Вопросы по дискретной математике

МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Утверждаю
Ректор АО «МУИТ»
___________Д.А. Шыныбеков
«____»_____________2014 г.
Программа
вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6M070500 –
Математическое и компьютерное моделирование
(магистратура научная и профильная)
Алматы 2014
Программа составлена в соответствии с Типовыми учебными
программами (ГОСО РК от 22 июня 2006 г.) по специальности 6M070500 –
Математическое и компьютерное моделирование. Их основные правила
охватывают следующие базовые и специальные дисциплины:
1.
Дискретная математика и математическая логика
2.
Введение в вычислительную математику
3.
Дифференциальные уравнения
Программа рассмотрена и одобрена на заседании
«Информационные системы и математическое моделирование»
Протокол №
" "
2014 г.
кафедры
Зав. кафедрой ______________ Б.Ш. Кулпешов
Программа рассмотрена и утверждена на заседании Совета факультета
информационных технологий
Протокол №
" "
2014 г.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
I. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Высказывания, операции над высказываниями. Тавтология. Логически
эквивалентные формулы. Логические эквивалентности (законы).
Предикаты и кванторы. Пространство рассуждений. Связанная и
свободная переменные. Отрицание высказываний. Перевод высказываний
естественного языка в логические выражения и наоборот.
Множества и операции над множествами. Подмножества. Универсальное
множество. Множество всех подмножеств данного множества. Декартовы
произведения. Мощность множества. Счетные и несчетные множества.
Теоретико-множественные тождества.
Функции. Область определения и область значений функции.
Инъективные и сюръективные функции. Биекция. Напольная и потолочная
функции. Обратные функции. Композиция функций.
Правила вывода. Правила вывода для утверждений, содержащих кванторы.
Методы доказательства. Математическая индукция.
Основные принципы комбинаторики: правило суммы, правило
произведения.
Принцип
Дирихле.
Перестановки,
сочетания.
Биноминальная теорема. Перестановки и сочетания с повторениями.
Отношения и их свойства (рефлексивность, симметричность,
антисимметричность, транзитивность). Представление отношений с
помощью
матриц
или
ориентированных
графов.
Отношение
эквивалентности. Разбиение на классы эквивалентности. Отношение
частичного порядка. Лексикографический порядок. Диаграмма Хассе.
Максимальный и минимальный элементы. Верхняя и нижняя границы,
наименьшая верхняя граница, наибольшая нижняя граница, наибольший
элемент, наименьший элемент. Решетка.
Графы, их классификация. Цикл, степень вершины, изолированные
вершины, висячая вершина. Теорема о рукопожатиях. Специальные виды
простых графов. Полные графы. Двусторонний граф. Представление
графов с помощью матрицы смежности и матрицы инцидентности.
Изоморфизм графов. Маршруты. Связность в неориентированных и
ориентированных графах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нефедова В.Н., Осипова В.А., Курс дискретной математики. – М.: изд-во
МАИ, 1992.
2. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В., Элементы дискретной математики. –
М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.
3. Новиков Ф.А., Дискретная математика для программистов. – Спб.: Питер,
2001.
4. Белоусов А.И., Ткачев С.Б., Дискретная математика. – М.: изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2001.
5. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М., Дискретная математика для
инженера. – М.: Энергия, 1980.
6. Горбатов В.А., Фундаментальные основы дискретной математики. – М.:
Наука – Физматгиз, 2002.
7. Лавров И.А., Максимова Л.Л., Задачи по теории множеств,
математической логике и теории алгоритмов.- М.: Наука, 1984.
8. Липский В., Комбинаторика для программистов. – М.: Мир,1988.
9. Мендельсон Э., Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.
10. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А., Математическая логика. – М.: Наука, 1979.
11. Мальцев А.И., Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1986.
12. Яблонский С.В., Введение в математическую логику. – М.: «Высшая
школа», 2001.
13. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А., Сборник задач по дискретной
математике. – М.: Наука, 1977.
14.Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, fourth edition,
1999.
II. ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ
1. Задача интерполирования. Сплайн первого порядка. Значение сплайна
первого порядка в промежуточных точках.
2. Задача интерполирования. Сплайн второго порядка. Значение сплайна
второго порядка в промежуточных точках.
3. Расчетные формулы коэффициентов сплайна второго порядка (вывести).
4. Точность сплайнов первого и второго порядка.
5. Сетка. Основные и промежуточные узлы. Шаг сетки.
6. Левая разностная производная. Аппроксимация и точность.
