3. аналитическая геометрия

34
3. Аналитическая геометрия
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3.1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат, i , j – единичные направляющие векторы осей координат. Рассмотрим на плоскости 0ху произвольную прямую l.
Уравнением прямой l называется уравнение, содержащее переменные х, у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на l, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на l. Прямая однозначно определяется:
1) точкой и вектором, перпендикулярным l (нормальным вектором);
2) точкой и вектором, параллельным l (направляющим вектором);
3) ее двумя точками;
4) угловым коэффициентом и начальной ординатой.
В каждом из этих случаев получим соответствующий вид уравнения прямой.
Пусть прямая l (рис. 3.1) определена
y
точкой M1(x1, y1), лежащей на l, и нормальn
ным вектором n (т.е. nl ); n  Ai  Bj ,
l
(или, что то же самое, n ={A, B}).
Пусть М(х, у) – любая точка прямой.
М
Тогда вектор M 1M  {x  x1 , y  y1} перпендикулярен вектору n , поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю
М1
( M 1M  n = 0). Выражая это произведение
j
i
через координаты сомножителей, получим:
(3.1)
A( x  x1 )  B( y  y1 )  0 ,
х
0
т.е. уравнение прямой, проходящей через
данную точку М(х1, у1) перпендикулярно
Рис. 3.1
данному вектору n = {A, B}.
Преобразуем уравнение (3.1). Раскрыв скобки и переставив слагаемые, получим:
Ax  By  ( Ax1  By1 )  0 .
Обозначим число (–Ах1 – By1) через С и получим:
Ax  By  C  0
(3.2)
– общее уравнение прямой.
Итак, уравнение прямой (3.1) является уравнением первой степени относительно
переменных х, у (координат произвольной точки М, которые называются текущими координатами).
Покажем, что любое уравнение первой степени (3.2) есть уравнение некоторой
прямой на плоскости 0ху. Для этого приведем уравнение (3.2) к виду (3.1).
Если A  0 , то уравнение (3.2) равносильно уравнению:
A( x  ( C / A))  B ( y  0)  0 .
Если В  0 , то уравнение (3.2) равносильно уравнению:
A( x  0)  B ( y  (C / B ))  0 .
В любом случае получаем уравнение прямой, проходящей через некоторую точку, перпендикулярно известному вектору n ={A, B}.
3. Аналитическая геометрия
35
Итак, уравнение (3.2) является уравнением некоторой прямой. Его коэффициенты y
l
А, В являются координатами нормального
М
вектора.
Если в уравнении (3.2) С = 0, то прямая l
проходит через начало координат. Если А = 0
s
М1
( В  0 , С  0 ), т.е. уравнение имеет вид у =
у1, ( y1  C / B ), то прямая l параллельна оси
0х. Если В = 0 ( А  0 , С  0 ), т.е. уравнение
имеет вид x  x1 , ( x1  C / B ), то прямая l 0
х
параллельна оси 0у. Уравнение у = 0 (А = С =
Рис. 3.2
0) является уравнением оси 0х, а уравнение
x  0 (В = С = 0) – уравнением оси 0y. Пусть прямая l (рис. 3.2) задана своей точкой
M1(x1, y1) и направляющим вектором s  {m, n} ( s || l ) . Тогда векторы
s и M 1M  {x  x1 , y  y1} коллинеарны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.
х  х1 y  y1

.
(3.3)
m
n
Полученное уравнение является уравнением искомой прямой l и называется каноническим.
Может оказаться, что вектор s перпендикулярен одной из осей, тогда, либо
m = 0 ( s 0 x ) , либо n = 0 ( s0 y ) . В этих случаях каноническое уравнение прямой все
равно будем записывать соответственно в виде:
х  х1 y  y1
х  х1 y  y1
.

, либо

0
n
m
0
Пусть прямая l проходит через две заданных точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2)
(рис. 3.3). Тогда векторы M 1M  {x  x1 , y  y1 } и M 1M 2  { x 2  x1 , y 2  y1 } коллинеарны, поэтому уравнение
х  х1
y  y1

х2  х1 у2  у1
(3.4)
является уравнением прямой, проходящей через точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2).
Пусть прямая l пересекает оси координат в точках М1(0, b), М2(a, 0) (рис. 3.4). Зах0 yb

пишем уравнение прямой l в виде (3.4)
, отсюда получаем:
а0 0b
x y
  1.
(3.5)
a b
Уравнение (3.5) называется уравнением прямой в отрезках (а и b – отрезки, отсекаемые прямой l на осях координат).
Пусть прямая l образует с осью 0х угол  (рис. 3.5) и проходит через точку М1(х1,
у1). Запишем каноническое уравнение прямой l, взяв в качестве направляющего вектора
вектор s = {m, n} единичной длины, который составляет с осью 0х угол  . Очевидно,
что т = cos  , n = sin  и уравнение прямой l принимает вид:
x  x1 y  y1

.
cos 
sin 
3. Аналитическая геометрия
36
Если    / 2 (т.е. l неперпендикулярна оси 0х), то из последнего уравнения получаем:
y  y1  tg  ( x  x1 ) .
Пусть k = tg  (это число называется угловым коэффициентом прямой), тогда
можно записать
(3.6)
y  y1  k  ( x  x1 )
уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку
М1(х1, у1).
y
y
y
М2
М1
М1
s
М
M1
s

М2
х
00
l
0
l
х
l

0
x
Рис. 3.3
Рис. 3.4
Рис. 3.5
Если в качестве точки М1 взять точку М0(0, b) пересечение прямой l с осью 0у
(рис. 3.6), то уравнение (3.6) примет вид:
y  kx  b .
(3.7)
Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.
Пример 3.1. Записать всевозможные уравнения прямой, проходящей через точки
М1(2, –3) и М2(1, 0) (рис. 3.7).
Решение. Используя уравнение (3.4), получим уравнение прямой, проходящей
х  2 у 1

через точки М1 и М2:
, отсюда получаем:
1 2 0  3
у
у
М0
l
3

1

0
х
0
Рис. 3.6
х
М2
М1
Рис. 3.7
3. Аналитическая геометрия
37
х2 у3

1
3
– каноническое уравнение прямой. Сделав очевидные преобразования, получим:
3( x  2)  ( y  3)  0
– уравнение прямой l, проходящей через точку М1(2, –3) перпендикулярно вектору
n = {3, 1}. После раскрытия скобок и приведеу
ния подобных слагаемых получим общее уравнение прямой: 3x  y  3  0 . Наконец, выразив отсюда у, получим y  3 x  3 – уравнение с угловым коэффициентом k  3 и начальной ординатой b  3 .
Пример 3.2. Дано общее уравнение прямой l: 3 x  3 y  10  0 . Найти отрезок, отсекаемый этой прямой от оси 0у и угол между l и 1

осью 0х. Построить прямую l.
Решение. Решим данное уравнение отнох
0
1
сительно переменной у, получим:
y   x  10 / 3
Рис. 3.8
– уравнение прямой l с угловым коэффициентом k = tg  = –1 и начальной ординатой
b = 10/3. Значит, прямая l проходит через точку М1(0, 10/3) и составляет с осью 0х угол
 =  / 4 . По этим данным строим прямую l (рис. 3.8).
3.2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
Пусть даны две прямые l1 и l2 на плоскости:
l1 : A1 x  B1 y  C1  0, l 2 : A2 x  B 2 y  C 2  0 .
Чтобы определить их взаимное расположение, достаточно решить систему уравнений:
 А1 х  В1 у  С1  0;
(3.8)

