Методические указания для решения задач динамического

Методические указания
по решению задач динамического программирования
Цель работы: изучение процесса решения задачи динамического
программирования в среде Excel.
Постановка задачи: Средствами Excel определить оптимальный план
распределения заданного количества ресурса Х корпорации по ее предприятиям i
с целью получения максимума прибыли, опираясь на известные данные о доходах
Zi(Хn), которые может принести каждое предприятие i, при условии выделения
ему ресурсов в количестве Хn.
Лабораторную работу рекомендуется выполнять следующим образом.
1. Создать таблицу исходных данных в левом верхнем углу рабочего поля в
соответствии со своим вариантом.
2. Справа от таблицы исходных данных сделать заготовку для таблицы
оценки эффективности распределения ресурса между предприятиями (F(Х)).
Заготовка должна содержать имена столбцов, заполненный столбец F1(X):=Z1(X)
и первую строчку с нулевыми значениями. Значения в столбце F1(X) лучше
устанавливать посредством ссылки на ячейки столбца Z1(Х), а не путем занесения
в них чисел.
3. Остальные ячейки таблицы F(Х) определяются согласно формуле.
Fk ( x )  max ( zk ( xk )  Fk 1 ( x  xk ))
0 xk  X
(1)
Для ее вычисления, а также для заключительного этапа решения задачи,
требуется знать сумму S ( xk , x  xk )  zk ( xk )  Fk 1 ( x  xk ) для различных вариантов
1
распределения заданного количества ресурса между фиксированным количеством
предприятий. Для этого необходимо построить вспомогательные таблицы S (см.
далее).
4. Назовем группой предприятий те k-1 предприятий, для которых ранее
было вычислено Fk-1(x-xk). Под предприятием будем понимать рассматриваемое
в данный момент времени предприятие k. Тогда некоторое количество ресурсов X
может быть распределено с шагом ∆ между предприятием и группой предприятий
X
 1 способами, для каждого из которых необходимо подсчитать сумму

S(xk, x-xk).
5. Будем строить таблицы S и F параллельно, следующим образом. Начнем
построение с таблицы S(80) – таблицы для вариантов распределения 80-ти единиц
ресурсов между N предприятиями. Для 80-ти единиц ресурсов с шагом 80
существует 2 варианта распределения: выделить 0 ресурсов группе предприятий и
80 рассматриваемому предприятию и наоборот, 80 – группе, 0 – предприятию.
Занесем варианты распределения в таблицу.
Подсчитаем si для двух предприятий (предприятия 2 и группы, в которой
только предприятие 1), для чего заведем столбец с заголовком “Z2+F1”. Данный
столбец, например, будет иметь ячейки с адресами С13 и С14. В ячейку С13
поместим сумму ячеек С3 и G2 (поскольку Z2(80) хранится в ячейке С3, а
F1(0) – в ячейке G2). В ячейку С14 поместим сумму ячеек С2 и G3 (по
аналогичным соображениям).
Теперь в соответствии с формулой (1) можно определить значение F2(80) –
оно равно максимуму среди ячеек C13 и С14. Запишем в ячейку H3 (в которой
хранится F2(80)) формулу «макс (С13;C14)».
2
Теперь рассчитаем столбцы “Z3+F2”, “Z4+F3” таблицы S(80) и определим
значения F3(80) и F4(80). Сделать это просто, но необходимо строго соблюдать
последовательность операций. Поименуем столбцы “Z3+F2” и “Z4+F3”. Теперь
выделим ячейки С13, С14 и скопируем их в соседние D13,D14, в результате чего,
благодаря средствам автоматизации Excel, получим искомые значения для
столбца “Z3+F2”.
Теперь необходимо проделать аналогичную процедуру и скопировать
ячейку H3 таблицы F в ячейку I3, чтобы рассчитать F3(80).
Только после этого можно вернуться к таблице S(80) и рассчитать столбец
«Z4+F3» путем копирования ячеек D13,D14 в ячейки E13,E14.
Далее необходимо вернуться к заполнению таблицы F и получить
значение F4(80) посредством копирования ячейки I3 в ячейку J3.
3
Такая строгая последовательность операций заполнения обусловлена, как
Вы знаете, взаимосвязями между ячейками таблиц S и F.
6. Аналогичные процедуры по построению таблиц S(160), S(240), S(320),
S(240) и заполнению оставшейся части таблицы F необходимо проделать при
распределении 160, 240, 320 и 400 единиц ресурсов. Следует еще раз обратить
внимание, что формулы для вычисления значений будут вводиться вручную
только для ячеек столбцов Z2+F1 каждой из таблиц S, а также для ячеек
столбца F2(X) таблицы F. Остальные ячейки таблиц (кроме исходных данных)
вычисляются в процессе копирования одних ячеек в другие. В результате
получаем заполненные таблицы:
4
7. После построения всех таблиц можно определить оптимальный план
распределения ресурсов, начиная с последнего этапа. Из таблицы F определяем,
что максимальная прибыль при распределении ресурсов между 4-мя
предприятиями составляет 203.
По таблице S(400), находим, что максимальная прибыль за весь
рассматриваемый период, равная 203, получается, если 4-му предприятию
выделить 160 ресурсов, а остальным 3-м – 240 ресурсов.
Возвращаемся к таблице F и определяем, что оптимальное распределение
240 ресурсов между 3мя предприятиями приносит прибыль, равную 130.
Далее переходим к таблице S(240), которая отражает распределение 240
ресурсов между 3-им предприятием и группой из 2-х предприятий (т.е. нас
интересует распределение внутри группы из 3-х предприятий – столбец Z3+F2), и
определяем, что прибыль в 130 единиц может быть получена, если 240 ресурсов
целиком отдать 3-му предприятию.
5
7. Таким образом, оптимальное распределение
предприятиями при заданных условиях следующее:
- предприятию 1 – 0 рес;
- предприятию 2 – 0 рес;
- предприятию 3 – 240 рес;
- предприятию 4 – 160 рес.
ресурсов
между
4-мя
8. При другой постановке задачи может оказаться, что оптимальное
распределение ресурсов подразумевает выделение ресурсов каждому
предприятию. В этом случае процесс обратного анализа должен быть продолжен.
6