КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Математический анализ, направление «экономика», 2014-2015 уч. год
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ........................................................................................................ 1
Пример заданий контрольной работы № 1 ........................................................................... 1
Пример заданий контрольной работы № 2 ........................................................................... 2
Пример зданий контрольной работы № 3 ............................................................................. 2
Примеры индивидуальных заданий ...................................................................................... 3
Пример теста по теории .............................................................................................................. 3
Вопросы для самоконтроля и текущего контроля по теории ................................................. 4
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Пример заданий контрольной работы № 1
1. Вычислить пределы:
а)
3x 2  x 3  2
lim 4 x 3  x 2  3
(0,5 б);
б)
(1,5 б)
x2
x 
2. f ( x) 
2 x 2
lim x 2  5 x  6
4  x2
, f ' ( x)  ? (0,5б)
tg3 x
3. f ( x)  (2  x)3 e arcsin 3x , df x  0  ? (1б)
1
4. f ( x)  xarctgx  ln(1  x 2 ) , f ' ' ( x)  ? (1,5б)
2
5. Найти частные производные первого порядка и выписать дифференциал
первого порядка в точке M(-1;2) для функции f ( x, y)  x  2x  3 y (1,5 б)
6. Найти производную по направлению
f
(M ) , если f ( x, y )  x cos(5 x  xy  y ) ,
l
M(1;0), l=(3;-4) (1,5 б).
7. Для функции f ( x, y)  ln( xy35x 2  y) найти смешанные частные производные
2 f 2 f
,
и проверить их равенство (2 б)
xy yx
ЗАДАЧИ ДЛЯ БОНУСНЫХ БАЛЛОВ
1)
lim
x 0
sin 7 x  sin 4 x
x 2  3x
(1,5 балла)
2) f ( x)  sin( 3x  ln 2 ( tg5 x)), f ' ( x)  ? (1,5 балла)
1
Пример заданий контрольной работы № 2
1. Найти с помощью правила Лопиталя:
а) lim
3x  3x
2
(1 б)
2
x 0 x  3x
cos 7 x  cos x
б) lim
x 0
arctg 2 2 x
(1,5 б)
1
5
2.Найти локальные максимумы и минимумы функции f ( x)  x 5  2 x 4  5 x 3
(1,5 б)
3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f x   4 x  x  5 на
отрезке [1;16] (1 б)
4. Найти точки перегиба и определить направления выпуклости графика
2 1
(2 б)

x x2
f ( x) 
5. Найти и охарактеризовать точки безусловного локального экстремума (и
найти значения функции в этих точках) для функции f ( x, y)  x 2  xy  y 2  9 x  6 y
(1,5 б)
6. Найти и охарактеризовать при условии y  x  0 точки экстремума функции f ( x, y)  2 y 3  3xy  6 x (1,5 б)
ЗАДАЧИ ДЛЯ БОНУСНЫХ БАЛЛОВ
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y )  xy  3x  2 y в области, ограниченной линиями y=2x, x=5, y=0 (2 балла)
Пример зданий контрольной работы № 3
1. Найти интегралы
а)

(2  cos 2 x)dx
cos 2 x
(1 б)
г)  xe dx (1 б)
4x
б)
4
 x  3
1
0
3
д)

dx
1 16  x
2

x  32 x dx (1 б);
(1 б);
в)

arctg 2012 x
1 x2
dx (1 б)
е)  cos5 x sin 4 xdx (1,5 б)
 /3
ж)
 cos
2
3xdx (1,5 б)
 /6
2
2. Найти площадь области, ограниченной линиями y  x 2 , y  2  x, y  0 (2б)
ЗАДАЧИ ДЛЯ БОНУСНЫХ БАЛЛОВ
7
а)