 А2 х  В2 у  С 2  0.
Если эта система имеет единственное решение (х0, у0), то прямые l1 и l2, пересекается в точке М0(х0, у0). Если система (3.8) не имеет решений, то прямые l1 и l2 не пересекаются, следовательно, l1 || l2. Если система (3.8) имеет бесконечное множество решений, то l1 и l2 совпадают.
Однако решить вопрос о взаимном расположении l1 и l2 можно и не решая системы (3.3). Действительно, из общего уравнения прямой l1, находим, что ее нормальный
вектор n имеет координаты А1 и В1 , т.е. n1 = {А1, В1}, а прямая l2 имеет нормальный
вектор n2 = {А2, В2}. Если векторы n1 , n2 коллинеарны, то прямые l1 и l2 либо параллельны, либо совпадают. Если n1 , n2 неколлинеарны, то прямые пересекаются. Зная,
что коллинеарные векторы (и только они) имеют пропорциональные координаты, поА
В
А
В
С
лучаем: если 1  1 , то прямые l1 и l2 пересекаются; если 1  1  1 , то прямые
А2 В 2
А2 В2 С2
А
В
С
l1 и l2 параллельны; если 1  1  1 , то прямые l1 и l2 совпадают.
А2 В 2 С 2
3. Аналитическая геометрия
38
Используя нормальные векторы n1 , n2 можно также найти угол между прямыми,
так как угол между нормальными векторами равен одному из углов  между прямыми
l1 и l2 (рис. 3.9).
у

n2
у
n1
М0
l2
М1

х
0
х
0
l1
Рис. 3.10
Рис. 3.9
Из определения скалярного произведения векторов получаем: cos  
поэтому   arccos 
n1  n2
n1  n2
n1  n2
,
n1  n2
.
Пусть на плоскости заданы прямая l : Ax  By  C  0 и точка М0(х0, у0). Найдем
расстояние d от точки М0(х0, у0) до прямой l (рис. 3.10). Пусть М1(х1, у1) – точка пересечения прямой l и прямой, проходящей через точку М0 перпендикулярно l. Так как М1
лежит на l, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой, таким образом,
имеем тождество:
(3.9)
Ax1  By1  C  0 .
Рассмотрим вектор М1М 0  х0  х1 , у0  у1. Этот вектор коллинеарен нормаль-
ному вектору n = {А1, В1} прямой l и М 1М 0  d , поэтому косинус угла между векторами n и М1М 0 равен либо 1, либо -1. Следовательно, n  M 1M 0   d  n , откуда
d 
n  M 1M 0

A( x0  x1 )  B ( y 0  y1 )

Ax0  By 0  C  ( Ax1  By1  C )
.
n
A2  B 2
A2  B 2
Учитывая тождество (3.9) получаем:
Ax0  By 0  C
Ax  By 0  C
d  0
или d 
.
(3.10)
2
2
2
2
A B
A B
Пример 3.3. Найти расстояние от точки пересечения прямых ll и l2 до прямой l3.
Определить взаимное расположение пар прямых l1, l3 и l2, l3, если прямые заданы общими уравнениями:
l1 : 3 x  2 y  1  0, l2 : x  y  3  0, l3 :  6 x  4 y  3  0.
Решение. Решим систему уравнений:
3х  2 у  1  0;

 х  у  3  0.
Получим: х0 = 1, у0 = 2 – единственное решение. Следовательно, прямые l1 и l2 пересекается в точке М0(1, 2). Используя формулу (3.10), найдем расстояние d от М0 до l3:
3. Аналитическая геометрия
39
d
 6 1  4  2  3

1
.
36  16
52
Нормальные векторы прямых l1, l2 и l3 соответственно будут n1 = {3, –2},
n2 = {1, 1}, n3 = {–6, 4}. Так как координаты n1 и n3 пропорциональны 3/( – 6) = –2/3
и –2/4  1/( –3), то l1 || l3. Для l 2 и l3 имеем: 1/(–6)  1/4, следовательно, l2 и l3 пересекаются.
3.3. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат, i , j , k – единичные направляющие векторы осей координат, соответственно 0х,
0у и 0z. Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость  . Выведем уравнение
этой плоскости, т.е. уравнение, содержащее пеz
ременные х, у, z, которому удовлетворяют коорn
динаты любой точки, лежащей на плоскости 
х
и не удовлетворяют координаты никакой точки,
не лежащей на этой плоскости.
M1
Пусть задана точка М1(х1, у1, z1)  и векk
тор n ={А, В, C} перпендикулярный плоскости
х
M

 (нормальный вектор плоскости). Пусть
i 0
y
M(x, у, z) – произвольная точка, принадлежащая
j
х
плоскости  . Тогда вектор
х
М1М 0  х  х1 , у  у1 , z  z1
перпендикулярен вектору n (рис. 3.11), а поэтому n  M 1M = 0 (условие перпендикулярно- х
Рис. 3.11
сти векторов (см. разд. 2.4)) или
(3.11)
A( x  x1 )  B( y  y1 )  C( z  z1 )  0 .
Итак, координаты любой точки М, лежащей в плоскости  , удовлетворяют этому
уравнению и, легко видеть, что координаты точки, не лежащей в плоскости  , не удовлетворяют уравнению (3.11). Следовательно, уравнение (3.11) является уравнением
плоскости и называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.
Уравнение (3.11) является уравнением первой степени относительно текущих координат х, у, z. Можно показать (аналогично тому, как это было сделано в разд. 3.1),
что всякое уравнение первой степени относительно x, у, z
Ax  By  Cz  D  0
(3.12)
является уравнением некоторой плоскости (оно называется общим уравнением плоскости), причем вектор n ={А, В, C}, является нормальным вектором плоскости.
Если в уравнении (3.12) D = 0, то этому уравнению удовлетворяет тройка чисел
(0, 0, 0), т.е. соответствующая плоскость проходит через начало координат. Нетрудно
видеть, что плоскость 0ху имеет уравнение z  0 , плоскость 0xz – уравнение y  0 , a
плоскость 0yz задается уравнением x  0 .
Известно, что плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими
на одной прямой. Пусть M 1 ( x1 , y1 , z1 )   , M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )   , M 3 ( x3 , y3 , z3 )   и
М(х, у, z) – произвольная точка плоскости  (рис. 3.12). Рассмотрим векторы
М 1 М  х  х1 , у  у1 , z  z1 ,
М 1 М 2  х 2  х1 , у 2  у1 , z 2  z1 , М 1 М 3  х3  х1 , у 3  у1 , z 3  z1 ,
3. Аналитическая геометрия
40
они компланарны, поэтому их смешанное произведение равно 0, т.е.
х  х1
у  у1
z  z1
(3.13)
х2  х1 у 2  у1 z 2  z1  0.
х3  х1 у3  у1 z 3  z1
Это уравнение называется уравнением плоскости по трем точкам.
Пусть плоскость  пересекает оси координат в точках: М1(а, 0, 0), М2(0, b, 0),
M3(0, 0, с). Подставляя их координаты в уравнение (3.13), находим:
xa y z
a
a
b 0  0.
0 c
Вычислив определитель, получим:
bc( x  a)  abz  acy  0 ,
откуда
x y z
   1.
a b c
Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.
Пример 3.4. Построить плоскость, заданную общим уравнением:
2x  3y  6z  6  0 .
Решение. Преобразуем данное уравнение в уравнение в отрезках
2х 3у 6z 6
х у z



