Задание 1. - Геометрия и математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени В. Г. БЕЛИНСКОГО
ПРИНЯТО
на заседании Ученого совета
физико-математического факультета
Протокол заседания № ____
от «___» ________________________2011 г.
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
___________________ Ю.А. Мазей
Декан
факультета ___________О.П. Сурина
«_____» ___________________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
____________________Математический____анализ
_________________
Направление подготовки ______050100___ Педагогическое образование___
Профиль подготовки ______________Математика______________________
Квалификация (степень) выпускника – Бакалавр
Форма обучения ______________________очная_____________________
Пенза – 2011
1
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование и
развитие у студентов профессиональных и специальных компетенций, формирование
систематизированных знаний в области математического анализа, о его месте и роли в
системе математических наук, приложениях в естественных науках. Формирование
умений и навыков в области математического анализа и его основных методов,
позволяющих подготовить конкурентоспособного выпускника для сферы образования,
готового к их инновационной творческой реализации в образовательных учреждениях
различного уровня и профиля.
Задачи изучаемой дисциплины:
Исходя из общих целей подготовки бакалавра педагогического образования по
профилю «Математика»:
 содействовать средствами дисциплина «Математический анализ» развитию у
студентов мотивации к педагогической деятельности, профессионального мышления,
коммуникативной готовности, общей культуры;
 научить студентов ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной
речи.
Исходя из конкретного содержания дисциплины:
 сформировать систему знаний и умений в области математического анализа,
необходимых для применения в будущей профессиональной деятельности, при
изучении смежных дисциплин, проведении научных исследований;
 познакомить студентов с приложениями математического анализа в естественных
науках;
 научить студентов доказательно рассуждать, выдвигать гипотезы и их обосновывать;
 научить поиску, систематизации и анализу информации, используя разнообразные
информационные источники, включая учебную и справочную литературу;
 научить использовать информационные технологии в будущей профессиональной
деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Математический анализ» относится к вариативной части
профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях
общеобразовательных программ по следующим дисциплинам: математика, геометрия,
алгебра и начала анализа.
Для освоения дисциплины обучающиеся используют знания, умения и виды
деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин базовой части
математического и естественнонаучного цикла, а также дисциплин вариативной части
профессионального цикла: «Геометрия», «Алгебра».
В результате изучения данной дисциплины обучающийся должен:
знать основные понятия и строгие доказательства фактов основных разделов курса
математического анализа;
уметь применять теоретические знания к решению задач по курсу;
владеть:
различными приемами использования идеологии курса математического анализа к
доказательству теорем и решению задач школьного курса;
навыками корректного использования терминологии курса математического анализа,
навыками изложения доказательств и утверждений анализа;
2
техникой применения производной, интегралов и дифференциальных уравнений к
решению задач, в том числе и практической направленности;
навыками использования математических моделей в решении практических задач;
теорией и практикой пределов, дифференциального и интегрального исчисления
функций как одного, так и нескольких переменных;
теорией и практикой рядов, их использованием в приближенных вычислениях.
Дисциплина «Математический анализ», наряду с дисциплинами «Алгебра» и
«Геометрия», является фундаментом высшего математического образования. Знания и
умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Математический анализ»,
используются в дальнейшем при освоении дисциплин вариативной части профессионального
цикла: «Современные методы теории функций», «Современные методы математической
физики», «Физика», на учебной практике, производственной (педагогической) практике, при
подготовки к итоговой государственной аттестации.
3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины «Математический анализ».
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:
ПК-1
способен реализовывать
учебные
программы
базовых
и
элективных
курсов
в
различных
образовательных
учреждениях;
СК-1
владеет
основными
положениями классических
разделов математической
науки, базовыми идеями и
методами
математики,
системой
основных
математических структур и
аксиоматическим методом;
владеет
культурой
математического
мышления, логической и
алгоритмической
культурой,
способен
понимать общую структуру
математического
знания,
взаимосвязь
между
различными
математическими
дисциплинами,
реализовывать
основные
методы
математических
рассуждений на основе
общих методов научного
исследования
и
опыта
решения
учебных
и
научных
проблем,
пользоваться
языком
математики,
корректно
выражать
и
аргументировано
обосновывать имеющиеся
знания
способен
понимать
Знать: законы логики математических
универсальный
характер рассуждений
во
всех
разделах
законов
логики математического анализа.
СК-2
СК-3
Знать:
основные
понятия
теории
множеств, теории функций, векторных
пространств,
теории
пределов,
дифференциального
и
интегрального
исчислений.
Уметь: использовать основные свойства
объектов этих теорий при решении задач
базовых и элективных курсов.
Владеть: основными методами этих
теорий.
Знать: основные положения теории
множеств, теории пределов, векторных
пространств,
интегрального
и
дифференциального исчислений.
Уметь:
использовать
основные
положения этих разделов науки при
решении задач.
Владеть: основными методами анализа.
Знать: основные методы доказательства
и алгоритмы математического анализа.
Уметь: применять основные методы
теории множеств, векторных пространств,
теории пределов, дифференциального и
интегрального исчисления в решении задач
смежных областей математики
Владеть:
навыками
применения
основных
алгоритмов
математического
анализа во всех разделах математического
знания.
4
СК-4
математических
рассуждений,
их
применимость в различных
областях
человеческой
деятельности, роль и место
математики в системе наук,
значение математической
науки для решения задач,
возникающих в теории и
практике, общекультурное
значение математики
владеет
математикой
как универсальным языком
науки,
средством
моделирования явлений и
процессов,
способен
пользоваться построением
математических
моделей
для решения практических
проблем,
понимать
критерии
качества
математических
исследований,
принципы
экспериментальной
и
эмпирической
проверки
научных теорий
Уметь: применять основные методы
доказательных математических рассуждений
в анализе.
Владеть:
навыками
использования
законов
логики
математических
рассуждений в других областях математики.
Знать:
основные
примеры
математических моделей в теории пределов,
интегральном
и
дифференциальном
исчислении.
Уметь: строить примеры основных
математических моделей в математическом
анализе.
Владеть:
навыками
использования
математических
моделей
в
решении
практических задач.
5
4. Структура и содержание дисциплины «Математический анализ»
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет _23 зачетных единиц, _828_ часов.
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость
(в часах)
6
6
12
6
2
44
22
22
44
22
4
8-18
6
8
4
18
19
20
21
22
3,4
4
6
Индивидуальное
домашнее задание
12
5-7
17
Курсовая работа
8
16
36
Контрольная работа
16
15
тест
8
16
14
Коллоквиум
8
1-4
13
12
собеседование
11 12
2
Подготовка к экзамену
10
14
Подготовка к выполнению курсовой
работы
Подготовка к собеседованию
9
28
6
14
Подготовка к контрольной работе
Подготовка к аудиторным занятиям
8
14
5
28
Подготовка к тестированию
Всего
7
4
1-7
Подготовка к коллоквиуму
Лабораторные занятия
Самостоятельная работа
Практические занятия
3
1
Лекция
2
Раздел 1. Теория пределов.
Тема 1.1. Предел
1.1.
последовательности и функции.
Тема 1.2. Непрерывность
1.2.
функций.
Раздел 2. Дифференциальное
2.
исчисление функций одной
переменной
Всего
1
1.
Наименование
разделов и тем
дисциплины (модуля)
Недели семестра
№
п/п
Семестр
Аудиторная работа
Формы текущего контроля
успеваемости (по неделям
семестра)
5
8
6
1
2.1
2.2
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
4.
2
Тема 2.1.Дифференцирование.
Тема 2.2. Применение
дифференциального исчисления.
Итого за 1 семестр
Раздел 3. Интегральное
исчисление функций одной
переменной
Тема 3.1. Неопределенный
интеграл.
Тема 3.1. Неопределенный
интеграл.
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Тема 3.3. Приложения
определенных интегралов.
Тема 3.4. Несобственные
интегралы.
Итого за 2 семестр
Раздел 4. Ряды.
4.1. Тема 4.1. Числовые ряды.
Тема 4.2. Функциональные
4.2.
последовательности и ряды.
4.3. Тема 4.3. Степенные ряды.
4.4. Тема 4.4. Ряды Фурье.
Итого за 3 семестр
Раздел 5. Функции нескольких
5
переменных.
Тема 5.1. Дифференциальное
5.1. исчисление функций нескольких
переменных.
Тема 5.2. Экстремумы функции
5.2.
двух переменных.
3
8
10
9
20
10
10
11 12
4
13
2
14
4
12
12
24
12
6
2
4
72
36
36
72
36
6
6
16
8
36
1-18
72
36
36
72
36
10
8
8
10
36
1-6
24
12
12
22
12
4
6
5
2,
3,4
7-8
4
4
10
4
4
2
8
7
7-12
20
12
8
16
8
2
13-16
16
8
8
16
8
17-18
8
4
4
8
4
72
36
36
72
36
10
8
8
10
1-18
54
18
36
54
36
2
6
6
4
1-6
18
6
12
18
12
7-10
12
4
8
10
8
11-14
15-18
12
12
54
4
4
18
8
8
36
16
10
54
8
8
36
4 1-18
72
36
36
72
1-6
24
12
12
7-8
8
4
4
2
3
4
8-12
5
20
6
10
13-18
24
7
7
15
16
6
17
9
18
19
8
20
10
16
15
17
10
8
17
36
2,4,6
2
9
6
14
6
2
4
42
10
10
18
12
6
12
4
4
6
14
16
6
2
22
9
4
2
21
12
17
36
2, 5
4
7
8
7
1
2
5.3. Тема 5.3. Кратные интегралы.
Тема 5.4. Криволинейные
5.4.
интегралы.
Итого за 4 семестр
6
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
3
4
9-15
5
28
6
14
7
14
16-18
12
6
72
Раздел 6. Дифференциальные
уравнения и уравнения с
5 1-18
частными производными.
Тема 6.1. Дифференциальные
1-6
уравнения первого порядка.
Тема 6.2. Линейные
7-12
дифференциальные уравнения.
Тема 6.3. Системы
дифференциальных уравнений и
13-16
уравнения в частных
производных.
Тема 6.4. Применение
дифференциальных уравнений при
17-18
моделировании.
Итого за 5 семестр
Общая трудоемкость в часах
8
9
20
10
20
6
22
6
36
36
72
42
72
36
36
72
24
12
12
24
12
16
14
15
6
10
10
10
10
40
16
16
22
12
10
12
26
12
6
8
8
16
8
8
4
4
8
8
72
342
36
162
36
108 72
72 40
342 190
8
11 12
13
16
17
18
19
20
21
17
16
22
15
36
36
4,5
8
11
8
7
15
16
18
16
20 56
16
48
10
36
144
Промежуточная аттестация
Форма
Семестр
Зачет
1, 3 семестры
Экзамен
1, 2, 4, 5 семестры
4.2. Содержание дисциплины
Раздел 1. Теория пределов.
Тема 1.1. Предел последовательности и функции.
Предел последовательности: определение, геометрический смысл, свойства.
Ограниченность сходящейся последовательности. Критерий Коши существования
предела.
Предельный
переход
в
неравенствах.
Сходимость
монотонных
последовательностей. Число е. Теорема о вложенных отрезках.
Предел функции в точке: определение, геометрический смысл, свойства. Предел
функции на бесконечности. Бесконечный предел функции. Единственность предела,
теоремы о предельном переходе в неравенствах. Арифметические операции над
пределами. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции. Связь между ними. Предел отношения двух многочленов при х   .
Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.
Тема 1.2. Непрерывность функций.
Непрерывность функции в точке, различные определения и их эквивалентность.
Локальные свойства непрерывных функций (сохранение знака и ограниченность в
окрестности точки). Арифметические операции над непрерывными функциями.
Непрерывность рациональных и тригонометрических функций, непрерывность
композиции функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства непрерывных
функций на отрезке. Равномерная непрерывность функции на отрезке, теорема Кантора.
Теорема о непрерывности обратной функции. Непрерывность иррациональных
функций и обратных тригонометрических функций.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Тема 2.1. Дифференцирование.
Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Уравнение
касательной и нормали к графику функции. Понятие дифференцируемости функции.
Непрерывность
дифференцируемой
функции.
Понятие
дифференциала,
его
геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала, Правила
дифференцирования.
Производные
основных
элементарных
функций.
Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
Дифференцирование обратной функции. Производные и дифференциалы высших
порядков. Параметрическое задание функции, дифференцирование функции, заданной
параметрически.
Тема 2.2. Применение дифференциального исчисления.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Признаки постоянства и монотонности функции
на промежутке. Экстремумы функции. Отыскание наименьшего и наибольшего значений
непрерывной функции на промежутке. Выпуклость функции на промежутке, точки
перегиба. Исследование функций и построение их графиков.
Теорема Коши. Формула Тейлора для многочлена и для произвольной функции.
Правило Лопиталя.
Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Таблица основных
интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод
9
подстановки, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных, иррациональных
и трансцендентных функций.
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение интеграла
Римана, его свойства. Ограниченность интегрируемой функции. Критерий
интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и
ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Интегрирование по частям и
замена переменной в определенном интеграле.
Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной у
непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Тема 3.3. Приложения определенных интегралов.
Вычисление площадей фигур в декартовых и полярных координат, вычисление
площадей параметрически заданных фигур. Кубируемые тела и их объемы. Вычисление
объема тела по площадям параллельных сечений. Объем тела вращения. Понятие
спрямляемости кривой, вычисление длины дуги. Площадь поверхности вращения.
Механические приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление
определенных интегралов.
Тема 3.4. Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости.
Абсолютная сходимость. Приложения.
Раздел 4. Ряды.
Тема 4.1. Числовые ряды.
Числовой ряд и его сходимость, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак
сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (теоремы
сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признак Коши).
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.
Критерий Коши сходимости произвольного числового ряда. Абсолютная и условная
сходимость. Коммутативность абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана.
Тема 4.2. Функциональные последовательности и ряды.
Сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов,
область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости
функционального
ряда.
Непрерывность
суммы,
почленное
дифференцирование и интегрирование равномерно сходящихся рядов.
Тема 4.3. Степенные ряды.
Степенные ряды, теорема Абеля, интеграл и радиус сходимости степенного ряда.
Непрерывность
суммы
степенного
ряда,
почленное
интегрирование
и
дифференцирование. Единственность разложения функции в степенной ряд, ряд Тейлора.
Достаточные признаки сходимости ряда Тейлора. Разложение элементарных функций в
степенные ряды. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Тема 4.4. Ряды Фурье.
Ортогональные системы функций; тригонометрическая система. Ряд Фурье,
равномерная сходимость ряда Фурье. Достаточное условие разложимости функции в
тригонометрический ряд Фурье; сходимость в среднем. Ряды Фурье для четных и
10
нечетных функций. Ряд Фурье с периодом 2l.
Раздел 5. Функции нескольких переменных.
Тема 5.1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных. График функции двух переменных,
линии уровня. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Частные
производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия
дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала.
Использование дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференцирование
сложных функций. Производная по направлению. Градиент. Неявно заданные функции
одной и нескольких переменных, их дифференцирование. Частные производные и
дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Тема 5.2. Экстремумы функции двух переменных.
Экстремумы функций нескольких переменных, необходимые и достаточные
условия экстремума. Условный экстремум.
Тема 5.3. Кратные интегралы.
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла, определение двойного
интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Интегрируемость непрерывной
функции двух переменных. Свойства и вычисление двойных интегралов. Замена
переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения
двойного интеграла в геометрии и в физике.
Тройные интегралы, замена переменных в тройном интеграле. Приложения
тройных интегралов.
Тема 5.4. Криволинейные интегралы.
Криволинейный интеграл по длине дуги: определение, свойства, вычисление,
приложения.
Криволинейный интеграл по координатам: определение, свойства, вычисление,
приложения. Формула Грина-Остроградского. Криволинейный интеграл по замкнутому
контуру, условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
Раздел 6. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными
производными.
Тема 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача
Коши. Общее и частное решение. Геометрический смысл уравнения. Простейшие
дифференциальные уравнения и методы их решения. Основные понятия. Уравнения с
разделяющимися переменными. Линейные уравнения 1-го порядка. Однородные
уравнения. Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие
понижение порядка.
Тема 6.2. Линейные дифференциальные уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения. Пространство решений линейного
однородного
дифференциального
уравнения.
Неоднородное
линейное
дифференциальное уравнение, его решение. Линейные дифференциальные уравнения с
11
постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные), их решение.
Тема 6.3. Системы дифференциальных уравнений и уравнения в частных
производных.
Системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности
решения нормальной системы уравнений. Матричный метод интегрирования линейных
систем дифференциальных уравнений.
Уравнения с частными производными. Постановка основных краевых задач. Метод
Фурье.
Тема 6.4. Применение дифференциальных уравнений при моделировании.
История возникновения и развития дифференциальных уравнений. Применение
дифференциальных уравнений при моделировании.
12
5. Образовательные технологии.
В ходе освоения дисциплины «Математический анализ», при проведении
аудиторных занятий, используются технологии традиционных
и нетрадиционных
учебных занятий.
Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы
изучения материала как лекция, лабораторные занятия, практические занятия:
 информационная лекция:
тема 1.1. Предел последовательности и функции;
тема 1.2. Непрерывность функции;
тема 2.1. Дифференцирование;
тема 2.2. Применение дифференциального исчисления;
тема 3.1. Неопределенный интеграл;
тема 3.2. Определенный интеграл;
тема 3.3. Приложения определенных интегралов;
темы 4.1-4.4. Ряды;
тема 5.1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных;
тема 5.3. Кратные интегралы;
тема 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка;
тема 6.2. Линейные дифференциальные уравнения.
тема 6.4. Применение дифференциальных уравнений при моделировании.
 проблемная лекция:
тема 3.4. Несобственные интегралы;
тема 5.2. Экстремумы функции двух переменных;
тема 5.4. Криволинейные интегралы;
тема 6.3. Системы дифференциальных уравнений и уравнения в частных
производных.
Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков
решения задач, в том числе с практическим содержанием и исследовательских задач. В
ходе проведения практических занятий используются задания учебно-тренировочного
характера и задания творческого характера.
Лабораторные занятия проводятся на первом курсе и предполагают работу в малых
группах по решению задач с использованием теоретических знаний.
При изучении дисциплины «Математический анализ» используются активные и
интерактивные технологии обучения, такие как:
 технология сотрудничества, включающая работу в малых группах (тема 2.2.
Применение дифференциального исчисления; тема 5.2. Экстремумы функции двух
переменных; тема 5.3. Кратные интегралы) и коллективную мыслительную деятельность
(6.4. Применение дифференциальных уравнений при моделировании);
 медиатехнология (подготовка и демонстрация презентаций).
Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием
интерактивных технологий составляют 25% от общего количества аудиторных занятий.
Самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством
преподавателя (консультации, коллоквиумы) и индивидуальную работу студента,
выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на
физико-математическом факультете университета.
При реализации образовательных технологий используются следующие виды
самостоятельной работы:
 работа с конспектом лекции;
 работа с учебником;
 решение задач и упражнений по образцу;
13
 решение вариативных задач и упражнений;
 поиск информации в сети «Интернет» и дополнительной и справочной
литературе;
 подготовка к коллоквиуму;
 подготовка к сдаче зачета;
 подготовка к сдаче экзамена.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студента.
Неделя
1
1
семестр
1-4
5-7
№
темы
2
1
Вид самостоятельной работы
1.1.
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекций:
доказательство основных теорем о сходящихся
последовательностях; доказательство критерия
Коши существования предела последовательности;
доказательство теоремы о пределе монотонной
последовательности; теоремы о вложенных
отрезках; теоремы о первом замечательном пределе
о связи между бесконечно малыми и бесконечно
большими функциями;
 работа с учебником:
изучение
тем:
«Предел
функции
на
бесконечности», «Бесконечный предел функции»
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к тестам.
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
доказательство теорем о локальных свойствах
непрерывных функций, о свойствах функций,
непрерывных на отрезке; разбор классификации
точек разрыва функции;
 работа с учебником:
доказательство непрерывности рациональных и
тригонометрических функций; непрерывность
иррациональных и обратных тригонометрических
функций;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к собеседованию;
 подготовка к тесту.
1.2.
3
Теория пределов
14
Рекомендуемая
литература
4
Часы
1,2,3,9,10,11
(1,4)
16
1,2,3,9,10,11
(1,4)
12
5
28
2
8-12
2.1.
13-18
2.2.
2
семестр
1-8
3
3.1.
9-12
3.2.
Дифференциальное исчисление функций одной
переменной
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,9,12)
 работа с конспектом лекции:
изучение правил дифференцирования и вывод
формул для производных основных элементарных
функций; доказательство теорем о производной
обратной и сложной функций;
 работа с учебником:
изучение вопроса: «Инвариантность формы
дифференциала первого порядка», «Производные и
дифференциалы высших порядков»;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к тесту;
 подготовка к собеседованию;
 подготовка к контрольной работе.
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,9,12)
 работа с конспектом лекции:
доказательство
основных
теорем
дифференциального
исчисления;
теорем
о
применении производной к исследованию функций
на монотонность, экстремумы и выпуклость;
 работа с учебником:
изучение тем: «Исследование функций и
построение
их
графиков»,
«Отыскание
наибольшего и наименьшего значений функции на
промежутке»;

решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 выполнение
индивидуального
домашнего
задания;
 подготовка к тесту;
 подготовка к коллоквиуму;
 подготовка к контрольной работе.
Интегральное исчисление функций одной
переменной
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,6,9,12)
 работа с конспектом лекции:
изучение основных методов интегрирования;
методов
интегрирования
рациональных,
иррациональных и трансцендентных функций;
 работа с учебником:
изучение вопроса «Вычисление интегралов от
рациональных функций методом Остроградского»;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к тестам;
 подготовка к собеседованию.
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,7,9,10,11
15
44
20
24
72
32
16
13-16
3.3.
17-18
3.4.
3
семестр
1-6
4
4.1.
(1,3,6,9,12)
 работа с конспектом лекции:
разбор
задач,
приводящих
к
понятию
определенного
интеграла,
критерий
интегрируемости
и
его
применение
для
установления классов интегрируемых функций;
 работа с учебником:
изучение вопроса: «Другие выводы формулы
Ньютона-Лейбница»;

решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к собеседованию;
 подготовка к контрольной работе.
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,6,9,12)
 работа с конспектом лекции:
вывод формул для вычисления площадей фигур в
декартовых и полярных координатах, для
вычисления объемов тел и длины плоской кривой;

работа с учебником:
изучение вопроса “Вычисление площади фигуры,
ограниченной параметрически заданной кривой”;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к коллоквиуму;
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,9,12)
 работа с конспектом лекции;
изучение признаков сходимости несобственных
интегралов I рода;
 работа с учебником:
изучение вопросов: “Независимость величины
несобственного
интеграла
от
выбора
промежуточной точки в его определении”,
“Признаки сходимости несобственных интегралов
II рода”;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к контрольной работе.
Ряды
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
изучение необходимого условия сходимости ряда,
признаков сходимости положительных рядов,
доказательство теоремы Лейбница;
 работа с учебником:
изучение тем: «Сравнение признака Даламбера и
радикального
признака
Коши»,
«Примеры
знакочередующихся рядов, к которым не применим
признак Лейбница»;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
16
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,9,13)
16
8
54
18
7-10
4.2.
11-14
4.3.
15-18
4.4
4
семестр
1-8
5
5.1.
 подготовка к тестам.
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
доказательство теоремы Вейерштрасса, теорем о
свойствах
равномерно
сходящихся
функциональных рядов;
 работа с учебником:
изучение вопроса: «Примеры равномерно и
неравномерно сходящихся последовательностей и
рядов»;
 решение упражнений по образцу;
 решение вариативных упражнений;
 подготовка к контрольной работе;
 выполнение
индивидуального
домашнего
задания.
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
доказательство теоремы Абеля, теоремы о
единственности разложения функции в ряд
Тейлора, достаточных признаков сходимости ряда;
 работа с учебником:
изучение
темы:
«Разложение
некоторых
элементарных функций в ряд Тейлора»;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к тесту;
 подготовка к коллоквиуму.
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
изучение свойств рядов Фурье; достаточных
условий
разложимости
функции
в
тригонометрический ряд Фурье;
 работа с учебником:
изучение темы: «Ряд Фурье с периодом 2l»;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к контрольной работе.
Функции нескольких переменных
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
изучить определение частных производных, его
особенности; изучить достаточные и необходимые
условия дифференцируемости функции двух
переменных, их отличия от соответствующих
условия для функции одного переменного; изучить
понятие производной по направлению, градиента
функции;
 работа с учебником:
изучение вопросов “Геометрический смысл
17
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,9,13)
10
1,2,3,7,9,10,11
(1,3,9,13)
16
4,5,7,9 (1,3,9)
10
72
1,2,3,9,10,11
(1,3,9,11,13)
20
9-10
5.2.
11-15
5.3.
16-18
5.4.
5
семестр
1-6
6
6.1.
дифференциала функции двух переменных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности”,
“Дифференцирование неявно заданных функций
нескольких переменных”, “ Производная по
направлению для функции трех переменных”;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к тестам;
 подготовка к контрольной работе.
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,9,10,11
(1,3,9,11,13)
 работа с конспектом лекции;
рассмотреть
исследование
функций
двух
переменных на экстремумы
и локальные
экстремумы;
 работа с учебником:
изучить вопрос о нахождении наибольших и
наименьших значений функции двух переменных,
заданной в некоторой области;

решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,9,10,11,14
(1,3,5,7,9,13)
 работа с конспектом лекции:
рассмотрение задач, приводящих к понятию
двойного интеграла; геометрический смысл
двойного интеграла; доказательство формул для
вычисления двойных интегралов;
 работа с учебником:
изучение вопросов: задачи, приводящие к понятию
тройного интеграла, геометрический смысл
тройного интеграла, его вычисление, замена
переменных в тройном интеграле;
 решение упражнений по образцу;
 выполнение индивидуального домашнего
задания.
Подготовка к аудиторному занятию:
1,2,3,9,10,11,14
(1,3,5,7,9,13)
 работа с конспектом лекции:
Изучение определений криволинейного интеграла I
и II рода, их свойств; получение формул для их
вычисления;
 работа с учебником:
изучение вопроса: приложения криволинейных
интегралов;
 решение упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к контрольной работе;
 подготовка к выполнению курсовой работы.
Дифференциальные уравнения и уравнения с
частными производными
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
18
18
20
14
72
8,11,12,15,16
(6,8)
22
7-12
6.2.
13-16
6.3.
17-18
6.4.
Изучение
классификации
дифференциальных
уравнений
первого
порядка,
уравнений,
сводящихся к ним, и методов решения; изучение
типов уравнений, допускающих понижение
порядка;
 работа с учебником:
изучение вопросов “Геометрический смысл
дифференциального уравнения первого порядка”,
“Особые решения дифференциальных уравнений”;
 решение упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к тестам.
Подготовка к аудиторному занятию:
8,11,12,15,16
(6,8)
 работа с конспектом лекции:
доказательство теорем об общем виде решения
линейного
однородного
и
неоднородного
дифференциального
уравнения;
изучение
различных случаев, возникающих при поиске
решения линейного однородного уравнения с
постоянными коэффициентами; поиск частного
решения неоднородного уравнения;
 работа с учебником:
изучение вопроса “Вид частного решения
неоднородного уравнения в зависимости од вида
правой части уравнения”;
 решение упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к тесту;
 подготовка к контрольной работе.
Подготовка к аудиторному занятию:
8,11,12,15,16
(6,8)
 работа с конспектом лекции:
Изучение основных понятий теории систем
дифференциальных уравнений и уравнений в
частных производных и методов их решения;
 работа с учебником:
изучение вопроса “Другие методы интегрирования
систем дифференциальных уравнений”;
 решение упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 выполнение индивидуального домашнего задания.
Подготовка к аудиторному занятию:
8,11,12,15,16
(6,8)
 работа с конспектом лекции:
изучение
приложения
дифференциальных
уравнений к изучению колебательных процессов;
 работа с учебником;
изучение вопроса “История возникновения и
развития дифференциальных уравнений”;
 решение упражнений по образцу;
 поиск информации в сети «Интернет» и в
дополнительной и справочной литературе;
 подготовка к контрольной работе.
19
26
16
8
Вопросы и задания для контроля работы студентов
1 семестр
Тест № 1
Последовательность. Предел последовательности. Функция. Предел функции
(тема 1.1).
1. Даны две последовательности: an  1   1 , bn 
n
1
. Тогда
n
1) Обе имеют предел 2) Обе не имеют 3) Первая
предела
вторая не
предела
имеет, 4) Первая не имеет,
имеет вторая имеет предел
2. Какие из утверждений верны:
1) если
последовательность
имеет предел, то она
ограничена;
2) если
последовательность
ограничена, то она
имеет предел
3. Даны два множества точек на плоскости:
1) А – график,
– график
В 2) А – график,
– не график
4. Функция y  f  x 
1)
каждому 2)
x  D f сопоставляет x  D f
4) если
последовательность
фундаментальная, то
она имеет предел
A : x 2  y 2  1, B : x 2  y  1. Тогда:
В 3) А – не график,
– график
В 4)А – не график,
– не график
некоторому 3) каждому x  D f
сопоставляет
единственное y
каждое y
3) если
последовательность
ограничена, то она
фундаментальна;
В
4) другое
сопоставляет
единственное y
5. Угловой коэффициент ломаной y  2 x  x  3 на промежутке 3,  равен:
6. Наименьшее целое число из области значений функции y  2 x  x  1 равно:
7. Для функции y  6  3x обратной является функция…
x  3( y  1)
1)
6 y
3
1
3)
x y
3
x  3y  1
4)
8. Если lim f  x   0 , то
2)
x
x 
1)
x  M,
2)
f x    x  M ,
f x   
3)
x  M,
20
f ( x)  
4)
x  M,
f ( x)  
9. Утверждение   0  M  0 x  D f  x  M  f x    означает:
1) функция
2) функция у = f (x) , 3) функция у = f (x) , 4) функция у = f (x) ,
у = f (x) , бесконечно бесконечно большая бесконечно
малая бесконечно большая
малая при x  
при x  
при x   ;
при x   .
Тест № 2.
Вычисление пределов функций (тема 1.1).
x2
в точке x0  2 имеет предел:
x2  4
1) 5
2) ¼
3) 
4) 4
ln  x  1
2. Функция f  x  
в точке x0  2 имеет предел:
x2  4
1) 5
2) ¼
3) 
4) 4
2
x  5x  6
3. Функция f  x  
в точке x0  2 имеет предел:
sin  x  2 
1) 5
2) ¼
3) 
2x  1
4. Предел lim 2
равен…
x 
x 3
1)
2) 1
3) 1/3

2
4x  x
5. Функция y 
в точке x  2 :
x2
1.Функция f  x  
1) бесконечно малая
2) имеет конечный 3) бесконечно
предел не равный большая
нулю
6. Значение предела lim
x 0
1) 0
lim
x
1)
0
2)
8. Значение предела
4) 0
4) другой ответ
sin 3x
равно
tg 5 x
2)
7. Значение предела
4) 4

3) 0, 6
4) не существует
3) -3
4)
sin 3x
равно:
sin x
3

ln 1  x 
lim ln 1  2 x  равно:
x 0
x  3x  2
= 3, тогда число a равно:
2
x a
x 4
2x  1
10. Функция y 
бесконечно большая в точке x  3, при a равном …
x  2x  a 
2
9. Пусть
lim
21
11. Функция y 
1) a - любое
12. Если
xa
бесконечно малая в точке x  a если
x  2x  1
2) a  2
3) a  2,
a  1
4) другое

 0 , то:

- 2)  ,  - одного 3) порядок  выше 4) порядок  ниже
порядка 
порядка 
порядка
 ,  бесконечно малые при x  a и если lim
x a
1)
, 
эквиваленты
Тест № 3.
Непрерывность функций (тема 1.2).
 x  2, x  3
в точке x0 = 3 имеет:
 x, x  3
1. Функция f  x   
1) конечный разрыв
2) имеет бесконечный разрыв
3) непрерывна
4) имеет устранимый разрыв
x2
2. Функция f  x   2
в точке x0 = 3 имеет:
x 9
1) конечный разрыв
2) имеет бесконечный разрыв
3) непрерывна
4) имеет устранимый разрыв
3. Функция f  x  
x2  9
в точке x0 = 3 имеет:
x 3
1) конечный разрыв
2) имеет бесконечный разрыв
3) непрерывна
4) имеет устранимый разрыв
x3
в точке x0  2 имеет предел:
x2
2) ¼
3) 
4. Функция f  x  
1) 5
5. Функция f  x   e
в точке x0 = 3 имеет:
1) конечный разрыв
2) имеет бесконечный разрыв
3) непрерывна
4) имеет устранимый разрыв
x 3
6. Для функции y 
1)
2)
3)
4)
sin x
точка x  0 является точкой…
x
непрерывности
разрыва II рода
конечного разрыва
устранимого разрыва
22
4) 4
Тест № 4
Дифференцирование функций (тема 2.1)
1. Функция y  ( x  1)  x не имеет производной …
1) в точке x=1;
2) в точке x= -1; 3) в точках x=1 и x=0;
2. Найти производные функций:
2
а) y  3 4  5 x  4 (5 x  1) 3 ;
ln x
в) y 
;
4  3 cos x
1
д) y  arctg ;
x
4) в точке x=0.
б) y  xtgx ;
г) y  e  cos
е) y  tg 5
4
5x
;
2x
.
5
Тест № 5
Приложения дифференциального исчисления (тема 2.2).
1.
x3
Касательная к графику функции f  x  
в точке x0  2 образует с осью
8
абсцисс:
1) тупой угол;
2) угол равный 300,
3)угол равный

; 4) угол равный 450.
7
2
2. Скорость материальной точки, движущейся по закону S(t) = 3t + 2 к концу третьей
секунды равна …
1) 14 ;
2) 18;
3) 29;
4) 12
3
2
3. Для функции y  x  3x точка x=0 является точкой …
1)
Разрыва;
2) перегиба;
3) минимума;
4) максимума.
x
4. В интервале (0;1) функции y  4 и y  log 0,5 x …
1) обе возрастают; 2) обе убывают; 3) первая убывает, вторая возрастает
4) первая возрастает, вторая убывает.
5. Угловой коэффициент касательной к графику функции y  2 x в точке x0  1 равен
1)
1;
2) 2;
3)  ;
4) 0.
6. График какой функции на a, b  одновременно удовлетворяет трём условиям
y  0, y /  0, y //  0 …
1)
3)
2)
4)
x2  4
7. График функции y 
имеет …
x
1)
2)
только вертикальную асимптоту
только наклонную асимптоту
23
3)
и вертикальную и наклонную асимптоты
4)
не имеет асимптот
4
8. Функция y  x  4 x  2 на всей числовой оси…
1) монотонно убывает; 2) выпукла вниз; 3) выпукла вверх; 4) монотонно возрастает.
Вопросы к собеседованию № 1 (тема 1.1)
1. Понятие последовательности.
2. Предел последовательности. Его геометрический смысл.
3. Ограниченность сходящейся последовательности.
4. Единственность предела последовательности.
5. Предел функции.
6. Первый замечательный предел.
7. Следствия из первого замечательного предела.
8. Второй замечательный предел и следствия из него.
9. Эквивалентные бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы к собеседованию № 2 (Тема 2.1)
Понятие производной.
Таблица производных.
Производные тригонометрических функций.
Производная показательной функции.
Производная логарифмической функции.
Геометрический смысл производной.
Физический смысл производной.
1.
3.
5.
7.
9.
Индивидуальное домашнее задание по теме 2.2.
Исследовать функцию, используя методы дифференциального исследования и
построить ее график.
x 1
2  4x 2
y 2
.
2. y 
.
x  2x
1  4x 2
2x
2x  1
y 2
.
4. y 
.
4x  1
x2
4x 2
x4
y 3
.
6. y  3
.
x 1
x 1
x2  x 1
( x  3) 2
y 2
.
8. y 
.
x  2x
4( x  1)
2x  1
x3
y
.
10.
.
y

( x  1) 2
2( x  1) 2
12. y  x 2  e  x .
11. y  x 2  2 ln x .
2
3
13. y  x  e  x .
14. y  ln( x 2  4 x) .
ln x
16. y 
.
x 1
15. y  e 2 x x .
2
17. y 
1
.
e 1
19. y  e
18. y  x 2 ln x .
2x
1
x2
20. y  ln
.
24
x 1
.
x2
4  8x 2
.
1  4x 2
8x 2
24. y  3
.
x 1
x5
.
2
x  2x
4x
23. y  2
.
4x  1
( x  1) 2
25. y  2
.
x  2x
22. y 
21. y 
Вопросы к коллоквиуму
1. Предел последовательности. Его геометрический смысл.
2. Свойства сходящихся последовательностей.
3. Предел функции в точке.
4. Предел функции на бесконечности.
5. Бесконечный предел функции.
6. Первый замечательный предел и следствия из него.
7. Второй замечательный предел и следствия из него.
8. Непрерывность функции в точке и на промежутке.
9. Точки разрыва функции. Их классификация.
10. Теоремы Ферма и Ролля.
11. Теоремы Лагранжа и Коши.
12.Признак постоянства функции.
13.Условие монотонности функции на промежутке.
14.Экстремумы функции.
15.Необходимое условие экстремума функции.
16.Достаточные условия экстремума функции.
17.Асимптоты графика функции.
Контрольная работа №1
Задание 1.
Вычислить пределы, не пользуясь средствами
дифференциального исчисления
1.
3x 2  5 x
а) lim
;
x   5 x 2  x  1
в) lim
x 0
2.
3.
ln( 1  sin 2 x)
ex 1
2
б) lim
x 2
ln( x  4)
;
ctg ( x  2)
5
г) lim (3  2 x) x 7 .
;
x 1
 2x 2  7x  2
;
x 
x 2  5x
2x  1
;
x 0 , 50 ln( 0,5  x )
а) lim
б) lim
arcsin( 4  x)
в) lim
;
x 4
ln( x  3)
г) lim (1  3x )
1
2
2 x2
x 0
 4x 2  x
;
x  3 x 2  7 x  1
а) lim
б) lim
x  
25
3x
2
1  cos
x
;
.
tg (

x
)
4 ;
e x 1  1
в) lim
x  1
4.

4
г) lim (5  x)

2
x4
x 4
2x 2  2x  5
а) lim
;
x   5 x 2  3 x
.
ln( 1  x 2 )
б) lim
;
x 1 0 sin( 3 x  1)
ln( 1  sin 2 3x)
;
x 0
x2
4
г) lim (7  2 x) x 3 .
в) lim
x 3
Задание 2.
Исследовать функцию y  f (x) на непрерывность: найти точки разрыва функции и
определить их тип. Построить схематический график функции.
x5 5
x5 5
 .
 .
1. y 
2. y 
x5 x
x5 x
 x2
 x3
, x  2,
, x  3,


 x  22
 x  23
3. y   4  x ,2  x  2,
4. y   9  x ,3  x  3,
1
1


, x  2.
, x  3.


x

2
x

3


Контрольная работа № 2
Задание 1.

Найти производную функции одной переменной, исходя из определения
производной
5
3
4
1. y  
2. y 
.
3. y  
.
3x  4
5x  4
3x  5
Задание 2.

