Течение вязкой несжимаемой жидкости в канале при заданном перепаде давления

Течение вязкой несжимаемой жидкости в
канале при заданном перепаде давления.
1. Введение
Течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями НавьеСтокса. Если их записывают в переменных «скорость-давление», то на границах
обычно ставят условия для скоростей, и в этом случае для существования
решения не требуется дополнительных условий на давление. Однако, если
исходная постановка задачи такова, что краевые условия заданы для давления
(это, например, задача о движении крови в артерии) или учитывается
фильтрация через границы, то в общем случае неясно, какие именно значения
принимают на границах скорости или их производные. В данной работе
предлагается в качестве краевого условия использовать выполнение на границе
самого уравнения, описывающего движение жидкости.
В работах [1,2] доказана теорема существования и единственности сильного
решения для уравнения Навье-Стокса, когда в качестве граничного условия
задано давление и касательная составляющая скорости, которая, однако,
трудноприменима в случае криволинейных каналов.
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о протекании вязкой однородной несжимаемой жидкости в
криволинейном канале с заданным перепадом давления на входе и выходе (см.
рис. 1).
На границе AB (входное отверстие) задано давление
(выходное отверстие) задано давление
, так что
, на границе CD
. На твердых стенках
BCи AD задано условие прилипания (скорость
). Также на входе и выходе
поставим условие равенства нулю касательной составляющей скорости.
Рисунок 1.
3. Аппроксимация
Двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями
Навье-Стокса:
где
,
- внутренняя область с границей
коэффициент кинематической вязкости.
,
-
На границе выполнено
Для решения поставленной задачи введем в области
, согласующуюся с границей
прямоугольную сетку
, с сеточной границей
.
На
аппроксимируем систему уравнений разностной схемой
где
- множество индексов
Разностный оператор
, отвечающих внутренним точкам.
аппроксимирует оператор Лапласа
Краевое условие заменяется точными равенствами
где
- множества индексов
, отвечающих
соответственно.
Также на входе и выходе задана нулевая касательная составляющая скорости:
(3)
4. Метод решения
Полученная разностная задача является системой билинейных уравнений (т.е.
системой нелинейных уравнений
линейный оператор,
, где
,
-
- билинейное отображение,
).
Для решения использовался метод неполной аппроксимации
(4)
где
выбирается из условия
элементы которой
нормы невязки,
,а
- диагональная матрица,
выбираются последовательно из условия минимума
- вектор, все координаты которого равны 1.
Для нахождения
где
,
введем вектор
,
- вектор с i-й компонентой, равной 1. Тогда
Обозначим
.
Очевидно
- невязка схемы.
Получим:
Далее:
,
где
Так как
, то график зависимости
от
имеет вид:
Тогда
найдем как решение кубического уравнения
явным формулам Кардано.
по
Параметр τ n+1 можно выбирать из условия минимума ||rn+1||2. В этом случае
и ||rn+1||2 =θ n+1||rn||2.
Схема (4) обладает асимптотическим свойством, которое позволяет построить
ускоряющую процедуру в случае плохой сходимости.
5. Результаты
Если стенки канала параллельны, то реализация краевых условий (2) дает
картину течения, совпадающую с течениями, приведенными в [2,4] (см. рис.
2,3). Аналогичная ситуация имеет место в трехмерном случае (см. рис. 4).
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Рисунок 4.
В случае, когда стенки канала не параллельны, задание на правой границе
нормальной составляющей скорости приводит к течению, отличному от
приведенного в [5] (рис 5).
Рисунок 5.
Задание на выходе из канала «мягких» краевых условий (мы использовали для
этого аппроксимацию исходной системы уравнений (1) внутрь области
решения) приводит к появлению возвратного течения в верхней части канала
(см. рис. 6), что хорошо согласуется с результатами работы [5]. Аналогичная
картина имеет место в разветвляющемся канале с расширением (см. рис. 7).
Рисунок 6.
Рисунок 7.
Аналогичные течения имеют место и в случае синусоидального канала (см. рис
8).
Рисунок 8.
Список литературы
1. Рагулин В. В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную
область при заданном перепаде давления или напора. – в сб.: Динамика
сплошной среды, вып. 27, Новосибирск, 1976, с. 78-92.
2. Кузнецов Б.Г., Мошкин Н.П., Смагулов Ш., Численное исследование течения
вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданных перепадах давления. – в
сб. численные методы динамики вязкой жидкости, Новосибирск, 1983, с. 203207.
3. Захаров Ю.Н., Градиентные методы решения задач гидродинамики,
Новосибирск, Наука, 2004, 239с.
4. Дорфман А.Л., Численное решение задачи о течении вязкой несжимаемой
жидкости в разветвляющемся канале при задании перепадов давления между
ответвлениями. – в сб. Численные методы механики сплошной среды, том 10, №
7, Новосибирск, 1979, с. 52.
5. Карякин В.Е., Карякин Ю. Е., Расчет течений вязкой жидкости в плоских
каналах произвольной формы. – в сб. Численные методы механики сплошной
среды, том 17, № 5, Новосибирск, 1986, с. 98.