Вопросы к экзамену по МДК.01.04 ТОНКМ с методикой

Теоретические основы начального курса математики
1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств.
Отношения между двумя множествами и изображение их при помощи кругов
Эйлера.
Понятия множества и его обозначение, примеры. Определение элемента множества и
его обозначение. Обозначение «принадлежит». Пустое множество. Стандартные
обозначения числовых множеств в математике. Примеры конечных и бесконечных
множеств. Способы задания множеств: перечисление элементов; указание
характеристического свойства. Привести примеры способов задания множеств.
Отношение между множествами: пересечение, подмножество,
равные множества.
Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.
2. Операции над множествами: пересечение, объединение. Основные законы этих
операций.
Определение пересечения множеств, его обозначение, математическая запись и
изображение на кругах Эйлера. Способы задания пересечения множеств: перечисление
элементов; указание характеристического свойства. Привести примеры. Рассмотреть
случаи, когда множества не имеют общих элементов; равные; одно является
подмножеством другого. Законы пересечения множеств: коммутативный и ассоциативный
(доказательство).
Определение объединения множеств, его обозначение, математическая запись и
изображение на кругах Эйлера. Способы задания объединения множеств: перечисление
элементов; указание характеристического свойства. Привести примеры. Рассмотреть
случаи, когда множества не имеют общих элементов; равные; одно является
подмножеством другого. Законы объединения множеств: коммутативный, ассоциативный
(доказательство). Дистрибутивный закон пересечения относительно объединения и
дистрибутивный закон объединения относительно пересечения (доказательство).
3. Операции над множествами: разность множеств, дополнение к подмножеству,
декартово произведение. Законы этих операций.
Определение разности множеств, его обозначение, математическая запись и
изображение на кругах Эйлера. Определение дополнения к подмножеству, его
обозначение, математическая запись и изображение на кругах Эйлера. Способы задания
разности множеств: перечисление элементов; указание характеристического свойства.
Привести примеры. Свойства вычитания множеств (доказательство).
Определение декартова произведения множеств, его обозначение, математическая
запись. Способы задания декартова произведения: перечисление пар; указание
характеристического свойства; при помощи графа, графика, таблицы. Привести примеры.
Дистрибутивный закон декартова произведения относительно объединения и
дистрибутивный закон декартова произведения относительно вычитания (доказательство).
4. Понятие соответствия между двумя множествами. Способы задания
соответствий. Отображения. Взаимно обратные и взаимно однозначные
соответствия. Равномощные множества.
Определение соответствия между двумя множествами, его обозначение,
математическая запись. Способы задания соответствий: перечисление пар; указание
характеристического свойства; при помощи графа, графика, таблицы. Привести примеры.
Определение соответствия, обратного данному. Особенности графиков взаимно обратных
соответствий. Определение взаимно однозначных соответствий. Определение взаимно
однозначного отображения множеств. Определение равномощных множеств,
обозначение, примеры. Равночисленные множества. Счетное множество.
5. Отношения на множестве, способы их задания. Свойства отношений.
Определение бинарного отношения на множестве, его обозначение, математическая
запись. Способы задания отношения: перечисление пар; указание характеристического
свойства; при помощи графа, графика, таблицы. Привести примеры. Свойства отношений:
рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связанность.
Отражение свойств отношений на графе: петля, двусторонняя стрелка, одна стрелка,
«треугольник». Привести примеры.
6. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы.
Отношение порядка. Упорядоченные множества.
Задайте множество, укажите на нем отношение, проверьте свойства этого отношения
(рефлексивность,
симметричность,
транзитивность).
Определение
отношения
эквивалентности. Разбиение множества на классы. Задайте другое множество, укажите на
нем отношение, проверьте свойства этого отношения (антисимметричность,
транзитивность). Определение отношения порядка. Определение упорядоченного
множества.
7. Теоретико-множественный смысл понятия
натурального числа и нуля.
Определение отношений "равно" и "меньше" на множестве целых
неотрицательных чисел. Понятие отрезка натурального ряда чисел. Порядковые
и количественные натуральные числа.
Натуральное число как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Примеры из учебников математики для начальной школы. Число «нуль» с теоретико –
множественных позиций.
Определение отношения "равно" на множестве целых
неотрицательных чисел, его математическая запись. Определения отношения "меньше" на
множестве целых неотрицательных чисел, их математические записи, иллюстрирование
примерами из учебников математики для начальной школы.
Понятие отрезка натурального ряда чисел, обозначение. Порядковые и
количественные натуральные числа. Счет.
8. Теоретико-множественный смысл суммы. Ее существование и единственность.
