Кинетика процесса переноса воздуха при очистке сточных вод

СТАТЬЯ
Кинетика процесса переноса воздуха при очистке
сточных вод молочных ферм
УДК 631.223.24.018.0015
И.И. Шигапов, кандидат технических наук, доцент,
Х.Х. Губейдуллин, доктор технических наук, профессор
Технологический институт – филиал ФГБОУ ВПО «Ульяновская
ГСХА»
Т. (8422) 44-30-72
Для эффективной работы системы аэрации очистных сооружений
сточных вод необходимо учитывать множество факторов. Один из них –
влияние скорости подъёма воздушных пузырьков на массоперенос газа в
жидкость. Контакт и перенос газа будет эффективнее, если пузырьки
находятся в контактном пространстве более продолжительное время.
Будем рассматривать массоперенос газа в аэрационной установке,
когда воздух в аэротенк [6] подаётся под давлением снизу, с использованием
фильтров для получения пузырьков достаточно малого диаметра d0  2 мм [1].
На этапе моделирования массопереноса воздуха в аэротенке
предварительно следует смоделировать движение единичного пузырька
малого диаметра.
Процесс подъёма пузырька со дна аэротенка включает в себя несколько
этапов: отрыв от поверхности фильтра, ламинарный и турбулентный режим
всплытия. Чем меньше скорость движения пузырька на каждом этапе, тем
эффективнее очистка.
Для каждой модели подъёма пузырька получена зависимость скорости
подъёма от радиуса пузырька. Это позволяет в дальнейшем оценить влияние
давления толщи воды в аэротенке на указанную скорость.

На всплывающий пузырёк действуют три силы: сила тяжести FТ ,


Архимедова сила FА и сила сопротивления FС . В проекциях на вертикаль
подъёмная сила FП равна (рис.1):
FП  FА  FТ  FС .
(1)
Учтём, что
4
4
FП  mв оздxt    r 3 в озд xt  , FА  mводg   r 3 вод g ,
3
3
4
FТ  mвоздg   r 3 возд g ,
3
тогда
x

FП
получим
дифференциальное уравнение движения пузырька

FА
в
r
зависимости от времени:


3
F
xt    вод  1 g 
 C ,
3
4 r возд
 возд 

FС
(2)

FТ
где r - радиус пузырька.
Рис. 1
В случае равномерного всплытия (ламинарный режим) сила
сопротивления FС подчинена закону Стокса и равна
FС  6  r   xt  ,
где
  1,111  103
(Па·с = 1 кг/(м·с)) - динамический коэффициент
вязкости воды. Тогда уравнение (2) примет вид:


1 9 
xt    вод  1 g  2  
 xt  .
r 2 возд
 возд 
(3)
При переходе от ламинарного режима всплытия к турбулентному,
когда позади движения пузырька образуются пустоты, разрывы и завихрения,
сила сопротивления будет пропорциональна половине квадрата скорости
всплытия и равна FС    S  вод 
xt 2 , где
2
S - площадь поперечного сечения
пузырька воздуха,   0,13 - безразмерный коэффициент гидравлического
сопротивления. Возьмём S   r 2 , тогда
FС   r 2    вод 
xt 2 .
2
Уравнение движения (2) примет вид:


1 3

2
xt    вод  1 g      вод  xt  .
r 2
возд
 возд 
(4)
Пусть в процессе движения к поверхности аэротенка пузырёк не меняет
свой объём. Тогда примем его радиус постоянным и равным начальному:
r  r0 . Поскольку d 0  2 мм, примем r0   0  10 4 , 1   0  10 м.
В случае ламинарного режима получаем линейное дифференциальное
уравнение (ЛДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами, которое
легко разрешимо в квадратурах:
xt   A  B1  xt  ,
 
(5)

1 9

4,5  108

где A   воды  1 g (м/с2), B1  2  

2

r
 02
воздуха
возд
0




(1/с).
возд
Общий интеграл (5) имеет вид
A
e  B1t
xt  
 t  c1 
 c 2 ,
B1
B1
c1 , c2 - произвольные постоянные.
Скорость соответственно при xt 0   v0 м/с равна
v(t )  xt   v0 e  B1 t  t 0  