или
   1.
6
6
6 6
3 2 1
z
n
z
M2
M1
M3
M3

M
0
0
M2
у
y
M1
х
Рис. 3.13
Рис. 3.12
Видим, что плоскость отсекает на осях 0x, 0y, 0z, соответственно отрезки 3, 2, 1. Следовательно, она проходит через точки
М1(3, 0, 0), М2(0 2, 0), М3(0, 0, 1).
По этим данным легко построить плоскость (рис. 3.13).
x
3. Аналитическая геометрия
41
3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
Пусть плоскости  1 и  2 заданы общими уравнениями:
 1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ,
 2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 ,
n1 и n2 – нормальные векторы этих плоскостей соответственно.
Плоскости  1 и  2 параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторы n1 и n2 коллинеарны. Записывая условие коллинеарности векторов (2.6), полу-
А1 В1 С1 D1
А
В
С
D



, то плоскости параллельны; если 1  1  1  1 ,
А2 В2 С2 D2
А2 В2 С2 D2
то плоскости совпадают.
Если же координаты векторов n1 и n2 не пропорциональны, то плоскости пересекаются по некоторой прямой l. Очевидно, что
 1 2  n1n2  n1  n2  0 .
Отсюда получаем условие перпендикулярности плоскостей
A1 A2  B1B2  C1C2  0 .
Как и для двух прямых на плоскости можно вывести следующую формулу:
n n
A1 A2  B1 B 2  C1C 2
,
соs  1 2 
2
2
2
2
2
2
n1  n 2
A1  B1  C1  A2  B 2  C 2
где  – один из смежных двугранных углов между плоскостями. Расстояние d от точки
М0(х0, у0, z0) до плоскости  : Ax  By  Cz  D  0 вычисляется по формуле:
Ax0  By 0  Cz0  D
d
.
A2  B 2  C 2
Пример 3.5. Составить уравнение плоскости  , проходящей через точку
M1(–1, 2, 5) параллельно плоскости  2 : 2 x  3 y  5  0 .
Решение. Нормальный вектор n ={2, –3, 0} плоскости  2 является также норчаем: если
мальным вектором плоскости  1 . Используя равенство (3.11) получаем:
2( x  1)  3( y  2)  0( z  5)  0
– уравнение плоскости  1 по точке и нормальному вектору. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, найдем 2 x  3 y  8  0 – общее уравнение плоскости.
3.5. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямую линию в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей.
Рассмотрим систему двух уравнений:
 А1 х  В1 у  С1 z  D1  0;
.
(3.14)

 А2 х  В2 у  С2 z  D2  0.
Каждое из уравнений определяет в пространстве плоскость. Если коэффициенты
при переменных x, у, z не пропорциональны, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой l. Координаты любой точки удовлетворяют системе (З.14) тогда и только
тогда, когда точка лежит на прямой l. Поэтому уравнения (3.14) являются уравнениями
прямой l и называются общими уравнениями прямой.
Итак, прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями.
3. Аналитическая геометрия
42
Выведем другие виды уравнений прямой в пространстве.
Пусть задана точка М1(х1, у1, z1), лежащая на прямой l и ее направляющий вектор
s  {m, n, p} ( s l ) . Пусть M(x, y, z) произвольная точка прямой l, тогда векторы
s  {m, n, p} и М 1М  х  х1 , у  у1 , z  z1  коллинеарны и по формуле (2.6) получаем:
x  x1 y  y1 z  z1


(3.15)
m
n
p
– канонические уравнения прямой l (уравнения прямой по точке и направляющему
вектору). Из канонических уравнений, введя параметр t (коэффициент пропорциональности), который может принимать любые действительные значения:
x  x1 y  y1 z  z1


 t,
m
n
p
получаем параметрические уравнения прямой l:
 x  x1  mt;

 y  y1  nt;
 z  z  pt.
1

При изменении параметра t координаты точки М(х, у, z) изменяются и она перемещается по прямой l.
Заметим, что для прямой на плоскости можно вывести аналогичные параметрические уравнения:
 x  x1  mt;

 y  y1  nt.
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (уравнения прямой по
двум точкам) М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2), предлагается вывести самостоятельно, они
имеет вид:
x  x1
y  y1
z  z1


.
x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим.
Пусть прямая l задана уравнениями (3.14), т.е. является линией пересечения плоскостей  1 и  2 , которые имеют нормальные векторы:
n1 = {A1, B1, C1} и n 2 = {A2, B2, C2}
n1
2
l
n2
1
Рис. 3.14
(рис. 3.14). Запишем канонические уравнения
прямой l. Для этого из системы (3.14) найдем
одно решение (х1, у1, z1) – координаты точки
М1(х1, у1, z1), лежащей на l (система (3.14)
имеет бесконечное множество решений). Поскольку
n1 1 , n2  2 , n1l , n2 l ,
поэтому вектор s  n1  n2 параллелен прямой l, следовательно, s – направляющий
вектор l. Координаты вектора s найдем по
формуле (2.10), вычислив векторное произведение:
3. Аналитическая геометрия
43
i
s  n1  n2  A1
A2
j
B1
B2
k
C1 .
C2
Подставив найденные числа в уравнения (3.15), получим канонические уравнения
прямой l.
Пример 3.6. Прямая l является пересечением плоскостей:
и
 2 : х + у – 2z – 1 = 0.
 1 : 2х – у + z – 4 = 0
Найти канонические уравнения прямой l.
Решение. 1) Решим систему уравнений:
2 x  y  z  4  0;

 x  y  2 z  1  0;

z
0

получим тройку чисел (–1, 2, 0) – точку пересечения прямой l с координатой плоскостью 0ху.
2) Найдем направляющий вектор прямой l:
i
j
k
s  n1  n2  2  1 1  i  5 j  3k .
1 1 2
Подставляя полученные данные в уравнения (3.15), находим:
х 1 y  2 z


1
5
3
канонические уравнения прямой l.
3.6. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ДВУХ ПРЯМЫХ,
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями:
x  x2 y  y 2 z  z 2
x  x1 y  y1 z  z1




, l2 :
l1 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
Направляющие векторы этих прямых соответственно будут:
s1  {m1 , n1 , p1 } и s 2  {m 2 , n 2 , p 2 }
Углом между прямыми называется угол между прямыми, проведенными параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из смежных углов, очевидно, будет равен углу  между направлявшими векторами s1 и s 2 , который вычисляется по формуле (2.4):
m1m2  n1n2  p1 p2
соs 
.
2
2
2
2
2
2
m1  n1  p1  m2  n2  p2
Условия параллельности и перпендикулярности прямых совпадают, соответственно с условиями параллельности или перпендикулярности векторов s1 и s 2 .
Чтобы определить взаимное расположение прямых l1 и l2 и найти точку их пересечения (если они пересекаются), достаточно решить систему уравнений с тремя неизвестными:
3. Аналитическая геометрия
44
 x  x1 y  y1 z  z1
 m  n  p ;
 1
1
1

 x  x2  y  y 2  z  z 2 .
 m2
n2
p2
Если эта система имеет единственное решение х0, у0, z0, то прямые пересекаются в
точке М0(х0, у0, z0).
Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают.
Если система не имеет решений, то прямые l1 и l2 не имеют общих точек, а потому
либо параллельные, либо скрещивающиеся. Пусть заданы плоскость  и прямая l:
x  x1 y  y1 z  z1
 : Ax  By  Cz  D  0 , l:


.
m
n
p
Если система из этих трех линейных уравнений с тремя неизвестными х, у, z имеет единственное решение, то l и  пересекаются; если система несовместна, то l  ;
если система имеет бесконечное множество решений, то прямая l лежит в плоскости  .
Условие параллельности l и  совпадает с условием перпендикулярности векторов s  {m, n, p} и n  { A, B, C} , т.е. s  n  mA  nB  pC  0.
Условие перпендикулярности l и  будет выглядеть так:
A B C
  . (Убедитесь в этом!).
m n p
Пример 3.7. Выяснить взаимное расположение прямой l и плоскости
 1 , l и  2 , l и  3 , если они заданы уравнениями:
x 1 y 1 z  5


;
2
3
2
 1 : 2 x  3 y  2 z  2  0;  2 :  x  z  7  0;  3 : 3 x  4 y  3 z  22  0.
Решение. Запишем уравнения прямой l в параметрической форме:
 x  1  2t ;

(3.16)
 y  1  3t ;
 z  5  2t.

