§ КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

§ КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА
(ПО ДЛИНЕ ДУГИ)
1. Задача, приводящая к понятию криволинейного
интеграла I рода
Пусть () – спрямляемая1) кривая в пространстве Oxyz , вдоль которой распределена масса. Определим массу кривой () , если плотность
распределения массы в каждой точке M ( x, y, z )  () равна  ( x, y, z ) .
Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем кривую ()
на n дуг (1 ) , ( 2 ) , …, ( n ) . На каждой дуге ( i ) выберем произвольную точку Pi (i ; i ;  i ) . Если дуга ( i ) мала, то можно считать
ее однородной, с плотностью распределения массы  (i ; i ;  i ) . Тогда
приближенное значение массы mi дуги ( i ) будет равно
mi   (i ; i ;  i )   i ,
где  i – длина ( i ) . Так как масса m всей кривой () равна сумме
масс ее частей, то
n
n
i 1
i 1
m   mi    (i ; i ;  i )   i .
n
Причем разность
m    (i ; i ;  i )   i
будет тем меньше, чем мельче
i 1
разбиение кривой () . Следовательно, точное значение массы кривой будет равно
m  lim
 0
n
  (i ; i ;  i )   i ,
(1)
i 1
где  – наибольшая из длин  i .
К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы,
отвлекаясь от их конкретного содержания.
1)
Кривая () называется спрямляемой, если она имеет длину.
1
2. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода
Пусть () – спрямляемая кривая в пространстве Oxyz и на кривой
() задана функция u  f ( x, y, z ) .
1. Разобьем кривую () произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек:
(1 ) , ( 2 ) , …, ( n ) .
2. На каждой дуге ( i ) выберем произвольную точку Pi (i ; i ;  i ) и
вычислим произведение f ( Pi )   i  f (i ; i ;  i )   i , где  i – длина
дуги ( i ) .
n
Сумму
I n ( i , Pi )   f ( Pi )   i
назовем интегральной суммой
i 1
для функции f ( x, y, z ) по кривой () (соответствующей данному разбиению кривой () и данному выбору точек Pi ). Очевидно, что интегральная сумма I n ( i , Pi ) зависит от способа разбиения кривой () и выбора
точек Pi и, следовательно, для функции f ( x, y, z ) по кривой () можно
записать множество различных интегральных сумм.
Пусть  – наибольшая из длин  i .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число I называется пределом интегральных
сумм I n ( i , Pi ) при   0 (обозначают lim I n ( i , Pi ) ), если для любо 0
го   0 существует   0 такое, что для любого разбиения кривой ()
у которого    , при любом выборе точек Pi выполняется неравенство
I n ( i , Pi )  I   .
Если существует конечный предел интегральных сумм I n ( i , Pi )
при   0 , то его называют криволинейным интегралом I рода (по
длине дуги) от функции f ( x, y, z ) по кривой () .
Криволинейный интеграл I рода от функции f ( x, y, z ) по кривой ()
обозначают
 f ( x, y, z)d
()
( f ( x, y, z ) называют подынтегральной функцией, () – областью интегрирования, x, y, z – переменные интегрирования, d – дифференциал длины
дуги).
Если существует  f ( x, y, z )d , то функция f ( x , y ) называется ин()
тегрируемой по кривой () .
2
Из определения следует, что криволинейный интеграл I рода не зависит от того, в каком направлении пробегается кривая ()  ( AB ) , т.е.
 f ( x, y, z)d   f ( x, y, z)d .
( AB )
( BA)
Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода
будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.
Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же,
как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.
Приведем эти свойства без доказательства.
СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА
1.
 d   ,
где  – длина кривой () .
()
2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е.  c  f ( x, y, z )d  c   f ( x, y, z )d .
()
()
3. Криволинейный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е.
  f1( x, y, z)  f2 ( x, y, z)d   f1( x, y, z)d   f2 ( x, y, z)d .
()
()
()
4. Если кривая () разбита на две части (1 ) и ( 2 ) , не имеющие общих внутренних точек, то
 f ( x, y, z)d   f ( x, y, z)d   f ( x, y, z)d
()
(1 )
( 2 )
(свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода).
5. Если всюду на кривой () функция f ( x, y, z )  0 ( f ( x, y, z )  0 ), то
 f ( x, y, z)d  0 .
()
f ( x, y, z )   ( x, y, z ) ( f ( x, y, z )   ( x, y, z ) ),
6. Если всюду на кривой ()
то
 f ( x, y, z)d    ( x, y, z)d .
()
()
7. (следствие свойств 6 и 1) Если m и M – соответственно наименьшее и
наибольшее значения функции f ( x, y, z ) на кривой () , то
m 
 f ( x, y, z)d  M   ,
()
где  – длина кривой () .
3
8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция
f ( x, y, z ) непрерывна на кривой () 1, то найдется такая точка
P0 ( x0 ; y0 ; z0 )  () , что справедливо равенство
 f ( x, y, z)d  f ( x0 ; y0 ; z0 )   ,
()
где  – длина кривой () .
3. Вычисление криволинейного интеграла I рода
Пусть кривая () задана параметрическими уравнениями:
x   (t ) , y   (t ) , z   (t ) (где   t   ).
(2)
Если функции x   (t ) , y   (t ) , z   (t ) имеют на [ ;  ] непрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно, то
кривая () называется гладкой.
Если функции x   (t ) , y   (t ) , z   (t ) имеют на [ ;  ] кусочнонепрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно,
за исключением конечного числа точек, то кривая () называется кусочно-гладкой.
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если () – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и
функция f ( x, y, z ) непрерывна на () , то f ( x, y, z ) интегрируема по
кривой () и справедливо равенство