Законы сложения.
Связь суммы двух целых неотрицательных чисел с операцией объединения множеств.
Определение суммы чисел с теоретико-множественных позиций, математическая запись.
Названия компонентов и результата действия сложения, взаимосвязь между ними.
Теоремы о существовании и единственности суммы (доказательство). Законы сложения:
коммутативный, ассоциативный, с числом 0 (доказательство). Пример задачи из учебника
математики начальной школы.
9. Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел.
Определение разности через сумму. Условие существования
разности на
множестве целых неотрицательных чисел, ее единственность.
Связь разности двух целых неотрицательных чисел с операцией дополнения
подмножества до целого множества. Определение разности чисел с теоретикомножественных позиций, математическая запись. Названия компонентов и результата
действия вычитания, взаимосвязь между ними. Определение разности через сумму.
Теоремы о существовании и единственности разности (доказательство). Пример задачи из
учебника математики для начальной школы.
10. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел.
Законы умножения. Определение произведения через сумму.
Определение произведения двух чисел. Связь умножения двух целых
неотрицательных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся
множеств и числом элементов в декартовом произведении двух множеств. Названия
компонентов и результата действия умножения, взаимосвязь между ними. Теоремы о
существовании и единственности произведения (доказательство). Законы умножения:
коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный закон умножения относительно
сложения и вычитания, с числом 0 (доказательство). Пример задачи из учебника
математики начальной школы.
11. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и
натурального. Определение частного через произведение. Его существование и
единственность.
Связь деления целого неотрицательного числа на натуральное с разбиением
множества на попарно непересекающиеся подмножества (2 случая). Названия
компонентов и результата действия деления, взаимосвязь между ними. Определение
частного через произведение. Невозможность деления на нуль. Необходимое условие
существования частного, его единственность (доказательство). Правила деления суммы на
число, деления числа на произведение, умножения числа на частное. Пример задачи из
учебника математики начальной школы.
12. Натуральное число как результат измерения величин (длины). Определение
арифметических действий над натуральными числами - результатами
измерения величин.
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Примеры величин.
Численное значение величины при выбранной мерке, обозначение. Смысл сложения,
вычитания, умножения и деления чисел, являющихся значениями величин: взаимосвязь
сложения чисел со сложением величин, вычитание чисел – с вычитанием величин,
умножения и деления - с переходом в процессе измерения от одной единицы величины к
другой.
13. Понятие системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе
счисления. Алгоритмы сложения и вычитания в десятичной системе счисления.
История развития числа и счета. Определение системы счисления. Позиционные и
непозиционные системы счисления, примеры чисел, записанных в различных системах
счисления. Десятичная запись натурального числа. Теоретическая основа и алгоритмы
сложения и вычитания в десятичной системе счисления.
14. Алгоритмы умножения и деления чисел в десятичной системе счисления.
Запись числа в десятичной системе счисления. Теоретическая основа и алгоритмы
умножения на однозначное и многозначное числа, деления в десятичной системе
счисления.
15. Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных
чисел. Свойства отношения делимости. Делимость суммы, разности,
произведения целых неотрицательных чисел.
Определение отношения делимости, обозначение. Делитель числа. Кратное числа.
Свойство делителя числа. Простые и составные числа, примеры. Особенность числа 1.
Свойства отношения делимости: рефлексивность, антисимметричность, транзитивность
(доказательство). Отношение делимости – отношение порядка. Признаки делимости
суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел (доказательство). Примеры.
16. Признаки делимости на 2,5,10.(Доказательство).
Сформулируйте признак делимости для каждого случая, докажите его, приведите
примеры.
17. Признаки делимости на 4,11,25.(Доказательство).
Сформулируйте признак делимости для каждого случая, докажите его, приведите
примеры.
18. Признаки делимости на 3,6,9. (Доказательство).
Сформулируйте признак делимости для каждого случая, докажите его, приведите
примеры.
19. Понятие дроби и положительного рационального числа. Упорядоченность
множества положительных рациональных чисел. Определение арифметических
действий над положительными рациональными числами.
Практическая ситуация, приводящая к понятию дроби. Определение дроби. Числитель
и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дроби, примеры. Равные дроби.
Основное свойство дроби. Сокращение дробей, пример. Несократимая дробь, пример.
Приведение дробей к общему знаменателю, пример. Равенство дробей – отношение
эквивалентности. Определение положительного рационального числа. Определение
арифметических действий над положительными рациональными числами (правила).
Доказательство законов сложения (коммутативный и ассоциативный) и умножения
(коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный относительно сложения и вычитания).