1) Подставим эти выражения в уравнение плоскости  1 , получим:
2(1  2t )  3(1  3t )  2(5  2t )  0 .
Решая это уравнение, получим t1 = 1. Подставим это значение в систему (3.16) получим x1  3 , y1  2 , z1  7 . Следовательно, прямая и плоскость пересекаются в точке
М1(3, 2, 7).
2) Подставим х, у, z из (3.16) в уравнение плоскости  2 :
 (1  2t )  (5  2t )  7  0  0  t  11.
Получили противоречивое уравнение, значит, соответствующая система решений
не имеет, а поэтому l | |  2 .
l:
3) Подставим х, у, z из системы (3.16) в уравнение плоскости  2 :
3(1  2t )  4(1  2t )  0  t  0 ,
отсюда видно, что параметр t может принимать любые значения, при этом соответствующая точка прямой l принадлежит плоскости  3 . Значит, прямая l лежит в плоскости
 3.
3. Аналитическая геометрия
45
3.7. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОКРУЖНОСТЬ
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.
Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае
это уравнение имеет вид:
(3.17)
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  L  0,
где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно
из чисел А, B, С отлично от нуля.
В дальнейшем будут рассмотрены четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
y
Окружностью называется множество точек
на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М0(х0, у0) постоянно и равно R. Точка
M0
R
М0 называется центром окружности, а число R – ее
радиусом (рис. 3.15).
M
Получим уравнение окружности. Пусть М(х, у)
есть произвольная точка окружности. Тогда по
определению |M0М| = R или
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  R.
0
Возводя обе части равенства в квадрат, получим:
Рис. 3.15
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  R 2
– уравнение окружности с центром в точке М0(х0, у0) и радиусом R.
Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:
x
x2  y2  R2
– каноническое уравнение окружности.
Рассмотрим уравнение (3.17) при условии А = С  0, В = 0. После деления этого
уравнения на А и переобозначения коэффициентов получим уравнение:
x 2  y 2  2ax  2by  c  0 .
Выделим в нем полные квадраты ( x 2  2 ax  a 2 )  ( y 2  2by  b 2 )  a 2  b 2  c
или ( x  a) 2  ( y  b) 2  a 2  b 2  c .
Если a 2  b 2  c  0 , то обозначив a 2  b 2  c через R2, получим уравнение
окружности: ( x  a) 2  ( y  b) 2  R 2 с центром в точке М0(а,b) радиуса
R  a 2  b 2  c.
Если a 2  b 2  c  0 , то уравнение: ( x  a) 2  ( y  b) 2  0 задает только точку
М0(а, b).
Если a 2  b 2  c  0, то никакого геометрического образа нет.
3.8. ЭЛЛИПС
Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых
сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами
эллипса.
Обозначим фокусы F1, F2 и расстояние между ними через 2с, т.е. F1 F2  2c . Выберем декартову систему координат так, чтобы ось 0х прошла через фокусы, а начало
3. Аналитическая геометрия
46
координат совпадало с серединой отрезка F1F2, (рис. 3.16). Тогда фокусы будут иметь
координаты F1(с, 0), F2(–с, 0). Обозначим через М(х, у) произвольную точку эллипса.
По определению эллипса сумма расстояний MF1  MF2 есть величина постоянная,
обозначим ее через 2а (по условию 2а > 2с, т.е. а > с). В равенстве:
MF1  MF2 = 2а
у
выразим расстояния MF1 , MF2
динаты точки М, получим:
M
F2
0
F1
через коор-
( х  с) 2  у 2  ( х  с) 2  у 2  2а.
Чтобы избавиться от иррациональностей,
перенесем один из радикалов в правую часть
равенства и возведем обе части в квадрат:
х
2
2
 ( х  с) 2  у 2    2а  ( х  с) 2  у 2  .




После очевидных преобразований получим:
Рис. 3.16
а ( х  с) 2  у 2  а 2  сх.
Возведем еще раз это равенство в квадрат и упростим:
a 2 (( x  c ) 2  y 2 )  ( a 2  cx ) 2 ,  , ( a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 ( a 2  c 2 ).
Разделим обе части равенства на a 2 (a 2  c 2 ) :
х2
у2

 1.
а2 a2  c2
Поскольку a  c  0 , то a 2  c 2 и a 2  c 2  0 . Пусть a 2  c 2  b 2 , тогда из последнего равенства получим:
х2 у2
(3.18)

1
а2 b2
– каноническое уравнение эллипса.
Установим форму эллипса, используя его уравнение. В каноническом уравнении
(3.18) текущие координаты х, у входят лишь в четных степенях, следовательно, эллипс
симметричен относительно осей 0х, 0у и начала координат. Оси симметрии эллипса
называются его осями, точка пересечения осей – центром эллипса.
Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Решая совместно систему
уравнений
 х2 у2
 2  2  1;
b
а
y  0

получим: x 2 / a 2  1, x 2  a 2 , x   a. Следовательно, с осью 0х эллипс пересекается в точках А1(а, 0), А2(– а, 0). Аналогично находим, что эллипс пересекается с осью 0у
в точках В1(0, b), В2(0, –b). Найденные точки называется вершинами эллипса, отрезки
А1А2, В1В2 – большой и малой осями соответственно.
Определим форму эллипса в первой четверти, для этого разрешим уравнение эллипса (3.18) относительно переменной у:
b
y
a2  x2 .
a
3. Аналитическая геометрия
47
Отсюда для первой четверти имеем 0  x  a . При возрастании х от 0 до а переменная у
уменьшается от b до 0. Воспользовавшись симметрией эллипса, изобразим его полностью (рис. 3.17).
х2 у2
Заметим, что уравнение 2  2  1 при b  a также задает эллипс, только его
а
b
фокусы будут расположены на оси 0у и поэтому b – большая полуось, а – малая полуось.
Отношение c / a называется эксцентриситетом эллипса и обозначается:  ,
  c / a . Так как c  a , то  < 1.
Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Из формулы b 2  a 2  c 2 получаем:
(b / a) 2  1  (c / a) 2 , (b / a) 2  1   2 .
Следовательно, с уменьшением  отношение b / a стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном
случае при   0  b  a , получается окружность, уравнение которой есть
х2 + у2 = а2 .
y
y
3
B1
A2
F2
0
3
F1
A1
x
 6
 3
6
x
–3
B2
Рис 3.18
Рис. 3.17
Пример 3.8. Построить кривую:
9х2 + 6у2 = 54 .
Решение. Разделим обе части уравнения на 54, получим:
х2 у2

