Примеры решений заданий по дискретной математике

Примеры решений заданий по дискретной математике
1. Упростить выражение:
A  (A \ B)  (A \ B)
Решение. Выразив операцию разности двух множеств через их пересечение и
дополнение, получим:
A  (A \ B)  (A \ B)  A  (A  B)  (A  B) 
далее используем закон 19 отрицания отрицания:
 A  (A  B)  (A  B) 
затем на основании дистрибутивного закона 5 получим:
 A  (( A  A)  B) 
применив закон 11 А  А= U и закон 14 U  В = В, получим:
 A  ( U  B)  A  B
на основании закона 7 де Моргана получим окончательно:
AB  AB
Очевидно, что полученное выражение упростить нельзя.
2. В группе занимается 40 человек, из них 20 человек изучают французский язык, 20
человек - английский язык, 14 человек немецкий язык; английский и французский
языки -9 человек; немецкий и английский языки - 7 человек; немецкий и французский
- 5 человек, все три языка - 2 человека. Сколько человек не изучают ни одного языка.
Решение. Решение задачи осуществим с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рис.
1.5).
Рис. 1.5.
Введем обозначения: А - множество человек, изучающих английский язык;
В - множество человек, изучающих французский язык; С - множество человек,
изучающих немецкий язык. Тогда, мощности А, В и С равны:
m(А) = 20, m(В) = 20, m(С) = 14.
Из условия задачи известно, что все три языка изучают 2 человека. Следовательно,

n(A В  С) = 2.
Определим число человек, изучающих только два языка:
m( A  В  С) = m(B  С) - m(А  B  С) = 5-2 = 3,
m(А  B  С) = m(А  С) - m(А  B  C) = 7-2 = 5,
m(А  В  C ) = m(А  В) - m(А  B  C) = 9-2 = 7.
Таким образом, только французский и немецкий языки изучают 3 человека, только
английский и немецкий языки - 5 человек, только английский и французский языки - 7
человек.
Число человек, изучающих только по одному языку:
m(A  B  C )=m(A)-m(A  B)-m(A  B  C)=20-9-5=6,
m( A  B  C )=m(B)-m(A  B)-m( A  B  C)=20-9-3=8,
m( A  B  C)=m(C)-m(A  C)-m( A  B  C)=14-7-3=4.
откуда получаем, что 6 человек изучают только английский язык, 8 человек - только
французский язык, 4 человека -только немецкий язык.
Тогда, число студентов, не изучающих ни одного языка:
m( A  B  C ) = m(U) - m(А) - m(В\А) - m(C\A\B) = m(U) - m(A)-( A  B  C) m( A  B  С) = 40-20-11-4 = 5 .
3. Построить истинностную таблицу сложного высказывания, заданного формулой:
S = (A→C)  B  (A  B)
Очевидно, истинностная таблица будет содержать 23 = 8 строк. Скобки применяются, если
нарушается естественный порядок операций: отрицание, конъюнкция, импликация, двойственная
импликация. Скобки (А→С) указывают на то, что сначала нужно выполнить импликацию, а
затем найти
(А→С)  В. Скобки в выражении (A  B) можно опустить. Заключительной операцией в
построении истинностной таблицы для S будет дизъюнкция двух высказываний: (А→С)  В и
(A  B) .
Построим таблицу:
A
1
1
1
1
0
0
0
0
C
1
1
0
0
1
1
0
0
B
1
0
1
0
1
0
1
0
A→ (A→C) 
C
B
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
B A↔ B (A  B)
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
S
1
0
1
0
1
1
1
1
4. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с помощью
основных законов алгебры множеств.
А)
A  B  A  ( B \ A)
B \ A  B  A A  B  A  ( B  A)
Применим дистрибутивный закон
A  B  ( A  B)  ( A  A
По закону исключения третьего
A  A  U  A  B  ( A  B)  U
По закону идемпотентности пересечение множества с общим множеством дает это же
множество
A B  A B
Б)
( A  B)  ( B \ A)  (C \ B)  B  C
( A  B)  ( B  A)  (C  B)  B  C
B  ( A  A)  (C  B)  B  C
B  U  (C  B)  B  C
B  (C  B)  B  C
( B  C)  ( B  B)  B  C
(B  C)  U  B  C
B C  B C
В)
( A B) \ C  ( AB)  C
( A B)  C  ( AB)  C
( A B)  C  ( AB)  C
( A \ B)  ( B \ A)  C  ( AB)  C
( A  B)  ( B  A)  C  ( AB)  C
(( A  B)  B)(( A  B)  A)  C  ( AB)  C
(( A  B)  U )  ( B  A)  C  ( AB)  C
( A  B)  ( B  A)  C  ( AB)  C
( A  B)  ( B  A)  C  ( AB)  C
( B \ A)  ( A \ B)  C  ( AB)  C
( AB)  C  ( AB)  C
Г)
A \ ( B  C )  ( A \ B) \ C
A  ( B  C)  ( A \ B) \ C
A  ( B  C)  ( A \ B) \ C
Применим ассоциативный закон
( A  B)  C  ( A \ B) \ C
( A \ B) \ C  ( A \ B) \ C
5. Построить таблицы истинности для формул:
A | A| B | B ;
А|A
А
В
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
B|B
1
1
0
0
A | A| B | B
0
0
1
1
6. Получить ДНФ для формул:
x  y x  z  = XXvXZvY XvYZ
б)
в) x  y  z  x = X  Y  Z  X
7. Получить СДНФ для формул:
x  y | x  y ~ z  x   x y  xy   (x  y) ~ (z  x)  
в)
x y  x y   (x  y)(z  x)  (x  y)(z  x)   xyx y  x  y z  x yz  x  y z  x yz 
x( y  y)( z  z)  ( x  x) y z  x yz  ( xy  x y)( z  z)  xyz  xy z  x yz 
xyz  x y z  xyz  xy z  x yz 
8. Получить СДНФ, а затем перейти к СКНФ
x  y  z  x  z y .