 f ( x, y, z)d   f  (t ), (t ),  (t ) 
( (t )) 2  ( (t )) 2  (  (t )) 2 dt .
(3)

()
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По определению
n
I n ( i , Pi )  lim  f (i ; i ;  i )   i .
 f ( x, y, z)d  lim
0
 0
i 1
()
Так как Pi (i ; i ;  i )  () , то  i  [ ;  ] такое, что
1
Функция f ( x, y, z ) называется непрерывной на кривой () , если M 0  () выполняется условие lim f ( M )  f ( M 0 ) . Если это условие выполнено в каждой
M M0
M (  )
точке кривой, за исключением конечного числа точек, в которых функция f ( x, y, z )
имеет разрывы I рода, то функция называется кусочно-непрерывной на кривой () .
4
i   ( i ) , i   ( i ) ,  i   ( i ) .
Следовательно,

()
f ( x, y, z )d  lim
 0
n
 f  ( i );  ( i );  ( i )   i .
i 1
Найдем  i . Пусть M i ( xi ; yi ; zi ) , M i 1 ( xi 1; yi 1; zi 1 ) – начало и конец дуги ( i ) . Если ( i ) мала, то можно предпо( i )
M i 1
лагать, что
Pi
 i  M i M i 1  Pi M i 1 .
⇒  i  ( xi 1  i )2  ( yi 1  i )2  ( zi 1   i )2 .
Mi
xi 1  i   (ti )   ( i )   ( i )  d ( i ) ,
Но
d ( i )   ( i )  (ti   i )   ( i )  ti .
xi 1  i   ( i )  ti .
Следовательно,
yi 1  i   ( i )  ti и zi 1   i   ( i )  ti .
Аналогично
Таким образом,
 i  ( ( i )  ti )2  ( ( i )  ti )2  (  ( i )  ti )2 
(4)
 ( ( i )2  ( ( i ))2  (  ( i ))2  ti .
(Считаем, что ti  0 . Такое предположение допустимо, поскольку в противном случае будем считать  i  M i 1Pi , а для отрезка M i 1Pi тогда
получим ti  0 ).
Итак, получили:
n
 f  ( i );  ( i );  ( i )   i 
 f ( x, y, z)d  lim
0
i 1
()
n
 f  ( i );  ( i );  ( i ) 
 0
 lim
i 1
( ( i ) 2  ( ( i )) 2  (  ( i )) 2  ti .
Пусть t  max ti . По условию кривая () – гладкая. Значит функции
 (t ) ,  (t ) ,  (t ) на [ ;  ] непрерывны и в силу (4) t  0 при
  0 . Следовательно,
 f ( x, y, z)d 
()
n
 f  ( i );  ( i );  ( i ) 
 t 0
 lim
i 1
( ( i ) 2  ( ( i )) 2  (  ( i )) 2  ti  .

  f  (t ), (t ),  (t )   ( (t )) 2  ( (t )) 2  (  (t )) 2 dt .