1
6
9
– каноническое уравнение эллипса с малой полуосью а = 6 и большой полуосью
b = 3. Фокусы эллипса лежат на оси 0у. В этом случае a 2  b 2  c 2 , следовательно,
c 2  b 2  a 2 , т.е. с = 3 . Фокусы эллипса имеют координаты F1(0, 3 ), F2(0, – 3 )
(рис. 3.18).
3.9. ГИПЕРБОЛА
Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых
абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).
Пусть F1, F2 – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с, F1F2  2c.
Выведем уравнение гиперболы. Для этого выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось 0х прошла через фокусы F1, F2 (рис. 3.19).
3. Аналитическая геометрия
48
Тогда фокусы F1, F2 будут иметь координаты F1(с, 0), F2(–с, 0). Обозначим через
М(х, у) произвольную точку гиперболы. По определению гиперболы F1M  F2 M есть
величина постоянная. Обозначим ее через 2а (по условию 2а < 2с  а < с).
Подставляя в формулу: F1M  F2 M = 2а вместо |F1M| и |F2M| их выражения через координаты получим:
( х  с) 2  у 2  ( х  с) 2  у 2  2а.
у
M
Избавимся от иррациональности так же, как
делали в разд. 3.18 для эллипса, в итоге получим:
(a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (a 2  c 2 ).
Поскольку a  c , то c 2  a 2  0 . Обозначим
c 2  a 2  b 2 и подставим в предыдущее равенство:  b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 . Разделив обе части
2 2
F2
0
F1
х на  a b , имеем:
x2 y2
(3.19)

1
a2 b2
Рис. 3.19
– каноническое уравнение гиперболы.
Исследуем свойства и начертим гиперболу, используя уравнение (3.19).
Четность степеней х и у в (3.19) указывает на то, что гипербола симметрична относительно осей 0х, 0у и начала координат.
Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии, совпадающие в нашем случае с осями координат. В дальнейшем оси симметрии гиперболы будут называться
осями гиперболы. Для нахождения точек пересечения с осью 0х решим систему:
 х2 у2
 2  2  1;
b
а
 y  0.

х


а
Получим:
. Следовательно, гипербола пересекает ось 0х в точках: А1(а, 0),
А2(–а, 0), называемых вершинами гиперболы. Отрезок А1А2 называется действительной осью, число а – действительной полуосью. Из системы
 х2 у2
 2  2  1;
b
а
х  0

получаем: –у2 = b2 – противоречивое уравнение. Значит, гипербола не имеет пересечения с осью 0у. Отрезок, соединяющий точки В1(0, b), В2(0, –b), называется мнимой
осью, а число b – мнимой полуосью.
Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первой четверти. Для этого разрешим уравнение (3.19) относительно у, получим:
b
у
x2  a2 .
a
Для рассматриваемой части гиперболы х > а и при возрастании х от а до +  у
возрастает от 0 до +  .
3. Аналитическая геометрия
49
Введем вспомогательную прямую у 
аргумента х значения функции у 
b
x и сравним для одних и тех же значений
a
b
x 2  a 2 и значения ординаты взятой прямой
a
b
x (ординату прямой обозначим Y, чтобы отличать от ординат точек гиперболы).
a
b
x 2 ), т.е. гипербола в первой четОчевидно, что Y  y (если представить Y 
a
b
верти располагается ниже прямой у  x (рис. 3.20). Покажем, что при возрастании х
a
гипербола приближается к прямой как угодно близко. Для этого вычислим разность
Y  y для одних и тех же значений переменной х:
у
b
b 2
b( x  x 2  a 2 )( x  x 2  a 2 ) b( x 2  ( x 2  a 2 ))
ba
x
x  a2 


.
a
a
a( x  x 2  a 2 )
a( x 2  x 2  a 2 ) x  x 2  a 2
При неограниченном возрастании х знаменатель дроби неограниченно возрастает,
а числитель остается постоянным, поэтому дробь стремится к 0 т.е. точки М1(х, Y) и
М2(х, у) сближаются как угодно близко.
b
Из симметрии гиперболы следует, что имеется еще одна прямая у   x , к котоa
рой точки гиперболы приближаются неограниченно при стремлении х к –  . Прямые
b
b
у  x и у   x называются асимптотами гиперболы. Используя симметрию,
a
a
строим гиперболы (рис. 3.21).
Yy
у
у
М1
b
М2
b
0
a
F2
а
F1 х
х
Рис. 3.20
Рис. 3.21
Практический совет. Прежде чем строить гиперболу, постройте ее асимптоты.
x2 y2
Заметим, что уравнение  2  2  1 также задает гиперболу, у которой будут те
a
b
b
b
же асимптоты у  x и у   x , но b – действительная полуось, а а – мнимая полуa
a
ось, фокусы F1 и F2 лежат на оси 0у.
Отношение c / a называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается  ,
т.е.   с / а . Так как c  a , то   1. Из формулы b 2  c 2  a 2 имеем: c 2  a 2  b 2 ,
2
2
с
b
      1, т.е.
а
а
2
b
    2 1.
а
3. Аналитическая геометрия
50
Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы.
При b  a (   2 ) имеем равнобочную гиперболу, уравнение которой: x 2  y 2  a 2 .
k
у
Рассмотрим график функции
(или кривую второго порядка
x
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  L  0 при А = С = D = Е = 0). Перейдем к новым координатам X, Y путем поворота системы координат 0ху на угол  /4, получим формулы перехода:
2
2
х
( Х  Y ), у 
(Х  Y).
2
2
Подставим эти х, у в уравнение ху = k:
2
2
(Х Y)
( Х  Y )  k или х 2  у 2  2 k .
2
2
k
Таким образом, у  является равнобочной гиперболой, действительная полуось
x
которой при k < 0 лежит на оси 0Y (рис. 3.22), при k > 0 – на оси 0X (рис. 3.23) в новой
системе координат 0XY.
Y
у
0
Х
у
Y
х
0
Рис. 3.22
Х
х
Рис. 3.23