Найти производные первого порядка данных функций, используя правила
вычисления производных
1.
2.
а) y  3 4  5 x  4 (5 x  1) 3 ;
б) y  xtgx ;
ln x
в) y 
;
4  3 cos x
 x  arcsin 2t ,

г) 
1
 y  1  4t 2 .
а) y  arctg x  x ;
б) y  sin x ln x ;
 x  (1  t ) 2 ,
г) 
 y  cos(t  1) 2 .
3
x
в) y 
;
ctgx
3.
а) y 
1 x2
;
1 x2
б) y  e x arcsin x ;
 x  (t  1) 2 ,
г) 
 y  sin( t  1) 2 .
ctgx
в) y  4 ;
x
26
Задание 3.
Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.
3
1. lim
x 0
1  6x  1  2x
.
x2
2e x / 2  2  x
.
x 0
x2
2 lim
6 sin 2 x  12 x
.
x 0
x3
3. lim
Задание 4.
Исследовать функцию, используя методы дифференциального исследования и
построить график.
x 1
2x
2  4x 2
1. y  2
.
2. y 
.
3. y  2
.
2
x  2x
4x  1
1  4x
Вопросы к зачету.
1. Предел последовательности.
2. Предел функции.
3. Предел отношения двух многочленов на бесконечности.
4. Первый замечательный предел.
5. Следствия из первого замечательного предела.
6. Второй замечательный предел.
7. Следствия из второго замечательного предела.
8. Эквивалентные функции и их использование при вычислении пределов.
9. Правила вычисления производных.
10. Производные основных элементарных функций.
11. Применение производной к исследованию функции на монотонность.
12. Применение производной к исследованию функции на экстремумы.
13. Применение производной к исследованию функции на направление выпуклости.
14. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
15.Применение производной к вычислению пределов.
Вопросы к экзамену.
Последовательность, предел последовательности.
Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной последовательности.
Число “е”. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Предел функции. Единственность предела, предел в арифметических
операциях.
5. Предел композиции. Предельный переход в неравенствах.
6. Два замечательных предела.
7. Бесконечно малые и бесконечно большие. Односторонние пределы.
8. Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных
функций.
9. Непрерывность композиции функции. Точки разрыва монотонной функции.
10. Свойства непрерывных функций на отрезке. Равномерная непрерывность.
11. Дифференцируемость
функции,
производная:
геометрический
и
механический смысл производной.
12. Непрерывность дифференцируемой функции.
13. Правила дифференцирования.
14. Производная сложной функции. Производная обратной функции.
15. Таблица производных.
1.
2.
3.
4.
27
16. Производные высших порядков.
17. Дифференциал, геометрический и механический смысл.
18. Дифференциалы высших порядков.
19. Параметрическое задание функций, их дифференцирование. Векторнозначная
функция, её дифференцирование.
20. Основные теоремы дифференциального исчисления их приложения.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
21. Правило Лопиталя.
22. Формула Тейлора.
23. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции в точке и на
промежутке.
24. Максимум и минимум. Необходимые и достаточные условия.
25. Наибольшее и наименьшее значение функции.
26. Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты.
27. Применение дифференциального исчисления к построению графиков
функций.
2 семестр
Тест № 1
Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица
интегралов (тема 3.1).
1. Одна из первообразных функции f  x   2 x есть функция:
2
2) x  3
1) sin x
3)
x2
2
2. Одна из первообразных функции f  x   sin x есть функция:
1)  cos x  3
2) x sin x
3) sin x  cos x
3. Одна из первообразных функции f  x   1 есть функция:
1) 2x
2) 1
3) x  3
4. Одна из первообразных функции f  x  
1) ln x
2)
1
есть функция
x
x
3) 2 x
5. Из нижеперечисленных функций выберите ту, которая не является первообразной
2
функции f(x) = 3x …
1) F(x) = x3 ;
6. Интеграл
1) x
0, 5
c;
7. Интеграл
2) F(x) = x3+ 1;

4) F(x) = (x + 1)3 + 2
x dx равен:
2) 0,5  x

2
3) F(x) = (x + 1)3 – 3x -3x ;
0,5
 c;
x1,5
 c;
3)
1,5
1
dx равен:
3
x
28
x1,5
4)
c
3
2
3
2
3
1) 2
x
 c;
3
2) 3
4
3
x
 c;
2
3) 3
x
 c;
4

4)  3
2
3
x
c
2
1
 xdx равен…
9. Интеграл 10 dx равен…
10. Интеграл  sin xdx равен…
11. Интеграл  cos xdx равен…
1
12. Интеграл 
dx равен…
cos x
8. Интеграл
x
2
1
dx равен…
1
1
14. Интеграл  2
dx равен…
x 4
1
15. Интеграл 
dx равен…
1  x2
13. Интеграл
x
2
Тест № 2
Неопределенный интеграл: внесение под знак дифференциала (тема 3.1)

1. Интеграл
1  2 xdx равен…
1) 1  2 x 
0 , 5
 c;
2) 0,5  1  2 x 
0 , 5
1  2 x 
3)
1, 5
c;
1,5
1  2 x 
4)
1, 5
c;
3
c.
2. Используя метод замены переменной, найти интегралы.
dx
dx
1. 
2. 
2
sin  x / 5
2  5x
ln x
dx
1  ln x
3.
x
5.
x e
7.
10
 x(2 x  5) dx
9.
2 2 x3 1

dx
dx
4.
 5x  3
6.
 cos 3  4 dx
x

e x dx
 2  ex
1
sin
10.  2 x dx
x
8.
cos xdx
1  sin x
Тест № 3
Неопределенный интеграл: интегрирование по частям (тема 3.1)
1. Если u=f(x) и v=φ(x) непрерывно дифференцируемые функции, то справедливо
равенство………., называемое формулой интегрирования по частям.
29
2. Из предложенных интегралов выбрать те, в которых следует обозначить u=Pn(x)
при интегрировании по частям:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
.
3. Из предложенных интегралов выбрать те, в которых следует обозначить dv=Pn(x)dx
при интегрировании по частям:
1)
;
5)
2)
;
3)
;
4)
;
.
4. Интегралы вида
где a,b,k –
некоторые числа (а>0), находят интегрированием по частям. Укажите сколько раз
необходимо выполнить эту операцию.
5. Интеграл вида
, находят интегрированием по частям.
Укажите сколько раз надо повторить эту операцию.
6. Выберите правильную последовательность интегрирования по частям для интеграла
:
1).
2).
3).
4).
5).
7. Установите соответствие между интегралом и приведенными обозначениями по
методу интегрирования по частям:
Обозначения
Интеграл
1)
2)
3)
4)
5)
30
Варианты ответа:
8. Установите соответствие между интегралом и приведенными обозначениями по
методу интегрирования по частям:
Обозначения
Интеграл
Варианты ответа:
1)
2)
3)
4)
5)
9. Найдите коэффициент k в приведенном примере:
.
Тест № 4
Определенный интеграл (тема 3.2)
1. Вставьте номер пропущенного выражения, так чтобы получилось верное
определение. “Если существует конечный предел I интегральной суммы……. ,
составленной для функции f(x) на……. при условии……. и этот предел не зависит ни от
способа разбиения [a; b] на части, ни от выбора в них промежуточных точек
,то
функция f(x) называется интегрируемой на [a; b]; число I называется определенным
интегралом от f(x) на [a; b] и обозначается символом…….. . “
1)
; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
.
2. Выберите среди приведенных выражений верно написанные свойства
определенного интеграла, если f(x) и g(x) – интегрируемы на [a; b], [a; c], [c; b] k=const.
1)
;
2)
;
4)
3)
; 5)
;
;
6)
.
3. Теорема о среднем значении определенного интеграла: если функция y=f(x)
непрерывна на [a; b], то найдется хотя бы одна точка c є [a; b], в которой выполняется
равенство:
1)
4)
;
2)
;
.
31
3)
;
4. Формула Ньютона-Лейбница
1)
;
справедлива, если:
2)
;
3)
; 4)
.
в
5. Укажите верное соответствие между функцией и ее свойством. Замена переменной
определенном
интеграле
может
быть
выполнена
по
формуле
, если
Функция
Свойство
Соответствующий номер
1)
2)
3)
6. Выберите верные утверждения
1)
;
3)
2)
;
; 4)
.
1
7. Интеграл  7dx численно равен площади некоторого…
0
1) круга;
2) прямоугольника;
8. Вычислите интеграл
3) треугольника;
4) квадрата.
.
Вопросы к собеседованию № 1 (тема 3.1).
1. Что называется первообразной функции?
2. Каким свойством обладают первообразные одной и той же функции?
3. Что называется неопределенным интегралом?
4. Какими свойствами обладают неопределенные интегралы?
5. Что такое интегрирование подстановкой?
32
6. Что такое интегрирование по частям?
7. Что называется простейшей дробью?
8. Как интегрируются простейшие дроби?
9. Как выделить целую часть рациональной дроби?
10. Как разложить дробь на простейшие?
11.Как вычислить интеграл от рациональной дроби?
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к собеседованию № 2 (тема 3.2).
Что такое определенный интеграл?
Какими свойствами обладает определенный интеграл?
Каков геометрический смысл определенного интеграла?
Каков физический смысл определенного интеграла?
Какова связь между интегрируемостью и ограниченностью функции на отрезке?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вопросы к собеседованию № 3 (тема 3.2).
Критерий интегрируемости функции.
Классы интегрируемых функций.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Что такое формула Ньютона-Лейбница?
Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле?
Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле?
Вопросы к коллоквиуму
1. Первообразная функции. Ее свойства.
2. Понятие неопределенного интеграла. Его свойства.
3. Правила интегрирования.
4. Интегрирование по частям в неопределенном и определенном интеграле.
5. Интегрирование заменой переменной в неопределенном и определенном интеграле.
6. Интегрирование простейших рациональных дробей.
7. Интегрирование правильных рациональных дробей.
8. Понятие определенного интеграла. Его геометрический смысл.
9. Понятие определенного интеграла. Его физический смысл.
10. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.
11. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат.
12. .Вычисление объема тела с известными площадями поперечных сечений.
13. Вычисление объема тела вращения.
14. Вычисление длины кривой.
Контрольная работа № 1
1.
2.
3.
Задание 1
Используя метод замены переменной, найти интегралы
dx
dx
а) 
б) 
7  x2
2  5x
xdx
dx
а) 
б) 
2
2
1 x
sin  x / 5
dx
ln x
а) 
б) 
dx
5x  3
x 1  ln x
33
dx
7  4x2
б) 
а)  x 2e 2 x 1dx
3
4.
Задание 2
Используя метод интегрирования по частям, найти интегралы
x
1. а)  x  2 dx
б)  (3  x) cos xdx
2. а)  x 2  e 3 x dx
б)  x ln( 1  3x)dx
ln x
dx
x3
4. а)  ln 2 xdx
б)  x  e 7 x dx
3. а) 
б)  x sin 5 xdx
Задание 3
Найти интегралы от рациональных функций
dx
x  18
dx
1.
а) 
б) 
x  x2
x  4 x  12
2x  3
x  23
dx
dx
2.
а) 
б) 
x 4
x  x  20
2x  3
x  19
dx
dx
3.
а) 
б) 
x  3x  10
x  2 x  15
dx
5x  7
dx
4.
а) 
б) 
5x  7
x  x  20
Задание 4
Найти интегралы от тригонометрических функций
dx
1.  sin 6 xdx
2. 
1  sin x
2
cos xdx
sin 4 x
3.  2
4. 
dx
sin x  4 sin x cos x
cos x
2
2
2
2
2
2
2
2
Задание 5
Вычислить определенный интеграл
1. а)
 x ln
2
б)
xdx
1
1
0
x
0 4  x dx
1
4
 x e dx
2 3x
б)
x 2 dx
3. а)  6
x 1
0
б)
dx
x 3

0
1
x
 xe dx
0
2
4. а)

2
1
2. а)
x2
dx
x
7
2
б)

3
0
4
dx
2  1 x
Контрольная работа № 2
Задание 1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2. y  4  x 2 , x  0, x  1
1. y  ( x  2) 3 , y  2 x  8
34
3. x  2  y 2 , x  y 2  2 y
4. y  ( x  1) 2 , y 2  x  1
Задание 2
Вычислить несобственный интеграл или проверить его расходимость
5
1.
1.
3.
1.
3.
dx
x3

