Document 514870

Приложение 2
Полевик Галина Николаевна
222-041-774
Теоретический материал для лекций по теме: «Решение систем трех линейных уравнений с
тремя неизвестными»
I. ВВЕДЕНИЕ
В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения
систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения,
графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие
способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют
и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений:
метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания,
памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель»,
«минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры,
дополнения.
При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять
преобразования над строками матриц.
Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?
II. МАТРИЦЫ
Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы),
расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют
квадратной матрицей порядка n.
 a11

a
Обозначения:  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 
 a11

a
... a 2 n 
или  21
 ...
... ... 


... a mn 
a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Или кратко: А=(аij)mn или А=[aij]. Две матрицы А и В одинаковых размеров равны А=В, если
аij=bij для любых i, j.
0
0
Матрицы бывают: 0 = 
...

0
0 ... 0 
0 ... 0 
- нулевая матрица,
... ... ...

0 ... 0 
Приложение 2
  a11
 a
А =  21
 ...

 a m1
a11
0

 ...

0
0

 ...
0

Полевик Галина Николаевна
222-041-774
 a12
 a 22
...  a1n 
...  a 2 n 
- матрица противоположная матрице А,
...
... 

...  a mn 
...
 am2
a12
... a1r
a 22
...
0
0
...
0
... a 2 r
... ...
... a rr
... 0
... ...
0 0
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a m  - трапециевидная (ступенчатая) матрица
... 0 

... ... 
0 0 
a11
a12.......
a11
0

 ...

0
a12 ... a1n 
a 22 ... a 2 n 
- верхняя треугольная матрица,
... ... ... 

0 ... a mn 
 a11
a
 21
 ...

a m1
0
a 22
a11
0

 ...

0
...
am2
a1n  - матрица – строка,
 a11 
a 
 21  - матрица – столбец,
 . 
 
a m1 
0 
0 
- нижняя треугольная матрица,
... ... 

... a mn 
...
...
0 
0 
- диагональная матрица,
... ... 

... a mn 
0 ...
a 22 ...
...
0
1
0
Е= 
...

0
0 ... 0 
1 ... 0 
- единичная матрица.
... ... ...

0 ... 1 
Приложение 2
222-041-774
Полевик Галина Николаевна
Если все аij действительные, то матрица А называется действительной, если хотя бы одно из
чисел аij комплексное, то матрица называется комплексной.
III. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех
размеров, у которой сij = аij + bij , для любых i, j.
C=A+B
Свойства сложения матриц:
1)
2)
3)
4)
A +B = B + A
(A +B) +C = A + (B + C)
A+0=A
A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.
2 3
 0 1 2
 1




Пример 1: Найти сумму матриц: А =  4  1 6  и В =  3 1 3  .
 2 1 0
  5 0 1




Решение: С = А + В
1 5
 1


С=  7
0 9
  3 1 1


2. Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу,
противоположную матрице В.
А – В = А + (-В)
 1 2
 и В =
Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = 
  3 4
Решение: С = А – В
 2  1

-В = 

2
3


 2 1 

 .
 2  3
 3 1

С = 

5
7


3. Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij)
Тех же размеров, у которой сij = k · aij для любых i,j.
C=k·A
Свойства умножения матрицы на число:
1) 1  A  A
2)  (   A)  (   )  A
3)   ( A  B)    A    B
4) (   )  A    A    A для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β  R
Приложение2.
222-041-774
Полевик Галина Николаевна
 1 2  1


Пример 3: Дана матрица А =  2  3 0  .
3  2 5 


Найти матрицу С = 2А.
 2 4  2


Решение: С = 2А =  4  6 0 
 6  4 10 


4. Произведением матрицы А = (аik) размеров mn на матрицу В = (bkj) размеров np называется
матрица С = (сij) размеров mp, у которой
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj.
C = AB
Свойства умножения матриц:
1) AE = EA = A
2) A0 = 0A = 0
3) (AB)D = A(BD)
4)  ( AB)  (A) B  A(B)
5) (A + B)D = AD + BD
6) D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют
Для квадратных матриц АВ≠ВА
  1
 
1
3 2
 и В =  2  .
Пример 4: Даны матрицы: А = 
 5  2  1
0
 
Найти произведение матриц А и В.
Решение: С = АВ
  3  4  0

С = 

5

4

0


 1 
С =  
  9
5. Транспонирование матриц.
 a11
a
А =  21
 ...

a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 
... a 2 n 
 Ат =
... ... 