Свойства множества положительных рациональных чисел: упорядоченное, нет
наименьшего и наибольшего чисел, плотное. Условия расширение множества
натуральных чисел до множества положительных рациональных чисел: отношение
включения, согласованность операций, выполнимость операции деления. Изображение на
кругах Эйлера.
20. Числовые функции. Способы задания. График функции. Прямая и обратная
пропорциональности.
Определение числовой функции, обозначение ее. Область определения и область
значений функции. Что значит задать функцию? Способы задания функций:
аналитический, табличный, перечислением пар, графический. Определение графика
функции. Примеры графиков функций: прямая, парабола, гипербола и т.д. Свойства
функций: монотонность (возрастание и убывание), четность и нечетность, периодичность.
Определение, свойства и графики прямой и обратной пропорциональности.
21. Уравнения с одной переменной. Множество корней уравнения. Равносильные
уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.
Определение уравнения с одной переменной. Корень уравнения. Что значит решить
уравнение? Примеры уравнений с разным количеством корней (нет корней, 1 корень,
конечное число корней, бесконечное число корней). Определение равносильных
уравнений. Равносильное преобразование уравнений. Теоремы о равносильных
уравнениях (доказательство) и следствия к ним.
22. Неравенства с одной переменной. Множество решений неравенства. Теоремы о
равносильности неравенств.
Определение неравенства с одной переменной, его область определения. Решение
неравенства. Что значит решить неравенство? Примеры решения неравенства (виды
промежутков). Определение равносильных неравенств. Теоремы о равносильных
неравенствах (доказательство) и следствия к ним.
23. Понятие величины и ее измерения. Основные свойства скалярных величин.
Понятие положительной величины и ее измерения. Скалярные и векторные величины.
Примеры скалярных величин. Однородные величины. Свойства однородных величин:
сравнение, сложение, вычитание, умножение на положительное действительное число,
деление. Разнородные величины.
24. Длина отрезка, ее основные свойства. Измерение длины отрезка. Стандартные
единицы длины, соотношения между ними.
Определение длины отрезка. Численное значение длины отрезка (мера длины
отрезка). Свойства численных значений длин отрезков. Процесс измерения длины отрезка.
Таблица соотношений между единицами длины.
25. Площадь фигуры. Способы измерения площадей фигур. Равновеликие и
равносоставленные фигуры. Нахождение площади прямоугольника.
Определение площади фигуры. Численное значение площади фигуры (мера площади
фигуры). Свойства численных значений площадей фигур. Процесс измерения площади
фигуры. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Теорема венгерского математика Ф.
Бойяи и немецкого любителя математики П. Гервина. Площади многоугольников
(формулы). Площадь произвольной плоской фигуры. Палетка. Таблица соотношений
между единицами длины.
26. Математические понятия. Объем и содержание понятия. Определение понятия
через род и видовое отличие. Требования к определению понятий.
Группы математических понятий: связанные с числами и операциями над ними,
алгебраические, геометрические, связанные с величинами и их измерением. Термин,
объем и содержание понятия. Обозначение. Взаимосвязь между объемом и содержанием
понятия. Отношения между понятиями: видовое, родовое, тождественны, целого и части.
Примеры. Определение понятия. Явные определения (схема). Пример. Неявные
определения: контекстуальные, остенсивные, генетические, индуктивные. Примеры.
Требования к определению понятий: соразмерность, нет порочного круга, ясность.
27. Понятия высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики
высказываний.
Определение высказывания, его обозначение. Значения истинности высказываний.
Примеры. Элементарные и составные высказывания. Логические связки: «и», «или», «не»,
«если …, то …». Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание высказываний (определение,
пример, таблица истинности). Законы де Моргана (доказательство). Построение
отрицания конъюнкции (дизъюнкции).
28. Понятие квантора. Отношение логического следования и равносильности между
предложениями. Необходимые и достаточные условия.
Определение квантора. Кванторы общности и существования, их обозначение,
примеры. Установление истинности высказываний с квантором общности и с квантором
существования, примеры. Правила построения отрицаний высказываний, содержащих
кванторы (2 способа). Определение отношений логического следования и равносильности,
их математические записи, примеры. Необходимое и достаточное условия, примеры.
29. Доказательство математических предложений. Индукция (полная, неполная),
дедукция. Простейшие правила вывода.
Умозаключение. Посылка и заключение. Дедуктивные (правильные) умозаключения.
Схемы дедуктивных умозаключений: правило заключения, правило отрицания, правило
силлогизма (математическая запись, пример). Софизмы. Математическое доказательство.
