Основные законы преобразования алгебры логики.

Основные законы преобразования алгебры логики.
Наиболее простые и необходимые истинные связки между мыслями выражаются в
основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества,
непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания.
Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль,
являются наиболее важными. Они позволяют упрощать логические выражения и строить
умозаключения и доказательства. Первые из вышеперечисленных законов были выявлены и
сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания  Г. Лейбницем.
Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение
должны быть тождественны самим себе.
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не
было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо
одновременно утверждать и отрицать.
Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое
ложно, а третье не дано.
Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно
обоснована.
Последний закон говорит о том, доказательство чего-либо предполагает обоснование
именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя.
Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер.
При решении логических задач часть приходится упрощать формулы. Упрощение
формулы в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований,
опирающихся на основные логические законы.
В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных
формул.
Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.
Основными законами являются четыре:
А = А – закон тождества;
Закон тождества:
Всякая мысль тождественна самой себе, т.е А есть А, где А – любая мысль. Этот закон
означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие
другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.
например:
Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера конченый язык, значит,
теперь смело могу идти в Киев.
Это рассуждение неверно, так как первое и второе слова “язык” обозначают разные
понятия.
А & А = 0 - вторая формула закона непротиворечия;
Закон непротиворечия: не могут быть одновременно истинными суждение и его
отрицание. А & A = 1
То есть если высказывание А – истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и
наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным. A & А = 0.
Это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.
Иногда этот закон формируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут
быть одновременно истинными.
А  А = 1 – закон исключенного третьего;
В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо
ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.
А = А – закон двойного отрицания.
Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное
высказывание.
Свойства констант:
1) 0 = 1 – отрицание лжи есть истина.
А0=A
А1=1
2) 1 = 0 – отрицания истины есть ложь
А&0 = 0
А&1 = A
Законы идемпотентности:
АА = А
(отсутствие коэффициентов)
А&А = А
(отсутствие степени)
Законы коммутативности:
АВ = ВА;
А&В = В&А
Законы ассоциативности:
А(ВС) = (Ав)С
А&(B&C) = (A&B)&C
Законы дистрибутивности:
А(В&С) = (Ав)&(АС)
(дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции)
А&(ВС) = (А&B)(А&С)
(дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции).
Законы поглощения
А(А&В) = А
А&(АВ) = А
Законы де Моргана
1) A  B  A & B
(отрицание вариантов вместе)
2) A & B  A  B
(отрицание одновременной истинности)
Словесные формулировки законов де Моргана:
дизъюнкции
конъюнкция
отрицание
есть
отрицаний.
конъюнкции
дизъюнкция
Замена операций импликации и эквивалентности:
Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди операций конкретного
компьютера или транслятора языка программирования. Однако для решения задач эти
операции
необходимы.
Существуют
правила
записи
данных
операций
на
последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.
Вместо импликации:
A  B  A B
Для замены операции эквивалентности:
A  B  ( A & B)  ( A & B)
A  B  ( A  B) & ( A  B)
Интересны и следующие правила:
A  B  B  A;
A  B  ( A  B) & ( B  A)