Наклонное падение лучей на решетку

Влияние ширины щели на дифракционную картину
I
sin 

b2
sin 1 

b1

b1

b2

b

, т.е. min в  (это не совсем верно, т.к. при b   влияют края
2
экрана, представл. теория плохо работает).
2) b   , b ~ 10  дифракционная картина отчетлива

3) b   , sin   m    0 и m должно быть большим для получения дифракционной
b
картины. В этом случае могут наблюдаться только max высоких порядков, но их
интенсивность ничтожна, т.е. дифракционная картина незаметна, наблюдается резкое
изображение линейного источника.
1) b   , b   , 1 
Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии
Имеет вид центрального светлого пятна, окрашенного чередующимися темными и светлыми
кольцами. Первый min находится на угловом расстоянии от центра, равном:

sin 1  1,22
D
D - диаметр отверстия
При дифракции Фраунгофера в фокальной плоскости получаем не точечное изображение
При D ~  изображение точки расплывается по всему экрану.
1
При D   изображение близко к точечному.
Разрешающая способность объектива
Подавляющая часть света (~94%) при дифракции Фраунгофера на круглом отверстии
попадает в область центрального светлого пятна ( I1 ~ 1,7% , I 2 ~ 0,4% и т.д.). Это пятно по
сути дела является изображением  удаленного точечного источника. Найдем min углового
расстояния между двумя точками S1 и S 2 (очень удаленными от линзы), чтобы объектив
фотоаппарата их разрешил как разные. Согласно критерию Релея две близкие точки будут
еще разрешены, если середина центрального max для одной точки совпадает с краем

центрального max (т.е. первым min) для второй точки.   1  1,22
D
S1
S2

D

1

1
Разрешающая способность объектива
R
1
D

 1,22
Для глаза человека D  2 мм   ~ 3  10 4 рад
 1  может различать размеры предметов l ~ 25cм  3  10 4 рад ~ 0,08 мм
Дифракция лазерных пучков от шероховатой поверхности
Лазерное излучение, обладающее высокой степенью пространственной и временной
когерентности, при отражении от шероховатой поверхности (или объемной рассеивающей
среды) формирует гранулированную (пятнистую) структуру, так называемую спекл-картину.
Отраженный (можно говорить – рассеянный) свет в пределах лазерного пучка имеет
случайным образом распределенную фазу, следовательно, при интерференции отраженных
волн с разными фазами возникает случайная модуляция интенсивности отраженного света.
2
излучение
лазера
фотоприемник
B
B2
B1
z
x
I
I1
поверхность
кожи
W
I2
x, t
0
Размер спекла
ds

 sin  ~ c
z
w
c ~1

w
1) Если лазерный пучок сканируется  x  по поверхности объекта ( кожи), то изучается
пространственная структура объекта (кожи).
2) Если лазерный пучок стоит неподвижно, то флуктуации интенсивности во времени t 
определяются различными движениями объекта, в случае кожи – это могут быть
пульсовые волны, биения сердца, дыхательные движения, мышечные сокращения, или
движение эритроцитов или лимфоцитов в прикровеносных сосудах.
ds ~ z
Дифракционная решетка
d
1
2
3
5
4
N
(N-1)dsin 
dsin 2dsin
3dsin 

Разность хода между крайними лучами щелей:
1-ой и 2-ой  d sin 
1-ой и 3-ей  2d sin 
1-ой и 4-ой  3d sin 
1-ой и N-ой  N  1d sin 
Поле, создаваемое 1-ым пучком, представим в виде:
sin  it
E1  A0
e

Поля, создаваемые последующими пучками, будут иметь фазы, отличные от t
sin  i t  kd sin  
E 2  A0
e

3
sin  i t  k 2 d sin  
e

……………………………….
sin  i t  k  N 1d sin 
E N  A0
e

Интерференция пучков с одинаковой амплитудой, следовательно, для получения суммарного
поля от всех щелей мы должны вычислить сумму
sin  N 1 i t  nkd sin  
sin  it N 1 in 2
E  A0
e
 A0
e

e
 n 0

n
0



E3  A0
сумма
геометр.
прогрессии
kd sin   2


sin  a1 1  q N it
sin  1  e i 2 N it
 A0
e
 A0

e

1 q

1  e i 2
I  AA 
*


i 2 N
sin   1  e i 2 N 1  e i 2 N
 e i 2 N
2  sin   2  e


A




0
   1  e i 2 1  e i 2
   2  e i 2  e i 2
2

A02 
2
2
 sin   2  2 cos 2 N
 sin  
 A02 
 A02 
 

2  2 cos 2
  
  
2


2
 sin N 

  I1  I 2
 sin  
I1  I 2 
sin  

  

