Свойства МО

Лекция 6
2.2 Числовые характеристики случайных величин
Законы распределения. случайной величины полностью описывают случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако эти функции не всегда известны, да и во многих
задачах они не нужны. Зачастую достаточно знать только основные числовые параметры,
характеризующие случайную величину, такие как: интервал, в котором находится большинство значений случайной величины; среднее значение, относительно которого группируются
значения случайной величины; разброс значений случайной величины относительно среднего значения и так далее. Такие характеристики называются числовыми характеристиками
случайной величины.
2.2.1 Характеристики положения
Определение 1. Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности:
m  M    E   xi pi ,
(2.8)
i
при условии, что данный ряд абсолютно сходится.
Определение 2. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения f (x) называется величина:
m  M    E 

 x f x dx ,
(2.9)

при условии, что данный интеграл абсолютно сходится.
Математическое ожидание M   имеет простой физический смысл: если на прямой
разместить единичную массу, поместив в точки xi массу p i (для дискретного распределения), или размазав ее с плотностью f (x) (для непрерывного распределения), то M   будет
являться центром тяжести прямой.
Пример 1. Найти математическое ожидание M   дискретной случайной величины  , заданной законом распределения:
ξ
-5
2
3
4
P
0,4
0,3
0,1
0,2
33
Решение. M    5  0,4  2  0,3  3  0,1  4  0,2  0.3 .
Пример 2. Найти математическое ожидание M   случайной величины  , заданной плот-
 
x  0, 
 2

cos x,

ностью распределения: f ( x)  
0,

 
x  0, 
 2
Решение.

M   
 2
0

 x  f ( x)dx   0 dx   x cos xdx   0 dx  x sin x


 2
0
 2
 cos x 0 
0

2
 1  0,57
2
Как следует из определения, математическое ожидание существует не для всех случайных
величин. Например: пусть случайная величина  принимает значения xi  2i с вероятно-
pi 
стью

M     2 i 
i 1`
1
2
i
, i  1,2,  .

Заметим,

1
 pi 
что
i 1
i 1 2
i

1/ 2
 1,
1 1/ 2
однако:

1

1   .
2 i i 1`
Свойства математического ожидания.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
M C   C .
Доказательство: Постоянную можно рассматривать, как случайную величину, которая может принимать одно значение C с вероятностью равной 1, следовательно M C   C  1  C .
Свойство 2. Для произвольной функции  ( ) , случайного аргумента  :
  ( x k ) P(  x k ) для ДСВ

k
M  ( )    
   ( x) f  x dx
для НСВ

 
(2.10)
Доказательство. Докажем для дискретной случайной величины. Пусть  ( ) принимает
значения c1 , c2 , с вероятностями P( ( )  cm ) 
M ( ( ))   cm P( ( )  cm )   cm
m
m

k : ( xk )  cm
 P(  x
k : ( xk ) cm
P(  xk )  
k
) . Тогда

m k : ( xk ) cm
 ( xk ) P(  xk ) 
   ( xi ) P(  xi )
i
Свойство 3. Математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную
величину равно произведению этой постоянной на математическое ожидание случайной величины:
34
M CX   CM  
(2.11)
Доказательство: (для дискретной величины)
n
n
i 1
i 1
M C    Cxi pi x   C  xi pi  CM   .
Свойство 4. Математическое ожидание суммы постоянной и случайной величины равно
сумме постоянной величины и математического ожидания случайной величины:
M   C   M    C .
(2.12)
Доказательство: (для дискретной величины)
n
n
n
i 1
i 1
i 1
M   C     xi  C pi   xi pi  C  pi  M    C .
Определение 3. Случайная величина ˆ    M   (отклонение случайной величины от ее
матожидания) называется центрированной случайной величиной. Очевидно, что M (ˆ)  0 .
Математическое ожидание является важнейшей из характеристик положения. Среди
прочих характеристик положения выделяют моду и медиану случайной величины.
Определение 4. Модой случайной величины Mo называют ее наиболее вероятное значение
для дискретной случайной величины, и значение, которому соответствует максимум плотности вероятности, для непрерывной случайной величины.
Так, для случайной величины, рассмотренной в примере 1 - Mo  5 , а для случайной
величины, рассмотренной в примере 2 - Mo  0 .
Если максимум один, распределение называется одномодальным, если два – двумодальным и т.д.
Определение 5. Медианой случайной величины  называется такое значение Me , для которого P  Me  P  Me , то есть корень уравнения F x   1 / 2 .
Пример 3. Найти медиану Me случайной величины  , рассмотренной в примере 2.
Решение. Найдем функцию распределения:

0,
x0
x


F ( x)   cos xdx  sin x, 0  x 
2
0


1,
x
2

Решаем уравнение: sin x 
1

, 0 x
2
2

x

6

Me 

6
.
В случае симметричного одномодального распределения математическое ожидание,
мода и медиана случайной величины совпадают.
35
2.2.2 Дисперсия случайной величины
Если математическое ожидание случайной величины дает нам ее среднее значение,
относительно которого разбросаны значения рассматриваемой случайной величины, то дисперсия характеризует «степень разброса» значений случайной величины около ее среднего.
Определение 6. Дисперсией D  случайной величины  называется математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания,
т.е.