 Dx  Ey  L  0 коэффициЕсли в уравнении второго порядка:
енты В = 0, А и С – разных знаков, то после выделения полных квадратов получим
уравнение: А( х  х0 ) 2  С ( у  у0 ) 2  Т . При Т  0 получаем гиперболу, при Т = 0 –
пару прямых. Например, при А = 1, С = –l, Т = 0 имеем:
( х  х0 ) 2  ( у  у 0 ) 2  0 ,
у
отсюда
( х  у  х0  у0 )( х  у  х0  у0 )  0 .
3
Следовательно, уравнение
( х  х0 ) 2  ( у  у 0 ) 2  0
4
F2
F1 х задает две прямые:
х  у  х0  у 0  0 и х  у  х0  у 0  0 .
Пример 3.9. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 8, а между фокусами – 10. Сделать
Рис. 3.24
чертеж.
Ax 2
Bxy  Cy 2
3. Аналитическая геометрия
51
Решение. 2a  8 , 2c  10 , отсюда a  4 , c  5 .
b  c 2  a 2  25  16  9  3 .
3
3
Проведем асимптоты: y  x и y   x и построим ветви гиперболы (рис. 3.24).
4
4
3.10. ПАРАБОЛА
Параболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых
расстояние до данной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой).
Пусть F – фокус, l – директриса параболы, р –
у
расстояние от фокуса F до директрисы l (назовем р паN
M
раметром параболы). Выведем уравнение параболы.
Выберем ось 0х так, чтобы она проходила через фокус F перпендикулярно l, а начало системы
координат расположим в середине перпендикуляра,
p
опущенного из F на l (рис. 3.25). Тогда фокус имеет
координаты F( p / 2 , 0), а директриса описывается
х
F
0
уравнением x   p / 2 .
Пусть М(х, у) – произвольная точка параболы,
l
тогда по определению параболы расстояние MN от М
до l равно расстоянию MF от М до фокуса (MN = MF):
Рис. 3.25
MN  p / 2  x , MF  ( x  p / 2) 2  y 2 .
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим: ( р / 2  х) 2  ( х  р / 2) 2  у 2 .
После упрощения найдем:
(3.20)
у 2  2 рх
– каноническое уравнение параболы.
По уравнению (3.20) исследуем свойства параболы и начертим ее. Из четности
степени у в (3.20) следует, что парабола симметрична относительно оси 0х. Парабола
проходит через начало координат, так как х = 0 и у = 0 удовлетворяют уравнению
(3.20). Далее, х  0 (так как р > 0), поэтому парабола лежит правее оси 0у. В первой
четверти парабола задана равенством у  2 рх , откуда видим, что с возрастанием х
возрастает и у. Используя симметричность параболы, изображаем её (рис. 3.26).
Заметим, что уравнение y 2  2 px при отрицательном р также задает параболу,
которая будет расположена слева от оси 0у (рис. 3.27). Уравнение x 2  2 py описывает
параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.
Пример 3.10. Найти уравнение параболы, которая симметрична относительно оси
0х, проходит через начало координат и точку М(1, –4).
Решение. Уравнение этой параболы имеет вид y 2  2 px , надо найти только параметр р. Координаты точки М(1, –4) удовлетворяют этому уравнению, поэтому
(4) 2  2 p  1 , откуда p  16 / 2  8 . Получаем y 2  16 x – уравнение искомой параболы.
Рассмотрим общее уравнение второго порядка:
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  L  0 .
3. Аналитическая геометрия
52
l
у
0
у
F
х
l
0
F
х
Рис. 3.27
Рис. 3.26
Если В = 0, С = 0 и Е  0, то
А 2 D
L
х  х .
(3.21)
Е
Е
Е
Получили квадратичную функцию (квадратный трехчлен), перейдем к обычным обозначениям: y  ax 2  bx  c . Из школьного курса математики известно, что графиком
квадратного трехчлена (3.21) является парабола с вершиной в точке М0(  b / 2a ,
(4ac  b 2 ) / 4a ), с осью симметрии, параллельной оси 0у (выясняется это с помощью
выделения полного квадрата).
у
3.11. УПРОЩЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Мы рассмотрели четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Рассматривая общее уравнение второго порядка:
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  L  0
при отсутствии члена Вху (исследовали случай при В = 0), мы видели, что данное уравнение при различных соотношениях между коэффициентами А, С, D, Е может описывать либо одну из перечисленных четырех кривых, либо точку, либо пару пересекающихся прямых, либо не определять ничего. Кроме перечисленных случаев, уравнение
(3.17) может определять еще две параллельные прямые или одну прямую (например,
уравнение x 2  2 x  1  0 задает прямую x  1 ).
Пусть теперь уравнение (3.17) содержит член с произведением ху (т.е. В  0). Покажем, что можно, осуществляя поворот системы координат, перейти к новым координатам так, что уравнение (3.17) в новых координатах не будет содержать члена с произведением координат ху.
Если новая система 0XY получается из старой 0ху поворотом на угол  , то переход от старых координат к новым происходит по формулам:
 x  X cos   Y sin  ;
(3.22)

 y  X sin   Y cos  .
При подстановке х, у по формулам (3.22) в уравнение (3.17) слагаемые Dx и Еу дадут
лишь первые степени Х и Y. Поэтому преобразуем сумму Ax 2  Bxy  Cy 2 :
Ax 2  Bxy  Cy 2  A( X cos   Y sin  ) 2 
 B( X cos   Y sin  )( X sin   Y cos  )  C ( X sin   Y cos  ) 2 
 ( A cos 2   B sin  cos   C sin 2  ) X 2  (2 A sin  cos  
 B cos 2   B sin 2   2C sin  cos  ) XY  ( A sin 2   B sin  cos   C cos 2  )Y 2 .
Преобразуем коэффициент при XY:
3. Аналитическая геометрия
53
 2 A sin  cos   B cos 2   B sin 2   2C sin  cos  
  A sin 2  B cos 2  C sin 2  (C  A) sin 2  B cos 2 .
Выберем угол поворота  так, чтобы этот коэффициент был равен нулю:
(C  A) sin 2  B cos 2  0 .
Это всегда возможно. Действительно, при С = А будет cos 2  0 , следовательно,
B
1
B
   / 4; при C  A, tg 2 
.
, следовательно,   arctg
AC
2
AC
Итак, с помощью поворота системы координат получили, что в новых координатах уравнение (3.17) не содержит члена с произведением координат ху. Выделяя далее
полные квадраты, приведем уравнение к каноническому виду.
Известно, что уравнение (3.17) может описывать только перечисленные ранее линии.
3.12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СФЕРА*
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат 0xyz.
Поверхность называется поверхностью второго порядка, если она задается уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z.
Сферой называется множество точек в пространстве, удаленных от данной точки
(называемой центром) на одно и то же расстояние (называемое радиусом).
Выведем уравнение сферы. Пусть S(a, b, с) – центр сферы, R – радиус сферы,
М(х, у, z) – произвольная точка сферы. По определению сферы | SM |  R . Так как
SM  ( х  а) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2 , то получаем:
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, имеем:
( х  а) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R .
( х  а) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2
– уравнение сферы с центром в точке S(a, b, c) и радиусом R. Если центр совпадает с
началом координат 0(0, 0, 0), то получаем
x2  y 2  z 2  R2
– каноническое уравнение сферы.
3.13. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ*
Цилиндрической поверхностью называется множество всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l. Линия L называется направляющей для цилиндрической поверхности, а прямые, составляющие ее (параллельные
прямой l), называются ее образующими (рис. 3.28).
z
L
l
y
0
M
x
Рис. 3.28
L
Рис. 3.29
M0
3. Аналитическая геометрия
54
Зададим в пространстве систему координат 0хуz, направляющую линию L будем
располагать в одной из координатных плоскостей (например, в плоскости 0ху), а образующие направим параллельно оси координат, которая перпендикулярна этой плоскости (ось 0z).
Пусть в плоскости 0ху задана линия L с уравнением F(x, y) = 0 (рис. 3.29). Построим цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующими, параллельными 0z. Покажем, что эта цилиндрическая поверхность задается тем же уравнением
F(x, y) = 0, что и направляющая линия L, если точки рассматривать в пространстве.
Пусть М(x, у, z) – произвольная точка цилиндрической поверхности, а М0 – ее
проекция на плоскость 0ху, она является точкой пересечения L и образующей, проходящей через М, поэтому точки М и М0 имеют одну и ту же абсциссу х, одну и ту же ординату у. Поскольку М0 лежит на линии L, то ее координаты х, у удовлетворяют уравнению F(x, у) = 0, поэтому и координаты точки М(х, у, z) также удовлетворяют этому
уравнению (ведь z в нем не встречается). Координаты всякой точки, не лежащей на
данной цилиндрической поверхности, не будут удовлетворять уравнению F(x, у) = 0,
так как эти точки не будут проецироваться на линию L.
Итак, данная цилиндрическая поверхность в пространстве задается уравнением:
F(x, у) = 0 (как и ее направляющая L в плоскости 0ху).
В пространстве 0xyz линия L будет задаваться системой уравнений:
 F ( x, y )  0;

 z  0.
z
z
3
L
1
0
1
2
L
x
Рис. 3.30
x
y
0
y
Рис. 3.31
z
z
y
y
x
0
Рис. 3.32
x
0
Рис. 3.33
3. Аналитическая геометрия
55
Нас интересуют цилиндрические поверхности второго порядка, следовательно, их
направляющими будут: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Сами поверхности
будут называться соответственно: круговым цилиндром, эллиптическим цилиндром,
гиперболическим цилиндром и параболическим цилиндром.
Примеры цилиндрических поверхностей:
1) Направляющая L в плоскости 0ху имеет уравнение x 2  y 2  1 , т.е. является
окружностью, образующие параллельны 0z. Имеем круговой цилиндр (рис. 3.30).
х2 z2

