Экстремумы функции одного переменного

Экстремумы функции одного переменного
Пусть  - область определения функции y  f (x) и точка x0   .
Определение 1. Число М называется локальным максимумом функции y  f (x) , если
существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x из нее выполняется неравенство
f ( x)  f ( x0 ) . При этом М= f ( x0 ) , а сама точка x 0 называется точкой локального
максимума.
Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции y  f (x) , если
существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x из нее выполняется неравенство
f ( x)  f ( x0 ) . При этом m= f ( x0 ) , а сама точка x 0 называется точкой локального
минимума.
Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными
экстремумами. Соответствующая точка x 0 называется точкой локального экстремума.
Теорема Ферма. Если функция y  f (x) имеет производную в точке x 0 и достигает в
этой точке локального экстремума, то f ( x0 )  0
Определение 4. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются
стационарными точками.
Замечание. Функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет
производной. Например, x  0 - точка минимума функции f ( x) | x | , а f (0) не
существует.
Определение 5. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или не
является дифференцируемой, называют критическими точками.
Для того, чтобы точка x 0 была точкой экстремума функции y  f (x) , необходимо, чтобы
x 0 являлась критической точкой данной функции.
Теорема 1. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой
экстремума) Пусть функция y  f (x) дифференцируема на множестве  , x0   стационарная точка функции y  f (x) и f ( x0 )  0 . Тогда:
1) если при переходе через точку x 0 производная функции y  f (x) меняет знак с
“плюса” на “минус”, т. е. f ( x)  0 слева от точки x 0 и f (x) <0 справа от точки x 0 , то x 0
- точка локального максимума функции y  f (x) ;
2) если при переходе через точку x 0 производная функции y  f (x) меняет знак с
“минуса” на “плюс”, то x 0 - точка локального минимума функции y  f (x) .
Теорема 2. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой
экстремума) Пусть функция y  f (x) дифференцируема на множестве  , x0   стационарная точка функции y  f (x) и эта функция имеет вторую непрерывную
производную в окрестности точки x 0 . Тогда:
1) если f ( x0 ) <0, то x 0 - точка локального максимума функции y  f (x) ;
2) если f ( x0 ) >0, то x 0 - точка локального минимума функции y  f (x) .
Схема для решения задач на определение экстремума функций.
1. Установить область определения функции y  f (x) .
2. Найти её первую производную.
3. Найти стационарные точки функции y  f (x) , т.е. решить уравнение f (x) =0, и
точки, в которых f (x) не определена.
4. Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и
критические точки разбили область определения. Оформить следует в виде таблицы
или числовой прямой (см. пример1).
3
Пример1. Найти экстремумы функции f ( x)  3x  x .
Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная
2
2
имеет вид f ' ( x)  3  3x и также определена при всех x. Из уравнения f ' ( x)  3  3x  0
находим стационарные точки: x1  1 , x2  1 . Найденные стационарные точки разбивают
область определения функции на интервалы: (−  , −1)  (−1, 1)  (1, +  ). Составляем
таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с
другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в
f ' (0)  3  0 ,
промежуточных
точках
полученных
интервалов.
Например,
f ' (2)  3  3(2) 2  3  12  0 , f ' (2)  3  3(2) 2  3  12  0 . Данные собираем в таблицу:
X
(;1)
–1
(1;1)
1
(1;)
Знак f ' ( x)
—
0
+
0
—
Вывод
т. мин.
т. макс.
Или можно оформить в виде числовой прямой:
3
Ответ. f min  f (1)  3(1)  (1)  2 ,
f max  f (1)  3  1  2 .
2. Наибольшее и наименьшее значения функции одного переменного на
числовом отрезке
Пусть функция y  f (x) непрерывна на числовом отрезке [a;b] и имеет несколько
критических точек на этом отрезке. Для нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции на числовом отрезке [a;b] удобно придерживаться следующей схемы
рассуждений.
1. Найти первую производную функции y  f (x) .
2. Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в
отрезок [a;b].
3. Найти значения функции y  f (x) в этих точках.
4. Найти значения функции y  f (x) в точках x =a и x =b.
5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечание. Нет необходимости выяснять характер стационарных точек, если стоит
задача найти только наибольшее и наименьшее значения функции y  f (x) на отрезке
[a;b].
Ответ записывается в виде найденных числовых значений:
Пример2. Найти наибольшее и наименьшее значения
f ( x) 
max f ( x)
x[ a ;b ]
и
min f ( x)
x[ a ;b ]
.
4 3
x  3x 2
3
на отрезке [1;4].
f ' ( x)  4 x  6 x  2 x(2 x  3) , причем производная определена всюду,
Решение.
критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к
нулю: 2 x(2 x  3)  0 . Итак, x  3 / 2 и x  0 - стационарные точки. При этом 3 / 2 [1;4] , а
x  0  [1;4] , поэтому последняя точка нас не интересует. Сравниваем значения исходной
функции в выбранной точке и на концах отрезка:
2
3 4  27 3  9 9 27
9
f( )

 

2
38
4
2 4
4;
3
9
112
min f ( x)  f ( )  
max f ( x)  f (4) 
x

[
1
;
4
]
x

[
1
;
4
]
2
4,
3 .
Ответ.
f (1) 
4
5
3
3
3;
f (4) 
4  64
112
 3  16 
3
3 .
3. Наибольшее и наименьшее значения функции одного переменного на
интервале
При решении задач, связанных с определением наибольшего (наименьшего) значений
функции на открытом числовом интервале (в частности, при решении прикладных задач)
используется следующее утверждение.
Пусть функция y  f (x) определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на
нём единственную стационарную точку x 0 .
max f ( x) f ( x )
0 ; если x 0 - точка локального
Если x 0 - точка локального максимума, то x( a;b )
=
min f ( x) f ( x )
0 .
минимума, то x( a;b )
=
Пример3. Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма
которых наименьшая.
36
Решение. Пусть первый множитель равен x , тогда второй множитель равен x . Сумма
36
x
x . По условию задачи x − положительное число. Таким образом,
этих чисел равна
36
f ( x)  x 
x
задача свелась к нахождению такого значения x , при котором функция
принимает наименьшее значение на интервале x  0 . Найдём производную:
f ( x)  1 
36 ( x  6)( x  6)

x2
x2
.
Стационарные точки x1 = 6 и x 2 = −6. На интервале x >0 есть только одна стационарная
точка x = 6. При переходе через точку x = 6 производная меняет знак с “−” на “+”, и
поэтому x = 6 − точка локального минимума. Следовательно, наименьшее значение на
36
f ( x)  x 
min f ( x)  f (6)  12
x принимает в точке x = 6: x(0,  )
интервале x >0 функция
.
Ответ. 36= 6·6.
Пример4. Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции
интервале (−2; 0).
f ( x) 
2
 x2
x
на
2
 2x
x2
Решение. Производная
; причем она определена на интервале (−2; 0) и
не имеет здесь критических точек. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем
2  2x3
2

2
x

0
0
3
2
x2
производную к нулю: x
, т. е.
. Решая уравнение 2  2 x  0 , находим
стационарные точки: x = −1. Определяем знак производной:
f ( x)  
Так как x = −1 − это точка локального максимума, то
Ответ.
max f ( x)  f (1)  3
x( 2;0)
.
max f ( x)  f (1)  3
x( 2;0)
.