Оригинальный документ

В.И. ДУЛЬКЕЙТ, Е.В. САЛАЕВ, И.Г. ХНЫКИН
Научный руководитель – Р.Т.ФАЙЗУЛЛИН, д.т.н, к.ф-м.н.
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
АЛГОРИТМ МИНИМИЗАЦИИ ФУНУЦИОНАЛА,
АССОЦИИРОВАННОГО С ЗАДАЧЕЙ 3-SAT
И ЕГО ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Описывается способ решения задачи SAT путём минимизации ассоциированного функционала специального вида. Построены распараллеливаемые алгоритмы
минимизации. Показано возможное применение к задачам криптографического
анализа асимметричных шифров.
Постановка задачи
Одной из наиболее интересных задач дискретной математики является
задача поиска решающего набора в задаче ВЫПОЛНИМОСТЬ. Перспективным направлением представляется сведение КНФ к непрерывному
аналогу, к задаче поиска точек глобального минимума ассоциированного
функционала [2].
Основной алгоритм и его гибридизация
Основная процедура поиска минимума, полученного эквивалентного
функционала, состоит из последовательных итераций, которые совмещают метод последовательных приближений и сдвиг по градиенту.
Итерация состоит из двух блоков. В первом блоке, используется схема
Зейделя, второй блок – реализация сдвига по градиенту. При приближении к решению скорость сходимости может сильно уменьшаться, т.е. алгоритм формирует цикл лежащий на некотором плато (поверхность,
определяемая функционалом) и траектория, образованная последовательными приближениями более не выходит за пределы этого плато. Чтобы сойти с плато и продолжить сходимость к решению применяется т.н.
метод смены траектории.
Метод смены траектории заключается в поиске нового вектора приближения, который бы обладал свойствами не худшими, чем текущий
вектор приближения, но позволял бы продолжить поиск решения.
Способы распараллеливания алгоритма
Гибридизированный алгоритм допускает целый спектр способов распараллеливания. Исходная формула, делится на определенное количество
подформул. Для каждой подформулы находится вектор решения. Найденные вектора некоторым образом объединяются в один, который потом
используется для поиска решения всей формулы. Были исследованы два
способа реализации параллельного алгоритма.
КНФ для задач факторизации и дискретного логарифмирования
Существует возможность сведения задач факторизации и дискретного
логарифмирования к задаче SAT [1].
Рассмотрим сведение к КНФ задачи факторизации. Требуется для заданного числа n получить КНФ, решающий набор которой существует
тогда, и только тогда когда n составное число. Кроме того, решающий
набор должен содержать все биты двоичного представления нетривиальных делителей n. Аналогичная процедура была проведена и для задачи
дискретного логарифмирования.
Заключение
Основным результатом проведенных исследований следует считать
равномерность улучшения сходимости, при естественных модификациях
исходного алгоритма последовательных приближений
Представляется исключительно перспективным применение параллельной версии алгоритма для решения задачи факторизации и дискретного логарифмирования. Предварительные исследования показали, что
получаемые для этих задач формулы намного труднее для решения, чем
все имеющиеся на сегодняшний день тесты.
Список литературы
1. Беспалов Д.В. Пропозициональные алгоритмы в задачах несимметричной криптографии // Вестник Томского Государственного Университета. - 2004. - № 9(I).
2. Gu J.,Purdom P.W.,Franco J.,Wah B.W Algorithms for the Satisfiability Problem: A Survey
// DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. -1996. –C. 19-151.