2
x 1
dx (1,5 балла)
x x2
б)
( x  1)dx
 x 2  4 x  16
(1,6 балла)
Примеры индивидуальных заданий
Задание 1 (5 баллов). Охарактеризовать точки разрыва:
А) f ( x) 
sin( x  4)
(2 б)
x 2  4x
Б) f ( x) 
| x  3|
(2 б)
x2  9
Задание 2 (5 баллов). Провести полное исследование и построить график
функции f ( x) 
1  2x
( x  1) 2
ПРИМЕР ТЕСТА ПО ТЕОРИИ
B) (2, 5)
1. Окрестностью числа 5 ра- А) (2, 5)
C) (5, )
D) (3, 7)
диуса 2 является интервал
2. Найти область определения А) (,  4)  (2, )
функции f ( x)  lg( x 2  2 x  8) .
C) (,  4)  (2, )
3. Какая из функций является А) f ( x)  1  x 2
нечетной
C) f ( x)  ln( x 5  x)
4. Какие из функций являются
бесконечно
малыми
при
x  1 ?
А) f ( x)  x 2  1
2
В) f ( x)  x  x
B) (2, )
D) (,  2)  (4, )
B) f ( x)  sin( x 3  x)
D) f ( x)  x  x
Б) f ( x )  sin( x  1)
Г) f ( x )  sin( x  1)
5. Сумма бесконечно большой А) ограниченной Б) бесконечно малой
и ограниченной является
В) сходящейся
Г) бесконечно большой
6. Какое из утверждений спра- А) функция дифференцируема на множестве,
если она непрерывна в каждой точке этого
ведливо?
множества
Б) функция дифференцируема на множестве,
если она дифференцируема на его границе
В) если функция дифференцируема на множестве, то она непрерывна в каждой точке этого
множества
Г) если функция непрерывна на множестве, то
она дифференцируема в каждой точке этого
множества
3
7. Уравнение касательной к
y  2x  3
f ( x)  x 4  4 x  4
графику
в A)
точке с абсциссой x  1 имеет C) y  8 x  1
вид
8. Пусть f (x) непрерывна на
множестве Х. График функции f направлен выпуклостью вниз на множестве Х,
если
9. Выберите правильное определение величины градиента
функции f(x,y) в точке M
B) y  8 x  7
D) y  8 x  15
А) любая хорда, соединяющая две точки графика с абсциссами из Х, лежит выше графика
В) любая хорда, соединяющая две точки графика с абсциссами из Х, лежит не выше графика
С)любая хорда, соединяющая две точки графика с абсциссами из Х, лежит ниже графика
D)любая хорда, соединяющая две точки графика с абсциссами из Х, лежит не ниже графика
A) это направление наибыстрейшего роста
значений функции
B) это число
C) это вектор
( f x' ( M )) 2  ( f y' ( M )) 2
 f x' (M ), f y' (M )
10. Как называются точки из
области определения f(x,y), в A) точки экстремума B) критические
'
f ' ( x, y )  0 C) стационарные D) точки лок. максимума
которых f x ( x, y )  0 , y
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ И ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ ПО
ТЕОРИИ
1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой
множества, описанные неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|2; |x|3
(и аналогичными им)
2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения и примеры). Уметь записать -окрестности заданных точек при различных значениях
>0.
3. Четность-нечетность функций (определения, уметь проверить наличие
этих свойств).
4. Различные определения предела функции (на языке окрестностей, на
языке - для конечного и бесконечного предельных значения, частные случаи,
4
напр. lim f ( x)  3 , lim f ( x)   , lim f ( x)   ).
x 1
x  1
x
5. Ограниченность числовой последовательности и функции (сверху, снизу, просто ограниченность)
6. Конечный предел функции (определение) и Теорема об ограниченности
функции, имеющей конечный предел (формулировка)
7. Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции, их свойства, теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими.
8. Теорема об арифметических действиях с пределами функций (формулировка)
9. Определение эквивалентных функций, лемма об эквивалентности функции своему конечному пределу, теорема о замене эквивалентных функций
(формулировки).
10. Односторонние пределы (определения), теорема о связи с обычным
пределом (формулировка). Вычисление односторонних пределов, выводы о существовании и значении обычного предела (например, для функций
 x  1, x  0
f ( x)  
 x  1, x  0
при
 x  1, x  1
x  0 , f ( x)  
 2 x, x  1
при
x 1)
11. Непрерывность функции и критерий непрерывности
12. Понятие о производной функции в точке, дифференцируемость функции
в точке и на множестве
13. Геометрический, физический, экономический смыслы производных.
Составление уравнения касательной к графику функции в заданной точке.
14. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
15. Производные суммы, произведения, частного (с доказательством)
16. Теорема Лагранжа (только формулировка!), два следствия (с доказательством).
17. Определения точек экстремума и экстремумов функции (локальных максимума и минимума).
18. Необходимые и достаточные условия точки экстремума (формулировки
и применение).
5
19. Направления выпуклости графика функции, теорема о связи со знаком
второй производной (формулировка).
20. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие (формулировки).
21. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции: знать определения и уметь найти.
22. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных
производных первого порядка. Частные производные f(x,y) второго порядка,
теорема о совпадении смешанных частных производных (знать определения и
формулировки, уметь находить).
23. Дифференцируемость функции двух переменных, свойства дифференцируемой функции, дифференциал, дифференциал второго порядка (определения, формулировки, нахождение).
24. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по
направлению и теорема о формуле для вычисления такой производной (формулировки, уметь находить).
25. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл, теорема о связи
между градиентом и производной по направлению (формулировки).
26. Определение точек локального безусловного экстремума функции f(x,y).
Стационарные точки. Необходимые и достаточные условия точки безусловного
экстремума(формулировки и применение).
27. Определения внутренней и граничной точек множества, внутренности,
границы, ограниченного и замкнутого множества. Теорема об абсолютном экстремуме (формулировка).
28. Понятие о первообразной и теорема о первообразной. Понятия о первообразной и о неопределенном интеграле, формулировка теоремы Коши
29. Простейшие свойства неопределенного интеграла.
30. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, понятие интегрируемой функции, две теоремы об интегрируемых функциях и следствие.
31. Свойства определенного интеграла
6
7