x  y  z  x  z  y



≡ xx  x z  xy  y z  xz  z z y ≡ x  x z  xy  y z  xz y ≡
x y  x y z  xy y  y y z  x yz ≡ x y  x y z  x yz ≡ x y( z  z )  x y z  x yz ≡ x yz  x y z  x y z  x yz
≡ x yz  x y z .
СКНФ - x yz  x y z ≡ x y( z  z ) ≡ x y ≡ x y  z z ≡ (x y  z )(x y  z ) ≡
(x  z )( y  z )(x  z )( y  z ) ≡ (x  y y  z )(x x  y  z )(x  y y  z )(x x  y  z ) ≡
(x  y  z )(x  y  z )(x  y  z )( x  y  z )(x  y  z )(x  y  z )(x  y  z )( x  y  z ) ≡
(x  y  z )(x  y  z )( x  y  z )(x  y  z )(x  y  z )( x  y  z ) .
9. Построить (синтезировать) автомат по содержательному описанию.
1.10. Автомат выдает сигнал 1, если на вход поступит слово МАМА, сигнал 2, если поступит
слово МАМАЛЫГА, и 0 во всех остальных случаях. Слова отделяются друг от друга
пробелами.
«х«/0
q0
Мама/0
« «/1
«х«/0
Q2
лыга/0
«х«/0
« «/1
Q1
Q0 Q1 Q2
Q0 Q1 Q2
мама 0
0
0
мама Q1 Q0 Q0
лыга
0
0
0
лыга Q0 Q2 Q0
««
0
1
2
««
Q0 Q0 Q0
Х
0
0
0
Х
Q0 Q0 Q0
10. Бросают три игральные кости (с шесть гранями каждая). Сколькими способами они
могут упасть так, что либо все оказавшиеся вверху грани одинаковы, либо все попарно
различны?
6 вариантов, когда все одинаковы и 6*5*4=120, когда все попарно различны
Итого: 126 вариантов
11. Предложить алгоритм бесповторного перечисления всех (n,n) перестановок чисел
1,2,…,n.
Может быть n вариантов первой цифры, n-1 второй и т.д. Следовательно число вариантов
равно
1*2*3*…*n=n!
12. Записать следующие графы матрицами инцидентности и смежности.(Рис.3.).
Х1
Х1
Х5
Е1
Е1
Е2
Е2
Х3
Е3
Х4
Е4
Х2
Е3
Е4
Х1
Х5
Х2
Е1
Е4
Х3
Х4
Х5
Е3
Х4
Х3
Е2
Х2
а)
б)
а)матрица инцидентности
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Е1
1
1
0
0
0
Е2
0
0
0
1
1
Е3
0
0
1
1
0
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Е2
0
1
1
0
0
Е3
0
0
1
1
0
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Е4
0
0
0
1
1
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Е2
0
+1
-1
0
0
Е3
0
0
+1
-1
0
Е4
0
0
0
+1
-1
Х1
0
1
0
0
0
Х2
1
0
1
0
0
Х3
0
1
0
1
0
Х4
0
0
1
0
1
Х5
0
0
0
1
0
матрица смежности
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
в)матрица инцидентности
Е1
-1
+1
0
0
0
матрица смежности
Е4
0
1
1
0
0
б)матрица инцидентности
Е1
1
1
0
0
0
в)
Х1
0
1
0
0
0
Х2
1
0
1
0
0
Х3
0
1
0
1
0
Х4
0
0
1
0
1
Х5
0
0
0
1
0
матрица смежности
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Х1
0
0
0
0
0
Х2
1
0
1
0
0
Х3
0
0
0
1
0
Х4
0
0
0
0
1
Х5
0
0
0
0
0
13. Даны графы типа дерева на рис.7. Для каждого графа выполнить следующее
задание. Сколько вершин максимального типа имеется в данном графе? Какое
цикломатическое число графа? Чему равно цикломатическое число графа G',
являющегося лесом и представленного двумя одинаковыми деревьями
рассматриваемого типа графа? Построить ориентированное дерево с корнем 0,
являющимся вершиной максимального типа.
Рис. 7
Цикломатическое число v(G)= m-n+1
m- кол-во ребер
n- кол-во вершин
G1)v(G)=20-20+1 =1
G2)v(G)=18-19+1 =0 => G2 уже дерево
G3)v(G)=18-19+1 =0 => G3 уже дерево
Кол-во вершин максимального типа:
G1)7
G2)4
G3)2
Цикломатическое число леса:
G1)1*2=2
G2)0*2=0
G3)0*2=0
Ориентированные деревья:
14. Найти ядро графа с помощью алгоритмов Магу (рис. 4.12).
1.Найдем множества внутренней устойчивости:
1 2 3 4 5
1
1
2
1
3
1
4 1
5
1
(1v3)(1v4)(2v4)(2v5)(3v5)
Перейдем к ДНФ
123v125v145v234v345
Для каждой конъюнкции выписываем недостающие вершины, образующие множества
внутренней устойчивости.
{4,5},{3,4},{2,3},{1,5},{1,2}
2.Найдем множества внешней устойчивости:
1 2 3 4 5
1 1
1
2
1
1
3
1
1
4 1
1
5
1
1
(1v3)(2v4)(3v5)(1v4)(2v5)
Перейдем к ДНФ
123v125v145v234v345
{1,2,3}{1,2,5},{1,4,5},{2,3,4},{3,4,5}
Совпадающих множеств нет.