программа экзамена по курсу

ПРОГРАММА
курса «Моделирование биологических процессов и систем», 2014-15 уч.год,
4 курс, 7 семестр , проф. Безручко Б.П.
1. Модельность научного знания. Чем замечательны математические
модели .
Определение модели,
активная роль, целенаправленность
моделирования и качество модели, примеры. Наука, научное знание,
систематизации научных моделей. Обман чувств и интуиция. Математика и
ее непостижимая эффективность. Пути построения математических
моделей. (См. [1] , гл. 1)
2 . Колебания, волны, структуры (паттерны)
Колебания, волны, структуры (паттерны)– определения, примеры, систематизация
«по степени регулярности», «по виду источника энергии», условность разделения.
Что общего в колебаниях систем различной природы (например, груза на пружине и
взаимодействующими популяциями, например) ? Тактика (подход) теории
колебаний к описанию сложных систем и явлений.
3. Линейный осциллятор. Примеры систем, которые описываются этой моделью,
Движения (решения) линейного осциллятора при различных уровнях диссипации.
Неавтономный осциллятор (силовое воздействие), пример с колебательным
контуром. Резонанс, случаи гармонического и сложного периодического
воздействий. Осциллятор с изменяющимися параметрами, параметрические
колебания, параметрический резонанс.
4. Система двух взаимодействующих (связанных) осцилляторов.
Модель
собственных колебаний двух идентичных связанных консервативных осцилляторов.
Что нового наблюдается в динамике двух связанных осцилляторов по сравнению с
одиночным (моды, нормальные частоты, биения). Система неидентичных связанных
осцилляторов (парциальные системы и частоты, собственные частоты, связность).
Практическое применение систем связанных осцилляторов.
5. Осцилляторная модель упорядоченной структуры. Колебательно-волновой
характер решений таких систем, дисперсионные уравнения. Диаграмма Бриллюэна.
Дисперсия, причины существования дисперсии, к чему приводит наличие дисперсии
при распространении волн. Дисперсионные характеристики.
6. Волны. Предельный переход от упорядоченных структур к одномерной
сплошной среде. Волновые уравнения в среде без дисперсии, гармонические волны.
Фазовая и групповая скорости. Примеры распространения волнового пакета в
средах с различной дисперсией.
Лампы с бегущей и обратной волной
(дисперсионные характеристики их электродинамических систем).
7. Волны в одномерных резонаторах (ограниченный отрезок, кольцевой
резонатор). Спектры собственных частот и волновых чисел при наличии дисперсии
в резонаторе. Как определяют дисперсионные характеристики волновых сред и
систем теоретически и в эксперименте?
8. Волны на поверхности жидкости, основные уравнения. Дисперсионная
характеристика гравитационно-капиллярных волн на воде. Волны от мгновенного
точечного источника.
Электромагнитные волны.
Взаимодействие волн,
синхронизм, пространственный резонанс.
9. Нелинейные волны.
Уравнение простой волны – простейшая нелинейная
модель среды без дисперсии. Укручение фронтов и обрушение волн и какими
средствами можно ограничить эти эффекты. Другие нелинейные волновые эффекты:
- структуры, примеры структур в жидкости : вихри Тейлора, ячейки Бенара, рябь
Фарадея;
– автоволны;
- турбулентность;
- солитон, уравнение КдВ,
- волны – убийцы, ударные волны, цунами.
10. Примеры из биологии. Модель
Колмогорова, Петровского, Пискунова.
Реакционно-диффузная модель. Структуры Тьюринга. {См. приложенные файлы:
турбулентнось, лекцию 14 или [6],стр.175-204 }
Литература.
1.
2.
3.
4.
Б.П.Безручко, Д.А.Смирнов. Математическое моделирование и хаотические
временные ряды. Саратов, изд.ГосУНЦ «Колледж», 2005, имеется на сайте
www.nonlinmod.sgu.ru и в учебной библиотеки НБ СГУ..
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.:
Наука, 1984, 1992 (2-е издание), 2001 (3-е издание).
Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Физматлит.
2001
Н.М.Рыскин, Д.И.Трубецков. Нелинейные волны.. М., Наука, Физматлит,2000,
268 стр.
Дополнительная литература
5.
6.
7.
8.
С.П. Кузнецов. Динамический хаос (курс лекций). М., Физматлит, 2006;
Б.П.Безручко, А.А.Короновский, Д.И.Трубецков, А.Е.Храмов. Путь в
синергетику (экскурс в десяти лекциях). М.: Едиториал УРСС, 2005.
Н.В.Бутенин, Ю.Неймарк,Н.А.Фуфаев. Введение в теорию нелинейных
колебаний,М., «Наука»,1987.
В.С.Анищенко. Сложные колебанияв простых системах., М., Наука, 1990.