 1,
2) Направляющая линия L – эллипс в плоскости 0xz с уравнением
4
9
образующие параллельны оси 0у. Имеем эллиптический цилиндр (рис. 3.31).
z2 y2

 1 , имеет направ3) Гиперболический цилиндр, заданный уравнением
9
4
ляющей линией гиперболу в плоскости 0yz с действительной полуосью a  3 и мнимой
полуосью b  2 . Образующие параллельны оси 0х (рис. 3.32).
4) Для параболического цилиндра (рис. 3.33) направляющей линией является парабола: y 2  z , лежащая в плоскости 0yz, его образующие параллельны оси 0х.
3.14. КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ*
Конической поверхностью называется множество прямых, проходящих через
данную точку Р и пересекающих данную линию L. Точка Р называется вершиной, линия L – направляющей, а прямые – образующими конической поверхности (рис. 3.34).
z

L
M0
Р
M
0
y
x
L
Рис. 3.34
Рис. 3.35
Рассмотрим коническую поверхность второго порядка, у которой вершиной будет
служить начало координат 0(0, 0, 0), а в качестве направляющей L будет эллипс, расположенный в плоскости  , параллельной плоскости 0ху и отстоящей от нее на расстоянии с (рис. 3.35). Такой эллипс задается системой:
 х2 у2
 2  2  1;
(3.23)
b
а
 z  c.

Выведем уравнение этой конической поверхности. Пусть М(х, у, z) – произвольная точка поверхности, М0(х0, у0, z0) – точка пересечения эллипса с образующей ОМ.
Координаты точки М0 удовлетворяют системе (3.23), поэтому
x02 y02
z 0  c,

 1.
(3.24)
a2 b2
3. Аналитическая геометрия
56
x0
y0
z0
x
y
z


или

 . Выx0  0 y 0  0 z 0  0
x0 y 0 c
yc
х
z
xc y
z
разим из этих уравнений х0 и у0:
.
 , отсюда x0  ;
 , получаем y 0 
z
х0 c
z y0 c
Подставим найденные значения х0, у0 в равенство (3.24):
x 2c 2 y 2c 2

 1.
a2 z 2 b2 z 2
z2
Умножим последнее равенство на 2 :
c
2
х
у2 z2
(3.25)


.
а2 b2 c2
Уравнение (3.25) является уравнением конуса второго порядка.
В частности, если a  b , то имеем круговой конус, который задается уравнением:
х2 у2 z2


.
а2 a2 c2
Запишем уравнения прямой ОМ0:
3.15. ЭЛЛИПСОИДЫ*
Эллипсоидом называется поверхность, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением
х2 у2 z2
(3.26)


 1.
а2 b2 c2
Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида.
Выясним форму эллипсоида. Поскольку текущие переменные х, у, z входят в
уравнение (3.26) в четных степенях, эллипсоид симметричен относительно каждой координатной плоскости. Рассмотрим сечение эллипсоида координатными плоскостями.
Плоскость 0ху имеет уравнение z  0 , поэтому сечение эллипсоида плоскостью 0ху задается системой уравнений:
z
 х2 у2 z2
 2  2  2  1;
b
c
а
c

z  0,

откуда имеем
 х2 у2
 2  2  1;
y
0
b
(3.27)
b
а

a
z  0.

Система (3.27) показывает, что плоскость 0ху
пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а, b.
x
Аналогично для плоскостей 0yz, 0xz соответственРис. 3.36
но получаем в сечении эллипсы:
у2 z2
х2 z2


1
и

 1.
b2 c2
а2 c2
Можно показать, что любая плоскость, параллельная координатной плоскости,
пересекает эллипсоид по некоторому эллипсу. Общий вид эллипсоида представлен на
рис. 3.36.
3. Аналитическая геометрия
57
3.16. ГИПЕРБОЛОИДЫ*
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением
х2 у2 z2
(3.28)


 1.
а2 b2 c2
Эта поверхность имеет три плоскости симметрии (координатные плоскости). Выясним, какую форму имеет однополостный гиперболоид, для этого рассмотрим сечения
его координатными плоскостями. В плоскости 0yz получаем:
 у2 z2
z
 2  2  1;
(3.29)
c
b
х  0

c
– гиперболу с действительной полуосью b и
мнимой полуосью с (в плоскости 0уz) (рис.
3.37). Аналогично,
 х2 z2
 2  2  1;
(3.30)
c
а
 у  0.

y
b
В сечении гиперболоида плоскостью 0xz
a
также получаем гиперболу с действительной
полуосью а и мнимой полуосью с. Пересекая
гиперболу плоскостью 0ху в сечении получаем x
эллипс:
 х2 у2
 2  2  1;
b
а
Рис. 3.37
z  0

с полуосями а и b. Всякая плоскость, параллельная плоскости 0ху (она имеет уравнение
z = h, h  R), пересекает однополостный гиперболоид по линии:
 х2 у2 z2
 2  2  2  1;
(3.31)
b
c
а
 z  h.

Преобразуем систему (3.31):
 х2 у2
h2
 2  2  1 2 ;
(3.32)
b
c
а
 z  h.

Система (3.32) задает эллипс (рис. 3.37), лежащий в плоскости z = h и имеющий
h2
h2
и
b
1

.
c2
c2
Однополостный гиперболоид (3.28) не пересекает ось 0z, она служит осью симметрии для гиперболы (3.29) и гиперболы (3.30) и называется осью гиперболоида (3.28).
х2 у2 z2
Уравнение 2  2  2  1 также задает однополостный гиперболоид, но его осью
а
b
c
х2 у2 z2
служит 0у, а для однополостного гиперболоида  2  2  2  1 осью является ось 0х.
а
b
c
своими полуосями: a 1 
3. Аналитическая геометрия
58
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:
х2 у2 z2


 1.
а2 b2 c2
Рассмотрим сечения этой поверхности координатными плоскостями:
 х2 z2
 z2 x2
 2  2  1;
 2  2  1;
(3.33)
или
а
c
a

c
z
y  0
 y  0;


 y2 z2
z2 y2
 1;
 2  2  1;
 
(3.34)
или  c 2 b 2
c
b
x  0
 x  0.


