональных чисел и множеством всех натуральных чисел.
p
p
, где p, q  N и дробь
несократима,
q
q
поставим в соответствие число n  p  q - «вес» числа r . Далее все положительные
Решение. Каждому рациональному числу r 
рациональные числа запишем в порядке возрастания их «веса», а в случае равенства веса
меньшее число предшествует большему. Получили последовательность
1 1 1 2 3
1, ,2, ,3, , , ,4,... Этим самым мы показали, что множество всех положительных
2 3 4 3 2
рациональных чисел – счётное, т.е. установили взаимно однозначное соответствие.
1  1,
1
1
1
 2, 2  3,  4, 3  5,  6,...
2
3
4
3. Найти взаимно однозначное отображение отрезка [ a; b] на отрезок [0; 1].
Решение. Взаимно однозначное отображение отрезка [ a; b] на отрезок [0; 1] можно
осуществить, например, с помощью линейной функции y   x   . При этом будем считать,
 a    0
 b    1.
что точка a переходит в 0, а b в 1. Получим систему уравнений 
Решая систему, найдём

1
a
xa
.
,  
. Таким образом, y 
ba
ba
ba
4. Какова мощность множества всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны
и координаты центра которых – рациональные числа?
Решение. Каждая окружность на плоскости определяется упорядоченной тройкой чисел
( x, y, r ) - где x и y  абсцисса и ордината центра окружности, r  радиус окружности. По
условию - x, y, r  рациональные числа, т.е. принимают счётное множество значений. На
основании теоремы:
«если элементы некоторого множества A можно занумеровать с помощью конечного числа
индексов, каждый из которых принимает счётное множество значений, то множество A 
счётное» делаем вывод о счётности множества окружностей.
2. Тексты задач для самостоятельного решения.
1. Доказать равенства: а) A \ ( B \ C )  ( A \ B)
( A C ), б) ( A \ B) \ C  ( A \ C ) \ ( B \ C ),
2. Установить взаимно однозначное соответствие:
а) между множеством натуральных чисел и множеством всех целых чисел;
б) между множеством натуральных чисел и множеством всех нечётных чисел;
3. Найти взаимно однозначное отображение:
а) интервала  a; b  на всю числовую прямую; б) числовой прямой на интервал  a; b  ;
4. Какова мощность множества:
а) всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?
б) всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?
5. Найти замыкание множества всех точек вида:
p2
а) 2 , где p и q  всевозможные целые числа, причём q  0.
q
p
q
б) 2 , где p и q  всевозможные натуральные числа,
q2
, p и q  всевозможные целые числа, отличные от нуля.
в)
4 p2  q2
6. Найдите полное изменение функции f на отрезке [ a; b] . Найдите для функции f две
монотонные функции
 и  такие, что f ( x)   ( x)  ( x) на [a; b] .
0 при x  0,

а) f ( x)  1  x при 0  x  1, на отрезке [0; 1];
5 при x  1

 x  1 при x  1,

б) f ( x)  10 при x  1, на отрезке [0; 2];
 2
 x при x  1,
 x 2 при x  [0; 1),

в) f ( x)  0 при x  1, на отрезке [0; 2].
1 при x  (1; 2],

Постройте графики функций f , , .
7. Проверьте, являются ли метриками следующие функции:
3
3
а)  ( x, y) | x  y |, x, y  R ;
б)
 ( x, y ) | arctgx  arctgy |, x, y  R ;
в)
 ( x, y) | x  y |, x, y  R, x  0, y  0.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы
Характер
изменений в
программе
Номер и дата протокола
заседания кафедры, на
котором было принято
данное решение
Подпись
заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесённое
изменение
Подпись декана
факультета,
утверждающего
данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О. учёное звание и степень
преподавателя
Локоть Вадим Владимирович – кандидат
физико-математических наук, доцент
Учебный
год
2007/08
Факультет
Специальность
ФизикоМатематикаматематический физика