Билет №1. Доказать теорему Ролля. Пусть дана функция y f (x) . 1. Определена и непрерывна на отрезке [a; b] . 2. Дифференцируема на интервале (a; b) . 3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. f (a) f (b) . Тогда найдется, по крайней мере, 1 () E , принадлежащая интервалу (a; b) : f ( E ) 0 . Доказательство: Т.к. функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения. m min f ( x) , x [ a; b] , M max f ( x) , x [ a; b] . Случаи: 1. m M f ( x) const , E - любое из интервала (a; b) 2. m M в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала (a; b) . Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале (a; b) в любой точке, то по теореме Ферма существует E : f ( E ) 0 . Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве. Пусть f1 ( x) при x a имеет конечный предел А1, f 2 ( x) при x a имеет конечный предел А2, и 0 существует 0 (a) : f1 ( x) f 2 ( x) для x (a) , тогда A1 A2 . Доказательство: A1 lim f1 ( x) A1 {xn } a , xn a { f1 ( xn )} n n x a A2 lim f 2 ( x) A2 {xn } a , xn a { f 2 ( xn )} n n x a E 0N1 ( E ) : n N1 ( E ) | f1 ( xn ) A1 | E E 0N 2 ( E ) : n N 2 ( E ) | f 2 ( xn ) A2 | E A1 E f1 ( xn ) f 2 ( xn ) A2 E A1 A2 | A A1 | Пусть E 2 2 Это неравенство выполняется для любого n 0 , N max( N1 ( E); N 2 ( E)) отсюда A1 A2 Билет №2. Доказать теорему Лагранжа. Пусть функция y f (x) . 4. Определена и непрерывна на отрезке [a; b] . 5. Дифференцируема на интервале (a; b) . Тогда существует E из интервала (a; b) : f (b) f (a) f ( E ) (b a) . Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F ( x) f ( x) x , где - константа. : F (a) F (b) f (a ) a f (b) b f (b) f (a ) ba 1. Она непрерывна на [a; b] 2. дифференцируема на (a; b) . Все условия теоремы Ролля выполняются существует E из (a; b) : F ( E ) 0 f (b) f (a) F ( x) f ( x) f ( E ) ba Формула Маклорена для y sin x с остаточным членом в форме Пеано. f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n * x ... x Rn ( x) , где 1! 2! n! 1) Rn ( x) o( x n ) Пеано f ( x) f (0) f ( n1) ( ) n1 2) Rn ( x) * x , где a ( x a ) - Лагранж (n 1)! f ( n1) (a ( x a)) 3) Rn ( x) * (1 ) n ( x a) n1 - Коши n! y sin x , y cos x sin( x ) , y sin x sin( x 2 ) , y n sin( x n ) 2 2 2 3 5 2 n 1 x x x sin x x ... (1) n o( x 2 n2 ), x 0 , т.к. sin x - нечет., то вып. усл.: f ( 2 n ) (0) 0 3! 5! (2n 1)! Билет №3. Формула Маклорена для y e x с остаточным членом в форме Пеано. f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n * x ... x Rn ( x) , где 1! 2! n! 1) Rn ( x) o( x n ) Пеано f ( x) f (0) f ( n1) ( ) n1 * x , где a ( x a ) - Лагранж (n 1)! f ( n1) (a ( x a)) 3) Rn ( x) * (1 ) n ( x a) n1 - Коши n! x2 xn o( x n ) y e x , y ( n ) ( x) e x , y ( n ) (0) 1, n ; e x 1 x ... 2! n! 2) Rn ( x) Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций. log a x 1 1 lim 0 . log a x o( x s ) , где s>0, x>0; lim s 1 s s x x * ln a * s * x x s * ln a * x x x x 1s x x xs x s xs xs s x o (a x ) . a b lim ( lim ) 0 2) lim x ; lim x ; lim x lim = ; x xs S X x a x a x x b x x a x b aS log a x 3) lim (по транзитивности) log x o (a x ) 0 a x x x a 1) lim Билет №4. Доказать первое достаточное условие экстремума функции. Пусть функция f (x) определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум. Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда: 1. на [ x, c ] f (x) - непрерывна. 2. на ( x, c) - дифференцируема. По т. Лагранжа f (c) f ( x) f ( E ) (c x) , где E ( x, c ) , т.к. x c , то f (c) f ( x) на [c, x ] : f ( x) f (c) f ( E ) ( x c) 0 где E (c, x ) , f ( x) f (c) Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой. 0 Для того, чтобы функция f (x) , определённая в (a) имела конечный предел при x a , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при x a ( f ( x) b ( x) , где (x ) - б.м.ф. при x a ). Доказательство: I Необходимость: Дано: lim f ( x) b xa Доказать: f ( x) b ( x) , где (x ) - б.м.ф. при x a . E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | f ( x) b | E Пусть ( x) f ( x) b по определению б.м.ф E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | ( x) | E ( x) - б.м.ф. при x a . f ( x) b ( x) : x : 0 | x a | II Достаточность: Дано: f ( x) b ( x) , где (x ) - б.м.ф. при x a . Доказать: lim f ( x) b xa E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | ( x) || f ( x) b | E lim f ( x) b xa Билет №5. Доказать второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f (x) определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а nая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если f ( n ) (c) 0 , то x=c – локальный минимум, если f ( n ) (c) 0 , то x=c – локальный максимум. Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С. f (c) f ( n 1) (c) f ( n ) (c ) f ( x ) f (c ) * ( x c) ... ( x c) n 1 ( x c) n o(( x c) n ) 1! (n 1)! (n)! , где (x ) - б.м.ф. при (n) f (c ) ( x ) n f (c ) * ( x c) n! x c, x 1 (c) . Пусть n – четное, тогда ( x c) n не меняет знак при переходе через С. f ( n ) (c ) ( x ) f ( n ) (c ) lim lim 0. 2 (c) в которой функция сохраняет знак своего предела. x c x c n! n! f (c) f ( n1) (c) f ( n ) (c) f ( n ) (c) ( x) n 1 n n f ( x) f (c) * ( x c) ... ( x c) ( x c) o(( x c) ) f (c) * ( x c) n , 1! (n 1)! (n)! n! ( n) ( n) f (c) ( x) f (c) * 0x 2 (c) . (c) 1 (c) 2 (c) . (n)! n! f ( n ) (c ) ( x ) x (c), f ( x) f (c) * ( x c) n 0 , если f ( n ) (c) 0 f ( x) f (c) x c - точка n! локального экстремума. Вывести уравнение наклонной асимптоты. Прямая y k1x b1 - называется правосторонней наклонной асимптотой графика f (x) при x , если f ( x) k1 x b1 1 ( x) , где 1 ( x) -б.м.ф. при x . Прямая y k 2 x b2 - называется левосторонней наклонной асимптотой графика f (x) при x , если f ( x) k 2 x b2 2 ( x) , где 2 ( x) -б.м.