5
dx
dx
2.
3. 
4. 
 xe dx
2
3 3
0
(x  4) 2
x ln x
4
e
Задание 3
Вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ox кривой L
2
2. x 2  y  0, x  1, y  0
x  y  0, x  1, y  0
4. x 2  y  0, x  0, y  1
x 2  2  0, x  1, y  0
Задание 4
Вычислить длину дуги кривой, заданной следующим уравнением
1  e x  ex
y
,0  x  3
2. y  e x  e, ln 3  x  ln 15
2
2x
1
e  e 2 x  3
y
,0  x  2
4. y  arccos x  x  x 2  4,0  x 
2
4

 x2
Вопросы к экзамену.
интеграл. Задача восстановления
1. Неопределенный
функции по её
производной.
2. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
3. Основные свойства неопределенного интеграла.
4. Таблица интегралов.
5. Интегрирование рациональных функций.
6. Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям.
7. Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций.
8. Определенный интеграл.
9. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
10. Нижние и верхние суммы Дарбу на ограниченной функции.
11. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
12. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции с конечным
числом точек разрыва 1 рода.
13. Основные свойства определенного интеграла.
14. Теорема о среднем.
15. Интеграл с переменным верхним пределом.
16. Существование первообразной функции.
17. Формула Ньютона-Лейбница.
18. Интегрирование по частям и заменой переменной.
19. Приближенное вычисление интеграла.
20. Площади плоских фигур в декартовых и полярных координатах, их
вычисление.
21. Длина дуги. Вычисление длины гладкой дуги.
22. Вычисление объёмов по площадям параллельных сечений.
23. Объём тела вращения. Принцип Кавальери.
24. Вычисление площади поверхности вращения.
25. Приложение определенного интеграла к физике.
26. Несобственные интегралы.
35
3 семестр
Тест №1
Числовые ряды: понятие суммы ряда, свойства рядов (тема 4.1).
1. Указать сходящиеся ряды:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2. Закончить утверждение: «Ряд называется сходящимся, если ... »
1) последовательность его частичных сумм имеет конечный или бесконечный предел;
2) предел общего члена ряда равен нулю;
3) последовательность его частичных сумм имеет конечный предел;
4) предел модуля общего члена равен нулю;
5) последовательность его частичных сумм является бесконечно большой.
3. Дан сходящийся ряд. При отбрасывании нескольких его ненулевых членов:
1) ряд останется сходящимся и его сумма обязательно не изменится;
2) ряд останется сходящимся, и его сумма изменится, если сумма отброшенных
элементов не равна 0;
3) ряд станет расходящимся;
4) ряд останется сходящимся и его сумма обязательно уменьшится;
5) не зная членов ряда ничего нельзя сказать о сходимости или расходимости нового
ряда.
4.
Если
U1,
U2,
....,
Un,…
-
числовая
последовательность,
называются соответственно:
1) рядом, суммой ряда, частичной суммой;
2) суммой ряда, частичной суммой, рядом;
3) частичной суммой ряда, суммой ряда, рядом;
4) частичной суммой ряда, рядом, суммой ряда.
5. Необходимым признаком сходимости ряда
1)
; 2)
является:
; 3)
; 4)
6. Найти сумму числового ряда
.
36
.
то
7. Для сходящегося числового ряда
1)
;
2)
;
3)
укажите
;
4)
;
:
5) 0.
8. Найдите четвертый член числового ряда
.
9. Укажите вид общего члена числового ряда
1)
;
2)
;
.
3)
;
4)
.
10. Укажите верные утверждения, относящиеся к поведению ряда Дирихле
1) при α = 1 указанный ряд сходится;
2) при α < 1 указанный ряд расходится;
3) при α > 1 указанный ряд сходится;
4) при α < 1 указанный ряд сходится;
5) при α = 1 указанный ряд расходится;
6) при α > 1 указанный ряд расходится
:
Тест №2
Признаки сравнения рядов с положительными членами. Признак Даламбера.
Интегральный и радикальный признаки Коши (тема 4.1).
1. Для числового ряда
определите значение предела
.
2. Представлены числовые ряды с положительными членами. Укажите сходящиеся ряды.
1)
;
2)
; 3)
; 4)
; 5)
.
3. Представлены числовые ряды с положительными членами. Укажите расходящиеся
ряды.
1)
; 2)
; 3)
; 4)
4. Если для рядов с положительными членами
(укажите неверное утверждение).
37
; 5)
и
.
выполняется
, то ...
1) из сходимости ряда
2) из расходимости ряда
3) из сходимости ряда
следует сходимость
;
следует сходимость
следует сходимость
5. Признак Даламбера сходимости числового ряда
заключается в том, что ...
;
.
с положительными членами Pk
1) если существует
, то при q < 1 ряд расходится, а при q > 1 ряд сходится
2) если существует
, то при q < 1 ряд расходится, а при q > 1 ряд сходится;
3) если существует
, то при q > 1 ряд расходится, а при q < 1 ряд сходится
4) если существует
, то при q > 1 ряд расходится, а при q ≤ 1 ряд сходится
5) все указанные утверждения не верны
6. Признак Коши сходимости числового ряда
заключается в том, что ...
с положительными членами Pk
1) если существует
, то при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 ряд расходится
2) если существует
, то при q > 1 ряд сходится, а при q < 1 ряд расходится
3) если существует
, то при q ≥ 1 ряд сходится, а при q < 1 ряд расходится
4) если существует
, то при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 ряд расходится
7. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда
с положительными
невозрастающими членами заключается в том, что (при соответствующем подборе
функции P(x) ):
1) если
сходится, то ряд сходится;
2) если
расходится, то ряд сходится;
38
3) если
сходится, то ряд сходится;
4) если
сходится, то ряд сходится.
8. Укажите возможное значение предела
для расходящегося числового ряда
с положительными членами:
1) l = 0,2;
2) l = 0,12;
3) l = 1,2;
5) l = e–1.
4) l = – 1;
9. Укажите функцию, необходимую для интегрирования при исследовании сходимости
числового ряда
1)
по интегральному признаку Коши:
; 2)
; 3)
; 4)
.
Тест № 3
Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: понятие
абсолютной и условной сходимости, признак абсолютной сходимости (тема 4.1).
1. Установить соответствие между рядом и характером его сходимости:
1)
;
1) сходимость условная;
2)
3)
2) сходимость абсолютная;
;
.
3) ряд расходится.
2. Даны ряды
сходящимся, если:
1) сходится ряд (А);
2) сходятся ряды (А), (Б);
3) сходится ряд (А), а ряд (Б) расходится;
4) сходится ряд (Б), а ряд (А) расходится;
5) расходятся ряды (А), (Б).
. Ряд (А) является абсолютно
3. Заданы знакочередующиеся ряды. Укажите абсолютно сходящиеся ряды.
1)
; 2)
; 3)
; 4)
39
; 5)
.
4. Заданы знакочередующиеся ряды. Укажите условно сходящиеся ряды
1)
; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
.
5. Укажите верную формулировку признака абсолютной сходимости знакопеременного
ряда
1) если сходится ряд
2) если ряд
, то ряд
сходится абсолютно;
сходится, то ряд
3) если ряд
сходится, то ряд
4) если
, то ряд
5) если ряд
сходится абсолютно;
сходится абсолютно;
сходится абсолютно;
сходится абсолютно, то ряд
сходится.
6. Знакочередующийся ряд
(признак Лейбница), если:
сходится
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
7. Найдите количество членов ряда
, которые необходимо взять, чтобы
вычислить сумму этого ряда с точностью до 0,00005.
8. Укажите ряды, к которым можно применить признак Лейбница:
1)
; 2)
6)
.
; 3)
; 4)
40
; 5)
;
9. Укажите верное утверждение для знакочередующегося ряда
1) ряд сходится условно,
2) ряд сходится абсолютно,
3) ряд расходится.
:
Тест № 4
Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости. Степенные
ряды: радиус, интервал, область сходимости, свойства (темы 4.2, 4.3).
1. Если
– функциональная последовательность, то
называются соответственно:
1) рядом, суммой ряда, частичной суммой;
2) суммой ряда, частичной суммой, рядом;
3) частичной суммой, суммой ряда, рядом;
4) рядом, частичной суммой, суммой ряда;
5) верный ответ отсутствует.
2. Степенным рядом называется ряд вида:
1)
; 2)
3)
;
; 4)
.
3. Степенной ряд
радиус сходимости и выполняется;
1)
;
3)
сходится абсолютно, если R –
2)
;
;
4)
.
4. Известно, что радиус сходимости ряда
иметь область сходимости:
1)
; 2)
; 3)
равен 10. Укажите, какой вид может
; 4)
;
5. Степенной ряд
5)
; 6)
.
в интервале сходимости можно
1) только почленно дифференцировать;
2) только почленно интегрировать;
41
3) не допускается почленное дифференцирование и интегрирование;
4) почленно дифференцировать и интегрировать.
Индивидуальное домашнее задание № 1 (тема 4.1).
Задание 1. Найти сумму ряда.


24
72
1.  2
2.  2
n 1 n  5n  4
n 1 n  4 n  3


54
18
3.  2
4.  2
n 1 n  5n  4
n 1 n  n  2


72
54
5.  2
6.  2
n 1 n  6 n  8
n 1 n  n  2


36
48
7.  2
8.  2
n 1 n  n  2
n 1 n  6 n  8


36
12
9.  2
10.  2
n 1 n  5n  4
n 1 n  4 n  3


60
90
11.  2
12.  2
n 1 n  8n  15
n 1 n  5n  4


10
18
13.  2
14.  2
n 1 n  7 n  10
n 1 n  6n  8


12
72
15.  2
16.  2
n 1 n  10n  24
n 1 n  7 n  10


72
8
17.  2
18.  2
n 1 n  9n  18
n 1 n  8n  15


36
54
19.  2
20.  2
n 1 n  12n  25
n 1 n  9n  18


54
6
21.  2
22.  2
n 1 n  11n  28
n 1 n  10n  24


30
36
23.  2
24.  2
n 1 n  14n  48
n 1 n  11n  28

36
25.  2
n 1 n  7 n  10
Задание 2. Исследовать на сходимость числовой ряд.
2
n
 2n  5
 5 n  1
1. а) 
б)  3
n
n 1 4 n  1
n 1
3

 4n  2
1
2. а) 
б)  3
n 1 n ln n
n 1 3n  1
2
 5n  4

n
3. а) 
б)

3
n 1
n 1 2  n
3n

 3n  2
n
4. а) 
б) 
2
n 1 1  n
n 1
4n
 5n  4

1
5. а) 
б)  3
2
n 1 2 n  3
n 1 nln n 

6. а) 
n 1
e
3n  5
3
n 1 5n  4
n

б) 
n
42
2n  1

7. а) 

3

б)  ln 1  2 
n 1
 n 
 1  cos 2n
б) 
n 1
3n  4
 3n  2
б) 
n 1
4n

1 n
б)  sin 3
n 1
n
n 1
n2 n

n2
8. а) 
n 1 3n !
 3n
9. а) 
n 1 2 n!

n n1
10. а) 
n 1 n  1!
 2n  1 
б)  

n 1 3n  1


 1  cos
n
б)  2
n 1 n  n  1
1
11. а) 
n 1
n 1 2n  12
1 n
1  n2

1
13. а)  2
n 1 n  1

1
14. а) 
n 1 3n  1

1
15. а) 
n 1 ln n  1

12. а) 
n 1

б)  n  arctg
n 1
n3
n
n 1 7
 3n  1
б)  n
n 1
6

2n  3
n 1
5n
2
 

б)   e n  1
n 1



1 

б)  ln 2 1  
n 1
 2n 
n
n 1
n 1

1
17. а)  2
n 1 n  4 n  5

б) 
4
1
n 1 n  7 n  10

18. а) 
2
 1  n2 
19. а)  

3
n 1 1  n



2

б)  sin
n 1
1

1
n 1
n 2  2n
ln n
20. а) 

21. а)  4
n 1

5
n 4
2
б) 

16. а) 
n



n5
б) 
e
1 n
n3
n2
1
n
 3n  1
б)  n
n 1
6
n 1


3

б)  ln 1  2 
n 1
n 1
 n 
2

 
1

n
e
 1
23. а) 
б)


n
n 1
n 1
n  2



 1 
n2
n 
24. а)  
б)  sin 2

n 1
n 1 2n
n 5
n  2
n
 1
 3 n!
2
25. а)  n
б)  arctg
n

1
n 1 n
2
n 1
Задание 3
Исследовать на сходимость знакочередующийся числовой ряд


1
n 1
n 1 1
1.   1
2.   1
n 1
n 1
n
2n 2

22. а) 
n  n 1
2
43
3.
5.
 1

ln n  1
n  1

2n  3
sin 
2
n 1 n
n 1


4. 
n 1
n 1
n


8.   1

10.   1

 1

n
n 1
25. 
n 1

18. 
n 1
2n  1
 1 n
2n  1
n 1

n
n
20.   1
1
ln 2n  1
n
n 1


n 1

n 1 
21.   1  2

n 1
 n  5n  3 
 sin n 
23. 
n 1 n  1!

n 1
n 1
n3
n 1
  1
17.  n
n 1
2n  3
n 1
2 n 3
n 1
 1
n 1
n

12. 
n 1

1
2
n2n  1
 1
2n  22
1
14.   1
n  12
 1
16. 
n
19.   1
n 1
n 1
n 2  sin 2 n

1
n 1
13.   1
n 1
2n  12
15. 
1
n  1!
n
n 1
n 1

n
n 1

n n  2 
7.   1 

n 1
 3n  5 
n

n 1  2n  1 
9.   1 

n 1
 2n  1 
11. 
n
6. 
n
n 1
 1
n   1

n 1
n 1
2n
3n  1n

n 1  n  1 
22.   1 

n 1
 2n  3 
n
  1 2n  1
24. 
n 1
n n
n
 1
n
n
n 3  2n 2  1
Вопросы к коллоквиуму
1. Числовой ряд. Сходящиеся ряды.
2. Гармонический ряд. Критерий Коши.
3. Сравнение рядов. Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.
4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная
сходимость.
5. Перестановка членов ряда. Теорема Римана.
6. Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости.
7. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.
8. Степенные ряды.
9. Теорема Абеля.
10. Интервал и радиус сходимости.
11. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
12. Формула и ряд Тейлора.
13. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.
44
Контрольная работа № 1
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Задание 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:



1
1
2n  3n


2
2

n
5
n 1 9n  3n  2
n 1 4 n  1
n 1
Вариант 4


1
 ln 1  n 
n 1
Задание 2. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными
членами.
7 n  1  4  5  6    n  3
 n

n 1 5 n  1! n1 5  7  9    2n  3


 n 
  3n  1 

n 1 
n
n3
 nn  1
n 1

 

  sin 3 
n 
n 1 


2n  1
n1
n  2n

n
 n  1
  4n 

n 1 

n2
 3
n 1 n n
2  5  8    3n  1
 3  7  11    4n  1

n1
3n
2n  1
 2
n 1 3n  5



1

  arcsin 3n 

n 1 

2n
1
nn  3

n1
Задание 3. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.