... a mn 
 a11
a
 21
 ...

a1n
Ат – транспонированная матрица.
Свойства транспонирования:
1) ( AT ) T  A
3) ( A  B) T  AT  B T
2) (A) T  AT
4) ( AB) T  B T AT
a12
a 22
...
a2n
... a m1 
... a m 2 
... ... 

... a mn 
смысл).
Приложение 2
Полевик Галина Николаевна
222-041-774
6. Обратная матрица.
Матрица А-1 называется обратной для матрицы А, если АА-1 = А-1А = Е
 A11... A21... An1 


1  A12 ... A22 ... An 2 
1
, где Аij – алгебраические дополнения элементов аij матрицы А.
A 
...
... 
det A  ...


 A1n ... A2 n ... Amn 
Свойства обратной матрицы:
1) ( A 1 ) 1  A
2) ( AB) 1  B 1 A 1
3) det A 1 
1
det A
Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров.
Обозначение: rank A
IV.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Обозначение: , det A (детерминант). Они существуют у квадратных матриц.
Определение 1. Определителем второго порядка  
a1
b1
a2
b2
называется выражение
a1b2  a2b1 .
Определение 2. Определителем третьего порядка
a1
b1
c1
  a2
a3
b2
b3
c 2 называется выражение
c3
a1b2 c3  a1b3 c2  b1c2 a3  b1c3 a2  c1a2 b3  c1a3b2
Есть другие способы для нахождения определителя третьего порядка.
a1
1.   a2
b1
b2
a3
b3
c1
b
c2 = a1 2
b3
c3
c2
a
 b1 2
c3
a3
c
a
 c1 2
c3
a3
b2
,
b3
где a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3 - элементы определителя,
b2
b3
c2 a2
,
c3 a3
c2 a2
,
c3 a 3
b2
- миноры элементов а1, b1, c1
b3
Приложение 2

222-041-774
a11
a12
... a1n
a 21
...
a 22
...
... a 2 n
... ...
a n1
an2
... a nn
Полевик Галина Николаевна
Минором Мij какого – либо элемента аij определителя  порядка n называется определитель
порядка n – 1, полученный из  вычерчиванием i– й строки и j – го столбца.
a11
a12
a13
2.   a 21
a 22
a32
a 23
a33
a31
Определитель III порядка можно найти по схеме:
+
0 0 0
-
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
+
+ +
a11 a12
a11
a12
a13
3.   a 21
a 22
a32
a 23 = a 21
a33
a31
- -
a31
a 22
a32
-
a13 a11
a 23 a 21
a33 a31
a12
a 22
a32
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя  называется определитель
Ay  (1) i  j M y , где Мy – минор элемента аij.
Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.
a1
b1
c1
Пусть задан определитель:   a 2
b2
b3
c2
c3
a3
Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их
алгебраические дополнения, т. е.
Приложение 2
Полевик Галина Николаевна
222-041-774
  a1 A1  b1 B1  c1C1 (1)
  a 2 A2  b2 B2  c 2 C 2 (2)
  a3 A3  b3 B3  c3C3 (3)
Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их
алгебраические дополнения, т.е.
  a1 A1  a 2 A2  a3 A3 (4)
  b1 B1  b2 B2  b3 B3 (5)
  c1C1  c 2 C 2  c3C3 (6)
Эти теоремы облегчают вычисления определителя, когда среди элементов есть нули.
2
Пример 5: Найти определитель   0
1
3
2
1
1 1 3
Решение: Воспользуемся формулой (2) теоремы 1.
  3  (1) 4
2 2
2 1
 1  (1) 5
 3(6  2)  (2  1)  3  4  3  15
1 3
1 1
Проверим, найдём этот же определитель способом 3.
2
1
22
1
  0 3 1 0 3  18  1  0  6  2  0  15
1 1 3 1 1
Определителем четвёртого порядка  
выражение   a1 A1  b1 B1  c1C1  d1 D1 ,
элементов a1, b1, c1, d1.
V.
a1
b1
c1
d1
a2
a3
a4
b2
b3
b4
c2
c3
c4
d2
называется
d3
d4
где
A1, B1, C1, D1
- алгебраические дополнения
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ГАУССА.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.
Приложение 2
Полевик Галина Николаевна
222-041-774
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,

22 2
2n n
2
Пусть задана система:  21 1
..........
..........
..........
..........
.......