ф. при x . Если k1 k 2 k , b1 b2 b , то y=kx+b – двусторонняя наклонная асимптота. Теорема. Для того, чтобы y=kx+b была правосторонней (левосторонней) наклонной асимптотой f ( x) k; y= f (x) при x (при x ) необходимо существование двух пределов: lim x x lim f ( x) kx b И достаточно существование lim f ( x) kx b . x x Необходимость Дано: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота. f ( x) k ; lim f ( x) kx b . Доказать: lim x x x f ( x) kx b ( x) k . Т.к. Док-во: f ( x) kx b ( x) , где (x ) - б.м.ф. ; f ( x ) . lim x x x x x b ( x) 0, 0. И lim f ( x) kx lim b ( x) b . x x x x Достаточность Дано: lim f ( x) kx b x Доказать: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота. lim f ( x) kx b , Док-во. Т.к. существует предел x то f ( x) kx b ( x) . f ( x) kx ( x) y kx b - правосторонняя наклонная асимптота (из определения). Билет №6. Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции. Для того, чтобы f (x) , определённая и дифференцируемая на интервале (а;b) была возраст. на этом интервале, необходимо, чтобы , f ( x ) 0 . Дано:f(x)-возраст. Док-ть: f ( x ) 0 . Доказательство: из опред. возраст. ф-ции x (a, b) : x x0 f ( x) f ( x0 ) ; x (a, b) : x x0 f ( x) f ( x0 ) ; f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) . 0 . Т.к. f(x) – диф-ма, то lim x x0 x x0 x x0 По св-ву сохранения знака нестрогого нер-ва при предельном переходе : f ( x0 ) 0 . (2 дост.- по т. Лагранжа). если x (a, b)( x x0 ) , то Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела. Число а называется пределом числовой последовательности {xn } при n если для любого Е>0 существует натуральное число N(E), такое, что для любых n>N(E) выполняется условие | xn a | , записывают lim xn a . n E 0N ( E ) : n N ( E ) | xn a | E Числовая последовательность {xn } монотонно не убывает (не возрастает) при n , если для n выполнено xn1 xn ( xn1 xn ) . Признак: если числовая последовательность {xn } при n , монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом A (B), тогда она сходится и её предел не больше, чем A (не меньше, чем B) Если последовательность {xn } , при n имеет конечный предел, то он единственный . Доказательство: Пусть {xn } имеет 2 предела a и b при n . Пусть для определённости a>b ba E . 3 E 0N1 ( E ) : n N1 ( E ) | xn a | E ; E 0N 2 ( E ) : n N 2 ( E ) | xn b | E . N=max(N1;N2) n N эти неравенства выполняются одновременно, чего быть не может, т.к. по определению E окрестность точки а содержит все члены последовательности, и E окрестность точки b содержит все члены последовательности все члены не могут быть одновременно в 2 окрестностях, т.к. они не пересекаются. Билет №7. Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0. f ( ) 0 Доказательство: следует из теоремы Ферма. Дано: точка – точка локального экстремума. Доказать: f ( ) 0 . Согласно определению локального экстремума, функция принимает в U ( ) либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0. Т. Ферма: Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю. Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть f ( ) f ( x), x (a; b). так как функция f ( x) f ( ) f ( x) f ( ) дифференцируема в () lim f ( ) . f ( ) lim 0; x 0 x x x f ( ) lim x 0 f ( x) f ( ) 0 ; Т.к. f ( ) f ( ) f ( ) 0 . x Вывести 1 замечательный предел: y 1 0 sin x 1 x 0 x lim Пусть BD OA , CA OA . Ясно, что S OAB S ñåêò S OCA , но 1 1 B S OAB OA BD sin x 2 2 1 1 2 S ñåêò (OA) BD x 2 2 1 1 D А x S OCA OA AC tgx , т.е. 2 2 x 1 sin x sin x sin x x tgx , т.к. sin x 0 1 1, x (0, ) lim 1. x 0 sin x cos x x 2 x C Билет №8-1. Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций. 0 Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в б.м.ф. при x a , причем g ( x) 0 в 0 (a) . Если lim x a (a) , представляют собой f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) . lim , lim lim x a g ( x) x a g ( x) x a g ( x) g ( x) 0 Доказательство: Рассмотрим { x n a, xn (a) . Доопределим по непрерывности данные функции x нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, xn ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; f ( xn ) f (a) f ( n ) f ( xn ) дифференцируемы. По теореме Коши n (a; xn ) : g ( xn ) g (a) g ( n ) g ( xn ) f ( n ) f ( xn ) f ( x) n , xn a n a по условию теоремы lim lim lim lim x g ( ) x g ( x ) x a g ( x ) x a n n 0 Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда (a) (b;) или xn ) f(x) и g(x) f ( n ) при g ( n ) f ( x) > g ( x) 0 (a) (; c). Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на (b;) и представл. Б.м.ф. при f ( x) f ( x) f ( x) x , причем g ( x) 0, x (b;). Если lim lim lim . x g ( x ) x g ( x ) x g ( x ) f ( x) Замечание 2: если f (x) и g (x) удовлетворяют всем условиям Б-Л и lim , то x a g ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) и т. д. lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x) Билет №8-2. Векторная функция скалярного аргумента: R R 3 и её производная. Касательная к пространственной кривой. Теорема о производной векторфункции постоянной длины. Рассмотрим [a,b]. Пусть любому t [a, b] поставлен в соответствии некоторый вектор r (t ) , тогда говорят, что на [a,b] задана векторная функция скалярного аргумента. i , j, k , Пусть задана ортонормированная система координат с базисом тогда r (t ) x(t ) * i y (t ) * j z (t ) * k Функции x(t), y(t), z(t)- скалярные функции действительного аргумента – координатные функции для вектор-функции r (t ) . Геометрический смысл векторной функции: Функции r (t ) соответствует некоторая кривая z M ( x, y, z ) R 3 | x x(t ), y y(t ), z z (t ), t [a, b] r (t ) y Такое представление кривой называют годографом. a называется пределом функции r r (t ) скалярного аргумента при t t 0 если: lim | r (t ) a | 0 lim r (t ) 0 . x t t0 t t0 Рассмотрим приращение векторной функции, придадим t приращение t , тогда r r (t t ) r (t ) . Производной r (t ) в точке t 0 называется предел разностного отношения при t 0 r r (t t ) r (t ) r (t ) lim , r (t ) lim . t 0 t t 0 t r r1 (t ) x(t ) * i y (t ) * j z (t ) * k , r (t ) x (t ) * i y (t ) * j z (t ) * k . r (t t ) r (t ) ( x(t t ) x(t )) * i ( y (t t ) y (t )) * j ( z (t t ) z (t )) * k r (t ) lim lim = t 0 t 0 t t x y z * j lim * k x (t ) * i y (t ) * j z (t ) * k = lim * i lim t 0 t t 0 t t 0 t Пусть t t 0 . Предельное положение секущей M 0 M при t t 0 называют касательной к кривой Г в r . Тогда при t t 0 касательная в точке M 0 параллельна вектору r (t 0 ) . t Уравнение касательной: r (t ) r (t 0 ) r (t 0 ) t . x x(t 0 ) y y(t 0 ) z z (t 0 ) M - каноническое уравнение касательной. x ( t ) y ( t ) z ( t ) 0 0 0 M0 точке M 0 . M 0 M r M 0 M r (t 0 ) Теорема: Пусть векторная функция скалярного аргумента r F (t ) , t [a, b] - является непрерывно-дифференцируемой функцией на [ a, b] , которой соответствует некоторая кривая Г: {R 3 | r r (t ), t [a, b]} . Тогда M 0 : длина дуги Г удовлетворяет: r (b) r (a) S Ã M (b a) (при этом Г r (t ) имеет конечную длину). n n Доказательство: S n | r (t i ) r (ti 1 ) | | r (ti 1 i t i ) | ti , где i (0,1) , по условию теоремы, i 1 i 1 функция непрерывно-дифференцируема, значит r (t ) на отрезке [a, b] - непрерывная функция. M max(| r (t ) |) , t [a, b] (по 1 теореме Вейерштрасса). n t i M t i M (b a ) при M , S n M (b a) . i 1 Билет №9-1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа. Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в (a) и имеет в (a) производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из (a) , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: f (a) f (a) f ( n ) (a) f ( x) f ( a ) * ( x a) * ( x a) 2 ... * ( x a ) n Rn ( x ) . 1! 2! n! n 1 x a p (x ) Rn ( x) ( ) * * f n1 ( ) . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; x n!* p Rn (x) - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде. f (a) f n (a) * ( x a) ... * ( x a) n эта функция – многочлен степени n – 1! n! многочлен Тейлора с центром в точке а. Обозначим f ( x) Pn ( x, a) Rn ( x) . Рассмотрим вспомогательную функцию (t ) . Pn ( x, a) f (a) (t ) f ( x) Pn ( x, t ) ( x t ) p * Q( x) , где Q( x) Rn ( x) . Покажем, что на [a;x] (t ) удовлетворяет ( x a) p всем условиям теоремы Ролля: 1) непрерывность на [a;x]; 2) дифференцируема на (a;x); Rn ( x) f ( n ) (a) * ( x a) p ( x a) p . Rn ( x) Rn ( x) 0 n! p n! ( x a) ( x) f ( x) f ( x) 0 ; (a) ( x) 0 ; (a; x) : ( ) 0 f (t ) f ( n ) (t ) (t ) f ( x) f (t ) * ( x t ) ... * ( x t ) n ( x t ) p * Q( x). 1! n! f (t ) f (t ) 2 f (t )( x t ) f (t ) f ( n 1) (t ) (t ) f (t ) * (x t) * ( x t ) 2 ... * ( x t ) n p( x t ) p 1 * Q( x). 1! 1! 2! 2! n! p( x ) p 1 * Rn ( x) f ( n 1) ( ) f ( n 1) ( ) ( ) * ( x ) n p( x ) p 1 * Q( x) 0. * (x )n ; p 3) (a) f ( x) f (a) f (a) * ( x a) ... ( x a) n! n! ( )( x ) xa p *( ) n! p x Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем ( x a) n при x a . Rn ( x) o(( x a) n ) , x a . R ( x) Доказать: lim n n 0. x a ( x a ) f ( x) Pn ( x, a) 0 ; ( f ( x) Pn( x, a)) x a =0; lim x a ( x a) n 2 f (a) n * f n (a) Pn ( x, a) f (a) * ( x a) ... * ( x a) n1 ; 2! n! 2! f (a) n * (n 1) f n (a) Pn( x, a) f (a) * ( x a) ... * (a); P ( n) (a, a) f ( n ) (a); 3! n! f n ( x) Pn( n ) ( x, a) Rn ( x) f ( x) pn ( x, a) 0. lim lim n раз применяем пр. Б-Л.= lim x a x a ( x a ) n x a n! n * ( x a) n1 Rn ( x) f ( n 1) n 1 Такую запись остаточного члена называют ост. Чл. В форме Пеано: Rn ( x) o(( x a) n ) . Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. a * ( x a) , (0;1) p (( x a) ( x a)) n 1 xa * Rn ( x) * f n1 (a ( x a)) n!* p ( x a) ( x a) n 1 n p 1 ( x a) * (1 ) * f n1 * (a ( x a)) n!* p ( x a) n1 f ( n1) (a ( x a)) 1) p=n+1, тогда Rn ( x) * f n1 * (a ( x a)) * ( x a) n1 (n 1)! (n 1)! остаточный член в форме Лагранжа. f ( n 1) (a ( x a)) 2) p=1 – в форме Коши: Rn ( x) * (1 ) n ( x a) n1 Число в формуле n! Лагранжа и формуле Коши разные, т. К. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при x a , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа. Пусть функция имеет производную любого порядка в (a) и эти производные ограничены одной и той же константой M. M 0, | f ( n) ( x) | M , n : x (a) | Rn ( x) f ( n1) ( ) ( x a) n1 | x a | n1 ; lim * ( x a) n1 M * 0. (n 1)! (n 1)! n (n 1)! Билет №9-2. Свойства б.м. функций. 1. Сумма конечного числа б.м.ф. при x a представляет собой б.м. функцию при x a . n n lim ( 1 ( x) ... n ( x)) lim k ( x) 0 lim k ( x) - б.м.ф. x a k 1 x a k 1 xa 2. Произведение конечного числа б.м.ф. при x a представляет собой б.м. функцию при x a. n lim (1 ( x) ... n ( x)) lim k ( x) 0 x a k 1 x a n lim k 1 xa k ( x) - б.м.ф. 3. Пусть (x ) - б.м.ф. при x a , а f (x) - ограничена в 0 (a) , тогда ( x) f ( x) - б.м.ф. при x a. M 01 (M ) 0 : x : 0 | x a | 1 (M ) | f ( x) | M E E 0 2 ( E , M ) 0 : x : 0 | x a | 2 ( E , M ) | ( x) | . Пусть тогда min( 1 , 2 ) , M M E x : 0 | x a | | ( x) f ( x) || ( x) | | f ( x) | M E , для E 0 , тогда ( x) f ( x) - б.м.ф. при M x a. Билет №10. Доказать первое достаточное условие экстремума функции. Пусть функция f (x) определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум. Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на [ x, c ] : 1. f (x) - непрерывна. 2. на ( x, c) - дифференцируема. По т. Лагранжа f (c) f ( x) f ( E ) (c x) , где E ( x, c ) , т.к. x c , то f (c) f ( x) на [c, x ] : f ( x) f (c) f ( E ) ( x c) 0 где E (c, x ) , f ( x) f (c) Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка. Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке. Инвариантность формы первого дифференциала. t g (x) ; y f (t ); y f ( g ( x)) , где Х – независимая переменная. dy ( f ( g ( x))) * dx f ( g ( x)) * g ( x)dx f (t ) * dt Билет №11. Доказать второе достаточное условие экстремума. Пусть ф-ция f (x) определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а nная производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если f ( n ) (c) 0 , то x=c –локальный минимум, если f ( n ) (c) 0 , то x=c –локальный максимум. Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С. f (c) f ( n1) (c) f ( n) (c) f ( n) (c) ( x) n 1 n n f ( x) f (c) * ( x c) ... ( x c) ( x c) o(( x c) ) f (c) * ( x c) n 1! (n 1)! (n)! n! n , где (x ) -б.