«Решение нестандартных задач по математике» Пояснительная записка.

«Решение нестандартных задач по математике»
Пояснительная записка.
Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в
федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является
интеллектуальное развитие учащихся. Эта цель выходит на одно из ведущих мест
при углубленном изучении математики.
Задача С6 в составе контрольно-измерительных материалов ЕГЭ диагностирует
уровень интеллектуального развития учащихся. Она носит нестандартный
характер. Сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к
самым различным разделам школьного курса. Построение решений могут
потребовать нетривиальных идей и методов.
Целью данного курса является не столько подготовить к решению задачи С6,
сколько помочь учащимся систематически заниматься интеллектуальным
развитием.
В данном курсе мы рассмотрим задачи, которым традиционно в школе уделяется
мало внимания, покажем некоторые специфические методы их решения.
В практике конкурсных задач по элементарной математике присутствует
особый раздел, который принято называть «задачи с параметром». Задачи этого
раздела традиционно считают трудными, т.к. школьники привыкли к задачам с
простой формулировкой. В основной же массе задач с параметром в первую
очередь следует понять постановку задачи, что зачастую и определяет логику её
решения. В данном курсе мы рассмотрим основные типы решения задач с
параметрами, а также различные методы их решения.
Цели курса




Развитие устойчивого интереса к изучению математики.
Формирование представления о решении нестандартных задач.
Определение уровня способности учащихся и их готовности в дальнейшем
к обучению в вузе.
Воспитание понимания, что математика является инструментом познания
окружающего мира.
Задачи курса.





Систематизировать ранее полученные знания по различным разделам
школьного курса.
Познакомить учащихся с разными типами нестандартных задач,
особенностями методики и различными способами их решения.
Развивать интеллектуальные способности учащихся.
Научить применять математические знания в нестандартных ситуациях.
Научить понимать постановку условия задачи.
Содержание программы.
1.Делимость и её свойства. Признаки делимости.
Определение делимости чисел, свойства делимости, признаки делимости на 2, 3,
4, 5, 9 , 11, 25. Определение простых и составных чисел, определение взаимно
простых чисел.
2. Остатки.
Определение делимости с остатком, теорема о делении с остатком, теорема о
делении с остатком суммы и произведения чисел
3. Десятичная запись числа.
Определение десятичной записи числа, запись числа с помощью степеней
десятки, запись нецелого числа с помощью степеней десятки, признак
представления обыкновенной дроби в виде конечной десятичной дроби.
4.НОК и НОД. Основная теорема арифметики
Определение НОК и НОД чисел, нахождение НОК и НОД чисел, свойства
наибольшего общего делителя целых чисел, основная теорема арифметики.
5. Уравнения в целых числах.
Определение уравнения в целых числах, решение диофантова уравнения,
линейные диофантовы уравнения, квадратные диофантовы уравнения
6. Неравенства и оценки в задачах теории чисел.
Определение среднего арифметического и среднего геометрического нескольких
чисел, неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом,
неравенство о средних, неравенства и оценки.
7. Последовательности и прогрессии.
Определение арифметической прогрессии, формула n –го члена арифметической
прогрессии, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии,
определение геометрической прогрессии, формула n –го члена геометрической
прогрессии, формула суммы n первых членов геометрической прогрессии,
характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий.
8. Простейшие уравнения и неравенства с параметром.
Определение уравнения и неравенства с параметром, линейные уравнения и
неравенства с параметром, методы решения таких уравнений и неравенств.
9. Простейшие задачи с модулем.
Определение модуля , модуль суммы, модуль разности, графическое решение
задач с модулем.
10. Параметр как переменная.
Решение задач, в которых удобнее рассматривать параметр в качестве
переменной..
11. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения.
Существование корней квадратного уравнения, знаки корней, теорема Виета для
квадратного уравнения, расположение корней квадратного трёхчлена, взаимное
расположение корней двух квадратных трёхчленов.
12. Выделение неотрицательных выражений.
Решение задач с помощью выделения полного квадрата.
13 Разложение на множители.
Решение задач с помощью группировок, деления многочленов.
14. Задачи на исследование количества решений.
Определение чётной и нечётной функций, свойства чётных и нечётных функций,
графические интерпретации, симметрии относительно прямых, задачи с
применением некоторых неравенств, решение задач при помощи графиков.
Тематическое планирование
№
Урока
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Тема
Делимость и её свойства
Признаки делимости
Свойства делимости
Примеры решения задач
Свойства делимости
Примеры решения задач
Остатки
Решение задач
Десятичная запись числа
Решение задач
Основная теорема арифметики
Кл-во
час.
1
1
1
октябрь
октябрь
октябрь
1
октябрь
1
октябрь
1
ноябрь
1
ноябрь
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Решение задач
Наименьшее общее кратное
Наибольший общий делитель
Уравнения в целых числах
Примеры решения задач
Решение подготовительных задач
Решение основных задач
Неравенства и оценки в задачах теории чисел
Решение задач
Среднее арифметическое
Неравенство о средних
Неравенства и оценки
Решение задач
Последовательности и прогрессии
Примеры решения задач
Подготовительные задачи
Основные задачи
Простейшие уравнения и неравенства с параметром
Решение задач
Простейшие задачи с модулем
Решение задач
Параметр как переменная
Решение задач
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного
уравнения
Выделение неотрицательных выражений
Решение задач
Разложение на множители
Решение задач
Теорема Виета для уравнений третьей степени
Решение задач
Задачи на исследование количества решений
Решение задач
Задачи с использованием симметрий
Решение задач
Задачи с применением некоторых неравенств
Решение задач
Решение задач при помощи графика
Решение задач
1
ноябрь
1
ноябрь
1
декабрь
1
декабрь
1
декабрь
1
декабрь
1
январь
1
январь
1
февраль
1
февраль
1
февраль
1
февраль
1
март
1
март
1
март
1
март
1
апрель
1
апрель
1
апрель
Литература
1. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. М.: Мир и Образование, 2003-616с.
2. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по
математике.-М.: Наука, 1992-480с.
3. Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса
общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1994.-252с.
4. Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по
математике. 2013.-М.:МЦНМО.
5. Говоров В.М., Мирошин Н.В. Математика. Сборник задач для
поступающих в вузы – издательство Астрель, 2002-829с.
6. Козко А.И., Панфёров В.С., Сергеев И.Н., Чирский. В.Г., Задачи с
параметром. 2013.-М.:МЦНМО.
7. Вольфсон Г.И., Пратусевич М.Я., Рукшин С.Е., Столбов К.М., Ященко И.В.
Арифметика и алгебра. 2013.-М.:МЦНМО.