Способы доказательства истинности высказываний: неполная и полная индукция,
аналогия.
30. Структура теоремы. Виды теорем. Связь между ними.
Определение теоремы, её математическая запись. Условие теоремы, её заключение.
Примеры теоремы, указание её составных частей. Виды теорем (обратная данной,
противоположная данной, обратно противоположная данной), запись их на
математическом языке, формулировка. Закон контрапозиции. По способу ведения
доказательства теорем: прямое (полная индукция) и косвенное (метод от противного).
Примеры доказательства теоремы.
1.
2.
3.
4.
-
5.
6.
-
7.
-
Методика преподавания математики
Методика обучения математике в дочисловой период.
Методика обучения выделению предметов, обладающих указанным свойством.
Сравнению предметов по их взаимному расположению, по размерам.
Обучение сравнению групп предметов через составление пар.
Формирование представления о некоторых геометрических фигурах.
Организация деятельности учащихся в дочисловой период.
Основные наглядные пособия.
Методика изучения нумерации чисел первого десятка.
Образование каждого числа, отрезок натурального ряда, место числа в натуральном
ряду, сравнение чисел, запись и чтение чисел.
Содержание и план изучения темы.
Подготовительная работа.
Методика формирования понятия числа (конкретный пример по выбору).
Организация деятельности учащихся.
Основные наглядные пособия.
Методика обучения нумерации чисел в пределах сотни.
Образование и название чисел 11-20 и 21-100, отрезок натурального ряда, сравнение
чисел, состав чисел, случаи сложения и вычитания «по нумерации».
План изучения темы.
Основные наглядные пособия и упражнения.
Организация деятельности учащихся.
Изучение устной и письменной нумерации в пределах 1000.
Счет десятками, сотнями, чтение и запись трехзначных чисел, состав и образование
чисел, название разрядных единиц, знание отрезка натурального ряда, случаи
сложения и вычитания "по нумерации".
Подготовительная работа.
План изучения темы.
Основные наглядные пособия и упражнения, методические приемы.
Организация деятельности учащихся.
Изучение нумерации многозначных чисел.
Формирование понятия о новой счетной единице «тысяча» как единицы 2-го класса.
Чтение и запись многозначных чисел. Обобщение знаний детей о нумерации.
Подготовительная работа.
План изучения темы.
Основные наглядные пособия.
Схема разбора числа.
Организация деятельности учащихся.
Ознакомление учащихся со сложением и вычитанием. Обучение сложению и
вычитанию в пределах чисел первого десятка.
Ознакомление со сложением и вычитанием, с приемами прибавления и вычитания
чисел в пределах 10, основанными на свойствах сложения и связи между суммой и
слагаемыми. Усвоение терминологии сложения и вычитания, таблица сложения.
План изучения темы.
Раскрыть суть приемов сложения и вычитания.
Методика работы над приемом (по выбору).
Основные наглядные пособия.
Организация деятельности учащихся.
Изучение устных приемов сложения и вычитания в пределах сотни.
Формирование умения осознанно выполнять сложение и вычитание любых чисел в
пределах 100. Работа над усвоением таблицы сложения и вычитания с переходом через
десяток. Работа над усвоением свойств действий сложения и вычитания.
Подготовительная работа.
План изучения темы: а) 11-20
б) 21-100.
Методика работы над приемами.
Методика работы над свойствами сложения.
 раскрыть суть свойства,
 применение при выполнении упражнений,
 нахождение рациональных приемов вычислений с учетом конкретных случаев.
- Организация деятельности учащихся.
8. Ознакомление учащихся с действиями умножения и деления.
- Усвоение
конкретного
смысла
умножения
и
деления,
терминологии,
переместительного свойства умножения, связи между компонентами, особых случаев.
- План изучения темы.
- Основные наглядные пособия и методические приемы.
9. Обучение табличному умножению и делению.
- Формирование навыков табличного умножения и деления.
- План изучения темы.
- подготовительная работа.
- Методика составления таблицы умножения (пример по выбору).
- Основные наглядные пособия.
10. Обучение внетабличному устному умножению и делению.
- Ознакомление с устными приемами умножения и деления чисел в пределах ста, с
правилами умножения и деления суммы на число и формированием умения
пользоваться ими при устных вычислениях.
- План изучения темы (приемы).
- Методика работы над правилом (а+в)*с (по выбору), (а+в):с.
- Методика работы над приемом (по выбору.
- Основные наглядные пособия и организация деятельности учащихся.
11. Обучение делению с остатком.
- Ознакомление с делением с остатком, формирование вычислительного навыка.
- Подготовительные упражнения.