A02 
2
 sin N 


 sin  
2
2
2
 sin N 
b sin 
d sin 
sin  
 ;  
где I 1 
; 
.
 , I 2  


  
 sin  
Рассмотрим зависимости I1  и I 2 
I1  определяет действие одной щели
I 2  определяет действие N щелей
Множитель I1 совпадает с выражением для распределения интенсивности при дифракции на
одной щели. В соответствии с полученным ранее:
1) I1 имеет главный max I1глmax  A02 при   0 , т.е. при   0

A02 
2) I1 имеет ряд эквидистантных min при    m , т.е. при b sin    m , I1m in  0
3) I1
имеет ряд побочных max при
I1побочн
m ax
1

   m   , т.е. при
2

1

b sin    m   ,
2

A02

2
1 2

m   
2

Рассмотрим I 2  , определим max и min
2
 sin N  N cos N sin N cos  
d  sin N 
0 

  0  2


d  sin  
sin 2  
 sin   sin 
либо sin N  0 при sin   0 (положение min), либо tgN  Ntg (положение max)
4
tgN  Ntg имеет алгебраический корень    m ,
d sin 
d sin   m , т.к.  
,  определяет положение главных max.

Уравнение
m  0,1,2,3...,
т.е.
2
 sin N 
sin N 0
 при   m .
Величина главных max I 2  
 , раскроем неопределенность
sin 
0
 sin  
по правилу Лопеталя:
/
 sin N 
 N cos N 



 
  N , т.е.
 sin   m  cos   m
2
I 2глm ax
 sin N 

 
 N2
 sin   m
k
,
N
где k - целое число (кроме k  0, N ,2 N ... ). При этом должно соблюдаться условие sin   0 ,
k
 m или k  mN , т.е. k не должно быть кратным N . Пусть k  mN  n ,
   m и т.о.
N

где n  1,2,..., N  1 . Тогда условие min сводится к условию   mN  n  , т.е.
N
n
n


   mN    d sin    m   , где n  1,2,..., N  1
N
N


Минимумы. I 2  0 , если sin N  0 , а sin   0 , т.е. min будут при N   k или   
=m

2
I2=N
=(m
+1)
полож
ение
m
in
1 23
N
-1
Т.о. между двумя главными max лежит N  1 min I 2  0 , т.е. min расположены в N раз
чаще, чем главные max.
Положения побочных максимумов I 2 определяются решением того же уравнения
tgN  Ntg и соответствуют трансцендентным корням этого уравнения. Поступим проще,
по теореме Ролля между двумя min всегда лежит max. Положим, что он лежит
приблизительно посередине между соседними min, т.е. при
1
1


n 
n 


2   d sin    m 
2  , где n  1,2,..., N  2
   mN 
N 
N 










Величина побочных max определяется из соотношения
5
2
2
I 2побочн
m ax
 sin N 

 
 sin    m n 1 2  

N


n 1 2  

2
 sin N  m  N  
 sin mN  n  1 2  







n 1 2  
sin m  n  1 2   N 



 sin  m  N  

 

 sin n  1 2 


I 2глmax
1
N2
, т.е.


  
 
n  1 22  2 n  1 22  2
 sin n  1 2  N 
 n  1 2  N 
2
2
гл
I 2побочн
max  I 2 max
Ход лучей в дифракционной решетке
S

При интерференции N пучков одинаковой амплитуды возникает ряд одинаковых по
интенсивности главных max I 2  N 2 , между двумя соседними max располагается N  1 min и
N  2 побочных max.

=m
I2=N2
+1)
=(m
N
-2
N
-1
6

, т.е. тем ближе к нему,
N
чем больше число щелей N . Т.о. бóльшему числу щелей N соответствует бóльшая острота
главного max.
Ближайшие к главному max   m min лежат в точках 1  m 
2
I 2=N =4
I 2=16
I 2=25
2
1

1
2
N=2
N=3
I 2 =9
I 2 =10
двухлечевая
интерференция
4
N=4
N=5
N=100
3

3
2
Побочный max
1 и 2 – в противофазе
2 и 3 – в противофазе
1 и 3 – в фазе
Поэтому для данного угла  формируется побочный максимум.
1) С увеличением числа щелей растет интенсивность главного max, т.к. возрастает
количество пропускаемого решеткой света.
2) Существенно, что рост числа щелей превращает расплывчатые max в резкие узкие
максимумы, разделенные практическими темными промежутками. Это является
следствием интерференции большого числа пучков. Условия существования max
7
(усиления) одновременно могут осуществляться только в очень узкой области
пространства.
Распределение интенсивности с учетом дифракции
на одной щели
Из-за того, что лучи, дифрагирующие от каждой щели под разными углами  , дают
sin 
различные амплитуды A  A0
, величина главных максимумов оказывается различной.