A
 1  e  B1 t  t 0  .
B1
В случае нулевых начальных условий получаем частный интеграл
v(t ) 


A
 1  e  B1t ,
B1
где коэффициент
A
 0,01959   02 имеет размерность м/с.
B1
408122, 449

t 

2

 м/с.
С учётом исходных данных, vt   0,01959    1  e  0




2
0
Очевидно, что скорость пузырька возрастает прямо пропорционально
квадрату его радиуса и практически не зависит от времени:
v  0,01959   02  1,959 106  r02 м/с (рис.2).
v
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,001
r0
Рис. 2.
Из рисунка видно, что результаты согласуются с формулой Адамара и
Рыбчинского [1] для вычисления в первом приближении скорости
всплываемого пузырька [5]. Действительно, при r0  0,001 м скорость
всплытия равна v  1,959 м/с.
Турбулентному режиму всплытия соответствует модель, описываемая
нелинейным ДУ второго порядка, которое также разрешимо в квадратурах:
2
xt   A  B2  xt  ,
где коэффициент B2 
(6)
3 1

1,5  104

    вод 
   вод и имеет размерность
2 r0
возд
0
возд
1/м.
Общий интеграл (6) имеет вид

B
2
ln  2 c1 e
4A
xt   

2
 c 2   2 AB2 t

.
2 B2
AB2 t
При xt 0   v0 м/с скорость равна
vt   xt  

 v B 
AB2  th  AB2 t  t0   Arth  0 2  
 AB  

2 


м/с.
B2
В случае нулевых начальных условий получаем частный интеграл
vt   xt  


AB2  th AB2 t
м/с.
B2
С учётом исходных данных, и того, что
AB2 
112817,2181
0
A
 0,07087   0 (м/с),
B2
(1/с), скорость пузырька будет равна
 112817,2181 
vt   0,07087  0  th 
 t  м/с.



0


Если помнить о поведении функции гиперболический тангенс и о том,
что турбулентный режим движения не возникает при t  0 , то можно сделать
вывод о скорости всплытия пузырька. Т.к. уже при t  2,5 функция th t  1 , то
v  0,07087  0 м/с при t  2,22 105   0  2,22 103  r0 с, а фактически при
t  7,0203 105 с. Из рис.3 видно, что скорость даже самых больших пузырей в
режиме турбулентности не превосходит 25 см /с.
v
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,001
r0
Рис.3
Глубина аэротенка достаточно велика по сравнению с размером
пузырька и составляет около 4 м. Давление воды аэротенка на пузырек,
вероятно, влияет на его скорость всплытия. Исследуем, как изменяется
радиус пузырька при его подъёме вверх
Пусть V - первоначальный объём
p 0  10 5 Па
пузырька, V   r03 ,  V   r0  r 3   r 3 4
3
4
3
4
3
изменённый объём пузырька при его
h
всплытии.
x
Когда пузырь был на дне, давление,
Рис. 4
оказываемое на него толщей воды и
атмосферой, было p   водыg h  p0 , где h - высота аэротенка, p 0 - атмосферное
давление. При всплытии на x метров давление на пузырёк уменьшилось (рис.
4) и стало равно p  водыg h  x   p0 .
При постоянной температуре окружающей среды по закону БойляМариотта
V
p
происходит увеличение объёма пузырька. Используя

V
p
3
r
в одыg h  p0
закон, получим соотношение   
. Отсюда обратная
 в одыg h  x   p0
 r0 
величина изменения радиуса пузырька равна
1
1
1
   x  С  13 ,
r
r0
где С 
1
h
p0
(7)
.
 в одыg
Построим уравнения, соответствующие моделированию влияния
давления толщи воды в аэротенке на скорость всплытия пузырька.
Используя (3) и (7), получим нелинейное ДУ второго порядка, которое
описывает ламинарный режим всплытия:
xt   A  B1  xt   С  13  xt  .
2
(8)
Попробуем свести это модельное уравнение к уравнению первого
порядка и посмотреть, не разрешимо ли оно в квадратурах.
Заметим, что ограничение на высоту аэротенка ограничивает и область
изменения перемещения пузырька:
0  xt   h .
(9)
Избавимся от иррациональности искомой функции в уравнении (8) в
несколько приёмов.
Заменой  t  
ttt  
5
3 B1
C xt   13 уравнение (8) приводится к виду:
5C
2
2
2 1
2

 tt      5 t   tt    A   5 t  ,
5  t 
(10)
1
5
25
где     B13  C 2  . Область изменения  t  , согласно (9) и Сh  1 ,
 3