м.ф. при x c, x 1 (c) . Пусть n – четное, тогда ( x c) не меняет знак при переходе f ( n ) (c ) ( x ) f ( n ) (c ) lim 0. 2 (c) в которой функция сохраняет знак своего предела. x c x c n! n! f (c) f ( n 1) (c) f ( n ) (c ) f ( n ) (c ) ( x ) f ( x ) f (c ) * ( x c) ... ( x c) n 1 ( x c) n o(( x c) n ) f (c) * ( x c) n 1! (n 1)! (n)! n! через С. lim f ( n ) (c) ( x) f ( n ) (c) * 0x 2 (c) . (c) 1 (c) 2 (c) . (n)! n! f ( n ) (c ) ( x ) x (c), f ( x) f (c) * ( x c) n 0 , если f ( n ) (c) 0 f ( x) f (c) x c - точка n! локального экстремума. , Доказать теорему о пределе произведения функций. Пусть f (x) и g (x ) при x a имеют конечные пределы равные A и B соответственно, тогда lim( f ( x) g ( x)) A B Дано: lim f ( x) A, lim g ( x) B x a x a Доказательство: {x n } a, x n a { f ( x n )} A , {x n } a, x n a {g ( x n )} B , n x a n { f ( x n ) * g ( x n )} A * B n xa Билет №12. Доказать достаточное условие выпуклости графика функции. Пусть f (x) определена и дважды дифференцируема на (a, b) . Для того, чтобы график функции имел f (x) была неотрицательная направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы (неположительная) на (a, b) . Доказательство: Дано: f ( x) 0(a, b) Доказать: f (x) - выпуклость вниз на (a, b) . Пусть M ( x0 , f ( x0 )), x0 (a, b) . Уравнение касательной: Y f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) y f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 , где ( x0 , x) , если x x0 , ( x, x0 ) , если x x0 , 1! 2! f ( ) y Y ( x x0 ) 2 , т.к. f ( ) 0 (a, b) 2! y Y 0 y Y график функции f (x ) на (a, b) лежит не ниже касательной f (x ) выпуклость вниз на (a, b) . Доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел. Если lim f ( x) b 0 , то существует окрестность точки а, в которой f ( x) 0 и знак f (x) совпадает x a со знаком значения b. 0 Доказательство: по условию lim f ( x) b 0 , т.е. E 0 ( E ) 0 : x (a) | f ( x) b | E , или x a x справедливы неравенства b E f ( x) b E . |b| Возьмём за E число E . Тогда b , b E , b E являются числами одного знака. Следовательно, 2 в силу неравенства b E f ( x) b E , f ( x) 0 и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а. Билет №13. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать необходимое условие. Пусть функция f (x) определена и дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы (с, f (c ) ), была точкой перегиба графика функции f (x) , необходимо чтобы f (c) 0 . Доказательство: Дано: (с, f (c ) ) – точка перегиба. Доказать: f (c) 0 . f (c) 0 - это значит, согласно свойству непрерывности, что функция обладает знакопостоянством. f (c) 0 (c) : f ( x) 0, x (c) , т.е. в этой окрестности график функции имеет одинаковые направления выпуклости слева и справа от точки С, что противоречит определению точки перегиба в точке С f (c) 0 . Доказать теоремы об эквивалентных бесконечно малых. Теорема. Для того, чтобы б.м.ф. (x ) и (x) при x a были эквивалентными, при x a необходимо и достаточно, чтобы ( ( x) ( x)) o( ( x)) , ( ( x) ( x)) o( ( x)) . xa xa Доказательство. Необходимость. Дано. ( x) ~ ( x). Доказать, что x a ( ( ( x) ( x)) o( ( x)) . lim ( x a xa ( x) ( x) ( x) lim (1 ) 0 ( ( x) ( x)) o( ( x)) x a x a ( x) ( x) Достаточность. Дано. ( ( x) ( x)) o( ( x)) Доказательство. xa ( x) ( x) ( x) lim ( 0 1 ( x) ~ ( x) . x a x a ( x) ( x) Рассмотрим сумму конечного числа б.м.ф. 1 ( x) ... n ( x) , где k (x) - б.м.ф. при x a . Пусть k ( x) o(1 ( x)) , k=2,3,….n тогда 1 ( x) - главная часть б.м.ф. xa Билет №14. Доказать теорему Коши. Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы на интервале f (b) f (a) f ( ) (a,b); 3) g ( x) 0x (a, b) тогда , ( a, b) . g (b) g (a) g ( ) Доказательство: g (b) g (a); Вводим вспомогательную функцию f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) * ( g ( x) g (a)) . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы g (b) g (a) Ролля: 1) F (x) непрерывна на [a,b]; 2) F (x) дифференцируема на (a,b); 3) F (a) F (b) 0 . f (b) f (a) f (b) f (a) f ( ) (a, b) : F ( ) 0 (по теор. Ролля). f ( ) * g ( ) 0 . , ( a, b) . g (b) g (a) g (b) g (a) g ( ) Вывести формулу для производной сложной функции. Пусть функция x g (t ) , дифф. В точке t=t0, а функция y f (x) - дифференцируема в точке x0 g (t 0 ) , тогда функция y f ( g (t )) дифференцируема в точке t=t0, причем y f ( g (t )) * g (t ) . Док-во (должны доказать, что y A * t * t ). Имеем, что x g (t 0 ) * t 1 * t . y f ( x0 * x) 2 * x . y f ( x0 ) * ( g (t 0 ) * t 1 * t ) 2 * ( g (t 0 ) * t 1 * t ) f ( x0 ) * g (t 0 ) * t ( 1 2 ) * t g (t 0 ) * 2 * t f ( x0 ) * g (t 0 ) * t ( 1 2 g (t 0 ) * 2 ) * t f ( x0 ) * g (t 0 ) * t * t f ( g (t )) f ( g (t )) * g (t ) . Билет №15. Доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции. Для того, чтобы функция f (x) , определённая и дифференцируемая на (a, b) , возрастала на (a, b) , достаточно, чтобы f ( x ) 0 на (a, b) . Доказательство: Дано: f ( x ) 0 Доказать: f (x) - возрастает на (a, b) x1 , x2 (a, b) : x1 x2 1) [a, b] - определена 2) (a, b) - дифференцируемая. Согласно т. Лагранжа т.к. E ( x1 , x2 ) : f ( x2 ) f ( x1 ) f ( E) ( x2 x1 ) , f ( E) 0, x2 x1 0 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 , f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x) - возрастает на (a, b) . Длина дуги плоской кривой. Производная и дифференциал длины дуги плоской кривой. Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г. M M0 (s) (s0 ) r r (s), s [0; s0 ] ; ( s) ( s0 ) s - Средняя кривизна кривой Г. Кривизной кривой Г в точке s0 называют предел (если он существует) средней коивизны при s 0 . k ( s 0 ) lim s 0 R( s0 ) 1 ; Если k ( s0 ) 0 , то полагают R( s0 ) k (s0 ) ( s) ( s0 ) s ; Билет №16-1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа. Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в (a) и имеет в (a) производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из (a) , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: f (a) f (a) f ( n ) (a) f ( x) f ( a ) * ( x a) * ( x a) 2 ... * ( x a ) n Rn ( x ) . 1! 2! n! n 1 x a p (x ) Rn ( x) ( ) * * f n1 ( ) . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; x n!* p Rn (x) - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде. f (a) f n (a) * ( x a) ... * ( x a) n эта функция – многочлен степени n – 1! n! многочлен Тейлора с центром в точке а. Обозначим f ( x) Pn ( x, a) Rn ( x) . Рассмотрим вспомогательную функцию (t ) . Pn ( x, a) f (a) (t ) f ( x) Pn ( x, t ) ( x t ) p * Q( x) , где Q( x) Rn ( x) . Покажем, что на [a;x] (t ) удовлетворяет ( x a) p всем условиям теоремы Ролля: 1. непрерывность на [a;x]; 2. дифференцируема на (a;x); Rn ( x) f ( n ) (a) * ( x a) p ( x a) p . Rn ( x) Rn ( x) 0 n! p n! ( x a) ( x) f ( x) f ( x) 0 ; (a) ( x) 0 ; (a; x) : ( ) 0 f (t ) f ( n ) (t ) (t ) f ( x) f (t ) * ( x t ) ... * ( x t ) n ( x t ) p * Q( x). 1! n! f (t ) f (t ) 2 f (t )( x t ) f (t ) f ( n 1) (t ) (t ) f (t ) * (x t) * ( x t ) 2 ... * ( x t ) n p( x t ) p 1 * Q( x). 1! 1! 2! 2! n! p( x ) p 1 * Rn ( x) f ( n 1) ( ) f ( n 1) ( ) ( ) * ( x ) n p( x ) p 1 * Q( x) 0. * (x )n ; p 3. (a) f ( x) f (a) f (a) * ( x a) ... ( x a) n! n! ( )( x ) xa p *( ) n! p x Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем ( x a) n при x a . Rn ( x) o(( x a) n ) , x a . R ( x) Доказать: lim n n 0. x a ( x a ) f ( x) Pn ( x, a) 0 ; ( f ( x) Pn( x, a)) x a =0; lim x a ( x a) n 2 f (a) n * f n (a) Pn ( x, a) f (a) * ( x a) ... * ( x a) n1 ; 2! n! 2! f (a) n * (n 1) f n (a) Pn( x, a) f (a) * ( x a) ... * (a); P ( n) (a, a) f ( n ) (a); 3! n! f n ( x) Pn( n ) ( x, a) Rn ( x) f ( x) pn ( x, a) 0. lim lim n раз применяем пр. Б-Л.= lim x a x a ( x a ) n x a n! n * ( x a) n1 Rn ( x) f ( n 1) n 1 Такую запись остаточного члена называют ост. чл. в форме Пеано: Rn ( x) o(( x a) n ) . Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. a * ( x a) , (0;1) p (( x a) ( x a)) n 1 xa * Rn ( x) * f n1 (a ( x a)) n!* p ( x a) ( x a) n 1 n p 1 ( x a) * (1 ) * f n1 * (a ( x a)) n!* p ( x a) n1 f ( n1) (a ( x a)) 1) p=n+1, тогда Rn ( x) * f n1 * (a ( x a)) * ( x a) n1 (n 1)! (n 1)! остаточный член в форме Лагранжа. f ( n 1) (a ( x a)) 2) p=1 – в форме Коши: Rn ( x) * (1 ) n ( x a) n1 Число в формуле n! Лагранжа и формуле Коши разные, т. к. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при x a , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа. Пусть функция имеет производную любого порядка в (a) и эти производные ограничены одной и той же константой M. M 0, | f ( n) ( x) | M , n : x (a) | Rn ( x) f ( n1) ( ) ( x a) n1 | x a | n1 ; lim * ( x a) n1 M * 0. (n 1)! (n 1)! n (n 1)! Билет №16-2. Доказать непрерывность функций y sin x и y ex 1) y sin x Зададим приращение аргумента функции y sin x в точке X: x x y sin x sin( x x) sin( x) 2 sin cos( x ) 2 2 x x x | x | | y | 2 | sin || cos( x ) | 2 | sin | 2 x 2 2 2 2 Здесь использовано неравенство | sin || |, R . Итак, | y || x | . Тогда x 0 | x | 0 | y | 0 y 0 , т.е. lim y 0 функция y sin x непрерывна в точке X, а x 0 т.к. точка X принадлежит R , т.е. произвольна, то можна сказать, что функция y sin x непрерывна на всей числовой оси. 2) y e x ыв Зададим приращение аргумента функции y e x в точке X: y e x e x x e x , lim y lim e xx e x lim e x (e x 1) 0 e x - непрерывная функция. x0 x0 x0 Билет №17. Доказать первое достаточное условие экстремума функции. Пусть функция f (x) определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум. Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда: 1. на [ x, c ] f (x) - непрерывна. 2. на ( x, c) - дифференцируема. По т. Лагранжа f (c) f ( x) f ( E ) (c x) , где E ( x, c ) , т.к. x c , то f (c) f ( x) на [c, x ] : f ( x) f (c) f ( E ) ( x c) 0 где E (c, x ) , f ( x) f (c) Непрерывность сложной функции. Пусть y f (x) - непрерывна в точке x=a, а функция z g ( y ) - непрерывна в точке b=f(a), тогда сложная функция z=g(f(x)) – непрерывна в точке x=a. Доказательство: Т.к g(y) – непрерывна в точке y=b, то E 0 ( E ) : y :| y b | | g ( y ) g (b) | E , т.к. y=f(x) – непрерывна в точке x=a, то 0E 01 ( E) : x :| x a | 1 | f ( x) f (a) | E E 0 1 ( E ) : x :| x a | 1 | g ( f ( x)) g ( f (a)) | E lim g ( f ( x)) g ( f (a)) . x a Замечание: lim g ( f ( x)) g lim f ( x) x a xa Билет №18. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке. Дано: f (x) - дифференцируема в точке. Доказать: f (x) - непрерывна в точке. y f ( x)x x , где - б.м.ф. при x 0 . lim y lim ( f ( x)x x) 0 f ( x) - непрерывна в заданной точке. x 0 x 0 Доказать теорему о пределе промежуточной функции. Пусть функции f1 ( x) и f 2 ( x) имеет конечный предел А при x a и пусть 0 0 (a) : f1 ( x) g ( x) f 2 ( x), тогда lim g1 ( x) A, x (a) x a Доказательство: A lim f1 ( x) A {x n } n a , x n a { f1 ( x n )} n x a A lim f 2 ( x) A {x n } n a , x n a { f 2 ( x n )} n xa E 0N1 ( E ) : n N1 ( E ) | f1 ( xn ) A | E E 0N 2 ( E ) : n N 2 ( E ) | f 2 ( xn ) A | E Рассмотрим N max( N1 ( E); N 2 ( E)) , начиная с некоторого номера N { f1 ( x)} и { f 2 ( x)} , будут одинакого выполняться A f1 ( x) g ( x) f 2 ( x) A , n N . Значит, 0 | g ( x) A | lim g1 ( x) A, x (a) x a Билет №19. Доказать теорему Лагранжа. Пусть функция y f (x) . 6. Определена и непрерывна на отрезке [a; b] . 7. Дифференцируема на интервале (a; b) . Тогда существует E из интервала (a; b) : f (b) f (a) f ( E ) (b a) . Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F ( x) f ( x) x , где - константа. : F (a) F (b) f (a ) a f (b) b f (b) f (a ) ba 3. Она непрерывна на [a; b] 4. дифференцируема на (a; b) . Все условия теоремы Ролля выполняются существует E из (a; b) : F ( E ) 0 f (b) f (a) F ( x) f ( x) f ( E ) ba Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка. Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке. Инвариантность формы первого дифференциала. t g (x) ; y f (t ); y f ( g ( x)) , где Х независимая переменная. dy ( f ( g ( x))) * dx f ( g ( x)) * g ( x)dx f (t ) * dt Билет №20. Доказать теоремы Ролля и Ферма. Пусть дана функция y f (x) . 8. Определена и непрерывна на отрезке [a; b] . 9. Дифференцируема на интервале (a; b) . 10. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. Тогда существует точка E , принадлежащая отрезку (a; b) : f ( E ) 0 . Доказательство: Т.к. функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения. m min f ( x) , x [ a; b] , M max f ( x) , x [ a; b] . Случаи: 3. m M f ( x) const , E - любое из интервала (a; b) 4. m M в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка [a; b] . Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале (a; b) в любой точке, то по теореме Ферма существует E : f ( E ) 0 . Т. Ферма: Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю. Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть f ( ) f ( x), x (a; b). f ( x) f ( ) f ( ) . x x f ( ) f ( ) f ( ) 0 . f ( ) lim lim x 0 f ( x) f ( ) 0; x f ( ) lim x 0 f ( x) f ( ) 0 ; Т.к. x Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой. 0 Для того, чтобы функция f (x) , определённая в (a) имела конечный предел при x a , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при x a ( f ( x) b ( x) , где (x ) - б.м.ф. при x a ). Доказательство: I Необходимость: Дано: lim f ( x) b xa Доказать: f ( x) b ( x) , где (x ) - б.м.ф. при x a . E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | f ( x) b | E Пусть ( x) f ( x) b по определению б.м.ф E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | ( x) | E ( x) - б.м.ф. при x a . f ( x) b ( x) : x : 0 | x a | II Достаточность: Дано: f ( x) b ( x) , где (x ) - б.м.ф. при x a . Доказать: lim f ( x) b xa E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | ( x) || f ( x) b | E lim f ( x) b xa Билет №21. Формула Маклорена для y sin x с остаточным членом в форме Пеано. f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n * x ... x Rn ( x) , где 1! 2! n! 1) Rn ( x) o( x n ) Пеано f ( x) f (0) f ( n1) ( ) n1 * x , где a ( x a ) - Лагранж (n 1)! f ( n1) (a ( x a)) 3) Rn ( x) * (1 ) n ( x a) n1 - Коши n! y sin x , y cos x sin( x ) , y sin x sin( x 2 ) , y n sin( x n ) 2 2 2 3 5 2 n 1 x x x sin x x ... (1) n o( x 2 n2 ), x 0 (Пеано) , т.к. sin x 3! 5! (2n 1)! усл.: f ( 2 n ) (0) 0 2) Rn ( x) - нечет., то вып. x3 x5 x 2 n1 f n1 ( ) n 1 sin x x ... (1) ( x a) n1 , ( x; a ) (Лагранж) 3! 5! (2n 1)! (n 1)! Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Функцию f(x) называют непрерывной на [a,b], если она непрерывна на (a,b) и непрерывна справа в точке x=a и непрерывна слева в точке x=b. Первая теорема Вейерштрасса. Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. M 0 : x [a, b] | f ( x) | M . Вторая теорема Вейерштрасса. Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения. Первая теорема Больцано-Коши. Функция f ( x) C[a, b], f (a) * f (b) 0 , тогда c [a, b] : f (c) 0 Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку ba концами. Когда-нибудь получим отрезок [an , bn ] : f (an ) * f (bn ) 0 . bn a n n . При n , 2 ba 0 . Получим систему вложенных отрезков [a, b] [a1 , b1 ] .. [an , an ] . Если при делении отрезка 2n пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что f (c) 0 . Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то (c ; c ) : x (c ; c ) : f ( x) 0 ; 0N ( ) : n N ( ) [an ; bn ] (c ; c ) f (an ) * f (bn ) 0 - притиворечие, что и треб. доказ. Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть f (x) непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, ( A B) , тогда для любого числа С: A C Bc [a, b] : f (c) C . Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C. 1) F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций. 2) F(a)*F(b)<0 По первой теореме Б-К c [a, b] : f (c) 0 F (c) f (c) C 0 f (c) C . Билет №22. Доказать первое достаточное условие экстремума функции. Пусть функция f (x) определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум. Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на [ x, c ] : 3. f (x) - непрерывна. 4. на ( x, c) - дифференцируема. По т. Лагранжа f (c) f ( x) f ( E ) (c x) , где E ( x, c ) , т.к. x c , то f (c) f ( x) на [c, x ] : f ( x) f (c) f ( E ) ( x c) 0 где E (c, x ) , f ( x) f (c) sin x 1 Вывести 1 замечательный предел: lim x 0 x Пусть BD OA , CA OA . C y Ясно, что S OAB S ñåêò S OCA , но 1 1 1 B S OAB OA BD sin x 2 2 1 1 S ñåêò (OA) 2 BD x 2 2 1 1 0 D А x S OCA OA AC tgx , т.е. 2 2 x 1 sin x sin x sin x x tgx , т.к. sin x 0 1 1, x (0, ) lim 1. x 0 sin x cos x x 2 x Билет №23. Доказать второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f (x) определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а nая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если f ( n ) (c) 0 , то x=c – локальный минимум, если f ( n ) (c) 0 , то x=c – локальный максимум. Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С. f (c) f ( n 1) (c) f ( n ) (c ) f ( x ) f (c ) * ( x c) ... ( x c) n 1 ( x c) n o(( x c) n ) 1! (n 1)! (n)! , где (x ) - б.м.ф. при (n) f (c ) ( x ) n f (c ) * ( x c) n! x c, x 1 (c) . Пусть n – четное, тогда ( x c) n не меняет знак при переходе через С. f ( n ) (c ) ( x ) f ( n ) (c ) lim lim 0. 2 (c) в которой функция сохраняет знак своего предела. x c x c n! n! f (c) f ( n1) (c) f ( n ) (c) f ( n ) (c) ( x) n 1 n n f ( x) f (c) * ( x c) ... ( x c) ( x c) o(( x c) ) f (c) * ( x c) n , 1! (n 1)! (n)! n! ( n) ( n) f (c) ( x) f (c) * 0x 2 (c) . (c) 1 (c) 2 (c) . (n)! n! f ( n ) (c ) ( x ) x (c), f ( x) f (c) * ( x c) n 0 , если f ( n ) (c) 0 f ( x) f (c) x c - точка n! локального экстремума. Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой. С геометрической точки зрения значении производной f (a ) в данной точке x=a равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ции y f (x) в точке М(a,f(a)). Из аналит. геометрии известно, что уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку M(a,f(a)) имеет вид: y f (a) f (a)( x a) . Прямую, проходящую через точку М, перпендикулярно касательной называют нормалью к графику 1 функции в точке М. Если f (a) 0 , то уравнение нормали имеет вид: y f (a) ( x a) . f (a) Предельное положение секущей при P M (x 0) называют касательной к графику функции в y f ( x0 x) f ( x0 ) y точке М. MN lim MP . tg( ) lim f ( x0 ) p M x 0 x x x Билет №24. Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций. 0 Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в б.м.ф. при x a , причем g ( x) 0 в 0 (a) . Если lim x a (a) , представляют собой f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) . lim , lim lim x a g ( x) x a g ( x) x a g ( x) g ( x) 0 Доказательство: Рассмотрим { x n a, xn (a) . Доопределим по непрерывности данные функции x нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, xn ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; f ( xn ) f (a) f ( n ) f ( xn ) дифференцируемы. По теореме Коши n (a; xn ) : g ( xn ) g (a) g ( n ) g ( xn ) f ( n ) f ( xn ) f ( x) n , xn a n a по условию теоремы lim lim lim lim x g ( ) x g ( x ) x a g ( x ) x a n n 0 Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда (a) (b;) или xn ) f(x) и g(x) f ( n ) при g ( n ) f ( x) > g ( x) 0 (a) (; c). Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на (b;) и представл. б.м.ф. при f ( x) f ( x) f ( x) x , причем g ( x) 0, x (b;). Если lim lim lim . x g ( x ) x g ( x ) x g ( x ) f ( x) Замечание 2: если f (x) и g (x) удовлетворяют всем условиям Б-Л и lim , то x a g ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) и т. д. lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x) Вывести формулу для производной частного от деления двух функций. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке, тогда дифференцируемыми в этой точке будут u ( x) u ( x)v( x) v ( x)u ( x) u(x)/v(x), причем v( x) 0 , . v 2 ( x) v( x) Док-во: u ( x) v( x) u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) u ( x x) * v( x) u ( x) * v( x x) lim lim x x * v( x x) * v( x) x 0 x 0 u ( x x) * v( x) u ( x) * v( x) u ( x) * v( x x) u ( x) * v( x) lim x * v( x x) * v( x) x 0 x 0 u ( x)v( x) v ( x)u ( x) v 2 ( x) lim u v * v( x) u ( x) * x x v( x x) * v( x) Билет №25. Доказать первое достаточное условие экстремума функции. Пусть функция f (x) определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум. Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на [ x, c ] : 5. f (x) - непрерывна. 6. на ( x, c) - дифференцируема. По т. Лагранжа f (c) f ( x) f ( E ) (c x) , где E ( x, c ) , т.к. x c , то f (c) f ( x) на [c, x ] : f ( x) f (c) f ( E ) ( x c) 0 где E (c, x ) , f ( x) f (c) Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Функцию f(x) называют непрерывной на [a,b], если она непрерывна на (a,b) и непрерывна справа в точке x=a и непрерывна слева в точке x=b. Первая теорема Вейерштрасса. Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. M 0 : x [a, b] | f ( x) | M . Вторая теорема Вейерштрасса. Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения. Первая теорема Больцано-Коши. Функция f ( x) C[a, b], f (a) * f (b) 0 , тогда c [a, b] : f (c) 0 Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку ba концами. Когда-нибудь получим отрезок [an , bn ] : f (an ) * f (bn ) 0 . bn a n n . При n , 2 ba 0 . Получим систему вложенных отрезков [a, b] [a1 , b1 ] .. [an , an ] . Если при делении отрезка 2n пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что f (c) 0 . Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то (c ; c ) : x (c ; c ) : f ( x) 0 ; 0N ( ) : n N ( ) [an ; bn ] (c ; c ) f (an ) * f (bn ) 0 - притиворечие, что и треб. доказ. Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть f (x) непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, ( A B) , тогда для любого числа С: A C Bc [a, b] : f (c) C . Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C. 3) F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций. 4) F(a)*F(b)<0 По первой теореме Б-К c [a, b] : f (c) 0 F (c) f (c) C 0 f (c) C . Билет №26. Доказать теоремы Ролля и Ферма. Пусть дана функция y f (x) . 1. Определена и непрерывна на отрезке [a; b] . 2. Дифференцируема на интервале (a; b) . 3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. Тогда существует точка E , принадлежащая отрезку (a; b) : f ( E ) 0 . Доказательство: Т.к. функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения. m min f ( x) , x [ a; b] , M max f ( x) , x [ a; b] . Случаи: 1. m M f ( x) const , E - любое из интервала (a; b) 2. m M в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка [a; b] . Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале (a; b) в любой точке, то по теореме Ферма существует E : f ( E ) 0 . Т. Ферма: Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю. Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть f ( ) f ( x), x (a; b). f ( x) f ( ) f ( ) . x x f ( ) f ( ) f ( ) 0 . f ( ) lim lim x 0 f ( x) f ( ) 0; x f ( ) lim x 0 f ( x) f ( ) 0 ; Т.к. x Вывести формулу для производной обратной функции. Пусть функция y=f(x) строго монотонна (возрастает или убывает) в некоторой окрестности точки x0 , и дифференцируема в точке x0 , тогда x f 1 ( y) - дифференцируемая в точке y0 f ( x0 ) . Доказательство: Рассмотрим x f 1 ( y) , пусть y - приращение аргумента обратной функции в точке y 0 , тогда функция получит приращение x , x 0 в силу строгой монотонности функции. x 1 y y x x 1 1 lim lim y 0 y x0 y f ( x0 ) x 1 ( f 1 ( y0 )) f ( x0 ) Билет №27. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать достаточное условие. Первое достаточное условие существования точки перегиба. Пусть f (x) определена в (c) , дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки С и непрерывна в самой точке С. Для того, чтобы в точке (С, f (c ) ) , была точка перегиба, достаточно, чтобы при переходе значения аргумента через точку С f (x) меняла знак. Дано: f (x) меняет знак. Доказать: точка (c, f (c ) )- точка перегиба. Док-во: Т.