Одна щель дает распределение интенсивности I1 . Т.к. I  I1  I 2  I1  N 2 , то интенсивными
будут лишь те главные max I 2 , которые попадают в область центрального максимума I1 .
Поскольку ширина щели b обычно очень мала, этот центральный максимум, угловая

ширина которого 2 , довольно широк, поэтому на его протяжении укладывается несколько
b
главных максимумов решетки, несколько порядков интерференции.

Найдем распределение интенсивности по главному max I 2  N 2
I0 
A02

m
b sin  b m bm
sin 2  2



N , d sin   m  sin  
 

2
d

 d
d

I m( порядок) 
Im ~ N 2
A02 N 2
sin 2 bm d 
bm d 2
1
m2
В общем случае, когда b и d несоизмеримы, I m уменьшается по мере увеличения m
1 

 I m ~ 2  , т.е. по мере перехода к интерференционным максимумам высших порядков.
m 

bm
При соизмеримых b и d величина sin
переходит через нуль при некоторых значениях
d
m . Максимумы соответствующих порядков отсутствуют. Найдем угловое расстояние между
главным max и ближайшим к нему min.
1

d sin   m , d sin 1   m   
N

 
  

d sin 1  sin   d 2 cos 1
sin 1
  dz cos  
2
2
N
z
т.к. 1   ,

 
Nd cos 
8
В современных решетках N  105 , d  10 3 мм, тогда для   5 10 5 см, cos   1 
 
5  10 5
 5  10 6 рад  1
5
4
10  10
l  F  10 2  5  10 6  5 мкм
9
2 l
2 

l
F - фокусное расстояние линзы
2l  10 мкм – это ширина линии на экране, т.е. величина, определяющая разрешающую
способность решетки, как спектрального прибора.
Дифракционная решетка как спектральный прибор
При большом числе щелей дифракционная решетка превращает главные max в резкие
изображения щели коммутатора (т.е. источника света). Положение главных max
определяется длиной волны света: d sin   m , т.е. дифракционная решетка представляет
собой спектральный прибор высокой разрешающей силы.
0
m
ф...к
ф......к
1
2
Т.о. белый свет растягивается в спектр. Значение m  0 определяет max в направлении   0
для всех длин волн, т.е. нулевой max представляет собой белое изображение источника. При
  0 оба множителя I1 , I 2 достигают своего max I1max  A02 , I 2 max  N 2 независимо от  .
Разрешающая способность дифракционной решетки
m
m(
Разрешение по Рэлею будет полным, когда max волны    совпадает (т.е. будет
находиться под тем же углом  ) с первым min волны  .
d sin   m   


1    m  m  m 

d sin    m  
N
N 


10
 


mN

 mN

Формула универсальна для всех приборов с многолучевой интерференцией.
R
Чем больше N , тем меньше  и тем больше R .
 

 10 5  , R  105
5
10
Дисперсия дифракционной решерки
Т.к. d sin   m , то d cos 
d
m
d

m  D
и не зависит от 
d d cos 
d
Т.о.дисперсия не зависит от числа щелей N , а определяется лишь ее постоянной d и
порядком интерференции (спектра) m . Чем меньше d , тем больше ее угловая дисперсия.
Для малых  D 
m
 c , т.е.   c
d
Хорошая решетка: d  10 3 мм, N  105 , Nd  10 см и более.
Наклонное падение лучей на решетку
Разность хода между соседними пучками

d
1
2

  1   2  d sin   sin  , условие главного максимума: d sin   sin   m
d   (грубая решетка, дифракция и интерференция наблюдаться не будут), то


sin
 m  d cos    m
   , d 2 cos
2
2
В случае нормального падения, если   0 ,  d  m
Сравнение формул показывает, что наклонное падение эквивалентно уменьшению периода
решетки d1  d cos  . Т.о. грубая решетка при больших углах падения на нее превращается в
существенно более мелкую. Т.о. наблюдается дифракция рентгеновских лучей, для которых
решетка в 1000 штрихов на мм является грубой.
11