a s1 x1  a s 2 x 2  ...  a sn x n  bs
Решением системы линейных уравнений называется такая система n чисел k1, k2, …,kn, что
каждое из уравнений данной системы обращается в тождество.
1. Составим расширенную матрицу.
2. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к
треугольному (ступенчатому) виду.
3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные.
Элементарными преобразованиями матрицы называют:
1) Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число.
2) Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на
любое число, отличное от нуля.
3) Перестановку местами любых двух строк.
Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:
2 x1  x2  x3  2,

Решение:  x1  x2  5 x3  7,
2 x  3x  3x  14
2
3
 1
Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных
преобразований.
2 1 1 2  1 1 5  7
2 2

 

1 1 5  7  2 1 1 2  
 2 3  3 14   2 3  3 14 

 

1 1
5  7 1 1
5  7 1 1
5  7

 
 

  0  1  9 16    0 1  13 28    0 1  13 28 
 0 1  13 28   0 0  22 44   0 0 1  2 

 
 

Вернёмся к системе уравнений:
 x1  x 2  5 x3  7,

 x 2  13x3  28,
 x  2
 3
 x1  x 2  10  7,

 x 2  26  28,
 x  2
 3
 x1  1,

 x 2  2,
 x  2
 3
Ответ: x1=1; x2=2; x3=-2
 x1  x2  3,

 x2  2,
 x  2
 3
 x1  2  3,

 x2  2,
 x  2
 3
Приложение 2
Полевик Галина Николаевна
222-041-774
Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет
несовместной, т.е. не иметь решения, если после преобразований мы получим уравнение, в
котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля.
 x1  5 x 2  8 x3  x 4  3,
3x  x  3x  5 x  1,
 1
2
3
4
Пример 7. Решить систему: 
 x1  7 x3  2 x 4  5,
11x 2  20 x3  9 x 4  2
Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
1  5  8 1 3 
 3 1


3 1  3  5 1 
 1 0  7 2  5 


 0 11 20  9 2 


1  5  8 1 3 


 0 16 21  8  8 


0 5
1
1  8
 21  20


 0 11 20  9 2 


1  5  8
1 3  1  5

 
 0  89 0  29 160   0  89


0
5
1
1  8  0
5

 
 0  89 0  29 162   0
0

 
3 

0  29 160 
1
1 8

0
0 2 
8
1
Мы видим, что последнее уравнение будет 0=2. Значит, заданная система будет
несовместной, т.е. не иметь решения.
Совместная система будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если
после преобразований матрица приводится к трапециевидному виду.
 x1  x 2
x  x
 1
2
Пример 8. Решить систему: 
 x1  x 2
 x1  x 2
 x3  x 4  1,
 2 x3  x 4  0,
 4 x3  3x 4  2,
 7 x3  5 x 4  3
Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
Приложение2.
1

1
1

1

222-041-774
Полевик Галина Николаевна
1 1
1 1 1

1  2 1 0

1 4
3 2

1 7
5 3 
1
1
1

0

0

0

1
1 1  1
 
0  3  2  1  0

0 3
2 1  0
 
0 6
4 2   0
1
1 1 1 1  1
 
0 3 2 1  0

0 3 2 1  0
 
0 3 2 1  0
1 1 1 1

0 3 2 1
0 0 0 0

0 0 0 0 
Вернёмся к системе уравнений.
 x1  x 2  x3  x 4  1,
3x  2 x  1,
 3
4

0  0,
0  0
 x1  x 2  x3  x 4  1,

2
1

 x3   x 4  ,
3
3

 x 4  любое
1
2

 x1   x 2  3 x 4  3 , x 2  любое

2
1

 x3   x 4  ,
3
3

 x 4  любое


2
1

 x1  x 2  3 x 4  3  x 4  1,

2
1

 x3   x 4  ,
3
3

 x 4  любое


1
2

 x1   x 2  3 x 4  3 ,

2
1

 x3   x 4  ,
3
3

 x 2 , x 4  любое


Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то
есть уравнений, свободные члены которых равны нулю. Такая система всегда совместна, так как
обладает нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе линейных однородных уравнений число
уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также
и ненулевыми решениями. Таких решений будет бесконечно много.
4 x1  x2  3x3  x4  0,

Пример 9. решить систему: 2 x1  3x2  x3  5 x4  0,
 x  2 x  2 x  3x  0
2
3
4
 1
Решение: Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа
неизвестных (3<4), поэтому данная система будет неопределённой.
Составим матрицу из коэффициентов (так как свободные члены равны нулю) и преобразуем
её.
Приложение 2
222-041-774
Полевик Галина Николаевна
5  13   0 2
0 2
 4 1  3  1  0 9

 
 

