

2
. С помощью числовой окружности (на проекторе дан
5
чертеж единичной окружности) получаем t  t1  2k ; t  t2  2k ; где t1 - длина дуги АМ, а
t2  t1 .
2
С помощью понятия арккосинус корни t1 и t 2 уравнения cos t 
запишем так:
5
2
2
2
t1  arccos , t2   arccos . Теперь все корни уравнения cos t 
можно описать двумя
5
5
5
2
2
t1  arccos  2k , t2   arccos  2k или, обобщая, одной формулой:
формулами
5
5
2
t   arccos  2k .
5
2
2
Что такое arcсos ? Это число (длина дуги АМ), косинус которого равен и которое
5
5
 
принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку 0,  .
 2
2
Теперь рассмотрим уравнение cos t   . С помощью числовой окружности получаем
5
t  t1  2k ; t  t2  2k; где t1 - длина дуги АМ, а t2  t1 . Математики обозначают число
2
2
t1 символом arcos  и записывают все решения уравнения cos t   следующим образом:
5
5
2
2
2
t1  arccos(  )  2k , t2   arccos(  )  2k или короче: t   arccos(  )  2k
5
5
5
2
2
Что такое arcсos ( ) ? Это число ( длина дуги АМ), косинус которого равен  и
5
5
 
которое принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку  ;   .
2 
Теперь мы сделаем общий вывод о решении уравнения cos t  а :
Если а  1 , то уравнение cos t  а имеет решения: t   arccos a  2k . При
1) Рассмотрим уравнение cos t 
а  1 уравнение не имеет решений.
В трех случаях предпочитают пользоваться более простыми соотношениями:

если cos t  0 , то t   k ;
2
если cos t  1, то t  2k ;
если cos t  1 , то t    2k ;
2
2). Рассмотрим уравнение sin t  . С помощью числовой окружности получаем
5
t  t1  2k ; t  t2  2k; где t1 - длина дуги АМ, а t 2 - длина дуги АP. Поскольку АP= ACPC,АС=  , а РС=АМ, то получаем, что t 2 =  -t1
2
С помощью понятия арксинус корни t1 и t 2 уравнения sin t 
запишем так:
5
2
2
t1  arcsin  2k , t2    arcsin  2k .
5
5
2
2
? Это число ( длина дуги АМ), синус которого равен и которое
5
5
 
принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку 0,  .
 2
2
Теперь рассмотрим уравнение sin t   . С помощью числовой окружности получаем
5
t  t1  2k ; t  t2  2k; где t1 - длина дуги LА, взятая со знаком минус, а t 2 - длина дуги КА,
2
взятая тоже со знаком минус. Математики обозначают число t1 символом arcsin  обратили
5
внимание на два обстоятельства.
Первое: дуги АМ и AL равны по длине и противоположны по направлению. Значит,
2
2
arcsin(  )   arcsin .
5
5
Второе: АК=АС+СК=АС+LA=АС-AL=. Значит, и в этом случае получается, что t 2 =  -t1.
2
Это дает возможность записать все решения уравнения sin t  
следующим образом:
5
2
2
t1  arcsin(  )  2k , t2    arcsin(  )  2k .
5
5
2
2
Что такое arcsin  ? Это число, синус которого равен - и которое принадлежит
5
5
  
четвертой четверти числовой окружности – отрезку   ;0 .
 2 
Сделаем общий вывод о решении уравнения sin t  а :
Что такое arcsin
Если
а  1,
то
уравнение
sin t  а имеет
решения:
t  arcsin a  2k ; t    arcsin a  2k . При а  1 уравнение не имеет решений.
В трех случаях предпочитают пользоваться более простыми соотношениями:
если sin t  0 , то t  k ;

если sin t  1 , то t   2k ;
2

если sin t  1, то t    2k ;
2
Полученные две формулы решений уравнения sin t  а можно объединить одной формулой
t  ( 1) n arcsin a  n . При четном n (n=2k) получается первая из двух написанных выше
формул, а при нечетном n (n=2k+1) – вторая написанная формула.
3) Рассмотрим уравнение tgx  a . Общее решение данного уравнения имеет вид
x  arctga  k .
4) Рассмотрим уравнение ctgx  a . Общее решение данного уравнения имеет вид
x  arcctga  k .
Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения,
в которых
переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу, прежде
всего, относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида
cos t  а , sin t  а , tgx  a , ctgx  a .