n
  1
n 1
n
12 n

n
  1
n 1
n2  1
  1 3
n
n 1

1
n3
n

n ln n
  1 n
7
n 1
Контрольная работа № 2
Вариант 1
Вариант 2
Задание 1.Найти область сходимости ряда:


1
xn
n
x
tg


n
n
n 1
n 1  2n  1 2
Вариант 3

xn
 nn  1
n1
Вариант 4

 nn  1x n
n 1
Задание 2. Разложить в ряд Маклорена функцию. Указать область сходимости.
1
 x2
x2
f  x   x cos x


f
x

2
f  x 
f x  
x
e
1 x
Задание 3. Вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001.
0, 5

1  x dx
2
0
25 2 x 2

0
e
x
1
x
dx
2
sin xdx
0
1
e

x2
2 dx
0
Задание 4. Вычислить приближенно с точностью до  .
1
,   0,0001
e
4
90 ,   0,001
3
80 ,   0,001
e 2 ,   0,001
Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке   ,   .
f  x  x
f  x  x  1
f  x  x 1
45
f  x   x2
Вопросы к зачету.
Числовой ряд. Сходящиеся ряды.
Гармонический ряд. Критерий Коши.
Сравнение рядов. Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная
сходимость.
5. Перестановка членов ряда. Теорема Римана.
6. Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости.
7. Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признаки
равномерной сходимости. Теорема Вейерштрасса.
8. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
9. Степенные ряды.
10. Теорема Абеля.
11. Интервал и радиус сходимости.
12. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
13. Формула и ряд Тейлора.
14. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.
15. Тригонометрические ряды Фурье.
1.
2.
3.
4.
4 семестр
Тест № 1
Понятие функции нескольких переменных (тема 5.1).
1. Множество точек вида x2 + y2 + z2  9 в R3 это …
1) сфера радиуса 9; 2) сфера радиуса 3; 3) шар радиуса 9; 4) куб с ребром 3;
5) шар радиуса 3.
0  x  2

2. Множество точек вида 1  y  3 в пространстве R3 имеет объем равный …
2  z  5

3. Функция z = ln(2x – y) неопределенна …
1) в полуплоскости y < 2x;
4) в полуплоскости y  2x;
2) на прямой y = 2x; 3) в полуплоскости y > 2x;
5) в полуплоскости y  2x.
4. Область D : y = x, y = 4, x = 0 есть …
1) круг; 2) квадрат; 3) трапеция; 4) криволинейный треугольник; 5) треугольник.
5. Область D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 есть …
1) прямоугольник; 2) треугольник; 3) четыре точки; 4) куб; 5) квадрат.
x  y  z
6. Множество точек в пространстве R3 удовлетворяющих условию 
есть …
x  2 y  2z  2
1) две прямые; 2) две плоскости; 3) прямая и плоскость; 4) точка; 5) прямая.
46
7. Область определения функции z  1  x 2  4  y 2 есть фигура площади …
2 xy
при y = 2x равна …
x  y2
8. Функция z 
2
9. Область определения функции z  4  x 2  y 2  y имеет площадь равную …
1) 4π; 2) π; 3) 6π; 4) 8π; 5) 2π.
10. Для каждой из предложенных функций укажите соответствующую ей область
определения:
;
1)
1) все точки координатной плоскости, кроме точки (0,0);
2)
;
2) все точки координатной плоскости, кроме точек прямой y=-x;
3)
;
3) все точки координатной плоскости;
4)
4) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на
окружности x 2  y 2  1 .
.
Тест № 2
Частные производные. Дифференциал (тема 5.1).
U
функции U = f(x, y, z) фиксированы переменные …
y
1) y; 2) x; 3) y и z; 4) x и y; 5) x и z.
1. При вычислении производной
2. Частная производная
z
функции z = 3x2y + 4xy2 – 2x + 4y – 5 в точке М(2; 3) равна …
x
z
z
z
 3z служит функция …
x
y
1) z = (x + y)2; 2) z = x – y ; 3) z = x3 + y3 ; 4) z = x2 + y3; 5) z = (x – y)3.
3. Решением уравнения z
z
для функции z = ln(x2 + y2)3 равна …
y
2x
3
6
9
6x
1) 2
; 2) 2
; 3) 2
; 4) 2
; 5) 2
.
2
2
2
2
x y
x y
x y
x y
x  y2
4. Производная
5. Если z = ln(x2 + y2) – 2ln(x + y), то выражение x
47
z
z
равно …
y
x
y
6. Если z  arctg
y
z
z
, то выражение x  y
равно …
x
x
y
7. Дифференциал функции z = x + y2 в точке М0(1; 1) равен …
1) 2dx + dy; 2) 0; 3) 2dx + 2dy; 4) dx + dy; 5) dx + 2dy.
8. Частная производная
1)
3z
функции z = f(x, y) определяется формулой …
x 2 y
     
     
 2 (z )
     
  2z 
  z  .
 ; 4)
  z   ; 3) 2 
; 5)
  z   ; 2)
2
y  x  x  
x  y  x  
x  x  y  
x(y )
x  y 
9. Укажите полный дифференциал dz функции
1)
:
; 2)
3)
;
; 4)
.
Тест №3
Экстремум, условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции
(тема 5.2).
1. Точка (x0, y0) называется точкой максимума функции z = f(x, y), если …
1) f(x, y) < f(x0, y0) для всех (x, y)  (x0, y0); 2) f(x, y) > f(x0, y0) для всех (x, y)  (x0, y0);
3) f(x, y) = f(x0, y0) для всех (x, y)  (x0, y0); 4) f(x, y) < f(x0, y0), для всех (x, y).
2. Необходимое условие экстремума функции z = f(x, y) в точке М0 (x0, y0)…
 f
 f
 f
 f
 x ( M 0 )  0
 x ( M 0 )  0
 x ( M 0 )  0
 x ( M 0 )  0
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
 f ( M 0 )  0
 f ( M 0 )  0
 f ( M 0 )  0
 f ( M 0 )  0
 y
 y
 y
 y
3. Укажите правильный порядок действий при исследовании функции многих переменных
на экстремум.
1). Исследовать стационарные точки на наличие в них максимума или минимума
2). Найти все частные производные первого порядка
3). Найти в найденных точках экстремума значения функции.
4). Найти стационарные точки функции, решая соответствующую систему уравнений
5). Приравнять нулю все частные производные первого порядка.
4. Укажите верные утверждения, касающиеся достаточных условий существования или
отсутствия точек экстремумов функции z = f(x;y) (далее: M0(x0,y0) – стационарная точка
функции,
):
48
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
5. Укажите верное множество стационарных точек для функции z = x3 + y3 – xy:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
6. Укажите точку экстремума функции z = x2 + y2 + 3:
1) (0;0;3) - точка минимума;
2) (0;0;3) - точка максимума;
3) (3;0;0) - точка минимума;
4) (3;0;0) - точка максимума.
7. Найдите максимальное значение zmax функции z = 4 – x2 – y – 4y2.
В ответ введите целое число, определяемое произведением 16·zmax…….
8. Укажите значение функции z = 3x2 – x3 + 3y2 + 4y в точке экстремума:
1)
; 2) ; 3) -1; 4) 0; 5) функция не имеет экстремумов.
9. Укажите функцию Лагранжа поверхности z = xy + 5 при условии y = 2x + 6:
1)
;
3)
2)
;
;
4)
.
10. Найдите экстремум функции z = 0,75 – 2x – (y – x)2 при условии y + x = 2.
В ответ введите значение функции в точке экстремума.
Индивидуальное домашнее задание (тема 5.3).
Задание 1. Изменить порядок интегрирования, сделать чертеж области.
1
0
0
0
2
 2 y
1
 y
1
y
0
0
3.  dy  fdx 
1
7.
2.  dy
 dy  fdx   dy  fdx
1.
5.
1
 dx
0
 2 x
1
2 y
2

0
1
0
fdx   dy
1
 fdx   dy  fdx
 y
1
y
0
1
0
0
2
6.
x
 dy
2
2 y
1
0
arcsin y

0
y

0
4.  dy  fdx   dy
fdy   dx fdy
2
2
 y
1
0
0

2
 dy  fdx
1
 2
 dy
2 y
2
0
0
1
8.  dy
fdx
0
0
49

1
fdx 
2
e
 ln y
1
1
fdx   dy
 y
 dy
1
0
0
 fdx
arccosy
 fdx
0
 fdx
1
2 x 2
0
x2
 2
0
1
0
9.
 3
 dx  fdy   dx  fdy
1
1
e
1
0
1 x 2
1
ln x
1
x
2
0
0
11.  dx
0
0
1
1
0
y
1
3
0
 dx

3
1
y
e
0
0
1
21.  dy  fdx   dy


0
0
2
1
x
cos x
0
0
2 x
1
0
25.  dx  fdy   dx
24.
0
2
1
 y
1
 2 y
 fdx   dy  fdx
2
y
0
0
2
2 y
1
0
0

0
 2  y 
2
1
x
0
0
1
 dx  fdy
 2
 2 y 2
1
y
 dy  fdx   dy  fdx
3
3
2
2
3
3
3
3
2
2
3
3
2
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
D
D
D
D
3
D
2
2
2
D
50
0
0
2
3
2 x 2
2
0
2
D
y
0
D
2
3
1
2
3
0
1


2.  9 x y  48 x y dxdy; D : x  1, y   x , y  x
3.  36 x y  96 x y dxdy; D : x  1, y   x , y  x
4.  18 x y  32 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x
5.  27 x y  48 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x
6.  18 x y  32 x y dxdy; D : x  1, y   x , y  x
7.  18 x y  32 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x
8.  27 x y  48 x y dxdy; D : x  1, y   x , y  x
9.  4 xy  3 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x
3
 fdx
fdx   dy  fdx
 fdy
3
x
0
D
2
3
2
Задание 2. Вычислить двойной интеграл, сделать чертеж области.
2 2
3 3
2
1.  12 x y  16 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x
2
0
 fdy   dx  fdy
22.  dx  fdy 
 fdx
4
 2  x 
1
2
 4 x 2
 dx  fdy   dx  fdy
23.
0
0
20.  dy
fdy
1
2
0
0
1
0
4 x 2  2
 fdx
18.  dy  fdx   dy
ln y

sin x
4
16.  dy
2
0
2 y
1
1
fdx
2
fdy   dx
4 x 2  2
0
2
0
 2 y
2
0
0

y
14.  dy
 fdx
 dy
 3
1
ln y
2
17.  dy  fdx 
19.
0
1
15.  dy  fdx   dy
 4 x 2
12.  dy  fdx   dy
0
e
3
1
 dx  fdy
y
1
0
2
2 x 2
1
0
 dx  fdy   dx  fdy
10.
 fdy   dx  fdy
13.  dx fdy 
0
3
10.
 12 xy  9 x
D
11.
 8 xy  9 x
2
2
y 2 dxdy; D : x  1, y   x 2 , y  x
y 2 dxdy; D : x  1, y   x 3 , y  3 x
D
12.
 24 xy  18 x
2
y 2 dxdy; D : x  1, y  x 3 , y  3 x
D
9 2 2
4
xy

x y dxdy; D : x  1, y  x 3 , y   x

  5
11

D
2 2
2
14.  8 xy  18 x y dxdy; D : x  1, y   x , y  3 x
13.
D

y 2 dxdy; D : x  1, y   x 3 , y  x

D
2 2
4 4
3
16.  9 x y  25 x y dxdy; D : x  1, y  x , y  3 x
15.
4
  5 xy  9 x
2
D
17.
 24 xy  48 x
D
18.
 6 xy  24 x
 4 xy  16 x
y 3 dxdy; D : x  1, y   x 2 , y  x
3
y 3 dxdy; D : x  1, y   x 3 , y  3 x
3
y 3 dxdy; D : x  1, y  x 3 , y  3 x
D
20.
 4 xy  16 x
D
21.
 44 xy  16 x
3
y 3 dxdy; D : x  1, y  x 2 , y  3 x
3
y 3 dxdy; D : x  1, y   x 3 , y  3 x
D
22.
 4 xy  176 x
D
23.
 xy  4 x
3
y 3 dxdy; D : x  1, y  x 3 , y   x
D
24.
y 3 dxdy; D : x  1, y  x 2 , y   x
3
D
19.
3
 4 xy  176 x
3
y 3 dxdy; D : x  1, y   x 3 , y  x
D
25.

  6 x
2
D
y2 
25 4 4 
x y dxdy; D : x  1, y  x 2 , y   x
3

Задание 3. Вычислить двойной интеграл, сделать чертеж области.
xy / 2
dxdy; D : x  4, x  2, y  ln 2, y  ln 3
1.  ye
D
xy
x
dxdy; D : x  0, y   , y 
2
2
D
2  xy / 4
dxdy; D : x  0, x  y, y  2
3.  y e
2.
 y
2
sin
D
4.
 y cos xydxdy;
D : x  1, x  2, y   , y 
D
51

2
5.
2
 y cos
D
6.
 y sin xydxdy;
D
7.
xy

dxdy; D : x  4, x  0, y 
,yx
2
2
 4 ye
2 xy

D : x  1, x  2, y   , y 
2
dxdy; D : x  1, x  0.5, y  ln 4, y  ln 3
D
8.
 4 y
2
sin xydxdy; D : x  0, y 
D
9.
 y
2
e

xy
8
 y cos2 xydxdy;
D
11.
2
dxdy; D : x  0, y  2, y 
D
10.