1  5   0 7
5  11   0 7
5  11
2 3
1  2  2 3  1  2  2 3  1  2  2 3 

 
 


 x2  x4 ,
2 x 2  2 x 4  0,

4


Вернёмся к системе уравнений: 7 x 2  5 x3  11x 4  0,
 x3  x 4 ,
5
 x  2 x  2 x  3x  0 
2
3
4
 1
3

 x1  5 x 4
Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно решить любую систему, содержащую любое
число линейных уравнений с любым числом неизвестных. Это один из самых эффективных
методов решения систем линейных уравнений.
ПРАВИЛО КРАМЕРА.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1
22 2
2n n
2

Пусть дана система: ...............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A
...
... ... ... 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
Найдём определитель det A=
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
a m1
...
am2
... ...
... a mn
Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система совместна и имеет единственное
det Ai
решение xi 
, где det Ai – определитель, полученный из det A заменой i-ого столбца
det A
столбцом свободных членов.
Решение системы линейных уравнений (если m=n):
1.
2.
3.
1)
Находим определитель системы  .
Вычисляем определители  х1,  х2, …
Возможны три случая:
Если  ≠0, то система имеет единственное решение
Приложение 2
Полевик Галина Николаевна
222-041-774
x1
x
, x2  2 ,...


2) Если  =0, но хотя бы один из определителей  xi не равен нулю, то система не имеет
решений.
3) Если  =0,  х1=0,  х2=0, …,  хn=0, то система имеет бесконечное множество решений.
x1 
2 x  3 y  5,
Пример 10. Решить систему: 
x  3 y  2
Решение:  
x
2 3
 63  3
1 3
9
3
3
y
x 
5 3
 15  6  9
2 3
y 
2 5
 4  5  1
1 2
1
3
2 x1  x2  x3  2,

Пример 11. Решить систему:  x1  x2  5 x3  7,
2 x  3x  3x  14
2
3
 1
2 1
1
2 1
1 2 1
Решение:   1 1
5  1 1 5 1 1  6  10  21  14  30  21  22
2 3 3 2 3 3 2 3
2
1
1
2
1
1 2
1
x1   7 1 5   7 1 5  7 1  6  70  21  14  30  21  22
14 3  3 14 3  3 14 3
2
2
1
2
2
1 2
2
x 2  1  7 5  1  7 5 1  7  42  20  14  14  140  6  44
2 14  3 2 14  3 2 14
2 1
2
2 1
2 2 1
x3  1 1  7  1 1  7 1 1  28  14  6  4  42  14  44
2 3 14
2 3 14 2 3
x1  22

1

 22
x1=1;
x2=2; x3=-2
x1 
x2 
x2  44

2

 22
x3 
x3
44

 2

 22
Приложение 2
222-041-774
Полевик Галина Николаевна
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
VI.
Покажем, как применяется этот метод для решения систем трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными.
a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
 a11
A  a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 
 x1 
 b1 



a 23 ; X   x2 ; B  b2 
 x3 
b3 
a33 
Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид:
АХ=В Отсюда: Х= A 1  B , где А-1 – матрица, обратная матрице А.
Пример 12. Решить с помощью обратной матрице систему уравнений:
2 x1  x 2  x3  2

 x1  x 2  5 x3  7

2 x1  3 x 2  3 x3  14
Решение:
Находим определитель  (det A)
2 1
1 2 1
  1 1 5 1 1  6  10  3  2  30  3  22
2 3 3 2 3
Если  =0, то система не имела бы решения.
Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.
A11  (1) 2
1 5
 3  15  18
3 3
A12  (1) 3
1 5
 (3  10)  13
2 3
A13  (1) 4
1 1
 3 2 1
2 3
A21  (1) 3
1 1
 (3  3)  6
3 3
Приложение 2
A22  (1) 4
222-041-774
2 1
 6  2  8
2 3
A23  (1) 5
2
2
1
A31  (1) 4
1
1
 (6  2)  4
3
1
 5 1  4
5
2
1
2
A33  (1) 6
1
1
 (10  1)  3
5
1
 2 1  1
1
A32  (1) 5
Составляем обратную матрицу
4 
  18 6

1 
A 
 13  8  9 
 22 
 4 1 
 1
1
 2 
 
B   7
 14 
 
4   2 
  18 6
  
1 
X    13  8  9     7  
22 
 4 1   14 
 1
  18  2  6(7)  4  14 
  22   1 

  
1 
1 
  13  2  (8)( 7)  (9)14      44    2 
22 
22 

  
 1  2  (4)( 7)  1  14 
 44    2 
 x1  1

Отсюда:  x 2  2
 x  2
 3
Полевик Галина Николаевна