дистанционная олимпиада по математике 7 класс (2 тx

Решения дистанционной олимпиады по математике 7 класс (2 тур)
1) Найдите все такие целые С , при которых дробь
С7
является целым числом.
С4
Решение: во-первых с не должно быть равно - 4, т.к. знаменатель не может
обратиться в ноль. Если с= - 7, то числитель равен 0 и дробь – целое число. Если
с= - 3, то знаменатель равен 1, значит дробь будет целым числом.
Ответ: -7 и -3.
2) Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик,
заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил
пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и тетрадь.
Сколько заплатил четвертый школьник?
Решение:
Пенал + ластик = 40 рублей
Ластик + карандаш = 12 рублей
Пенал + карандаш + 2 тетради = 50 рублей
Пенал + тетрадь = ? рублей
Из первых трех условий можно сделать вывод, что (2 пенала + 2 ластика + 2
карандаша + 2 тетради) стоят 102 рубля, значит (пенал + ластик + карандаш +
тетрадь) стоят 51 рубль, а т.к. (ластик + карандаш) стоят 12 рублей, то (пенал +
тетрадь) стоят 39 рублей. Значит, четвертый заплатил за покупку 39 рублей.
Ответ: 39 рублей
3) Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого
была равна одной четвертой второго.
Решение: 1 слагаемое
2 слагаемое
сумма
Х
56 – Х
56
⅓Х
=
¼ (56 – Х)
4х = 3(56 – х)
4х + 3х = 168
7х = 168
Х=168 : 7
Х= 24 – это первое слагаемое
56 – 24 = 32 – второе слагаемое.
Ответ: 24 и 32.
4) Число a составляет 80% числа b, a число с оставляет 140% числа b. Найдите числа
a, b, c если известно что c больше a на 72.
Решение:
а
b
с
0,8х
х
1,4х
Т.к. а<с на 72, то получим уравнение: 1,4х – 0,8х = 72
0,6х = 72
Х = 120 – число b.
0,8 * 120 = 96 – число а
1,4 * 120 = 160 – число с.
Ответ: 96, 120 и 160.
5) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за
15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Решение: Т.к. поезд проходит мимо светофора за 5 секунд, то его скорость равна
х/5, если х м - длина поезда. А мимо платформы длиной 150 м за 15 с, поэтому его
скорость (150 + х)/15. Значит: х / 5 = (150 + х) / 15.
3х = 150 + х
3х – х = 150
2х = 150
Х = 75 м – длина поезда.
А его скорость равна 75 : 5 = 15 м/с.
Ответ: 75 м; 15 м/с.
6) Найдите наименьшее число записываемое одними единицами, которое делилось
бы на число 33…3 (сто троек).
Решение: Число должно делиться на 33…3 (сто троек), то оно должно делиться
на 3, а значит, сумма его цифр должна делиться на три и на 11…1 (сто единиц).
Поэтому неизвестное число будет равно: 11…1 (триста единиц).
Ответ: 11…1 (триста единиц).
7) Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде, проходят
по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются обратно. В
какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с быстрым
течением или в реке с медленным течением?
Решение: пусть в реке с быстрым течением скорость течения равна х1, а в реке с
медленным течением скорость течения равна х2. Скорость катера обозначим х.
Тогда скорость по течению будет равна х + х1 - в реке с быстрым течением, х + х2
в реке с медленным течением, скорость против течения будет равна х - х1 - в реке
с быстрым течением, х - х2 в реке с медленным течением. Время по быстрой реке
t1, а по медленной t2.
Найдем расстояние по быстрой и по медленной реке, они одинаковые:
(х + х1) * t1 + (х - х1) * t1 = (х + х2) * t2 + (х – х2) * t2
2t1x = 2t2x, время по быстрой и медленной реке равны.
Ответ: одинаковое время.
8) Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается 42x4y, если
известно, что это число делится на 72.
Решение: это число делится на 72, значит делится на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36.
Если число делится на 2, то оно четное, значит у может быть 0, 2, 4, 6, 8. Если
делится на 4, то число из двух последних цифр делится на 4, значит у может быть
0, 4 или 8. Если делится на 9, то сумма цифр делится на 9. Значит 4 + 2 + х + 4 + у
должно делится на 9. Если у=0, то х = 8 и число равно 42840 (42842 / 72 = 595).
Если у = 4, то х = 4, число равно 42444 (42444/72 = 589,5) – не подходит.
Если у = 8, то х = 0, число равно 42048 (42048/72 = 584).
Ответ: х=8, у = 0 или х = 0, у = 8.
9) Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в
учебнике?
Решение: на страницы 1 – 9 нужно 9 цифр, на страницы 10 – 99 нужно 180 цифр,
на страницы 100 – 199 нужно 300 цифр. 300 + 180 + 9 = 489 цифр – больше 411,
значит страниц меньше 199. 489 – 411 = 78 цифр, 78 / 3 = 26 страниц – лишние. В
учебнике 173 страницы.
Ответ:173 страницы.
10) Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
Решение:
Я
Мама
Мама
Мама
М
П
П
М П
М П
Папа
Мама
Папа
Папа
Мама Папа Мама Папа
(это мои прабабушки и прадедушки)
Мама Папа Мама
М
Папа
Папа Мама
М П
…
Папа Мама
Папа Мама Папа Мама Папа
М П М П М П М П М П
Мама Папа
Мама Папа Мама Папа
М П М П М П М П М П М П М П М П
М П
М П
Было 16 бабушек и 32 прабабушки, всего – 48 бабушек и прабабушек у моих
прадедушек и прабабушек.