Система (3.33) задает в плоскости 0xz гиb
перболу с действительной полуосью с и мнимой
0
y полуосью а, система (3.34) – в плоскости 0уz
a
также гиперболу с действительной полуосью с и
мнимой – b. С плоскостью 0ху двуполостный гиx
перболоид пересечения не имеет. Действительно,
 х2 у2
 1;
 
системе:  а 2 b 2
не удовлетворяет ни одz  0

Рис. 3.38
на точка пространства.
Рассмотрим сечение этого гиперболоида плоскостью, параллельной 0ху и удален х2 у2 z2

 1
 
ной от нее на расстояние h ( h  c) :  а 2 b 2 c 2
. Из этой системы получаем сиz  h

2
2
2
х
у
z
 
 1  2
стему:  а 2 b 2
c , которая задает эллипс (рис. 3.38) в плоскости z = h с полу
z  k
h2
h2
осями a 2  1 и b 2  1 .
c
c
Ось 0z является общей осью симметрии для гипербол (3.33) и (3.34) и называется
осью двуполостного гиперболоида. Уравнения:
х2 у2 z2
(3.35)


 1,
а2 b2 c2
х2 у2 z 2
 2  2  2  1,
(3.36)
а
b
c
также задают двуполостные гиперболоиды, для (3.35) осью служит 0у, а для (3.36) – 0x.
3.17. ПАРАБОЛОИДЫ*
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:
x2 y2

 2z ,
(3.37)
p
q
где р и q одного знака.
3. Аналитическая геометрия
59
Пусть p  0 , q  0 , тогда z  0, причем z = 0 при х = 0 и у = 0. Следовательно, с
плоскостью 0ху эта поверхность имеет единственную общую точку 0(0, 0, 0). Рассмотрим сечение параболоида плоскостью z = h, h  0 (эта плоскость параллельна плоскости 0ху):
z
 x2 y2
 2 z;
 
h
q
p
 z  h.

Видим, что сечение – эллипс с полуосями
2 ph и 2qh . Сечения с плоскостями 0ху и
0уz являются параболами:
 x2
 y2

2
z
;
y

  2 z;
0
и q
p
y  0
 x  0,


x
причем 0z является их общей осью (рис. 3.39).
Рис. 3.39.
Oсь 0z является осью параболоида (3.37). Если
p  0 , q  0 , то параболоид будет располагаться ниже плоскости 0ху.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой
имеет вид:
x2 y2

 2z ,
(3.38)
p
q
где р и q одинакового знака.
Пусть p  0 , q  0 . Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями 0xz и 0yz,
 y2
x2
 2z
 2z


и L2 :  q
получим, соответственно, параболы L1 :  p
, причем ветви перy  0
x  0


вой направлены вверх, а ветви второй – вниз (рис. 3.40). С плоскостью 0ху параболоид
z
y
L1
L3
L3
x
L2
L4
L4
Рис. 3.40
3. Аналитическая геометрия
60
x2 y2

0

имеет сечение  p
, что равносильно двум системам:
q
z  0

y
y
 x
 x

 0;

 0;


p
q
p
q
(3.39)
и


z  0
 z  0.


Системы (3.39) задают в плоскости 0ху две прямые, проходящие через начало координат.
Пусть плоскость  параллельна 0ху и удалена от нее на h ( h  0 ), тогда в пересечении с параболоидом (3.38) получится гипербола
 x2
y2

 1;

(3.40)
 2hp 2hq
 z  h.

При h  0 гипербола (3.40) имеет действительную полуось 2hp , мнимую полуось
2hq (рис. 3.40, L3). При h  0 гипербола (3.40) имеет действительную полуось
 2hq , а мнимую –
 2hp (рис. 3.40, L4).
3.18. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ*
Пусть линия L лежит в плоскости 0ху и задается в пространстве системой
 F ( x, y )  0;

 z  0.
Рассмотрим поверхность, образованную вращением линии L вокруг оси 0у
(рис. 3.41), и выведем уравнение этой поверхности.
z
M
A
M0
y
K
x
Рис. 3.41
Пусть М(х, у, z) – произвольная точка этой поверхности. Проведем через М плоскость, перпендикулярную 0у, получим в сечении окружность с радиусом AM.
М0(х0, у0, z0 ) – точка пересечения этой окружности с линией L, поэтому
AM = AM0 = x0, z0 = 0, y0 = y и F(x0, y0) = 0.
(3.41)
3. Аналитическая геометрия
61
Из  АМК имеем: АМ 2  МК 2  АК 2 или х02  z 2  x 2 , отсюда x0   x 2  z 2 .
Учитывая, что у0 = у, из равенств (3.41) получаем:
(3.42)
F ( x 2  z 2 , y )  0 ,
т.е. координаты любой точки поверхности вращения удовлетворяют уравнению (3.42).
Следовательно, это уравнение является уравнением данной поверхности вращения.
Если линия L лежит в плоскости 0уz и определяется системой
 F ( y, z )  0;

 x  0,
то поверхность, образованная вращением L вокруг оси 0z, задается уравнением:
F ( x 2  z 2 , z )  0 . Если L вращается вокруг оси 0у, то поверхность вращения будет
иметь уравнение: F ( x 2  z 2 , y )  0 . Аналогично в случае, когда L вращается вокруг
оси 0x.
Пример 3.11. Найти уравнение и определить вид поверхности, образованной
x2 y2


1
вращением эллипса  a 2 b 2
вокруг оси 0у.
 z  0
x2
Решение. Заменяя в уравнении
x2
y2

y2
b2
 1, x2 на x2 + z2, получим уравнение
z2
 1, называемого эллипсоидом вращения.
a2 b2 a2
Пример 3.12. Парабола z  x 2 , лежащая в плоскости у = 0 вращается вокруг оси
0z. Определить вид получаемой поверхности и записать ее уравнение.
Решение. Заменим х2 в уравнении z = х2 на х2 + у2, получаем уравнение эллиптического параболоида: z  x 2  y 2 , называемого параболоидом вращении.
эллипсоида:

a2

z
z
0
0
–1
1
–1
y
1
y
1
x
x
Рис. 3.42
Рис. 3.43
Пример 3.13. Какие поверхности образует гипербола
 х  0;
(3.43)
 2
2
y  z  1
при вращении вокруг осей 0у и 0z?
Решение. При вращении гиперболы (3.43) вокруг оси 0у получаем:
2
y  x 2  z 2  1 – двуполостный гиперболоид (рис. 3.42), а при вращении ее вокруг оси
0z получаем однополостный гиперболоид x 2  y 2  z 2  1 (рис. 3.43).
62
3. Аналитическая геометрия
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .......................................................................................................... 34
3.1. Прямая на плоскости ......................................................................................................................................................................... 34
3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой ................................................................ 37
3.3. Плоскость в пространстве ................................................................................................................................................................. 39
3.4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости .................................................. 41
3.5. Уравнения прямой в пространстве ................................................................................................................................................... 41
3.6. Взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости................................................................................ 43
3.7. Кривые второго порядка. Окружность ............................................................................................................................................. 45
3.8. Эллипс................................................................................................................................................................................................. 45
3.9. Гипербола ........................................................................................................................................................................................... 47
3.10. Парабола ........................................................................................................................................................................................... 51
3.11. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ............................................................................................................... 52
3.12. Поверхности второго порядка. Сфера* .......................................................................................................................................... 53
3.13. Цилиндрические поверхности* ....................................................................................................................................................... 53
3.14. Конические поверхности* ............................................................................................................................................................... 55
3.15. Эллипсоиды* .................................................................................................................................................................................... 56
3.16. Гиперболоиды* ................................................................................................................................................................................ 57
3.17. Параболоиды* .................................................................................................................................................................................. 58
3.18. Поверхности вращения* .................................................................................................................................................................. 60