Программа вступительного экзамена в магистратуру по специальности 010400 «Прикладная математика и информатика»

Программа вступительного экзамена в магистратуру
по специальности 010400
«Прикладная математика и информатика»
Магистерская программа:
010400 «Комбинаторный анализ»
Дискретная математика














Основные правила комбинаторики: правило сложения, правило умножения. Комбинаторные
числа. Размещения, перестановки и сочетания.
Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.
Формула включений-исключений.
Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения.
Рекуррентные формулы. Число упорядоченных разбиений. Диаграммы Юнга.
Основные понятия асимптотического анализа. Символы Ο, Ω, Θ, ∼, ≲. Примеры. Формула
Стирлинга (без доказательства). Оценки биномиальных коэффициентов.
Числа Фибоначчи: свойства, примеры задач. Линейные рекуррентные соотношения с
постоянными коэффициентами. Общий вид решения: случай различных корней
характеристического многочлена — с доказательством, общий случай — только
формулировка.
Степенные ряды и производящие функции. Пример тождества, доказываемого с помощью
степенных рядов. Производящие функции последовательностей, удовлетворяющих линейным
рекуррентным соотношениям. Числа Каталана. Нахождение сумм с участием биномиальных
коэффициентов, чисел Фибоначчи и т.д.
Основные определения теории графов. Маршруты, расстояния в графах. Двойной подсчёт,
теорема «о рукопожатиях».
Деревья. Эквивалентные определения деревьев. Утверждение об одной/двух центральных
вершинах в дереве.
Раскраски графов. Хроматическое число и хроматический индекс, их простые верхние и
нижние оценки.
Планарные графы. Формула Эйлера. Оценка числа рёбер в планарном графе. Критерий
планарности Понтрягина—Куратовского (достаточность без доказательства). Теорема о
раскраске планарных графов в пять цветов.
Теорема Холла о паросочетаниях в двудольных графах.
Эйлеровы и гамильтоновы циклы в графах. Критерий эйлеровости графа. Достаточные условия
гамильтоновости: условия Дирака, Оре.
Теорема Рамсея (для графов для случая двух цветов). Определение чисел Рамсея.
Литература
1.
2.
Виленкин Н. Я., Виленкин А. Н., Виленкин П. А. Комбинаторика. — М: ФИМА, МЦНМО, 2010.
Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике. — М.:
Физматлит, 2006.
3.
4.
5.
6.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.:
Бином. Лаборатория знаний, Мир, 2009.
Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов.
— М.: Книжный дом «Либроком», 2009.
Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.
Шахмейстер А. Х. Комбинаторика. Статистика. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2010.
Алгебра











Подстановки. Определение подстановки, четность подстановок. Произведение подстановок,
разложение подстановок в произведение транспозиций и независимых циклов.
Комплексные числа. Геометрическое изображение, алгебраическая и тригонометрическая
форма записи, извлечение корней, корни из единицы.
Системы линейных уравнений. Прямоугольные матрицы. Приведение матриц и систем
линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса.
Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, базис и
ранг системы строк (столбцов). Ранг матрицы. Критерий совместности и определенности
системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Фундаментальная система решений
однородной системы линейных уравнений.
Определитель квадратной матрицы, его основные свойства. Критерий равенства определителя
нулю. Формула разложения определителя матрицы по строке (столбцу).
Операции над матрицами и их свойства. Теорема о ранге произведения двух матриц.
Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, ее явный вид (формула),
способ выражения с помощью элементарных преобразований строк.
Векторное пространство, его базис и размерность. Преобразования координат в векторном
пространстве. Подпространства как множества решений систем однородных линейных
уравнений. Связь между размерностями суммы и пересечения двух подпространств. Линейная
независимость подпространств. Базис и размерность прямой суммы подпространств.
Линейные отображения, их запись в координатах. Образ и ядро линейного отображения, связь
между их размерностями. Сопряженное пространство и сопряженные базисы. Изменение
матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.
Группы: определение, примеры. Изоморфизм групп. Понятие подгруппы. Смежные классы.
Теорема Лагранжа. Фактор-группа по нормальной подгруппе.
Группы вычетов. Порядок элемента. Циклические группы. Теорема Эйлера—Ферма.
Поля. Конечные поля вычетов по простому модулю. Построение полей на основе
неприводимых многочленов.
Литература
1.
2.
3.
4.
Андерсон Дж.А. Дискретная математика и комбинаторика. — М.: Вильямс, 2004.
Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976.
Винберг Э.Б. Курс алгебры, 1999, 2001, Факториал.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 1975, Наука.
Теория вероятностей


Определение вероятностного пространства, простейшие дискретные случаи (выборки с
порядком и без него, упорядоченные и неупорядоченные), классическая вероятностная
модель. Случайная величина, функция распределения.
Определение условной вероятности, формула полной вероятности, формула Байеса.




Определение математического ожидания, дисперсии, ковариации и корреляции, их свойства.
Попарная независимость и независимость в совокупности.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Стандартные дискретные и непрерывные распределения, их математические ожидания,
дисперсии и свойства: биномиальное, равномерное, нормальное, пуассоновское,
показательное, геометрическое.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей, УРСС. М.: 2001.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей,
1970.
Ширяев, А. Н. Вероятность, Наука. М.: 1989.
Севастьянов Б. А., Курс теории вероятностей и математической статистики, М.: Наука, 1982.
Севастьянов, Б. А., Чистяков, В. П., Зубков, А. М. Сборник задач по теории вероятностей, М.:
Наука, 1986.