6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Ухтинский техникум железнодорожного транспорта –
филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Петербургский государственный университет путей сообщения»
РАССМОТРЕНО
на заседании цикловой комиссии
«Математических
и
общих
естественно научных дисциплин»
Председатель
______________ Е.Н. Козлова
Протокол № 10
от 28 мая 2012 г.
УТВЕРЖДАЮ
И.о. директора
Т.М. Коротаева
28 мая 2012 г.
Примерные теоретические вопросы
для вступительных испытаний по математике в 2012 году
на базе среднего (полного) общего образования.
I. Теоретические вопросы:
1.
Одночлены и многочлены. Действия над ними.
2.
Разложение многочлена на множители.
3.
Алгебраические дроби. Действия над ними.
4.
Решение линейных, квадратных уравнений и уравнений, приводящихся к ним.
5.
Решение уравнений, содержащих модуль.
6.
Решение неравенств первой и второй степени.
7.
Решение систем уравнений и неравенств первой и второй степени.
8.
Функции и их графики.
9.
Нахождение области определения функции.
10.
Выполнение действий со степенями.
11.
Решение иррациональных уравнений.
12.
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
13.
Решение систем показательных и логарифмических уравнений.
14.
Преобразование и вычисление логарифмических выражений.
15.
Преобразование тригонометрических выражений.
16.
Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
17.
Решение тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим, и систем
тригонометрических уравнений.
18.
Нахождение производной функции.
19.
Составление уравнения касательной к графику функции в данной точке.
20.
Нахождение промежутков монотонности и выпуклости функции.
21.
Нахождение экстремумов функции и точек перегиба.
22.
Применение производной для исследования функций и построения графиков.
23.
Нахождение первообразной функции.
24.
Вычисление неопределенных интегралов.
25.
Вычисление определенных интегралов.
26.
Вычисление площадей криволинейных трапеций.
27.
Выполнение действий над векторами, угол между векторами.
28.
Треугольники. Площади треугольников.
29.
Параллельные прямые. Параллелограммы и трапеции. Площади.
30.
Прямые и плоскости в пространстве.
31.
Решение задач на нахождение углов и расстояний в пространстве
32.
Многогранники и тела вращения и их свойства.
33.
Решение задач на нахождение площадей поверхностей и объемов геометрических тел.
II. Практические задания:
1.
Решить неравенства:
1)
x  2x  6  0
2x  9
2)
x 2  16
0
x5
3)
x2  x  2  0
4)
x  4x  8  0
5)
2 x 5  8
6)
1
 
 2
7)
5x
8)
43x  2  32
9)
log 2 6 x  5  1
10)
log 3 10  3x   2
11)
log 1 4 x  2  2
2
4x 3
9
4
1
4
12)
log 1 6 x  8  1
7
2.
Решить уравнения:
1)
lg x  3  lg 2  lg 6  lg 3
2)
lg x  lg  x  8  1  lg 2
3)
lg x  2  lg 21  lg 2 x  10 
4)
log 2 x  log 2 5  2  log 2  x  8
5)
log 5 x 2  8 x  9
1
log 5 4  log 5 2
6)
log 2 x  log 2 3  x   log 2 14  log 2 7
7)
lg x  35  lg x  35  0
8)
log 5 7 x  1  log 5 7 x  1  log 5 6  3log 5 2



 

9)
   
log 5 x 2  5 x  13
2
10)
log 7 5 x  4 x  8  log 7 5 x  x 2  24
log 5 12  2 log 5 2




При каких значениях а уравнение имеет два равных корня?
11)
2  ax 2  6ax  4a  1  0;
12)
a  1x 2  2a  1x  a  2  0;
Вычислить значения cosα, tgα и ctgα, если:
sin a  0,6,
13)
a   ; 3 / 2
sin a  12 / 13, a   / 2;  
14)
sin a  0,3,
15)
3 / 2  a  2
Определить знак выражения
sin 205  cos 275
16)
tg 200  ctg105
cos 175  ctg 300
17)
sin 297  tg135
18)
19)
20)
21)
sin 310  cos 2 170
tg190  ctg92
sin 235  ctg 215
tg 2 95  cos 2 265
sin 125  cos 275
tg 295  ctg175
cos 75  tg 2 305  sin 95
ctg 293  cos 269
Упростить выражение
22)
23)
24)
1  sin 2 a  ctg 2 a  sin 2 a;
1
1

;
2
1  ctg a 1  tg 2 a
sin 2 a  cos 2 a  sin 2 a : cos 2 a;
1  sin a 1  cos a
:
;
1  cos a 1  sin a
sin a  sin 
 tga  ctg  1;
cos a  cos 
sin a  cos a  :  1  1 ;
 sin a cos a 
25)
26)
27)
1  sin 2 a 1  ctg 2 a
:
;
1  cos 2 a 1  tg 2 a
28)
3x  1  2 x  1  3
2 x  1  4 2 x  1  12
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
x3  8  4 x3  8  6
4x  7  2  x  3  1  0
x7
x3

