Образцы заданий для контрольны

Приложение 3.
Образцы практических заданий для проведения занятий и контроля усвоения
материала по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Занятие 1.
"Определители и матрицы".
1. Вычислить определители
7
6
a)  3  2
1 1
2
b) 2
1 2
2 2
1
c)
1 3 3 2
1
0 1 1
0 5 1 3
3 2 2
1
2. Найти линейную комбинацию 2 A  3B матриц
4  2
1
0
3
 2




A =  1 1
3 ., B =  3  4
2 .
3  3
5
5 
4  6 


3. Найти произведение матриц A  B и B  A, если
4
 2


 0  4 1
 1  4
, B = 
A = 
0 1
3
4
3






Занятие 2.
"Линейные системы".
1. Решить систему уравнений двумя способами:
а) методом Крамера, b) методом Гаусса. Сделать проверку.
3x  4 y  2 z = 26

 x  y  3z = 2
3x  3 y  5 z = 2

2. Найти общее решение неоднородной системы
3x  2 y  3z = 5

 z =1
2 x  y
3. Найти ненулевые решения однородной системы.
 x1  x2

2 x1  3x2
3x  4 x
2
 1
 x3
 x4
 5 x5
=0
 3x3
 2 x3
 x4
 x5
 4 x5
=0
=0
Занятие 3.
"Векторная алгебра".



1. Даны три вектора a = {3;1;2}, b = {4;3; 2}, c = {2;1; 1}.
Требуется найти:

 

a) вектор d = 3a  2b  c , его модуль и направляющие косинусы,

записать орт вектора d 0
2. Даны три вершины параллелограмма ABCD :
A(2;1;3), B(4;2;0), C (0;3; 4) . Определить:
a) координаты четвертой вершины D
b) длины сторон и длины диагоналей параллелограмма.



3. Доказать, что векторы a = {0;3;1}, b = {1; 2;0}, c = {1;0;1}

образуют базис и найти разложение вектора x = {2;7;5} в этом базисе.
Занятие 4.
"Векторная алгебра".



1. Даны три вектора a = {3;1;2}, b = {4;3; 2}, c = {2;1; 1}.
Требуется найти:
   
a) скалярное произведение векторов (a  c )  (b  a )
 
 
b) векторное произведение векторов [( a  c )  (b  a )]
  
c) смешанное произведение векторов ([ a , b ], c )


2. Найти модули векторов (2a  4b ) и


 
| a |= 3, | b |= 1, (a ,  b ) = 1350


(3a  2b ) ,
если
3. Даны три вершины параллелограмма ABCD :
A(2;1;3), B(4;2;0), C (0;3; 4) . Определить:
a) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB,
b) косинус острого угла между диагоналями AC и BD .
4. Доказать, что четыре точки
A(4;2;6), B(2;3;0), C (10;5;8), D(4;0;2)
лежат в одной плоскости.
5. В пирамиде ABCD с вершинами в точках
A(3;1;4), B(1;5;4), C (2;2; 3), D(2;5;1)
найти объем пирамиды пирамиды и длину ее высоты, опущенной на
грань ABC.
Занятие 5.
"Прямая на плоскости".
1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(5;3)
a) параллельно прямой x = 2t  8; y = 3t  4 ;
b) перпендикулярно прямой y = 3x  5 ;
c) под углом 45o к прямой x = 2 y.
Построить эти прямые в системе координат. Записать вектор нормали


N , направляющий вектор s и угловой коэффициент k для каждой прямой.
2. Даны вершины треугольника A(1;7), B(1;5), C (3;2).
Составить: a) уравнение стороны AB и найти ее длину ,
b) уравнение медианы ВМ и найти ее длину,
c) уравнение высоты СH и найти ее длину,
d) косинус угла между медианой BM и высотой CH.
Занятие 6.
"Кривые на плоскости".
1. Привести уравнения линий к каноническому виду и построить:
1) 2 x 2  y 2  4 x  4 = 0
2) y 2  4 y  20 x  24 = 0
3) x = 5  2 y 2  9
4) x 2  y 2 = 6 x  8 y
5) x = 3  y 2
6) y  2 = ( x  3) 2
7) x 2  y 2  10 x  6 y  9 = 0
9) x 2  9 y 2 = 36 y
8) x 2  2 x  2 y 2  4 y  5 = 0
10) x = 3  2 1  y
2. Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах:
1)  = 4 sin ,
2)  =
6
.
2 cos   3 sin 
3. Построить линии, заданные параметрическими уравнениями:
 x = 4 cos t
1) 
 y = sin t
x = t
2) 
 y = 2t  4
Занятие 7.
"Прямая и плоскость".
1. Составить уравнения плоскостей, которые проходят:
a) через точку M 0 (4;2;5) перпендикулярно двум плоскостям
2 x  2 y  z  1 = 0, 4 x  3 y  2 z = 0 ;
b) через три точки A(3;4;1), B(1;1;0), C (2;0;1) ;
c) через точку A(4;3;2) перпендикулярно прямой
x  5 y z 1
= =
2
4
9
2. Составить канонические уравнения прямых, которые проходят:

a) через точку M 0 (2;4; 5) параллельно вектору a = {3;2; 2} ;
b) через две точки A(1;5;2), B(5;1;0) ;
c) через точку M 0 (2;3; 4) в направлении, которое составляет с
осями координат OX и OY углы 1200 и 450 соответственно;
d) через точку M 0 (1;3;1) перпендикулярно плоскости
x  5 y  2z 1 = 0
3. Найти точку пересечения и угол между прямой
x = 4t  2, y = t  5, z = 5t  1 и плоскостью 3x  2 y  2 z  6 = 0.
4. Определить расстояния от точки M1(0;5;4) до плоскости
x  4 y  3z  4 = 0 и до прямой x = 5t  3, y = t  2, z = 1
Занятие 8
"Поверхности".
Построить поверхности
a) 2 x  4 y  5 z = 8
b) 3x  7 z = 14
c) x 2  z 2 = 2 z
d ) x 2  y 2 = ( z  2) 2
e) x 2 
y2 z2

=1
4 16
g ) 6 = 3x 2  2 z 2
f ) x2  z 2 = 4
h) z = 3 y  3