12 y sin 2 xydxdy;
,yx
x
2
1

D : x  1, x  , y   , y 
2
2
D : x  3, x  2, y 

2
12.  y cos xydxdy; D : x  0, y   , y  x
,y
D

4
2
D
13.
 y

xy
8
dxdy; D : x  0, y  4, y  2 x
2
e
2
sin 2 xydxdy; D : x  0, y  2 , y  2 x
D
14.
 y
D
15.
 y
2  xy / 2
e
dxdy; D : x  0, x  y, y  2
D
16.
 2 y cos2 xydxdy;
D : x  1, x  2, y 
D
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

2
,y

4
1
y
sin
xydxdy
;
D
:
x

, x  1, y   , y  2

2
D

x
2
y
cos
2
xydxdy
;
D
:
x

0
,
y

,
y


2
2
D
1
1
4 xy
 8 ye dxdy; D : x  4 , x  2 , y  ln 4, y  ln 3
D
xy
4
2
2
 3 y sin 2 dxdy; D : x  0, y  3 , y  3
D
x
2  xy / 2
y
e
dxdy
;
D
:
x

0
,
y

1
,
y


2
D
1
 y cos xydxdy; D : x  1, x  2 , y   , y  3
D
1
1

3
 y sin 2 xydxdy; D : x  2 , x  4 , y  2 , y  2
D
52
24.
 y
2
cos xydxdy; D : x  0, y   , y  2 x
D
25.
 6 ye
xy / 3
dxdy; D : x  3, x  6, y  ln 2, y  ln 3
D
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
2
2
2
1. x  y  12, x 6  y x  0
2. x  8  y ,
x  2 y
2
3. x  36  y ,
2
x  6  36  y 2
x
1
, y  , x  16
2
2x
2
2
2
5. x  y  72, 6 y   x  y  0
2
6. x  5  y , x  4 y
2
2
2
7. x  y  12,  y 6  x  y  0
3
x
8. y  , y  8e , y  3, y  8
x
9. y  sin x, y  cos x, x  0, x  0
3
3
10. y 
x, y  , x  9
2
2x
11. y  sin x, y  cos x, x  0, x  0
2
12. y  32  x , y  4 x
4. y 
13. y  18  x ,
y  3 2  18  x 2
3
y , x4
x
2
14. y  3 x ,
2
, y  5e x , y  2, y  5
x
25
5
y
 x2 , y  x 
4
2
2
2
x  y  36, 3 2 y  x 2  y  0
1
y  x , y  , x  16
x
2
y  , y  7e x , y  2, y  7
x
x  27  y 2 , x  6 y
15. y 
16.
17.
18.
19.
20.
21. y  12  x ,
2
y  2 3  12  x 2 , x  0, x  0
22. y  6  36  x ,
2
y  36  x 2 , x  0, x  0
23. y 
24  x 2 , 2 3 y  x 2 , x  0, x  0
24. x 
72  y 2 , 6 x  y 2 ,
y  0,
53
y0
25. y  6  x ,
y  6  6  x2
2
Задание 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1. x  17 2 y ,
x  2 2 y , z  0, z  y 
1
2
5x
5 x
, z  0, z  5 
3
3
2
2
3. x  y  2, y  x , y  0, z  0, z  15 x
4. z  y  2, y  x , z  12 y, z  0
1
5. x  20 2 y , x  5 2 y , z  0, z  y 
2
5 y
5y
5
6. x 
, x  , z  0, z  3  y 
2
6
6
2
2
7. x  y  2, x  y , x  0, z  0, z  30 y
12 x
8. x  y  2, x  y , z 
, z0
5
1
9. y  17 2 x , y  2 2 x , z  0, x  z 
2
5 x
5x
5
10. y 
, y  , z  0, z  3  x
3
9
9
15 x
2
2
11. x  y  8, y  2 x , y  0, z  0, z 
11
12. x  y  4, y  2 x , z  3 y, z  0
13. x  16 2 y , x  2 y , z  0, y  z  2
2. y  5 x ,
y

14. x  19 2 y ,
x  4 2y,
15. x  y  8,
x  2 y , x  0, z  0, z 
2
2
16. x  y  4,
17. y  6 3x ,
18. y 
5 x
,
6
2
yz2
y
z  0, z 

5x
5
, z  0, z 
3 x
18
18
y  3x ,

y  0, z  0, z 
20. x  y  6,
y  3x , z  0, z  4 y
21. x  7 3 y , x  2 3 y , z  0, y  z  3
22. x 
30 y
11
3x
5
y  3x , z  0, x  z  3
x  2y,
19. x  y  18,
2
z  0,


5 y
5y
5
, x  , z  0, z  3  y
3
9
9
54

5x
11
23. x  y  18,
2
x  3 y , x  0, z  0, z 
2
24. x  y  6,
10 y
11
4x
5
y  15 x , z  0, z  15 1  x
x  3 y , z  0, z 

25. y  3 15 x ,

Контрольная работа № 1
Вариант 1
Задание 1. Найти область определения функции.
Вариант 2
z  arcsin 2 x  y 
Задание 2. Найти
для следующих функций.
1. u  xyez
2. u  x sin
2
частные
производные
z
y2  x2
и
второго
первого
1. u  xe
yz

yz
порядков
2. u  ln x  y  2 z
x  y2
3. u 
2z
2

x2
3. u 
y  2z
Задание 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной
поверхности S в точке M0(x0,y0,z0).
S : x 2  z 2  5 yz  3 y  46, M 0 1,2,3
S : x 2  y 2  xz  yz  0, M 0 0,2,2
Задание 4. Исследовать функцию на экстремум.
z  e 2 y x 2  y 
z  2 y x  y 2  3x  8 y
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  z  x, y  в области
2
D , ограниченной заданными линиями.
1
z  x 2  xy, D : y  8, y  2 x 2 .
2
z  4  2 x 2  y 2 , D : y  0, y  1  x 2 .
Контрольная работа № 2
Вариант 1
Вариант 2
Задание 1. Изменить порядок интегрирования, сделать чертеж области.
1
2 x 2
0
x2
 3
0
0
 2
0
1
0
2
 4 x 2
 3
 dx  fdy   dx  fdy
 dx  fdy   dx  fdy
Задание 2. Вычислить двойной интеграл, сделать чертеж области.
 27 x
1.
2
0

 4 xy  3x
y 2  48 x 3 y 3 dxdy;
1.
D
D : x  1, y   x , y  x .
2
4 x 2  2

y 2 dxdy;
D
D : x  1, y  x 2 , y   x .
3
55
 4 y
2
sin xydxdy;
 y
D
2.
D : x  0, y 

2
2.
, y  x.
2
e

xy
8 dxdy;
D
D : x  0, y  2, y 
x
2
Задание 3. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
y  5 x,
z 5
y
5x
, z  0,
3
x 2  y 2  2, y  x ,
z  0, z  15 x.
5 x
.
3
y  0,
Вопросы к экзамену.
1. Действительная функция n действительных переменных. График функции 2-х
переменных, линии уровня
2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
3. Частные производные.
4. Понятие
дифференцируемости
функции.
Необходимые
условия
дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости.
5. Дифференциал функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл дифференциала.
6. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы 1-го
дифференциала.
7. Производная по направлению. Градиент.
8. Неявные функции. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной
функции. Вычисление частных производных неявно заданных функций.
9. Частные производные высших порядков.
10. Равенство смешанных производных.
11. Дифференциалы высших порядков.
12. Формула Тейлора для функции 2-х переменных.
13. Исследование на экстремум. Определение максимума и минимума.
14. Необходимые условия экстремума.
15. Достаточные условия максимума и минимума для функции.
16. Нахождение наибольших и наименьших значений.
17. Условные экстремумы.
18. Понятие двойного интеграла.
19. Интегрируемость непрерывной функции.
20. Основные свойства двойного интеграла.
21. Вычисление двойного интеграла через повторные.
22. Замена переменных в двойном интеграле.
23. Двойной интеграл в полярных координатах.
24. Понятие тройного интеграла.
25. Замена переменных в тройных интегралах.
26. Криволинейный интеграл по длине дуги, его свойства, вычисление, приложения.
27. Криволинейные интегралы по координатам: свойства, вычисление, приложения.
28. Формула Грина-Остроградского.
29. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования.
56
Перечень тем курсовых работ.
1. Выпуклые функции и их свойства.
2. Функциональные определители и их свойства.
3. Касание кривых между собой.
4. Неявные функции. Некоторые приложения теории неявных функций.
5. Возвратные последовательности.
6. Числа Фибоначчи.
7. Признаки делимости.
8. Решение задач на условный экстремум.
9. Уравнение колебаний струны.
10. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера.
11. Решение уравнения колебаний струны методом Фурье.
12. Уравнение теплопроводности.
13. Предел последовательности. Теорема Штольца.
14. Алгебра матриц: основные определения; степени матриц; рациональные функции
матриц.
15. Алгебра матриц: норма матриц; предел матрицы, матричные ряды.
16. Решение систем линейных уравнений
17. Ортогонализация матриц, решение систем линейных уравнений методами
ортогонализации.
18. Применение производной для решения задач повышенной трудности (на материале
школьного курса математики).
19. Целые функции и их свойства.
20. Суммирование расходящихся рядов.
22. Принцип сжимающих отображений.
23. Метрические пространства.
24. Характеристики роста целых функций.
25. Полные метрические пространства.
26. О некоторых приложениях дифференциального исчисления.
27. О некоторых приложениях дифференциальных уравнений.
28. Число е и постоянная Эйлера.
29. Двойные и повторные ряды.
30. Бесконечные произведения.
31. Формула Стирлинга.
32. Основные типы уравнений математической физики. Вывод и решение уравнения
колебаний.
33. Основные типы уравнений математической физики. Вывод и решение уравнения
теплопроводности.
34. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности
методом
конечных разностей.
35. Распространение тепла в неограниченном стержне.
36. Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве.
37.Обратные линейные операторы.
38. Формула суммирования Пуассона.
39. Задача Кеплера и ряды Бесселя.
40. Теорема смещения.
41. Теорема о дифференцировании изображения. Примеры.
42. Теорема о дифференцировании оригинала. Примеры.
43.Асимптотические ряды и их приложения.
44.Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.
57
45. Методы решения систем дифференциальных уравнений.
46. Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных
уравнений.
47. Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов.
48. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
49. Формула суммирования Эйлера и Абеля.
50. Бесконечные определители.
51. Уравнение Лапласа и связанные с ним краевые задачи.
52. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
53. Операционное исчисление и его основные понятия.
54. Свойство линейности оператора Лапласа.
55. Теорема смещения.
56. Некоторые приложения определенных интегралов.
57. Некоторые приложения дифференциального исчисления.
58. Уравнения в полных дифференциалах. Способы построения общего интеграла.
59. Интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами.
5 Семестр
Тест № 1
Дифференциальные уравнения: основные понятия. Уравнения с
разделяющимися переменными (тема 6.1)
1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная
функция входит
1) под знаком интеграла; 2) под знаком производной или дифференциала;
3) под знаком логарифма; 4) в неявном виде.
2. Решением дифференциального уравнения
называется
функция
, если она
1) удовлетворяет начальным условиям; 2) n раз дифференцируема на промежутке I;
3) монотонна на промежутке I;
4) обращает при подстановке уравнение в
тождество.
3. Общим интегралом дифференциального уравнения
семейство функций вида:
1)
;
2)
;
является
3)
;
4)
4. Какой порядок имеет каждое из дифференциальных уравнений:
а) y  4 y  x
//
/
Ответ: ……
3
б) y  1  x
/
d2y
dy
 x2
 sin x
в) x
2
dx
dx
3
2
Ответ: ……
Ответ: …..
2
5. Укажите все те из предложенных выражений а) y ; б) dy / dx ; в)
dy 2 / dx2
которые
можно
поставить
58
вместо
знака
...
в
x  1 ;
г)
уравнение:
...  dy / dx  xy  cos x , чтобы получить дифференциальное уравнение I порядка.
2
6. Укажите все те из предложенных выражений а) y ; б) dy / dx ; в)
которые
dy 2 / dx2
dy / dx  x  ...  sin x ,
можно
поставить,
вместо
знака
...
в
x  1 ;
г)
уравнение
чтобы получить дифференциальное уравнение II порядка.
y 1
и его решения или интегралы:
x
7. Дано дифференциальное уравнение y 
/
а) 2 y  1  ln x  c
в) y 
б) y  1
1 2
ln x  1
4
Укажите, как называется каждое из этих решений: общее, частное, особое.
8. Укажите, какие из данных уравнений являются уравнениями с разделяющимися
переменными:
1) y   y  1/ x ;


2) e y  1  e y  e  1 ;
/
x
/
x
4)  x  y cos( y / x) dx  x cos( y / x)dy  0


3) y  xy  x / x ;
x
/

2
2

в) x  y
2
2

5) x 1  x y  y  x 1  x
/
.
2 2
9. Какое из предложенных выражений а,б,в
а) 1  y
2
б) y
можно поставить вместо знака ... в каждое из уравнений 1,2,3,