к. f (x) меняет знак, то в левой и правой полуокрестностях график функций имеет различные направления выпуклости, согласно достаточным условиям выпуклости графика функции. По условию теоремы, функция непрерывна в точке С. По определению точка (c, f (c ) )- точка перегиба.> Второе достаточное условие существования точки перегиба. Пусть ф-ция f (x) определена в (c) и имеет производные до n-го порядка включительно в самой точке С, причем f (c) f (c) ... f ( n )1 (c) 0 , а f ( n ) (c) 0 . Для того, чтобы точка (c, f (c ) ) была точкой перегиба графики функции достаточно, чтобы n было нечетно. Док-во: Рассмотрим f (x) в окрестности точки С, она как функция имеет производные до (n-2) – го порядка. Разложим ее по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. f (c) f ( n1) (c) f ( n) (c) ( x) f ( x) f (c) * ( x c) ... ( x c ) n 3 ( x c) n2 , где (x ) -б.м.ф. при 1! (n 3)! (n 2)! x c . ( x) * ( x c) n2 o(( x c) n2 ) . x 1 (c) : f ( x) f 1 (c) (c) . подмножество (c) ( x) f ( n ) (c ) ( x ) f ( n ) (c ) n2 ( x c) . lim lim 0. Существует x c x c (n 2)! (n 2)! (n 2)! ( n) f ( n ) ( c ) ( x ) f ( n ) (c ) 2 (c) : (n 2)! * (n 2)! 0 , (сохраняется знак предела). Если n-нечетное, существует 0 (c) 1 (c) 2 (c) такая, в пределах которой при переходе значения аргумента через С, вторая производная меняет знак. Согласно первому достаточному условию, точка (c, f (c ) ) – точка перегиба. Определение б.б. функций. Теорема об их связи с б.м. функциями. 0 Функция f (x) определённая в (a) называется б.б. функцией при x a , если lim f ( x) , т.е. x a E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | f ( x) | E Теорема: I. Пусть функция f (x) является б.б.ф. при x a , тогда 1 - представляет собой б.м.ф. при f ( x) x a. E 1 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | f ( x) | E 1 1 , тогда | f ( x) | 1 - б.м.ф. при f ( x) x a. II. Пусть функция (x ) - б.м.ф. при x a отличная от нуля в некоторой 0 1 (a) , тогда ( x) при x a . E E 1 1 0 1 ( E ) 0 : x : 0 | x a | 1 | ( x) | E 0 2 ( E ) 0 : x : 0 | x a | 2 | ( x) | 0 min( 1 , 2 ) E 0 ( E ) 0 : x : 0 | x a | | ( x) | 1 1 1 E , тогда - б.б.ф. при x a . E | ( x) | ( x) - б.б.ф. Билет №28. Доказать достаточное условие выпуклости графика функции. Пусть f (x) определена и дважды дифференцируема на (a, b) . Для того, чтобы график функции имел f (x) была неотрицательная направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы (неположительная) на (a, b) . Доказательство: Дано: f ( x) 0(a, b) Доказать: f (x) - выпуклость вниз на (a, b) . Пусть M ( x0 , f ( x0 )), x0 (a, b) . Уравнение касательной: Y f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) y f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 , где ( x0 , x) , если x x0 , ( x, x0 ) , если x x0 , 1! 2! f ( ) y Y ( x x0 ) 2 , т.к. f ( ) 0 (a, b) 2! y Y 0 y Y график функции f (x ) на (a, b) лежит не ниже касательной f (x ) выпуклость вниз на (a, b) . Доказать теорему о пределе промежуточной функции. Пусть функции f1 ( x) и f 2 ( x) имеет конечный предел А при x a и пусть 0 0 (a) : f1 ( x) g ( x) f 2 ( x), тогда lim g1 ( x) A, x (a) x a Доказательство: A lim f1 ( x) A {x n } n a , x n a { f1 ( x n )} n x a A lim f 2 ( x) A {x n } n a , x n a { f 2 ( x n )} n xa E 0N1 ( E ) : n N1 ( E ) | f1 ( xn ) A | E E 0N 2 ( E ) : n N 2 ( E ) | f 2 ( xn ) A | E Рассмотрим N max( N1 ( E); N 2 ( E)) , начиная с некоторого номера N { f1 ( x)} и { f 2 ( x)} , будут одинакого выполняться A f1 ( x) g ( x) f 2 ( x) A , n N . Значит, 0 | g ( x) A | lim g1 ( x) A, x (a) x a Билет №29. Доказать теорему Лагранжа. Пусть функция y f (x) . 11. Определена и непрерывна на отрезке [a; b] . 12. Дифференцируема на интервале (a; b) . Тогда существует E из интервала (a; b) : f (b) f (a) f ( E ) (b a) . Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F ( x) f ( x) x , где - константа. : F (a) F (b) f (a ) a f (b) b f (b) f (a ) ba 5. Она непрерывна на [a; b] 6. дифференцируема на (a; b) . Все условия теоремы Ролля выполняются существует E из (a; b) : F ( E ) 0 f (b) f (a) F ( x) f ( x) f ( E ) ba Вывести формулу для производной сложной функции. Пусть функция x g (t ) , дифф. В точке t=t0, а функция y f (x) - дифференцируема в точке x0 g (t 0 ) , тогда функция y f ( g (t )) дифференцируема в точке t=t0, причем y f ( g (t )) * g (t ) . Док-во (должны доказать, что y A * t * t ). Имеем, что x g (t 0 ) * t 1 * t . y f ( x0 * x) 2 * x . y f ( x0 ) * ( g (t 0 ) * t 1 * t ) 2 * ( g (t 0 ) * t 1 * t ) f ( x0 ) * g (t 0 ) * t ( 1 2 ) * t g (t 0 ) * 2 * t f ( x0 ) * g (t 0 ) * t ( 1 2 g (t 0 ) * 2 ) * t f ( x0 ) * g (t 0 ) * t * t f ( g (t )) f ( g (t )) * g (t ) . Билет №30. Кривизна плоской кривой, формула кривизны. Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г. r r(S ), S [0, S r ] | (S ) (S 0 ) | - средняя кривизна кривой Г. Кривизной Г в точке S0 называют предел (если S | (S ) (S 0 ) | . S 0 S он существует) средней кривизны при стремлении S к нулю. K ( S 0 ) lim R( S 0 ) 1 . Если K (S 0 ) 0 , то полагают R( S 0 ) , прямая, перпендикулярная касательной и K (S 0 ) проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г. Точка нормали, отстоящая от точки касания на величину, равную радиусу кривизны, называют центром кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат . Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой. Некоторые свойства эволюты и эвольвенты: 1. Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны. 2. При монотонном возрастании радиуса кривизны, приращение радиуса кривизны равно, по абсолютной величине, длине эволюты между соответствующими центрами кривизны. Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г. M M0 (s0 ) (s)