должна быть ограничена:

5
3 B1
3 B1
C h  13 .
  t  
5C
5C
(11)
Заменой y    
A
y  y    y 

2
5

2
5
  tt  уравнение (10) приводится к уравнению Абеля
,
которое сразу переходит в канонический вид (12), если положить
 

:

y  y  y 
1

,
2
5
(12)
7
где 1   A 5 .
Нетрудно показать, что нулевое начальное условие x0  0 в других
координатах примет вид yt  0  y  

3 B1 
0.
5C
К сожалению, решение (12) не найдено [3]. Однако, если учесть,
используя (11), область изменения  :

5
3 B1
C h  13      3 B1 ,
5C
5C
(13)
можно показать, например при  0  10 и h  4 , характер поведения
интегральных кривых. y  .
В этом случае (10) имеет вид y  y  y 
- 2585920

2
5
, область изменения  :
1262057,940    2177431,972 , начальное условие: y2177431,92  0 .
Уравнение Абеля (12) не может иметь более двух существенно
различных трансцендентных интегралов. Всякий однозначный интеграл
уравнения (12) рациональная функция [3,4].
Турбулентному подъёму пузырька будет соответствовать нелинейное
ДУ второго порядка, полученное из (4), подстановкой (7):
2
xt   A  B2  x  С  13  xt  .
1
(14)
При ограничении (9) заменой
 t  
4
3 B2
C xt   13 уравнение (14)
2C
приводится
1
 25 A4 B23 C  4 14
1
1
  ,
ttt    2  tt 2  

4

3


к уравнению
при этом
(15)
4
3 B1
3 B1
C h  13 .
  t  
2C
2C
Заменой  t 2  y   уравнение(15) сводится к уравнению первого
порядка:
1
1
y     2   y     2  4 ,
2

1
(16)
1
 29 A4 B23 C  4
 .
где   

3


1
Решение (16) будем искать в виде y    2 e v  . Для определения v 

1
4
получим уравнение v     e , решение которого выражается через
неполную Гамма – функцию:

 3 
v     c1   ,    .
 4 

1
4
Тогда, с учётом
начальных
 t0    0 
условий
4
3 B2
C xt0   13 ,
2C
tt0   1 
 2 B2 C xt0   13 xt t0   2 B2 C xt0   13 x1 , получим дифференциальное уравнение
1
1
первого порядка:
 t 2   2 e    0  2 e
1
1

0
3
4


3
4


12   ,  0    ,    .
Нетрудно
(17)
заметить,
что
 t 
1

  12  14

3
3
   t e 2  t    0  2 e  0 12   , 0    ,  t 


4 
4



2



3 
Поскольку  4 e 2 d  d  ;  , нетрудно привести (17) к виду
1
4 2


0
3  
 d  ; 
4 2
   t  t0  .
1
3 
3 



 0
2
  0 2 e 1   ,  0    ,  
4 
4 
(18)
Для практического использования значимы следующие выводы.
Турбулентное всплытие позволяет воздушным пузырькам более
продолжительное время контактировать с водой аэротенка, что приводит к
улучшению качества очистки сточных вод при отсутствии потерь воздуха.
При этом улучшаются седиментационные характеристики активного ила и
снижается себестоимость очистки одного кубического метра стоков до 35%.
Следовательно, нужно регулировать границы раздела фаз от ламинарного
всплытия пузырька к турбулентному.
Уровень воды в аэротенке также влияет на скорость всплытия воздушных пузырьков. Как
именно – будет установлено при дальнейшем исследовании полученных уравнений (8) и
(14).