1) y /  ... / 1  x 2  0 ;
2) y cos x  ...  sin x  1;
/


3) y  ... dx  x dy  0 .
2
2
чтобы получить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решите
полученные дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Тест № 2
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейное
дифференциальное уравнение первого порядка (тема 6.1).
1. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется
уравнение вида:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
2. К однородным дифференциальным уравнениям можно привести уравнения вида:
1)
;
2)
;
3)
;
59
4)
.
3. Выберите правильную замену для решения однородного дифференциального
уравнения:
1)
;
2)
;
3)
; 4)
.
4. Решите дифференциальное уравнение
общее решение.
1)
; 2)
и выберите верное
; 3)
; 4)
5. Общим решением уравнения
.
является семейство функций вида:
. Используя начальное условие
, найдите значение
константы c. В ответе укажите значение коэффициента k и константы с.
6. Среди предложенных выберите однородные дифференциальные уравнения.
1)
; 2)
4)
;
; 3)
5)
;
.
7. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
вида:
1)
; 2)
; 3)
;
8. Интегрировать линейное неоднородное дифференциальное уравнение можно
методами:
1) вариаций постоянной; 2) Коши; 3) Бернулли; 4) подбора.
9. Выберите замену Бернулли для решения линейного дифференциального уравнения:
1)
;
2)
;
;
4)
.
10. Выберите общее решение дифференциального уравнения
1)
; 2)
; 3)
:
; 4)
.
Тест № 3
Линейные дифференциальные уравнения (тема 6.2)
1. Указать линейные дифференциальные уравнения:
1)
; 2)
5)
.
; 3)
60
; 4)
;
3)
2. Среди приведенных систем указать задачу Коши:
1)
; 2)
4)
.
; 3)
;
3. Установить соответствие между линейным дифференциальным уравнением и его
фундаментальной системой решений:
Линейные дифференциальные
Фундаментальная система решений
уравнения
1)
1)
2)
2)
3)
3)
4)
4)
5)
4. Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) 2-го порядка имеет вид:
1)
;
3)
;
2)
;
4)
.
5. Указать общее решение некоторого линейного неоднородного дифференциального
уравнения (ЛНДУ) 2-го порядка, если известны его частное решение
частных решения соответствующего ЛОДУ
1)
;
2)
3)
;
4)
5)
и два
:
;
.
6. Указать верное определение фундаментальной системы решений ЛОДУ 2-го порядка:
1) ФСР – все частные линейно независимые решения;
2) ФСР – любые два линейно независимых частных решения;
3) ФСР – любые два частных решения;
4) ФСР – все частные решения.
7.
Определить
параметр
α,
при
котором
дифференциальное
уравнение
является линейным.
Индивидуальное домашнее задание
Задание 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.
61
 dx1
 dt  12 x1  5 x2
1. 
 dx2  5 x  12 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  3 x 2
2. 
 dx 2  x  x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  4 x 2
3. 
 dx 2  x  x
1
2
 dt
 dx1
 dt  3 x1  x 2
4. 
 dx 2  4 x  2 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  x 2
5. 
 dx 2  x  x
2
1
 dt
 dx1
 dt  2 x1  4 x 2
6. 
 dx 2  x  3x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  x2
7. 
 dx2  x  2x
2
1
 dt
 dx1
 dt  4 x1  5 x2
8. 
 dx2  x
1
 dt
 dx1
 dt  x1  5 x2
9. 
 dx2  2 x  2 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  2 x1  6 x2
10. 
 dx2  3 x  x
1
2
 dt
 dx1
 dt   x1  3 x2
11. 
 dx2  2 x
1
 dt
 dx1
 dt  4 x1  x2
12. 
 dx2  2 x  3x
1
2
 dt
 dx1
 dt  3 x1  2 x2
13. 
 dx2  5 x  6 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  2 x2
14. 
 dx2  3x  4 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  4 x1  x2
15. 
 dx2  2 x  5 x
1
2
 dt
 dx1
 dt   x1  3x2
16. 
 dx2  2 x  2 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  2 x2
17. 
 dx2  3 x  4 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  3 x1  2 x2
18. 
 dx2  5 x
1
 dt
62
 dx1
 dt  x1  2 x2
19. 
 dx2  3x  6 x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  2 x2
20. 
 dx2  3 x  2 x
1
2
 dt
 dx1
 2 x1  4 x2
 dt
21. 
 dx2  x  3 x
1
2
 dt
 dx1
 4 x1  5 x2
 dt
22. 
 dx2  x
1
 dt
 dx1
 dt  2 x1  6 x2
23. 
 dx2  3 x  x
1
2
 dt
 dx1
 dt  x1  2 x2
24. 
 dx2  3x  4 x
1
2
 dt
 dx1
 dt   x1  3x2
25. 
 dx2  2 x  2 x
1
2
 dt
Задание 7. Решить задачу Коши.
1.
y  4 y  x 2e2 x ; y (0)  0; y (0)  1 / 32;
2.
y  2 y  5 y  e x cos 2 x; y (0)  1; y(0)  0;
3.
y  y  sin 2 x; y (0)  0,1; y(0)  0;
4.
y  y  2 x  1  3xex ; y (0)  y(0)  0;
5.
y  3 y  2  6 x; y (0)  2; y(0)  3;
6.
y  2 y  e x x 2  x  3 ; y (0)  2; y(0)  2;
7.
y  y   sin 2 x; y ( )  y( )  1;
8.
y  y  2(1  x 2 ); y (0)  y(0)  1;
9.
y  2 y  2 y  2e x sin x; y (0)  2; y(0)  1;


10. y  y'  2 x 2e x ; y (0)  5;
y (0)  0,5;
11. y  4 y  3 y  8 cos x  6 sin x; y (0)  3;
12. y  2 y  e2 x  x 2  1; y (0)  1 / 8;
y(0)  2;
y(0)  1;
13. y  y  21  x; y (0)  y(0)  1;
14. y  5 y  6 y  x 2  x; y (0)  0;
y (0)  1 / 9;
15. y  y  x  1; y (0)  0; y (0)  2;
63
16. y  7 y  12 y  e2x ; y (0)  0;
y(0)  1;
17. y  7 y  12 y  e3x ; y (0)  0; y (0)  2;
18. y  4 y  5 y  2 x 2e x ; y (0)  y(0)  1;
19. y  3 y  4 y  17 sin x; y (0)  5; y (0)  6;
20. y  3 y  4 y  5 cos x; y(0)  y(0)  0;
21. y  2 y  y  x  cos x; y(0)  y(0)  0;
22. y  2 y  y  x  sin x; y(0)  y(0)  0;
23. y  4 y  3 y  xe2 x ; y(0)  y(0)  0;
24. y  3 y  2 y  e x ; y(0)  0;
y(0)  1;
25. y  2 y  y  xe x ; y (0)  0;
y (0)  1
Контрольная работа № 1
Решить данные дифференциальные уравнения (где указано, найти частное
решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям).
Вариант 1
Вариант 2
1.
у 2  2xy dx  x2dy  0 .


1. dy  y  x 2 dx


yy '
2. y 2 dx  xy  x 2 dy
 ey  0.
x
e x  y  3x 2 dx  e x  y  4 y 3 dy  0,
3.
3. y  ln 3 y  y' x  1  0.
y 0  0.
x 2  y 2  y dx  2 xy  x  e y dy  0,
4. xy ' y  sin x .
4.
y0  0.
2.

 



5. 1  x
2
y''  3.



5. y ' ' x ln x  y ' .
Контрольная работа № 2
Решить данные дифференциальные уравнения (где указано, найти частное
решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям).
Вариант 1
1.
Вариант 2
y' '4 y  3xe  x , y0  0, y' 0  0. 1.
64
 
 
y ' ' y  cos3x, y   4, y '    1.
2
2
y ' ' y 
2.
3.
1
cos 2 x
 dx
 dt  8 y  x,

 dy  x  y.
 dt
2.
y' '6 y'9 y  36 x  e3x
3.
 dx
 dt  4 x  5 y,

 dy  x.
 dt
Найти общий интеграл уравнения.
yz
4.
z
z
 xz  2 xy
x
y
4.
x
z
z
y z
x
y
Вопросы к экзамену.
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные уравнения 1-го порядка.
Уравнения Бернулли.
Однородные уравнения.
Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнение, допускающее понижение порядка.
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений n-го
порядка.
10. Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения.
11. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, его решение.
12. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
14. Метод Лагранжа.
15. Линейные системы дифференциальных уравнений.
16. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных
уравнений.
17. Теорема существования и единственности решения нормальной системы
уравнений.
18. Уравнения с частными производными.
19. Постановка основных краевых задач.
20. Метод Фурье.
21. История возникновения и развития дифференциальных уравнений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
65
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины “Математический анализ”
а) основная литература:
Учебники и учебные пособия.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. СПб.: Лань.
2005.
Ильин, Позняк. Основы математического анализа. В 2-х частях. М.: Физматлит. 20022005.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х томах. М.: Физматлит. 2005.
Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды.
400 с.
Том 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных.
Гармонический анализ: 424 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 томах. М.: Физматлит. 2003-2006.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах.
М.: Физматлит. 2006.
Никольский С. М. Курс математического анализа. Учебник для вузов. М.: Физматлит.
2001.
Зорич В.А. Математический анализ: в 2 т. М.: МЦНМО, 2007.
Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. М.:
Физматлит. 2005.
Задачники
9.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу (для
ВУЗов). - М.: АСТ, 2003.
10. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. В 3-х томах. М.:
Физматлит. 2003.
11. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. М.: Высшая школа. 2006.
12. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Задачи и примеры с решениями. М.: Едиторал. 2002.
13. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3 т. (Учебное пособие). СПб.:
Политехника. 2003.
14. Никитина О.Г. Функции нескольких переменных. Интегральное счисление. Пенза:
ПГПУ.2011.
15. Пендюрин А.И., Никитина О.Г. Дифференциальные уравнения. Пенза: ПГПУ. 2007.
16. Яремко Н.Н., Везденева А. Дифференциальные уравнения. Пенза: ПГПУ. 2009.
б) дополнительная литература:
Учебники и учебные пособия.
1. Львовский С. М. Лекции по математическому анализу. - М.: МЦНМО, 2008.
2. Рудин У. Основы математического анализа. - СПб: Лань, 2004.
3. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. М.: Едиториал, 2007.
4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. - СПб: Лань, 2002.
5. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Теория поля. Уч. пособие. М.: МАТИ. 2007.
6. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. М.: МГТУ.
2004.
7. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы.
Элементы теории поля. М.: МГТУ. 2003.
66
8. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.:
Лаборатория Базовых Знаний. 2001.
Задачники
9. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей математике.
Ростов на Дону: Феникс. 2006..
10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике. М.: Физматлит.
2001.
11. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Физматлит. 2006.
12. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. М.:
Айрис-пресс. 2008.
13. Лунгу К.Н., Норин В.П. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. М.: Айриспресс. 2007.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
№
1.
Math.ru
Электронный
адрес
www.math.ru
2.
Exponenta.ru
www.exponenta.ru
Название
Содержание
Сайт посвящён математике (и математикам. Этот сайт —
для школьников, студентов, учителей и для всех, кто
интересуется математикой. Тех, кого интересует зона
роста современной науки математика.
Студентам:
- запустить установленный у Вас математический пакет,
выбрать в списке примеров, решенных в среде этого
пакета, подходящий и решить свою задачу по аналогии;
Преподавателям:
- использовать математические
поддержки курса лекций.
пакеты
для
Всем заинтересованным пользователям:
1. – можно ознакомиться с примерами применения
математических пакетов в образовательном процессе.
2. – найти демо-версии популярных математических
пакетов,
электронные
книги
и
свободно
распространяемые программы.
3.
Математика
4.
5.
Truba.nnov
fismat
4.
Российское
образование.
6.
Математика
для
студентов и
прочее.
www.mathematics.ru учебный материал по различным разделам математики –
алгебра, планиметрия, стереометрия, функции, графики и
другие.
www. truba.nnov.ru Сайт о математическом анализе.
www.fismat.ru
Высшая математика для студентов – интегралы и
производные, ряды; лекции,задачи, учебники.
www.edu.ru
федеральный образовательный портал: учреждения,
программы, стандарты, ВУЗы, тесты ЕГЭ.
www.xplusy.isnet.ru содержит большое количество видеолекций для
школьников, абитуриентов и студентов по математике и
физике.
67
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
«Математический анализ»
Для освоения данной дисциплины необходимы:
– мультимедийные средства обучения геометрии
интерактивная доска; Интернет - ресурсы).
68
(компьютер и
проектор;
Рабочая программа дисциплины “Математический анализ” составлена в соответствии с
требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций примерной ООП ВПО по направлению
подготовки _050100
Педагогическое образование и профилю подготовки
Математика.
Программу составили:
1._Никитина О.Г., кандидат физ.- мат. наук, _доцент_______________________
(Ф.И.О., должность, подпись)
2.____________________________________________________________________________
(Ф.И.О., должность, подпись)
Настоящая программа не может быть воспроизведена ни в какой форме без
предварительного письменного разрешения кафедры-разработчика программы.
Программа
одобрена
на
_________________________________________
заседании
Протокол № ___
года
от «____» ______________ 20__
Зав. кафедрой __________
Программа
факультета
одобрена
кафедры
_________________________________
(подпись, Ф.И.О.)
учебно-методическим
Протокол № ___
года
советом
________________________
от «____» ______________ 20__
Председатель учебно-методического совета
___________________________ факультета
______________
_______________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
Программа одобрена учебно-методическим управлением университета
«_____» _____________ 20__ года
Начальник учебно-методического
управления университета
___________________________ Г.Н. Шалаева
(подпись)
69