- Методика работы: а) над усвоением конкретного смысла деления м остатком, б) над
выработкой вычислительного навыка.
12. Формирование навыков письменного сложения и вычитания.
- Обобщение и систематизация знаний учащихся о действиях сложения и вычитания.
Выработка осознанных и прочных навыков письменных вычислений.
- План изучения темы:
 подготовительная работа,
 порядок изучения случаев сложения и вычитания,
 алгоритм сложения,
 методика работы над совершенствованием вычислительного навыка (методические
приемы, упражнения).
13. Формирование навыков письменного умножения.
- Ознакомление с алгоритмом письменного умножения на однозначное, двузначное и
трехзначное числа, со свойством умножения и деления числа на произведение,
формирование соответствующих вычислительных навыков.
- Подготовительная работа.
- Последовательность рассмотрения различных случаев:
 умножение на однозначное число,
 умножение на круглые десятки,
 умножение на двузначное число,
 умножение на трехзначное число.
- Методика работы над приемами.
-
- Алгоритм умножения.
14. Формирование навыков письменного деления на однозначное число.
- Обобщение знаний учащихся о делении как действии, обратном умножению,
знакомство с алгоритмом деления и обработка соответствующего вычислительного
навыка.
- Подготовительная работа.
- План изучения темы (случаи).
- Алгоритм деления на однозначное число.
15. Формирование навыков письменного деления на двузначные и трехзначные
числа.
16. Методика изучения длины и формирование навыков ее измерения.
Ознакомление с единицами длины и их соотношением.
- Формирование конкретного представления о длине отрезка, знакомство с единицами
длины, формирование умения переводить длины, выраженные одними единицами, в
длины, выраженные другими единицами, измерительные навыки, умения складывать и
вычитать длины, умножать и делить на число.
- Этапы работы над понятием длины, выявление представлений о величине, введение
термина, сравнение величин, знакомство с единицами измерения величины и
измерительным прибором, сложение и вычитание длин, выраженных в единицах
одного наименования,. различных наименований, умножение и деление величины на
число.
- Основные наглядные пособия.
17. Формирование представлений о площади фигуры.
- План изучения темы.
- Решение основных задач о площади прямоугольника.
- Основные наглядные пособия.
18. Методика формирования представлений о массе. Единицы массы, их
соотношение.
19. Ознакомление учащихся с единицами времени и их соотношением.
20. Методика изучения числовых выражений и выражений, содержащих
переменную. Обучение порядку действий числовых выражений.
- Формирование умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения с
переменной, вычислять значение выражений в соответствии с правилами выполнения
порядка действий и значение буквенных выражений при данных значениях букв.
Основные виды выражений.
21. Методика изучения числовых равенств и неравенств.
- Ознакомление с равенствами и неравенствами в связи с нумерацией и
арифметическими действиями.
- Сравнение величин, числовых выражений.
- Неравенства, содержащие переменную.
22. Методика ознакомления с уравнениями.
- Формирование умения решения способом подбора, на основании знания взаимосвязи
между результатами арифметических действий.
- Применение уравнений при изучении связи между сложением и вычитанием,
умножением и делением, при решении задач.
23. Формирование наглядных представлений о дроби, сравнение дробей.
- Методика ознакомления с образованием, названием и обозначением долей, решением
задач на нахождение числа по доли и доли от числа.
- Методика введения понятия «дробь», решение основных задач.
24. Обучение учащихся общим приемам решения задач.
- Роль решения текстовых задач при обучении младших школьников математике.
- Формирование понятия «задача».
- Основные этапы работы над текстовой задачей и методика работы над ней.
25. Простые текстовые задачи на сложение и вычитание и обучение их решению.
- Методика работы над обучением решению задач на нахождение суммы и остатка, на
нахождение неизвестного слагаемого, на разностное сравнение чисел, на увеличение и
уменьшение данного числа на несколько единиц.
26. Простые текстовые задачи на умножение и деление и обучение их решению.
- Методика работы над задачами, раскрывающими смысл действия умножения и
деления, задачами на нахождение неизвестного множителя, делимого или делителя,
задачами на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, на кратное, сравнение.
27. Обучение решению задач в два действия.
- Знакомство с составной задачей.
- Виды составных задач в два действия и методика работы над ними.
28. Обучение решению текстовых задач с пропорциональной величиной.
- Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям, на встречное движение,
совместную работу.
29. Методические приемы обучения младших школьников решению задач.
30. Методика ознакомления учащихся с геометрическими фигурами, их
простейшими свойствами, обозначением фигур. Обучение простейшим
геометрическим построениям.