0
2
x 1
2
x4
1 0
x4
4x  9  x  1  0
4x  9  x  1  0
4  x 2x  8

0
0,5
x
x  6  3  2x
x  3x  1  1
x  3 - 1 =x
x  x  5 +7
4 x  3  4 x  2  52
4 x  2 x 1  24
5 x  3  5 x  2  140
49 x  35  7 x 1  14  0
3  2 x  2 x 1  2 x  3  7,25
34 x  4  32 x  3  0
x
x
x
48) 16  2 12  3  9  0
x
x 1
49) 25  120  5
 25  0
x
x1
x1
50) 3  3
3
 99
47)
x
x
 2
 3
51)    9     10
 3
 2
2  25 x  5 10 x  2  4 x  0
x
1
53)
27 
9
x
x
54) 9 24  3  81  0
52)


5  2 x 1  2 x  2 x  2  160
55)
1
12  3 2 x
1
 3x
 27
x
57) 4  3  6  4  9  0
56)
x
x
3 10 x  0,00001
58)
4 x  3  2 x 1  16  0
x 1
60) 2  3
 6  3 x 1  3 x  81
59)
25 x  2  5  5 x  2  500  0
x
x
x
62) 3 16  2  81  5  36
63) cosx  120   3 sin x
61)
76)
77)
78)
3cos2 x  sin x  1  0
2 cos 4 x  sin 4 x  1
3
 x
cos2  x   cos   x tg  cos2 x
2
 2
sin x  cos2 x
sin x  sin 3x  0
2 sin 2 3x  sin 2 6 x  2
cosx  270  sin x  180  2
sin 4 x cos2 x  sin 5x cos x
cos5x  cos3x  0
tg 2 x  sin 4 x
sin 3x sin x  cos3x cos x  1
sin 8x cos2 x  sin 7 x cos3x
4 sin 2 x  2 cos2 x  3
sin 3x sin x  sin 7 x sin 5x
2 sin x  cos2 x sin x  0
3.
Составить уравнение касательной к графику функции
64)

65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)

1) f x  x 2  4x в точке x0  1 ,5;
2)
f x  x 3  3x 2  1. в точке x0  1 ;
4.Найти промежутки монотонности
1) y  x  2 x  3 ;
2
2) y  5x  x
2
5.Найти производную функции:
а) y  cos 4 x  5
2
б) y  2 ln  x  1



в) y  5  x 3
4
и экстремумы функции.
6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
1)
y  x 2  4x  4 , y  4  x
2)
y  4  x2, y  0
3)
y  x , y  x2
4)
y  4x 2 , y  x 2  3
5)
y  x2, y  8  x2
6)
y   x 2  4 , y  x 2  2x
7.Решить геометрические задачи:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
В цилиндр вписан куб, ребро которого 6 см. Найти площадь основания цилиндра и площадь
его осевого сечения.
Образующая конуса равна 9 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найти
площадь полной поверхности конуса.
Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 12 см. Найти объём этого
конуса.
Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 2 см. Образующая его 5 см. Найти
площадь его оснований и площадь осевого сечения.
В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону пополам. Найдите
его периметр, если меньшая диагональ ромба равна 3,5 см.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 14 см, сторона ее основания – 16 см.
Найти боковое ребро.
Найти диагонали прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 10 и 6 дм,
одна из диагоналей основания равна 8 дм. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с
плоскостью основания угол 60°.
Найти полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 20,
15 и 16 см.
Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 4320 дм2, диагональ боковой
грани – 82 дм. Найти высоту призмы.
Найти полную поверхность прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8
и 12 дм и образуют угол в 30°, а боковое ребро равно 6 дм.
Найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если высота ее и
стороны основания соответственно равны 20 и 42 см.
Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3. Найти ребра
параллелепипеда, если его полная поверхность равна 352 см2.
Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями 12 и 16 см. Высота пирамиды проходит
через точку пересечения диагоналей ромба и равна 6,4 см. Найти полную поверхность
пирамиды.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 270 дм3. Одно из его ребер равно 5 дм, а два
других относятся как 2:3. Найти длины ребер.
Вычислить объем и полную поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды,
стороны основания и высота которой соответственно равны 24, 12 и 8 см.
Найти объем правильной треугольной пирамиды, боковая поверхность которой равна 12 см2,
а сторона основания 2 см.
Вычислить полную поверхность прямой треугольной призмы, в основании которой лежит
прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см, а боковое ребро равно гипотенузе
треугольника, лежащего в основании.
Рекомендуемые источники литературы:
Рекомендуемая литература
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.,2000 г.
2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. М 2000 г
3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. 2-е
изд. М.: Просвещение, 2003. 415.
4. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл.
общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2004 г
5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Алгебра: Геометрия: Справочные материалы:
учебное пособие для учащихся. М. Просвещение, 2003г
6. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11,-М.: Просвещение, 2002г