5
∎
НАПРИМЕР. Найти интеграл
 (x
2
 y 2  z 2 )d , где () – один ви-
()
ток винтовой линии x  cos t , y  sin t , z  t ( 0  t  2 ).
x(t )   sin t , y(t )  cos t , z(t )  1 .
Имеем:
Следовательно,
 (x
2
2
 y  z )d 
2
2
()
 cos
2

t  sin 2 t  t 2  ( sin t )2  (cost )2  12 dt 
0
2


 t3 
 2  1  t dt  2   t  
3

0
2
2
0

8 3 

 2   2 
.
3 

СЛЕДСТВИЕ 2. Если () – гладкая кривая в плоскости xOy , заданная уравнением y   (x) 2 (где x [a; b] ) и функция f ( x, y) непрерывна
на () , то f ( x, y) интегрируема по кривой () и справедливо равенство
b
 f ( x, y)d   f x, ( x) 
()
1  ( ( x)) 2 dx .
a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть x  t . Тогда x  t , y   (t ) ( t [a; b] ) – параметрические
уравнения кривой () . Следовательно, по формуле (3)
b
b
 f ( x, y)d   f t , (t ) 
()
(t )  ( (t )) dt   f t , (t )   (1) 2  ( (t )) 2 dt 
2
2
a
a
b
  f x, ( x)   1  ( ( x)) 2 dx .
∎
a
2
Напомним, что кривая y   (x) называется гладкой на [a; b] , если функция
y   (x) непрерывно дифференцируема на этом отрезке. Кривая y   (x)
называется кусочно-гладкой на [a; b] , если функция y   (x) и ее производная
y   (x) непрерывны на [a; b] , за исключением конечного числа точек разрыва
первого рода.
6
СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть () – плоская кривая, заданная в полярных
координатах уравнением r  r ( ) (где  [ ;  ] ). Если функция r ( )
непрерывно дифференцируема на [ ;  ] и функция f ( x, y) непрерывна
на () , то f ( x, y) интегрируема по кривой () и справедливо равенство

2
2
 f ( x, y)d   f r ( ) cos , r ( ) sin    r ( )  (r( )) d .
()

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
Подсказка: записать параметрические уравнения кривой, используя
формулы перехода от полярных координат к декартовым и считая  – параметром.
В заключение этого пункта сформулируем теорему, которая очевидным образом следует из теорем 1 – 3.
ТЕОРЕМА 4 (достаточные условия существования криволинейного
интеграла I рода). Если () – кусочно-гладкая кривая и функция f ( x, y, z )
кусочно-непрерывна на () , то f ( x, y, z ) интегрируема по кривой () .
4. Геометрические и физические приложения
криволинейных интегралов I рода
1. Длина  спрямляемой кривой () может быть найдена по формуле

 d .
( )
2. Пусть G – цилиндрическая поверхность, образующей которой является
кривая ()  xOy . Тогда площадь S части поверхности G , заключенной между плоскостью xOy и поверхностью z  f ( x, y ) , может
быть найдена по формуле
S   f ( x, y )d .
()
(доказательство – самостоятельно)
Пусть () – материальная спрямляемая кривая в пространстве Oxyz с
плотностью  ( x, y, z ) . Тогда справедливы следующие формулы:
3.
  ( x, y, z)d  m – масса кривой
() .
()
7
4. Статические моменты кривой () относительно плоскостей
yOz и xOz равны соответственно:
S xy 
 z   ( x, y, z)d ,
S yz 
()
S xz 
()
 y   ( x, y, z)d .
()
S
S xz
, z0  xy – координаты центра тяжести кривой () .
m
m
m
6. Моменты инерции кривой () относительно осей Ox , Oy и Oz равны соответственно:
I x   ( y 2  z 2 )   ( x, y, z )d ,
5. x0 
S yz
 x   ( x, y, z)d ,
xOy ,
, y0 
()
I y   ( x 2  z 2 )   ( x, y, z )d ,
()
I z   ( y 2  x 2 )   ( x, y, z )d .
()
7. I o  I x  I y  I z 
 (x
2
 y 2  z 2 )   ( x, y, z )d – момент инерции кривой
()
() относительно начала координат.
8