7. Правая разностная производная. Аппроксимация и точность.
8. Центральная разностная производная первого порядка. Аппроксимация и
точность.
9. Разностная производная второго порядка. Аппроксимация и точность.
10. Задача Коши. Явная схема Эйлера и ее точность.
11. Задача Коши. Неявная схема Эйлера и ее точность.
12. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта второго порядка и его точность.
13. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта третьего порядка и его точность.
14. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка и его точность.
15. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
16. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
17. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простой
итерации.
18. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби.
19. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления.
20. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом простой
итерации.
21. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом хорд.
22. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом секущих.
23. Приближенное вычисление определенного интеграла методом
прямоугольников. Точность метода.
24. Приближенное вычисление определенного интеграла методом трапеций.
Точность метода.
25. Приближенное вычисление определенного интеграла методом Симпсона.
Точность метода.
26. Вывод формулы Симпсона вычисления определенного интеграла.
27. Условия применимости метода Гаусса.
28. Норма матрицы.
29. Скорость сходимости стационарных итерационных методов.
30. Многочлен Чебышева на отрезке [-1, 1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы, М. Наука, 1989
2. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы, М.Наука, 1987
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, М. Наука, 1977
4. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику, М. Наука, 1994
5. Волков Е.А. Численные методы алгебры, М. Наука, 1982
6. Турчак Л.И. Основы численных методов, М. Наука, 1987
7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики, М.
Наука, 1966
8. Дробышевич В.И. и др. Задачи по вычислительной математике, М. Наука,
1980
9. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы, М. Наука, 1973
10. Рихтмаейр Р.Д. Разностные методы решения краевых задач, М. ИЛ, 1960
11. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем, М. Наука, 1971
12. Никольский С.М. Квадратурные формулы, М. Наука, 1974
13. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений в 2-х томах, М. Наука,
1966
14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.
Наука, 1966
15. Калиткин Н.Н. Численные методы. Москва, Наука, 1990.
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Основные сведения по дифференциальным уравнениям (определение д.у,
решение д.у., порядок д.у., отличие обыкновенного д.у. от уравнения в
частных производных)
2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Решение дифференциальных уравнений с помощью нахождения
интегрирующего множителя
8. Теорема существования и единственности решения уравнения первого
порядка
9. Теорема существования и единственности решения уравнения n-порядка
10. Уравнения Лагранжа и уравнения Клеро
11. Понижение порядка дифференциального уравнения, которое не
содержит искомой функции
12. Понижение порядка дифференциального уравнения, которое не
содержит независимой переменной
13. Понижение порядка дифференциального уравнения, однородного
относительно искомой функции и её производных
14. Понижение порядка дифференциального уравнения, однородного
относительно некоторых степеней независимой переменной и искомой
функции
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
17. Уравнения Эйлера
18. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами с помощью подбора частного решения
19. Свойства решений линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с переменными коэффициентами
20. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду. Метод
исключения неизвестных
21. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду. Метод
собственных векторов
22. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений.
Матрица Вронского.
23. Устойчивость. Устойчивость по первому приближению. Теорема
А.М.Ляпунова. Примеры
3.
4.
5.
6.
7.
24. Особые точки. Узел. Седло. Фокус. Центр. Вырожденный и критический
случай.
25. Особые точки. Общий случай
26. Первые интегралы. Полная производная в силу системы.
27. Нелинейные
системы дифференциальных уравнений. Первые
интегралы.
28. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Интегрируемые
комбинации
29. Уравнения в частных производных первого порядка
30. Нахождение поверхности, удовлетворяющей данному уравнению в
частных производных первого порядка и проходящей через данную
линию
ЛИТЕРАТУРА
1. Л.С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения, - М.:
Наука, 1974.
2. И.Г. Петровский, Лекции по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. - М.: Наука, 1970.
3. М.В. Федорюк, Обыкновенные дифференциальные уравнения, - М.:
Наука, 1980.
4. А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, - М.:
Наука, 1979.
5. Н.М.
Матвеев,
Методы
интегрирования
обыкновенных
дифференциальных уравнений. - Минск. Высшая школа, 1974.
6. А.И. Киселев, М.А. Краснов, Т.И. Макаренко, Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям, – М. Высшая школа,
1965.
7. В.И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука,
1971.
8. А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский, Обыкновенные дифференциальные
уравнения и основы вариационного исчисления. -М.: Наука, 1980.