 

2
D   D  D  M   m   M ˆ 2
(2.13)
Для дискретной случайной величины: D    xi  m  pi
n
2
(2.14)
i 1
Для непрерывной случайной величины: D  

 x  m  f x dx
2
(2.15)
x

Свойства дисперсии.
Свойство 1. Для дисперсии D  случайной величины  справедлива формула:
 
D   M  2  M 2  
(2.16)
Доказательство: (для дискретной случайной величины)
n
n


D( )    xi  M   pi   xi  2 xi M    M   pi 
2
i 1
i 1
n
2
2
n
  xi pi  2 M   xi pi  M  
2
i 1
i 1
 
2
n
p
i 1
i

 
 M  2  2 M    M    M 2    M  2  M 2  
Свойство 2. Дисперсия постоянной равна нулю. DC   0 .

 

Доказательство: DC   M C  mc 2  M C  C 2  M 0  0 .
Свойство 3. Дисперсия произведения постоянной величины на случайную величину равна
произведению квадрата этой постоянной на дисперсию случайной величины:
DC   C 2 D  .
Доказательство:


(2.17)
 
DC   M C   M 2 C   C 2 M  2  C 2 M 2    C 2 D  .
2
Свойство 4. Дисперсия суммы постоянной и случайной величины равна дисперсии случайной величины:
D  C   D .
(2.18)
Доказательство:
36




D  C   M   C  M   C   M   C  M    C  
2


 M   M    D 
2
2
Дисперсия D  имеет размерность квадрата случайной величины, для характеристики рассеивания же удобнее использовать величину размерность которой совпадает с размерностью случайной величины.
Определение 7. Величина        D  называется среднеквадратичным отклонением случайной величины.
Определение 8. Случайная величина называется нормированной, если    1 . Нормированной случайной величиной, очевидно, является величина    .
Определение 9. Случайная величина называется стандартизированной, если M ( )  0 и
   1 . Стандартизированной случайной величиной является величина   M ( )    .
Определение 9. Случайная величина называется вырожденной, если D ( )  0 . Вырожденная случайная величина - это величина, которая принимает единственное значение с вероятностью 1.
Пример 4. Найти дисперсию D  и среднеквадратичное отклонение   для дискретной
случайной величины  , определенной в примере 1.
 
: M    25  0,4  4  0,3  9  0,1  16  0,2  15.3 .
Решение. Воспользуемся формулой D   M  2  M 2   .
Найдем математическое ожидание  2
2
Учитывая, что M    0.3 находим D   15,3  (0,3) 2  15,21 ,    15,21  3,9 .
2.2.3 Начальные и центральные моменты
Определение 10. Начальным моментом k -го порядка случайной величины  называется
величина m k  M  k .
n
Для дискретной случайной величины mk   xik pi .
(2.19)
i 1

Для непрерывной случайной величины mk 
k
 x f xdx .
(2.20)

Нетрудно убедиться, что первый центральный момент есть математическое ожидание случайной величины: m1  M   .
Определение 11. Центральным моментом k -го порядка случайной величины  называет-
 


k
ся величина  k  M ˆ k  M   m  .
37
Для дискретной случайной величины  k   xi  m  pi .
n
k
(2.21)
i 1

 x  m  f x  dx .
Для непрерывной случайной величины.  k 
k

(2.22)

Первый центральный момент для любых случайных величин равен нулю: 1  M ˆ  0 . Нетрудно убедиться, что второй центральный момент есть дисперсия случайной величины
 2  D  .
Чтобы прояснить связь моментов различных порядков, приведем без доказательства
следующую теорему.
Неравенство Йенсена. Пусть функция g (x ) выпукла вниз (вверх). Тогда для любой случайной величины  с конечным первым моментом
M ( g ( ))  g ( M ( )) ( M ( g ( ))  g ( M ( )) ),
(2.23)
причем равенство возможно лишь, если,  - вырожденная случайная величина ( D ( )  0 ).
Например, M ( X 2 )  (M ( X )) 2 и т.п. Заметим, что если функция g (x ) линейна, то по свойствам математического ожидания M ( g ( ))  g ( M ( )) .
    , при некотором k  1 , то
Следствие. Если M 
k
M k M
k
(2.24)
Если случайная величина распределена симметрично относительно математического
ожидания, то все центральные моменты нечетных порядков равны нулю. Для характеристики степени отклонения распределения от симметричного используют центральный момент
третьего порядка.
Определение 12. Величина A 
3
называется коэффициентом асимметрии или коэф3
фифициентом скошенности.
38
Четвертый центральный момент служит для характеристики островершинности распределеf(x)
f(x)
A>0
A<0
x
x
Рис 19. Вид плотности распределения в зависимости от параметра коэффициента
ассимметрии A.
f(x)
E>0
E=0
E<0
x
Рис 20. График плотности распределения для различных значений эксцесса.
ния.
Определение 13. Величина E 
4
 3 называется эксцессом случайной величины или ко 4
эффициентом островершинности.
Эксцесс показывает, насколько распределение отличается от так называемого нормального
распределения, для которого E  0 .
Моменты порядков более четвертого, как правило, не используются.
2.2.4 Квантили и критические точки распределения
Определение 14. Квантилем, отвечающим заданой вероятности , или нижней критической точкой порядка , распределения непрерывной случайной величины  называется
действительное число   , удовлетворяющее уравнению P(    )   .
Квантиль порядка 1/2 есть медиана.
Определение 15. (Верхней) критической точкой порядка  распределения непрерывной
случайной величины  называется действительное число t , удовлетворяющее уравнению
P(  t )   .
39
Очевидно, что квантиль порядка  совпадает с критической точкой порядка =1-
f(x)
f(x)


x
t
Рис 21. Квантиль порядка .
x
t
Рис 22. Критическая точка порядка .
40